Введение к работе
Актуальность темы. Исследования по теории интегральных операторов являются важной составной частью современного анализа.
Данная работа посвящена многомерным интегральным операторам с однородными и биоднородными ядрами, которые рассматриваются в пространствах суммируемых функций. Наши исследования с одной стороны примыкают к классической теории интегральных операторов, а с другой — тесно связаны с общей теорией банаховых алгебр, спектральной теорией и теорией проекционных методов.
В одномерном случае интегральные операторы с однородными степени (—1) ядрами, по-видимому, впервые рассматривались Г. Харди и Дж. Литт-лвудом. Различные аспекты теории таких операторов отражены в трудах Л. Г. Михайлова, Н.К. Карапетянца, С. Г. Самко, А. П. Солдатова, А. А. Килбаса, Б. И. Голубова, Р. В. Дудучавы, А. В. Гиля, М.В. Цалюк, М. А. Бетилгириева, Я. Б. Рутицкого. Однако, действующие в ^-пространствах одномерные операторы с однородными ядрами непосредственно сводятся к операторам типа свертки с помощью экспоненциальной замены. Это позволяет перенести результаты, которые имеют место для операторов типа свертки, на интегральные операторы с однородными степени (—1) ядрами.
Многомерная ситуация принципиально сложнее и требует совершенно иных подходов. В конце 60-х — начале 70-х годов Л. Г. Михайловым и его сотрудниками было начато изучение многомерных интегральных операторов с однородными степени (— п) ядрами, при дополнительном предположении инвариантности ядер относительно всех вращений в Жп х Жп. Ими были получены достаточные условия ограниченности таких операторов в различных пространствах функций, предложена схема исследования нетеровости и вычисления индекса, а также указаны некоторые достаточные условия компактности.
Дальнейшее развитие теория многомерных интегральных операторов с однородными ядрами получила в работах Н.К. Карапетянца. Отказавшись от условия инвариантности ядра относительно группы вращений, И. К. Карапетянц установил достаточные, а в случае неотрицательного ядра и необходимые, условия ограниченности операторов с однородными ядрами в Lp-пространствах, а также получил оценки снизу для норм та-
ких операторов. Он также получил достаточные условия ограниченности операторов в гельдеровских классах. Кроме того, в работах Н.К. Карапе-тянца рассматривались операторы с однородными ядрами и переменными коэффициентами, и были описаны некоторые классы коэффициентов, обеспечивающие компактность таких операторов. Эти исследования были подытожены в его докторской диссертации и частично нашли отражение в монографии Н.К. Карапетянца и С. Г. Самко1.
Вышеуказанные результаты отражают лишь некоторые аспекты теории многомерных интегральных операторов с однородными ядрами. Общая теория, подобная той, которая имеется для операторов типа свертки или для сингулярных интегральных операторов, отсутствует.
Именно поэтому представляется весьма актуальным построение общей теории многомерных интегральных операторов, ядра которых однородны степени (—п) и инвариантны относительно группы вращений SO(n) (операторы с такими ядрами мы будем называть каноническими), включающей также исследование близких операторов, в частности, с биоднород-ными ядрами. Изучение вышеуказанных классов операторов естественно проводить наряду с исследованием порожденных ими банаховых алгебр, поскольку такие важнейшие характеристики оператора как свойство нете-ровости, обратимость, спектр и некоторые другие, имеют алгебраический характер. В связи с этим нами уделяется большое внимание банаховым алгебрам, в частности, С*-алгебрам, порожденным различными классами многомерных интегральных операторов с однородными и биоднородными ядрами.
Другой причиной, стимулирующей интерес к многомерным интегральным операторам с однородными ядрами, является тесная связь этих операторов с дифференциальными уравнениями в частных производных. Как известно, такие операторы естественным образом возникают, если применять метод потенциалов к эллиптическим дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами в области, содержащей точку х = О, (например, к уравнению Шрёдингера).
Наконец, необходимость изучения интегральных операторов с однородными ядрами диктуется многочисленными приложениями, которые такие
1Karapetiants N., Samko S. Equations with involutive operators. Boston, Basel, Berlin: Birkhauser. 2001. 427 p.
операторы находят в механике (Р. В. Дудучава), в краевых задачах теории аналитических функций (А. П. Солдатов), в теории операторов, коммутирующих с растяжениями (И. Б. Симоненко), при исследовании мультипликативных дискретных сверток (Я. М. Ерусалимский), в дифференциальной геометрии (З.Д. Усманов).
Цель работы. Разработка теории и методов исследования многомерных интегральных операторов с однородными и биоднородными ядрами, действующих в пространствах суммируемых функций. Развитие методов исследования банаховых алгебр, в частности, С*-алгебр, порожденных такими операторами. Получение необходимых и достаточных условий нете-ровости и (или) обратимости операторов из этих алгебр. Развитие теории проекционных методов применительно к интегральным операторам с однородными и биоднородными ядрами и исследование предельного поведения спектральных характеристик усеченных операторов. Модификация методов изучения обратимости и нетеровости для случая интегральных операторов, имеющих ядра более общего вида.
Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты.
-
Проведено полное исследование банаховых алгебр, порожденных каноническими многомерными интегральными операторами с однородными ядрами (в том числе парными операторами), а также С*-алгебры, порожденной операторами с однородными ядрами и операторами мультипликативного сдвига. Для всех этих алгебр построено символическое исчисление, в терминах которого получены необходимые и достаточные условия нетеровости и (или) обратимости операторов и формулы для вычисления индекса нетеровых операторов.
-
Для многомерных интегральных операторов с однородными ядрами и переменными коэффициентами найдены весьма слабые условия на коэффициент, обеспечивающие компактность таких операторов. Получены необходимые и достаточные условия нетеровости (а в некоторых случаях и обратимости) операторов с однородными ядрами и радиальными осциллирующими в нуле и на бесконечности коэффициентами. Исследованы банаховы алгебры, порожденные такими операторами.
-
Разработана теория проекционных методов для канонических инте-
тральных операторов с однородными ядрами, включая парные операторы. Кроме того, исследовано предельное поведение спектров, є-псевдоспектров и сингулярных значений усеченных интегральных операторов.
-
Изучена С*-алгебра, порожденная многомерными интегральными операторами с биоднородными ядрами: для нее построено операторнознач-ное символическое исчисление, в терминах которого получен критерий нетеровости операторов, и установлена топологическая формула для вычисления индекса. Найден критерий применимости проекционного метода к интегральным операторам с биоднородными ядрами, и описано предельное поведение спектральных характеристик усеченных операторов.
-
Получен критерий нетеровости многомерных интегральных операторов с квазиоднородными ядрами, и дана формула для подсчета их индекса. Установлены необходимые и достаточные условия обратимости и нетеровости интегральных операторов с ядрами, имеющими различный характер однородности по разным группам переменных.
Теоретическая и практическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Методы и результаты работы позволяют построить достаточно полную теорию многомерных интегральных операторов с однородными и биоднородными ядрами, инвариантными относительно группы вращений. Методы, разработанные в диссертации, могут быть эффективно применены для изучения других классов интегральных операторов. Полученные в работе результаты можно использовать для изучения различных математических моделей, описываемых уравнениями с однородными, биоднородными и квазиоднородными ядрами.
Методологическая основа исследования. В диссертационной работе широко используются методы функционального анализа, теории банаховых алгебр, в частности, С*-алгебр, и гармонического анализа на сфере. Кроме того, для исследования многомерных интегральных операторов с однородными ядрами применяются специальные методы, разработанные автором.
Аппробация. Результаты диссертации докладывались и обсуждались: на международной конференции «Краевые задачи, специальные функции и дробное исчисление», посвященной памяти Ф. Д. Гахова (Минск, 1996 г.); на международной школе по геометрии и анализу, посвященной
памяти Н. В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2002 г.); на международной конференции «Математическая гидродинамика: модели и методы», посвященной 70-летию В. И. Юдовича (Ростов-на-Дону, 2004 г.); на 3-й и 4-й международных конференциях «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений» (Минск, 2003 и 2006 гг.); на международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященной памяти И. Г. Петровского (Москва, 2007 г.); на XIV и XVI международных конференциях «Математика. Образование. Экономика.» (Новороссийск, 2006 и 2008 гг.); на Воронежской весенней математической школе «Понтрягин-ские чтения — XIX» (Воронеж, 2008 г.); на международной конференции «Современные проблемы математики, механики и их приложений», посвященной 70-летию В. А. Садовничего (Москва, 2009 г.).
С докладами о результатах диссертации автор выступал: на семинаре академика РАН В. А. Ильина в Московском госуниверситете (2008 г.); на семинаре проф. А. П. Солдатова и проф. А. М. Мейрманова в Белгородском госуниверситете (2008 г.); на заседании Ростовского математического общества (2008 г., руководитель — проф. А. В. Абанин), а также многократно на семинарах кафедры дифференциальных и интегральных уравнений Ростовского госуниверситета — Южного федерального университета (руководители — проф. С. Г. Самко, проф. Н. К. Карапетянц, проф. А. И. Задорожный).
Часть исследований по теме диссертации была выполнена при поддержке следующих грантов:
«Методы обращения операторов типа потенциала и функциональные пространства дробной гладкости» (РФФИ, проект 98-01-00261-а);
«Операторы типа потенциала с осциллирующими ядрами или символами, аппроксимативные обратные операторы и функциональные пространства, связанные с ними» (РФФИ, проект 00-01-00046-а);
«Интегральные операторы с каноническими ядрами, сингулярные интегральные операторы на банаховых пространствах и порождаемые ими алгебры» (РФФИ, проект 06-01-00297-а);
«Псевдодифференциальные операторы и их приложения» (Внутренний грант Южного федерального университета, проект К-07-Т-143/8).
Публикации. Все основные результаты данной диссертации опубликованы в работах [1] [22], из которых 19 работ являются публикациями в журналах из официального перечня ВАК РФ по докторским диссертациям. Результаты, выносимые на защиту, получены соискателем самостоятельно. Из совместных работ в диссертацию вошли результаты, полученные лично соискателем, за исключением нескольких утверждений вспомогательного характера, которые включены в работу для полноты изложения и не выносятся на защиту (при этом соответствующие доказательства модифицированы соискателем).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, разбитых на 20 параграфов, и библиографического списка, включающего список использованной литературы и список работ соискателя. Объем работы — 277 страниц машинописного текста. Список использованных источников и список работ соискателя содержат 126 и 22 наименований соответственно.
Похожие диссертации на Развитие теории многомерных интегральных операторов с однородными и биоднородными ядрами
