Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Непрерывное продолжение субголоморфных функций с замкнутых кругов
1.1. Субголоморфные функции и их свойства 10
1.2. Формулировка и доказательство теоремы 1.1 17
1.3. Замечания 22
Глава 2. Ст-продолжение субголоморфных функций с замкнутых жордановых областей
2.1. Формулировка теоремы 2.1 24
2.2. Теорема о сопряженной гармонической функции 28
2.3. Доказательство теоремы 2.1 34
2.4. Примеры и следствия теоремы 2.1 41
Список цитированной литературы 47
- Субголоморфные функции и их свойства
- Формулировка и доказательство теоремы 1.1
- Теорема о сопряженной гармонической функции
- Примеры и следствия теоремы 2.1
Введение к работе
Вначале приведем результат Дж. Вердеры, М.С. Мельникова и П.В. Парамонова, позволяющий понять: какой тип задач рассматривается в диссертации.
Теорема ВМП ([1])- Пусть В — открытый шар в MN. Тогда всякую субгармоническую в шаре В фунщию g Є С1 (В) можно продолжить до субгармонической функции G Є С1{ШМ) с оценкой равномерной нормы ее градиента: ]VG]RJV cV ;g-, где с Є (0,+оо) зависит только от N.
Перейдем к общей постановке задач нашей тематики (см. [2]). Пусть L — однородный эллиптический дифференциальный оператор в M.N в частных производных с постоянными комплексными коэффициентами. Обобщенная функция / называется L-субаналитической на открытом множестве Q С М , если всюду в Q выполняется неравенство Lf 0 в обобщенном смысле. Через L-j-(fi) обозначим класс L-субаналитических на U (обобщенных) функций, причем, если L имеет вещественные коэффициенты, то будем считать, что класс L+(Q) состоит из вещественнозначных обобщенных функций. Так, при L — Д (оператор Лапласа) получаем: L+(fl) = SH(Q) — класс субгармонических функции, а при L = dj&z (оператор Кошн-Рпмана в R2) L+(Q) = Л+(0) — класс субголоморфных функций (последний термин введен в работе автора [Z1]).
При т Є {0,1,... } через ВСт{0) обозначается класс всех комплексно-значных функций /, имеющих непрерывные ограниченные частные производные (по вещественным переменным) в П до порядка т включительно. При нецелых положительных т = [т] + р (где [т] — целая часть т) через BCm(Q) обозначается класс функций / Є BC fO), у которых все частные производные порядка [т] принадлежат замыканию в BLip (Q) пространства C°°(RN)\Q. Нормы [/m,n в пространствах ВСт(П) определяются стандартным образом. Для произвольного т 0 обозначим через C™(fi) класс всех функций / в Q таких, что / Є ВСт(Е) для любого ограниченного открытого множества Е с условием Е С Q. Пространства Cm(Q) стандартным образом наделяются топологиями Фреше. Пусть X — компакт в Мя, через Ст(Х) обозначим класс функций / на X, которые допускают продолжения до функций класса BC™(S&N). Норма /т,х в пространстве Ст(Х) равна mf{F„ w}, где указанный infimum берется по всем возможным продолжениям F € BCm(M.N), F\x — /. Подробные определения всех перечисленных пространств и их норм приведены в §2.1 (главы 2) диссертации.
Задача 1. Каковы условия на компакт X (с внутренностью Х°) в Ш1 и функцию / € L+(X°) ПСт(Х), необходимые и достаточные для существования функции F Є L+(RN) Л Cm(RN) такой, что F\x = / Задача 2. Каковы условия на компакт X в Ж необходимые и достаточные для того, чтобы для всякой функциии / Є L+(X°) П Ст(Х) иа-шлась F Є L+{RN) П Cm{RN) такая, что F\x = f.
Отметим, что задачи 1 и 2 существенно упрощаются, если ограничиться функциями / € L+(U) П Cm(U), где U — зависящая от / окрестность компакта X (см. [3]).
Насколько известно автору, задачи 1 и 2 пока рассматривались только для классов субгармонических функций (см. работы [1], [4], [5] и литературу в них) и для классов субголоморфных функций (см. [Z1] и [Z2]).
В диссертации используются: методы теории обобщенных функций и теории сингулярных интегралов типа Кальдерона-Зигмунда, результаты О Фаррелла, Вердеры, Парамонова по теории Ст-аппрокснмацин голоморфными и гармоническими функциями (где основной является лока-лнзацпонная техника А.Г. Витушкнна), теоремы Уитнн о "внутреннем" описании класса Ст(Х) через полиномы типа Тейлора.
Результаты диссертации докладывались на механико-математическом факультете МГУ на семинарах по комплексному анализу под руковод ством академика РАН А.Г. Витушкина , академика ВШ Е.П. Долженко, профессора П.В. Парамонова. Основные результаты опубликованы в работах [Z1] и [Z2].
Пользуюсь случаем выразить благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н., профессору П.В. Парамонову за постановку задач и постоянное внимание к работе. Также хочу поблагодарить к.ф.-м.н, доцента К.Ю. Федоровского за полезные обсуждения и предоставленные материалы по теме диссертации.
Субголоморфные функции и их свойства
Отметим, что аналог теоремы МП для непрерывных субголоморфных функций пока доказать не удается. Существенная трудность здесь снова возникает в связи с упомянутым выше свойством неинвариантности.
В теореме 5.1 работы [4] указывается широкий класс жордановых областей с С -гладкой границей, для которых утверждение теоремы МП не верно. Предложенная конструкция легко переносится на случай субголоморфных функций, поэтому субголоморфнып аналог теоремы МП также не будет иметь места на указанном классе С -областей.
В начале первой главы (1.1) устанавливается ряд свойств субголоморфных функций, необходимых для дальнейшего изложения. В 1.3 приводится пример, показывающий, что аналог теоремы 1.1 для Ст-продолженин субголоморфных функций из круга не имеет места при т 2.
Основным результатом второй главы диссертации является следующая теорема, в которой получен полный аналог теоремы П. Теорема 2.1. Пусть D - произвольная В-областъ, т Є (0,2). Тогда найдется константа с = c(D m) 0 такая, что для любой функции f Є A+{D)ClCm(D) существует F Є А+(С)ПВСт(С) с условиями F\v = f Основой доказательства этой теоремы является сведение при т Є (0,2) (как оказалось, далеко не простое) задачи о Ст-продолжении субголоморфных функций к задаче Ст+)-прододження субгармонических функций (т.е. сведение к теореме П). В случае нецелых т существенным моментом здесь является локальная непрерывность в пространстве Ст(С) оператора Кальдерона-Зигмунда с ядром \j zl (по мере Лебега в С). Еще одним важным моментом доказательства теоремы 2.1 является третий основной результат диссертации - теорема 2.2 об инвариантности оператора гармонического сопряжения в пространствах Ст (и Lipm) при m 1 на областях Лаврентьева. Напомним, что жорданова область D со спрямляемой границей 3D называется областью Лаврентьева (коротко: Л-областью, a 0D - кривой Лаврентьева, коротко Л-кривой), если найдется такая константа с\ = ci(D) Е [1,+оо), что для любых z\ и z на 0D имеет место оценка 0( 1,) S сі і " 2І, где tdD{zuz 2) минимальная из длин дуг на 0D, соединяющих z\ и ,. Очевидно, что всякая В-область является Л-областью. Обозначим через H{Q) класс (вещественных) гармонических функций на открытом множестве Q. Теорема 2.2. Пусть D является Л-областью, т 1. Тогда найдется константа с = с (D, т) О такая, что для любой и H(D)C\Cm(D) гармонически сопряженная с и функция v в D принадлежит классу Cm(D), причем выполнена оценка \\v\\m-p с\\и\\т- . Доказательство теоремы 2.2 опирается на результаты работ О Фаррелла [6], Дж. Вердеры [7] и П.В. Парамонова [8] о гармонических аппроксимациях в Ст-нормах. Теорема 2.2 представляет собой Ст-аналог (при т 1) на Л-областях классической теоремы Харди-Литтлвуда, которая формулируется следующим образом. Теорема HL ([9]). Пусть В - открытый круг в С, т Є (ОД]; и Є Н{В)Г\Ырт{В). Тогда гармонически сопряженная с и функция v в В (при естественном продолжении на В) принадлежит классу Ырт(В). Как известно, С-аналог (т.е. непрерывный аналог) предыдущей теоремы не верен (даже в круге). В конце 2.2 приводятся результаты о Lipm-инвариантностп оператора гармонического сопряжения при т Є (0,1) в квазидисках (автору не удалось найти в литературе их непосредственных формулировок), вытекающие из результатов относительно недавных работ [10] и [11, Пример А], [12, Введение]. В 2.4 приводятся следствия из теоремы 2.1, которые представляют самостоятельный интерес и могут быть полезными в приложениях. Кроме того, доказывается аналог теоремы 2.1 для классов Ырт и приводится пример отсутствия С3-продолження субголоморфных функций с Л-области с кусочно-гладкой границей. Автору известны примеры отсутствия С"-субголоморфного продолжения с жордановых областей и для т Є (0,1) U (1,2), но они не относятся к числу точных и поэтому не приводятся. В диссертации используются: методы теории обобщенных функций и теории сингулярных интегралов типа Кальдерона-Зигмунда, результаты О Фаррелла, Вердеры, Парамонова по теории Ст-аппрокснмацин голоморфными и гармоническими функциями (где основной является лока-лнзацпонная техника А.Г. Витушкнна), теоремы Уитнн о "внутреннем" описании класса Ст(Х) через полиномы типа Тейлора. Результаты диссертации докладывались на механико-математическом факультете МГУ на семинарах по комплексному анализу под руковод ством академика РАН А.Г. Витушкина , академика ВШ Е.П. Долженко, профессора П.В. Парамонова. Основные результаты опубликованы в работах [Z1] и [Z2]. Пользуюсь случаем выразить благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н., профессору П.В. Парамонову за постановку задач и постоянное внимание к работе. Также хочу поблагодарить к.ф.-м.н, доцента К.Ю. Федоровского за полезные обсуждения и предоставленные материалы по теме диссертации.
Формулировка и доказательство теоремы 1.1
Теорема 1.1. Пусть В — произвольный открытый круг в С и / Є А+{В) П С(В). Тогда для любого г 0 найдется функция F є А+(С) П С (С) такал, что F\B= f и \\F\\ (3 + T-)/F.
Искомая функция F будет построена как равномерный предел последовательности непрерывных функций F„, для каждой из которых выполняется в обобщенном смысле неравенство dFn 0 в С. В доказательстве используются идея отражения и аппрокспмационнын метод А.Г.Внтушкина (см. [I5])j аналогично [1, 5].
Аппроксимационные леммы. Заметим, что леммы 1.3 и 1.4 по зволяют строить субголоморфное продолжение во внешность круга любой ограниченной субголоморфной в этом круге функции. Однако ясно, что как правило построенное таким образом продолжение не обязано быть непрерывным, даже если исходная функция непрерывна. Чтобы добиться непрерывности продолжения, нам потребуются две следующие аппрокси мационные леммы (лемма 1.5 и лемма 1.G). Лемма 1.5. Пусть В = ?(0,1). Для любой функции / Є Л+(В) П С (С) и для любого є О найдутся 5 0 и функция g такие, что ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Воспользуемся локализационной схемой А.Г.Внтушкина. Фиксируем произвольное 6 О, значение которого мы потом определим. Пусть a,j — Sj, где j = j\ + iji и ji,J2 Є Z. Рассмотрим покрытие плоскости кругами Bj = B(a.j,S) и построим для него стандартное разбиение единицы {Bj, pj}, где ipj Є CQ(BJ), 0 fj(z) 1, Пусть Ф( ) = l/wz — фундаментальное решение уравнения Кошн-Римана. Положим fj = Ф Pjdf, так TIT0 dfj — pjdf и, следовательно, /j Є Л+(В). Известно (см. [15, глава П, 3, лемма 1]), что каждая fj непрерывна в С, голоморфна вне Bj , причем /; C2W/(J), где Uf(t) — модуль непрерывности функции / на С, t 0. причем \cj\ c Uf(5)5m (см. [15, глава I, 5, лемма 2]) . Положим J = {j G Z2 ] B(a,j,2S) Л дВ ф 0}. Для каждого j Є J выберем некоторый круг Bj радиуса 5 в В(а/, 55)\В(0,1 + (5) и определим функцию (/j по формуле gj = с]Ф х/, гДе Xj Є С(БД [jxitl V 2 и /хі(-г)(/А(г) = 1. Отметим, что g, Є ЩВ(0,1 +5)), # с4ш/(5) и существует С5 1 такая, что при \z — aj\ c$S 1 - ЗІ) Wl (7 )2 Определим # = f Л- Y jejiOj- fj)- Очевидно, Є C(C). Проверим, что g Є +(B) П %(и$). Для этого введем множество индексов Ji = {j e Z2 Bj П B(0,1 + 25) ф 0}, положим h = / - Y,jejjj- Ясно, что /t Є К(В(0,1 + 5)). Теперь представим g в виде Поскольку при j Ji\J функции fj Є A+(B) П H(Us), получаем, что С помощью метода послойного суммирования (подробнее см. в [15, глава II, 4]), учитывая, что при любом z Є С\В(0,1 — 25) и натуральном п число индексов {j J : \aj — z\ Є [(п — 1)5,п5)} не превосходит су, получим, что (/ — )( )1 с$о;/( 5) при z Є С\ї(0,1 — 25). Выберем 5 из условия c$uif(6) є. Пусть д — функция, полученная описанным выше способом для данного 5. Остается только заметить, что по построению функция {f—g) голоморфна в области В (О,1 — 25), и применение принципа максимума в этой области завершает доказательство леммы 1.5. Введем обозначение Supp/ для носителя (обобщенной) функции /. Лемма 1.6. (Основная) Пусть В = 5(0,1). Для любой функции f А+(В) П С (С) и для любого є Є (0,1) найдется функция F Є А+(С) П С (С) такая, что ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. При Ц/Ц = 0 доказательство очевидно. Будем считать, что \\f\\jj = 1. Применяя лемму 1.5 для данного / при є/З вместо є, найдем соответствующие 5 0, Us и функцию # Є А+(В)ПК(Ї7 )ПС(С). По построению полученная функция g удовлетворяет первым двум требованиям к функции Fe, однако эта функция не обязана быть субголоморфной вне (0,1+5). Поэтому изменим функцию д, применив лемму 1.4 при г = 1 + 5/2. Получим функцию Поскольку ffд.д 1+ 2) 1 + е/3, получили, что G 3 + є, т.е. для G выполнены все требования к функции Fe, кроме непрерывности. Выберем радиально-снмметричную функцию х Є CQ({0,5/4)), х 0, f x{z)dA(z) = 1 и положим Поскольку x радиальна и G голоморфна на (1 — 6) \z\ (1 + /2), мы получаем G(z) = (G x)(z) при 1 И, 1 + /4- Отсюда следует, что Fe непрерывна, причем F5 G. Лемма 1.6 доказана. 1.2.3 Доказательство теоремы 1.1. Будем считать, что В = В(0,1) и Лд = 1 Продолжим /, непререрывно на С с сохранением нормы. Мы получим искомое продолжение F как результат следующего итерационного процесса.
Теорема о сопряженной гармонической функции
Замечание 2.1. Пусть D — квазидиск. Тогда для любой точки а Є 0D и круга В(а,6) существует константа с = c(D) 0 такая, что B(a,S)\D содержит круг радиуса с5.
Напомним, что жорданова область D называется квазидиском, если найдется такая константа со = CQ{D) Є [1,+оо], что для любых z\ и zi на 0D имеет место оценка diam i, z%) CQ\Z\ — z2, где diam B i, ) -— минимальный из диаметров дуг на dD, соединяющих точки z\ и %ч Очевидно, что всякая Л-область является квазндиском.
Согласно теореме 5 главы IV [17] существуют квазиконформные отображения плоскости на себя, переводящие квазидиск D в круг В\ и обратно. Под действием квазиконформного отображения любой круг перейдет в область, содержащую круг соизмеримого радиуса. Поскольку утверждение замечания 2.1 для круга (вместо произвольного квазидиска D) очевидно, то дважды применяя квазиконформные отображения, получаем, что замечание 2.1 верно для квазидиска D.
Теперь по свойству (2.5) леммы 2.2 работы [8] получаем, что (с учетом замечания 2.1) для любого квазидиска D выполнено условие 4 теоремы 6.1 работы [8], которое эквивалентно утверждению, что всякую функцию и Є H{D)C\Cl(D) можно аппроксимировать функциями, гармоническими в окрестности , в норме пространства Cl(D). В заключении 2.1 приведем рассуждение, из которого будет следовать В примере А работы [11] показано, что для любой области D со свойством фш-продолжения (англоязычный термин Lipm-cxtei\t\on domain), функции и Є H{D) П Lipm(D) и дополнительном условии, что гармонически сопряженная к и в D функция v ограничена, функция v Є Lipm{D). Из [18, теорема о квазнокружностн, стр. 94] следует, что любой квазидиск является образом круга при квазиконформном отображении плоскости в себя н, следовательно, на основании [10, стр. 211] является областью со свойством Хф -продолження. Покажем, что требование ограниченности функции v будет также несущественно, если D является квазидиском. Таким образом, будет получено нужное утверждение. Из теоремы 1 и следствия работы [19] вытекает, что прямое и обратное конформные отображения (ф и (р соответственно) квазидиска D на единичный круг В\ будут удовлетворять условию Липшица с некоторыми положительными показателями. Построим по функции w, заданной в D, функцию U(w) = u(ip(w)) в круге В\. Функция U(w) будет удовлетворять условию Липшица в круге В\ (с показателем, меньшим, чем т). По ЯЬ-теореме найдем функцию V(w), гармонически сопряженую к функции U(w) в круге В\, которая будет принадлежать тому же классу Липшица. С помощью обратного конформного отображения находим функцию v(z) = У(ф(г)), которая по следствию работы [19] также будет принадлежать классу Липшица (с еще меньшим показателем). Но отсюда следует, что v ограничена в D. Сформулируем предложение, которое сводит задачу о Ст-продолжешш субголоморфных функций к задаче о Cm+l-продолжении субгармонических функций. Предложение 2.1. Пусть т Є (0,2), D является Л-областъю в С и функция f Є A {D) П Cm(D). Тогда существует (вещественная) функция g SH(D) Л Cm+i(D) такая, что Og = f на D, причем Докажем теорему 2.1 с учетом предложения 2.1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 2.1. Применим предложение 2.1 к функции / и получим вещественную функцию g Є SH(D) П C""+1(.D) такую что dg = f на D, причем sL+ij ci/]m . Далее, к полученной функции д применим теорему П о Ст+1-продолжении субгармонических функций, и найдем функцию G Є Stf (С) Л Ст+1(С) с условием Gfe = дп VGm,c c2\\g\\m+lT). Определим функцию F равенством F = 0G. Очевидно, что Fe А+(С)ПСт(С) причем Выписывая цепочку неравенств FU,C = PGU,C VGmiC с2\\д\\т+1л ciC2\\f\\m , получаем требуемую оценку. Отметим, что в доказательстве самой теоремы II свойство инвариантности субгармоничности при конформной замене координат используется по существу и неоднократно (см. [5], леммы 3.1 и 3.2). Таким образом, согласно предложению 1.1, прямое перенесение этого доказательства на субголоморфный случай не представляется возможным. Пусть сначала m Є (0,1). С помощью теоремы Уитни (см. [16, глава 6, 2.3]) продолжим функцию / до функции (также обозначаемой /) класса Ст(С) С НОСНТелеМ В В И ОЦенКОЙ /т,С с4І/т,и ГДЄ С4 = С (т) 1.
Примеры и следствия теоремы 2.1
Справедлива следующая "локализационная" теорема о Ст-продолжении субголоморфных функций с замкнутых жордановых областей.
Теорема 2.3. Пусть D - жорданова область в С, m Є (0,2) и f Cm{D) f\ A+(D), Предположим, что для любого а Є dD найдутся окрестность Ua точки а в С и функция Fa Є Cm(Ua) П A+(Ua) такие, что Fa = f в D П Ua- Тогда найдется F Є Cm(C) П Л+(С) с условием F = f eD.
Поскольку множество всюду плотно на # , из компактности множества dD следует, что найдутся конечные подмножества Aj = {ai, ,aj} в dD п Ej {ei,- ,ej} в -Б, а также окрестности Uj := С/ - точек aj со следующими свойствами: dD С UJ=iUj ; при каждом j множество f/j и соответствующая ей функция Fj := Faj удовлетворяет условиям теоремы 2.3, причем 7j = $15 П Ї7/ - открытая жорданова дуга; точки aj занумерованы в последовательном порядке на dD (полагаем aj+\ = oi, Uj+i = U\,Fj+\ = i \), окрестности i7j (а также соответствующие дуги jj) пересекаются только попарно (последовательно) и ej Є 7j 7j+i- Круги BJ — В(Ье., \bej — ej\), j — 1, , J, нужны для "разделения" несогласованных в (Uj П ЇТ/+і) \ D функций Fj и
Таким образом, найдется жорданова окрестность 1) множества D такая, что / продолжается до функции Fj Є Cm(Uj) П A+(Qj), где 0/ = 1 ( ---1 ). Применяя теорему 2.1 в достаточно малых U-областях Gj (I j J) таких, что Gj С Qy и Gj U Bi содержит некоторую окрестность точки ej, можно продолжить Fj до Ст-субголоморфнон функции в некоторую окрестность множества Ej. Таким образом, в конечном счете / надлежащим образом продолжается в некоторую окрестность множества D. Для нахождения искомой функции F остается применить теорему 2.1 к полученному продолжению и некоторой достаточно малой В-окрестностп множества D. Отметим, что доказательство этой теоремы аналогично доказательству "локализационной" теоремы для субгармонических функций [5, теорема 4.1] {достаточно функции класса SH всюду заменить на функции класса Л+). Из теоремы 2.3 непосредственно вытекает аналог следствия 4.2 работы [5]. Следствие 2.1. Пусть D - произвольная жорданова область в С, т Є (0,2). Предположим, что для любой точки а Є dD существует круг В(а,га), га 0, такой, что для всякой функции / Є Cm(D)C\A+(D) найдется функция Fa Є Cm(Da) П A+(Da), Da = D U B(a,ra), с условием Fa = f в D. Тогда для любой f Є Cm(D) П A+(D) найдется F Є Cm(C) П Л+(С) с условием F = f в D. Если, кроме того, каждая функция Fa может быть выбрана с оценкой \\Fa\\mjy c(D,a)\\f\\mjj, то указанная выше функция F может быть выбрана с дополнительным условием \\F\\m,c c{D)\\f\\miD . Продолжение меры Коши. Представляет интерес следующая переформулировка теоремы 2.1, которая позволяет продолжать меру Коши a = Of субголоморфной функции / Cm(D) из D в С с сохранением Ст-свойства соответствующего потенциала. Пусть Ф(г) = \j{7tz) — фундаментальное решение для уравнения Коши-Римана. Следствие 2.2. Пусть D является В-областъю, О, - некоторая окрестность множества D и т Є (0,2). Найдется константа с = c(D,Q,m) 0 со следующими свойствами. Пусть и - неотрицательная конечная борелевская мера в D и h - голоморфная функция в D такие, что функция одолжается (из D) до функции класса Cm{D). Тогда найдется неотрицательная конечная борелевская мера о\ в Q \ D такая, что Ф (cr + ffi) Є Ст{С), причем ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть / = Ф оЧ-/г Є A+(D)nCm(D). Отметим, что мера о- есть мера Копій функции / в D, причем, согласно (обобщенной) формуле Грина, имеем: i/ f(z)dz = r(D), 1г J8D так что условие конечности меры а п D необходимо. Продолжим функцию / по теореме 2.1 до функции F. Фиксируем какую-либо функцию р Є CQ(Q) С условием р = 1 на D. Положим F2 = Ф ( pdF). Известно [7], что 0F2 = pdF 0, причем \\F2\\m,c c(miV)\\F\\m,c. Поскольку F - субголоморфна п С, ее мера Коши ft = OF есть неотрицательная локально конечная борелевская мера в С, причем из упомянутой выше формулы Грина следует, что fi(0D) = 0 (см. [Z1, Замечание 1]). Искомая мера а\ имеет вид о \ — р[і — cr. Следствие 2,2 доказано. 2.4.3 О - //"-продолжении субголоморфных функций. Справедливо следствие о і/ т-продолжении, аналогичное теореме 4.4 работы [5]. Теорема 2.4. Пусть D является В-областью, т Є (0,2]. Тогда найдётся константа с — c(D,m) 0 такая, что для любой функции / Є Lipm(D) DA+(D) существует F Є Lipm(C) П i+(C) с условиями \\Пт, : C\\f\\m ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Нетрудно проверить, что справедлив аналог предложения 2.1 для классов Ырт при m Є (0,2], причем доказательство указанного утверждения при т Є (0,2) дословно повторяет доказательство предложения 2.1. При т — 2 доказательство аналогично случаю т = 1. Применение теоремы 4.4 из [5] завершает доказательство теоремы 2.4. 2.4.4 Пример отсутствия С продолжения. В заключение приведем один пример отсутствия С продолжения субголоморфных функций с квазнднеков. Идея этого примера восходит к работе [4, 3].
