Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Предварительные сведения и обозначения 17
1. Функциональные пространства 17
2. Теоремы о голоморфном продолжении, CR-фупкщш . 23
3. Теоремы о плюригармоническом продолжении 26
Глава 2. Производные преобразования Бохнера-Мартинелли 30
1. Производные потенциала простого слоя 30
2. Производные преобразования Бохнера-Мартинелли 32
3. CR-распределешїя и критерий для них 35
4. Теорема о скачке нормальной производной интеграла Бохнера-Мартинелли 40
Глава 3. Плюригармоническое продолжение функций с границы области 46
1. Задача Дирихле для плюригармонических функций 46
2. Задача Неймана 52
3. Описание пространства Наггщ{В) 55
4. Случай шара 57
5. Плюригармоническое продолжение гладких функций 64
Литература
- Теоремы о голоморфном продолжении, CR-фупкщш
- Производные преобразования Бохнера-Мартинелли
- Теорема о скачке нормальной производной интеграла Бохнера-Мартинелли
- Описание пространства Наггщ{В)
Введение к работе
1. Общая характеристика работы
Актуальность темы. В начале XX века открыт один из самых замечательных фактов в многомерном комплексном анализе (Гартогс, 1906; Пуанкаре, 1907) функция, голоморфная на границе области со связным дополнением, голоморфно продолжается внутрь этой области.
С.Бохнер и Е.Севери в 1943 году независимо друг от друге нашли дифференциальные условия голоморфной продолжимости в область гладкой функции, заданной на гладкой связной границе области (см. [26]). Эти условия позже получили название касательных уравнений Коши-Римана, а функции, удовлетворяющие им, назвали CR-фунщиями.
Данное утверждение, называемое сейчас теоремой Гартогса-Бохнера (см. [20, 21]), говорит о том, что для того чтобы функция /, заданная на границе ограниченной области D в Ст (т > 1) со связным дополнением, имела голоморфное продолжение в D необходимо и достаточно, чтобы / была Ой-функцией на D, то есть
JfBu> = 0 (0.1)
для всех внешних дифференциальных форм ш типа (п, п — 2) с коэффициентами класса С в окрестности границы.
Эта теорема доказана для различных классов функций.
Тем не менее эта теорема не снимает вопроса о нахождении других (отличных от (0.1)) условий, которые бы гарантировали голоморфное продолжение функции / в О..
Локальные условия голоморфного продолжения также даются в терминах CR-функций и свойств гиперповерхности, связанных с формой Леви (см. [30], а также [21]). В работах Л.А.Айзенберга и А.М.Кытманова [2, 3] рассмотрена задача о голоморфном продолжении функций с гиперповерхности в фиксированную область. Получены условия такого продолжения в терминах продолжения интеграла Бохнера-Мартинелли и Коши-Фанташгье.
В работах А.М.Кытманова, И.А.Цих [11, 12] рассмотрены вопросы одностороннего голоморфного продолжения (7і?-гшіерфункций в фиксированную область. Для гладких функций аналогичные результаты получены в [10].
Гораздо меньше известно результатов о плюригармоническом продолжении функций. Дифференциальные условия (локальные и глобальные) достаточные для плюригармонического продолжения даны в работах [24, 25, 22, 23, 15], а их обобщения получены В.К.Белошапкой [4]. Интегральные условия плюригармонического продолжения для гладких и непрерывных функций сформулированы Г.Фикерой [27, 28, 29], а доказаны А.Перотти [32]. В работе [33] даны условия разрешимости задачи Неймана для плюригармонических функций, гладких вплоть до границы.
Цель диссертации. Нахождение условий голоморфного продолжения распределений, заданых на гиперповерхностях, в терминах преобразования Бохнера-Мартинелли. Исследование разрешимости задачи Дирихле и Неймана для плюригармонических функций конечного порядка роста вблизи границы области.
Методика исследования. Используются методы теории функций одного и многих комплексных переменных, функционального анализа, геометрии, топологии, уравнений математической физики.
Научная новизна. Все результаты, изложенные в диссертации, являются новыми. Основные результаты диссертации следующие:
даны условия на распределения, заданные на гиперповерхности; эквивалентные касательным условиям Коши-Римана, в терминах преобразования Бохнера-Мартинелли. Как следствие получены условия голоморфного продолжения таких распределений с гиперповерхности в фиксированную область;
даны условия разрешимости задач Дирихле и Неймана для плюригармонических функций, конечного порядка роста вблизи границы области. Как следствие, получены условия разрешимости некоторых типов 9-задачи;
- получены новые дифференциальные условия плюригармониче-
ского продолжения гладких функций с границы области.
Публикации и апробация работы. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [35]-[48], из них в соавторстве [40, 41]. Теоремы 2.1, 2.2 получены в соавторстве. Остальные утверждения, приведенные в диссертации принадлежат лично соискателю.
По материалам диссертации делались доклады на международной конференции "Математические модели и методы их исследования" (Красноярск, 1999, 2001); на V международном семинаре-совещании "Кубатурные формулы и их приложения "(Красноярск, 1999); на IV Сибирском конгрессе ИНПРИМ-2000 (Новосибирск, 2000); на международной конференции по комплексному анализу и дифференциальным уравнениям (Уфа, 2000); на международных научных конференциях "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2001, 2002); на международной конференции по многомерному комплексному анализу (Красноярск, 2002); на международной конференции по геометрическому анализу (Волгоград, 2004); на городском научном семинаре по теории функций в Красноярском госуниверситете (1999-2004).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и 12 параграфов. Список литературы содержит 48 наименований.
2. Содержание диссертации
В первой главе приведены известные определения и результаты, используемые в диссертации.
Во второй главе рассматривается преобразование Бохнера-Мартинелли. Пусть
«к^) = 2(-1)^^14 л dc
— ядро Вохнера-Мартинелли, где
("-2)1
s(C^) = -^-^IC-^-2n
фундаментальное решение уравнения Лапласа вС (п > 1), а d( = dCi Л - Л d(n, d([k] - dCi Л Л dCh~i Л dCfc+1 Л Л dQn Сужение этого ядра на Г имеет вид
= 2n_1«nM(C, 2)dt7, где M(z) = Е ^~Я> ^ = я~ ' і ёга<М-1, / = ^=- I gradpl-1,
fc=l O^h OZk OZk
srad"= (ё--ё)'
da — мера Лебега на Г.
Пусть / Є '{Т). Функцию F = 2п~Чп (fc, М{(, z)) назовем преобразованием Бохнера-Мартинели. Функция F является гармонической в Q вне носителя /.
Вначале ищутся производные потенциала простого слоя с помощью касательных векторных полей
Для этого доказывается следующая лемма. Лемма 2.1 Пусть для z ^ Г
-потенциал простого слоя, где f Є Е'. Тогда дФ
2я-1*" J>mfc(M), 9} - 2n~lin{f, РтМ((, z)),
k=i
2n-4nYJ(L<hk(fp-k),g) - 2n~4n{f,p^M(C,z)),
s=l
Далее доказываются формулы для нахождения производных преобразования Бохнера-Мартинелли.
Теорема 2.1 Производные функции F можно найти по формулам 8F
dzr,
s=l
dF dzm
= _2^V(Lsfc(^JW),3) + 2^4^
-З""1'" E E<L-*(^-/)-5> + 2^-4^(1^-/,psM(C, 2))
s=l
5=1 fc=l
Как следствие даются формулы для нахождения скачка производных преобразования Бохнера-Мартинелли. Следствие 2.1 Пусть f Є С(П±).
+
dF dzm
dF
1 +
dz,
dz, dF
7 jPa^rhsf-
JO a=1
Далее рассматриваются Си-распределения. Пусть fi — jj fis, П5 с
Дн-ь ^s ограничены для всех s, Г5 = Qs Л Г. Для функций Xs таких,
что Xs Є 2>(Г), l = 1 на Га, suppx* С Гй+1, имеем /e = ^/ Є "',
^=2»-1i"((/e)c,Af(C,z)).
Критерий для CR-распределений дает
Теорема 2.2 Для того чтобы f є V(F) являлось CR-распределением, необходимо и достаточно, чтобы
[dFs]Q = [ді^]0 на Г3 для всех 5 — 1,2,...
Голоморфное продолжение распределения / означает, что существует голоморфная функция F в области Q+ конечного порядка роста, обобщенные граничные значения которой на Г совпадают с /.
Теорема 2.5 Распределение / из V{T) — голоморфно продолжается в 0+ тогда и только тогда, когда
[dF3]Q — [ЗДї]о ^aVs для всех $,
и F~ гармонически продолжаются из Q~ в Q$ для всех s.
Таким образом, условия голоморфного продолжения распределений / в фиксированную область молено записать только в терминах преобразования Бохнера-Мартинелли.
Следующим рассматривается вопрос о скачке (9-нормальной производной интеграла Бохнера-Мартинелли. Ответ на него дает теорема
Теорема 2.6 Пусть / Є Lp{dQ)> р ^ 1. Скачок д-нормалъной производной интеграла Бохнера-Мартинелли равен нулю, т.е.
lim f\dnF{z+)-dnF{z-)\pda{z) = Q.
є-^у+О J '
Кроме того, если z Є дСі — точка Лебега функции f, то
lim {BnF{z+) - dnF{z~)) = 0.
Є—+0
»
Теорема обобщает на случай интегрируемых функций теорему Айзенберга-Кытманова о скачке «^-нормальной производной для непрерывных функций.
Как следствие дается условие голоморфного продолжения / с границы области в область.
Следствие 2.4 Пусть f Є 2(сЮ) и F{z) — 0 для точек z ^ Q, тогда интеграл F(z) для точек z Є Q дает голоморфное продолжение f с границы области в саму область.
В третьей главе рассматриваются условия плюригармонического продолжения функций с границы области.
Вначале решается задача Дирихле для плюригармонических функций. Обобщаются результаты Перотти и Фикеры. Решение этой задачи дают следующие две теоремы.
Теорема 3.1 Пусть область D — односвязна (т.е. первая группа гомологии области D тривиальна). Предположим, чтоіі вещественная плюригармоиическая функция конечного порядка роста в D, [U]q ее граничное значение. Тогда ([7]о, ВТ1Н) = О, где Н = А-\- ъВ, А, В — вещественные гармонические функции на замыкании D такие, что 1тдпН = 0 на Г.
Теорема 3.1 в случае плюригармонических функций 7, гладких вплоть до Г, была доказана в Перотти.
Далее решается задача Дирихле для Соболевских пространств.
Теорема 3.2 Пусть 3D принадлежит классу С. Если и Є W^dD), s > 1 действительная функция которая удовлетворяет условию
/ udnHda = 0 (0.2)
для любой комплексной гармонической функции Н Є W^ (D) такой, что ВпН — действительная. Тогда и Ph8+1^2(D).
Теорема 3.3 Пусть D — строго псевдовыпуклая область, если {и,дпЩ = 0, где и Є ViT) и вещественное, а Н любая функция, удовлетворяющая условиям теоремы 3.1, то существует плюригар-моническая функция U конечного порядка роста вблизи Г такая, что [Щ0 = и.
Введем подпространство Harml(D).
НагтІ{В) = {Н Є Harmf(D) : [дпЩ0 действительно на dD}, здесь [c^jyjo означает следующее распределение:
k=i
Pk-Jo
Следующий рассматриваемый вопрос это задача Неймана для плю-ригармонических функций. Ответ дают следующие теоремы.
д dv
Теорема 3.4 Пусть Я^ДЙ) = 0 и 3D є С, ір Є '{dD) — действительное. Тогда существует U Є Harmf(D) такая, что
ГягП
= <р на dD тогда и только тогда} когда
{tp, Нг + ІЩ) = 0,
где Нг, #2 любые такие, что Ні, #2 Є Harm и Н\ + Ш% — действительная.
Далее мы рассмотрим d-задачу для форм типа (0,1) на D с граничными условиями. Пусть / это <9-замкнутая форма типа (0,1) с коэффициентами конечного порядка роста в D и пусть д это действительное распределение на 3D. Мы ищем функцию и непрерывную и конечного порядка роста такую, что ди = / в D и Re и = g на 3D.
Если 3D класса С и D строго-псевдовыпуклая тогда существует оператор Sq : Cqa{D) —» Co3g_i(D) такой, что если df — 0, тогда dSg(f) = /. Если / — конечного порядка роста, то и Sq конечного порядка роста.
Теорема 3.5 Пусть область D это строго -псевдо-выпуклая од-носвязная область с гладкой границей, f ~ форма типа (0,1) в D , с коэффициентами класса Нагт$ {D), a g это действительное распределение на 3D, Тогда существует и — конечного порядка роста такая, что ди = f в D, Кеи = g на 3D тогда и только тогда df — О и для каждой Н Є Harm^'(D)
(g,dnH)^Re(J,*dH)
В следующем параграфе дается описание пространства НаггщСі в терминах преобразования Бохнера-Мартинелли.
Предложение 3.1 Пусть F є Havmf{D), [F]q — граничное значение F. Тогда [дпР]о ~ действительное тогда и только тогда, когда lmMF = lmF в D.
Пусть N это действительный линейный оператор определенный для F Є Harm^(D) таким соотношением
N{F) = Re(F)+ilm(MF).
Следствие 3.1 Нагтй{В) это есть множество Fix(JV) = {F Є Harm* : N(F) = F}
Далее как частный случай рассматривается случай шара. Пусть В = В(0,1) — единичный шар вСс центром в 0, радиуса 1. Сфера S = 5(0,1) — его граница.
Рассмотрим Pk(z) — однородный гармонический многочлен степени к вида
\\a+P\\=k
где a = {<*!,..., «„), /? = (ft,..., А,) — мультииндексы, za = zfl z%n
и 'Ф — мономы, a ||a|j — а.\-\- h &п, \\Р\\ = А + + А*- Тогда
где Psi = Y^, 1С aaj3Zaz^f- -^st — гармонические многочлены, имею-
IWl=e|t9|N шиє степень однородности по z равную s, а по z — і. Они плотны в
Нагт*(С1). Множество таких многочленов обозначим Vs,t
Если PSjt Є Va,t, а Рі>т Є 7\m, то скалярное произведение
(Д,*Лт) = 0, 8ф\>Ьфт. Рассмотрим оператор JVo :
S P*,t + -^P,,t <> 0,
Ps,t, t = 0
Пусть Fix N0 = {f:N0f = f}.
Теорема 3.6 Вещественное распределение [it]о Є Harm^(S) имеет плюригармоническое продолжение в В тогда и только тогда, если оно ортогонально пространствам Vs,t в Нагт^ для любых s > 0, і > 0.
Дадим описание Nof в шаре.
Теорема 3.7 Пусть п > 1, / — гармоническая конечного порядка роста в В, тогда
п я
Ф = flCl-'fiOdlQ.
Перейдем от интегро-дифференциальных условий описания No к дифференциальным.
Теорема 3.8 Пусть F разлагается по гармоническим многочленам F = Y; P$,t- F Є Fix(iVo) тогда и только тогда, когда
B,t
s,t>0 s,t>0
Как следствие дадим условие плюригармонического продолжения распределений.
Следствие 3.2 Пусть и Є '(S) вещественнозначное, U — гармоническое продолжение в В. U — плюригармоническая функция тогда и только тогда, если [дпдпЩо = 0 на S.
Приведем, также, следствие теоремы 3.5 в шаре.
Следствие 3.3 Существует и є С(В) такая, что ди — f в В, Reu = g на S тогда и только тогда df = О и для каждого $Л > 0 и
Ра$ Є H(s,t) выполняется
s,t
я Р . г JL я р
dzk s
s в fc_1 в ^1
dv.
Далее рассматривается плюригармоническое продолжение гладких функций. Приводится такая теорема.
Теорема 3.9 Пусть F Є Harm2(О,) и вещественное. F — плюри-гармоничпа в П тогда и только тогда, если (8F Л *8dF)\r = 0.
Теоремы о голоморфном продолжении, CR-фупкщш
Введем такие обозначения: г д д Ь 1 тогда Lmk — касательное векторное поле. Действительно, т - І - EL- ЁИ_Л др -о s- mkP — Рк л Рт п — Рт д Рт д — " 0(т OCk ОСк OQk Так как по определению {Lmkf, ф) = -{/, Ьткф), то {L-mkfA) = {f Lmk{l)) — 0. Аналогично определим векторные ПОЛЯ д д bfhk — РкТГх Рт Напомним, что Т?(Т) есть комплексное касательное пространство в точке С Є Г, состоящее из касательных векторных полей вида fc=l с условием, что w{p) 0 для всех ( Є Г (см. [9, стр. 133]). Дадим определение СЙ-функций в нескольких эквивалентных формах (см., например, [9, 8, стр.62-63]). Функция / Є jCj0C(r) (т.е. / интегрируема на любом компакте из Г) является СЙ-функцией на Г тогда и только тогда, когда / удовлетворяет касательным условиям Коши-Римана: / /Эу = 0 (1.4) г для всех ц : Т п п 2(р,), п 1, где Dn n 2(l) есть пространство внешних дифференциальных форм степени (n, п — 2) с коэффициентами класса С на П, с компактным носителем. Если функция / Є С1 (Г) удовлетворяет касательным условиям Коши-Римана, то для нее выполняются эквивалентные условия (1.5)-(1.7) 3f Л др = 0 на Г. (1.5) df dp df dp -7i /-, fi\ r"H=- - z- r = 0 на Г для всех j, к = 1,...,п. (1.6) (7 72 0 OZj Пусть Т (Г) — комплексное касательное пространство в точке С Є Г состоит из векторов w (см. (1.3)). Тогда условия (1.6) эквивалентны тому, что (fl=0 (1-7) для любой точки (єГи любого вектора w Т?. Сформулируем теоремы на которые мы будем ссылаться в нашей работе. ТЕОРЕМА 1.1 ([34, 8]). Пусть / Є Harm)\Q), тогда граничным значением f на Г является распределение [/]о. Пусть S Є (Г), определим S(z) = 2n-4nSc{M{(,z)), z V. Если S задается интегрируемой функцией /, то / есть интеграл Бохнера-Мартинели. S(z) есть гармоническая вне Г функция. ТЕОРЕМА 1.2 ([19, 8]). Для любой функции у в Т (Г) lira f[S(z - ev(z)) S{z + ev{z))] p(z)do- S( p) - {S, y), є-ї-fO J г где, как обычно, v{z) есть единичный вектор внешней нормали к поверхности Г; S(с/?) = (3, (р) есть значение функционала S на элементе ip. ЛЕММА 1.1 ([8]). Если S Є (Г), moTvS есть гармоническая функция вне suppS, TVS = (T+S}T S) Є $(Q) и дТ+S ЬУ 9T S] „с J0 где Tv = (/, (?(, )) — потенциал простого слоя. ЛЕММА 1.2 ([8]). Сужение формы d[k] A dC, па 3U равно 2-4-(-1) 1 /1 gradp], а сужение формы d [k] Л dQ на дО. равно 2n 4n(-ir+k-l do-/\ gradpj, 8degradp=(S"-e) oo Пусть Q, = U Па, Q,s С Гїд-)_і, fia ограничены для всех s, Г5 = Q,s О Г. Для функций Xs таких, что (Г), х = 1 на Га, suppx С Г,+і, имеем Л = Xs/ , і?а = 2"-Чп {(Л)0 М(С, г)}. ТЕОРЕМА 1.3 ([2]). Распределение f из Х (Г) голоморфно тгро-должается в 0,+ в том и только в том случае, когда f — CR-распределение и Fs — гармонически продолжаются из 0 в ls для всех s.
В нашей работе потребуется результат отмеченный Г.Фикерой (см. [27, 28, 29]), правда как отметил А.Перотти доказательство этого результата Г.Фикура не опубликовал. Пусть D = О ограниченная односвязная область с границей Г = dD класса С1+\ Л 0. Пусть, как обычно, v — внешняя единичная нормаль к 3D и т = гА. ТЕОРЕМА 1.4. Пусть А, В пара действительных функций класса ( (D), гармонических в D таких, что ЗА дВ_ дт dv на D. Для функции и Є C(dD) существует одна и только одна плю-ригармоническая функция U Є C{D) такая, что U\gD — и тогда и только тогда, когда дА дВ , "lTj = 0 (18) 3D для любой пары А, В. А.Перотти: [32] дал доказательство данного утверждения и прояснил связь между условием (1.8) и 3-нормальной производной. Пусть D — односвязная область в Сп. Л, В — действительные гармонические функции в D класса С1вВиН = А + ъВ. В этом случае условие (1.8) для и CQ(dD) становится таким: fudnHda = 0 (1.9) dD для любой комплексной гармонической функции Н Є Cl(D) такой, что дпН действительная на dD. ТЕОРЕМА 1.5 ([32]). Если dD класса С1, а и Є Ph%D(D)y а О, тогда и удовлетворяет условию (1.9). Если 3D класса С2, а и Є PhuQD{D), тогда и также удовлетворяет условию (1.9). И обратная теорема. ТЕОРЕМА 1.6 ([32]). Пусть dD класса С1+х, Л 0. Если и Є Cl+x(dD) — действительная функция, удовлетворяющая условию (1.9), moBdauePhHx(D). Сформулируем теоремы разрешимости задачи Неймана для плю-ригармонических функций приведенные Перотти в [33]. Пусть D односвязная область с границей класса С1+л, Л 0. ТЕОРЕМА 1.7 ([33]). Пусть HX(D, R) = 0udD класса С1+х. Пусть ц Cx(dD) — действительная функция, где А 0. Тогда существует дії U Є Ph1 (D) такая, что - - р на 3D тогда и только тогда, когда ov J (р{Н1 + Ш2)о1(т = 0 (1.10) dD для любой пары Ні, Н2 Є Натт\{0) такой, что Н\ +гІІ2 — действительная. И еще одна теорема. ТЕОРЕМА 1.8 ([33]). Пусть D строго псевдовыпуклая область с гладкой границей. Пусть f Є CQ D) и пусть g это действительная функция класса Сл, Л 0 на 3D. Функция и Є С1(Л) такая, что Ви = f на D, Rew — g на 3D существует тогда и только тогда, когда df—Qu для любой Н Є Harml(D) выполняется J gdnHda - Re f /Л дН. 3D D Сформулируем теорему о следах. Рассмотрим любую кусочно-гладкую гиперповерхность Г, лежащую в Q (в частности, Г может совпадать с dD = dQ+) и введем оператор сужения Этот оператор продолжается до непрерывного оператора в Соболевских пространствах по следующей теореме. ТЕОРЕМА 1.9 [7]). Пусть гиперповерхность Г либо компактна, либо является частью гиперплоскости. Тогда при s 1/2 оператор j продолжается до непрерывного оператора 7 : Wm - ИГ1/2(Г). Если гиперповерхность Г является гладкой, то это продолжение является эпиморфизмом. Рассмотрим задачу Дирихле для оператора Лапласа Ди( ) =/( ), zu, и\дп = р. Тогда задаче (1.11) сопоставляется оператор Щ{П) -+ Wra(fi) х ИТг/2(Ш), s 1/2, иь- {Ды,иап}, (1.11) (1.12) который является линейным топологическим изоморфизмом (см. [7, стр. 132]). В дальнейшем будем использовать этот результат в случае, когда функция в области равна 0 (т.е. Аи = 0). Так же рассмотрим задачу Неймана для уравнения Пуассона Au(z) f{z), z еО,, ди дп = р. да Ей сопоставляется оператор (1.13) W$(Q) - W-2(fi) х W.T3/2( ), s 3/2, (1.14) ГА 9U on en. который уже не является топологическим изоморфизмом. Его ядро состоит из всех постоянных, а образ состоит из таких пар {/, }, / Є И Г2(«), еЩ /2(П),что см. [7, стр.135]. Далее мы считаем, что / = 0, тогда {f, 1)ь2(Ш) = / pda = 0, 80, т.е. мы рассматриваем задачу Неймана для уравнения Лапласа. Придерживаемся обозначений главы 1. Область 1 С Сп, п 1. Гладкая гиперповерхность Г задается нулями определяющей функции Р ЛЕММА 2.1. Пусть f є {V) и {z)=in2n l{fC)g{C„z)) для zV, —потенциал простого слоя. Тогда OZm k=i f) b , г—. 5д m fc=i ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пользуясь тождеством J2 phpi = 1 по опреде fc=l лению g{C,yZ) получаем = 2 (/,,) = -2 (/,1
Производные преобразования Бохнера-Мартинелли
Для / Є (Г) обозначим через F(z) преобразование Бохнера-Мартинелли: обозначениях предыдущего параграфа имеем утверждение, ЛЕММА 2.2. Пусть f Є S (T). Производные функции F можно найти по формулам . Докажем, например, первую формулу. Вторая формула доказывается аналогично. Получаем S — Аналогично имеем Из лемм 2.2 ж 2.1 получаем теорему: ТЕОРЕМА 2.1. Вели Г Є С2, то производные функции F можно найти по формулам ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем, например, формулу (2.5). Действительно, по лемме 2.2 Тогда, по (2.1) из леммы 2.1 подставляем и получаем Далее дадим следствие из теоремы 2.1 о скачке граничных значений пр еобразования Бохнера-Мартинелли. СЛЕДСТВИЕ 2.1. Пусть f є (№). + г L"2mJo s=1 dF dzm dF dzm dFl — 2_ i Ps&msf dF dz-n 7 j psLmsf m-J0 s=i (2.7) (2.8) Эти утверждения следуют из теоремы 2.1 данной работы, теоремы 1.2 и леммы 1.1. . (7Л-распределения и критерий для них Пусть Т ?(Г) комплексное касательное пространство в точке Г. Рассмотрим векторное поле Сопряженное поле jim есть комплексное касательное векторное поле, так как Видно, что при таком разложении в некоторых определителях будут получаться пропорциональные столбцы вида pspj и pspk, где s = 1,..., п, a, j,k фиксированные. Тогда эти определители будут равны нулю. Поэтому получим: Поскольку gradp ф 0 на Г, ранг рассматриваемой матрицы равен п — 1. Действительно, если вычеркнуть из нее 5-й столбец и s-ю строчку, то приведенными выше преобразованиями, получим, что ее определитель равен: п D Напомним, что / є V(V)} Г Є С есть CR-распределение, если {Lkfhfi Ч ) = {/, Ькт р) = 0 для всех fc, т = 1,..., п и для всех tp Є (Г). Из леммы 2.3 вытекает ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.1. Распределение f Є V T) является CR-распределением тогда и только тогда, когда Пусть Q = (J Г35, Ов С Os+1, Qs ограничены для всех s, Ts = Cls ПГ. Для функций х таких, что х Є (Г), X = 1 на Гй, suppxs С Гй+Ь имеем Л = xsf Є Г, = 2"-! " (/,)Cl М{С g)). Критерий для CR-распределений дает ТЕОРЕМА 2.2. Для того чтобы f є 2У(Г) являлось CR-распределением, необходимо и достаточно, чтобы ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Необходимость. Пусть fs — CR-распределение на Га, тогда fj,mfs = /im/ г = 0. Поэтому из (2.9) вытекает Следовательно выполняется (2.10). Достаточность. При выполнении (2.10) имеем umf3 — pbmf jr = 0 для всех m = 1,.. .,ГІ. Поэтому согласно следствию 2.1 /s — CR-распределение на Vs. Следовательно, / — CR-распределение на Г. Теорема 2,2 показывает, что для СД-распределения / Є V (T) про 6Fa изводные —г— являются функциями, гармоническими во всей области OZm П3) поскольку носитель L kfa лежит в Г \ Ts.
Поэтому теорему 2.2 можно сформулировать в усиленном варианте. ТЕОРЕМА 2.3. Для того чтобы f Є V(T) являлось CR-распределением, необходимо и достаточно, чтобы дифференциальные формы FS имели гармонические коэффициенты в Q,3 для всех s. Обозначим через Со (Г) подкласс из С(Г) функций, которые ограничены на Г вместе со всеми производными. Тогда С 0(Г) — пространство распределений на CQ(V). СЛЕДСТВИЕ 2.2. Распределение f из С (Г) будет CR-распределением на Г тогда и только товда, когда [dF]Q [dF \„ на Г. Приведем одно из приложений теорем 2.2, 2.3. В работе [2] доказано утверждение ТЕОРЕМА 2.4 ([2]). Распределение / из ТУ (Г) голоморфно продолжается в 1+ в том и только в том случае, когда f — CR-распределение и Fa — гармонически продолжаются из 0, в Os для всех s. Голоморфное продолжение распределения / означает, что существует голоморфная функция F в области 0,+ конечного порядка роста, обобщенные граничные значения которой на Г совпадают с /. ТЕОРЕМА 2.5. Распределение f из Х (Г) — голоморфно продолжается в 0+ тогда и только тогда, когда и F гармонически продолжаются из Qj в ls для, всех s. СЛЕДСТВИЕ 2.3. Распределение f из 6 (Г) голоморфно продолжается в Q+ в том и только в том случае, когда [dF]Q =[ ]0 и F гармонически продолжается из Q в Q. Таким образом, условия голоморфного продолжения распределений / в фиксированную область можно записать только в терминах преобразования Бохнера-Мартинелли. Пусть Q — ограниченная область в Си, вида Q — {z : p(z) 0}. A dQ {z : p(z) 0} — ее граница. Гиперповерхность dQ Є С2, т.е. р Є С2 (С71) и dp ф 0 на Г, р — вещественнозначная функция. Функцию р можно выбрать так, что grad р\ = 1/2 в окрестности границы области (см. [8, гл. 1]). Возьмем точки 2і на нормали к dQ в точке z Є dQ и \z± — z\ = є 0, тогда известно (см. [8, гл. 1]), что Как известно (см. [8, гл. 1]) сужение ядра Бохнера-Мартинели на границу области имеет вид (см. также главу 1) где rfcr — мера Лебега на dQ. ТЕОРЕМА 2.6. Пусть / Є 1 (90), р 1. Скачок В-нормальной производной интеграла Бохнера-Мартинелли равен нулю, т.е. Кроме того, если z Є dQ — точка Лебега функции f, то lim {BnF(z+) dnF(z-)) = 0. Теорема обобщает на случай интегрируемых функций теорему Айзенберга-Кытманова (см. [8, гл. 1]) о скачке 9-нормальной производной для непрерывных функций.
Теорема о скачке нормальной производной интеграла Бохнера-Мартинелли
Достаточность. При выполнении (2.10) имеем umf3 — pbmf jr = 0 для всех m = 1,.. .,ГІ. Поэтому согласно следствию 2.1 /s — CR-распределение на Vs. Следовательно, / — CR-распределение на Г. Теорема 2,2 показывает, что для СД-распределения / Є V (T) про 6Fa изводные —г— являются функциями, гармоническими во всей области OZm П3) поскольку носитель L kfa лежит в Г \ Ts. Поэтому теорему 2.2 можно сформулировать в усиленном варианте. ТЕОРЕМА 2.3. Для того чтобы f Є V(T) являлось CR-распределением, необходимо и достаточно, чтобы дифференциальные формы FS имели гармонические коэффициенты в Q,3 для всех s. Обозначим через Со (Г) подкласс из С(Г) функций, которые ограничены на Г вместе со всеми производными. Тогда С 0(Г) — пространство распределений на CQ(V). СЛЕДСТВИЕ 2.2. Распределение f из С (Г) будет CR-распределением на Г тогда и только товда, когда [dF]Q [dF \„ на Г. Приведем одно из приложений теорем 2.2, 2.3. В работе [2] доказано утверждение ТЕОРЕМА 2.4 ([2]). Распределение / из ТУ (Г) голоморфно продолжается в 1+ в том и только в том случае, когда f — CR-распределение и Fa — гармонически продолжаются из 0, в Os для всех s. Голоморфное продолжение распределения / означает, что существует голоморфная функция F в области 0,+ конечного порядка роста, обобщенные граничные значения которой на Г совпадают с /. ТЕОРЕМА 2.5. Распределение f из Х (Г) — голоморфно продолжается в 0+ тогда и только тогда, когда и F гармонически продолжаются из Qj в ls для, всех s. СЛЕДСТВИЕ 2.3. Распределение f из 6 (Г) голоморфно продолжается в Q+ в том и только в том случае, когда [dF]Q =[ ]0 и F гармонически продолжается из Q в Q. Таким образом, условия голоморфного продолжения распределений / в фиксированную область можно записать только в терминах преобразования Бохнера-Мартинелли. Пусть Q — ограниченная область в Си, вида Q — {z : p(z) 0}. A dQ {z : p(z) 0} — ее граница. Гиперповерхность dQ Є С2, т.е. р Є С2 (С71) и dp ф 0 на Г, р — вещественнозначная функция. Функцию р можно выбрать так, что grad р\ = 1/2 в окрестности границы области (см. [8, гл. 1]). Возьмем точки 2і на нормали к dQ в точке z Є dQ и \z± — z\ = є 0, тогда известно (см. [8, гл. 1]), что Как известно (см. [8, гл. 1]) сужение ядра Бохнера-Мартинели на границу области имеет вид (см. также главу 1) где rfcr — мера Лебега на dQ. ТЕОРЕМА 2.6. Пусть / Є 1 (90), р 1. Скачок В-нормальной производной интеграла Бохнера-Мартинелли равен нулю, т.е. Кроме того, если z Є dQ — точка Лебега функции f, то lim {BnF(z+) dnF(z-)) = 0. Теорема обобщает на случай интегрируемых функций теорему Айзенберга-Кытманова (см. [8, гл. 1]) о скачке 9-нормальной производной для непрерывных функций. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим интегралы осі 90, поскольку по формуле Бохнера-Мартинелли, и, следовательно, стр 58]) для интеграла получаем Рассмотрим внутренний интеграл в этой формуле по множеству дІЇ П В((,г), где Б(, г) = {z : г -- г — шар с центром в точке С и радиуса г 0. Сделаем унитарное преобразование и сдвиг: точку ( переведем в точку 0, а плоскость Т касательную к дП в точке С, — в плоскость Т — {-ш Є Cn : lmwn = 0}. Граница ЇЮ в окрестности 0 будет задаваться системой уравнений: z\ — wi, ..., 2n_i = «Jn._i, zn = un + г(р(го), точка го = (wi,..., гип_і, «„) Є Т. Функция p{w) — класса С2 в окрестности W нуля, a z± = (О,..., 0, ±zj/„) Зафиксируем г 0. Возьмем в плоскости Т шар Л с центром в нуле и выберем а 0 так, чтобы: Где hi, ft-2 равномерно ограничены в шаре BQ лежащем в W. Рассмотрим внутренний интеграл по дО, Г\ В(,г) в последнем выражении, используя равенство (1.2): на плоскости Т(. f і {et r а интеграл да стремится к нулю при є — +0 при фиксированном t в силу непрерывности в среднем для интегрируемых функций.
Поэтому где 7 = i"g(f) в шаре {t : є (і) г} и / ,(ч = 0 вне этого шара. В последнем интеграле можно перейти к пределу под знаком интеграла при є — -4-0 в силу теоремы Лебега об ограниченной сходимости. Для h в (2.13) получаем аналогичные оценки [8, стр. 45 - 46], а значит и данный интеграл стремится к нулю. В интеграле можно перейти к пределу под знаком интеграла. Действительно, так как — z\ г, то \С, — z±\ j — z\ — \z — z±jj r — є r/2 при достаточно малом є. Поэтому разность может быть сделана как угодно малой, а интеграл является ограниченным. Кроме того, данные оценки показывают, что интеграл до, является ограниченным некоторой константой, не зависящей от є. Доказательство последнего равенства в теореме идет также, как доказательство соответствующего равенства в теореме 3.1 из [8]. п СЛЕДСТВИЕ 2.4. Пусть f є 2(dQ,) и F(z) = 0 для точек z фй, тогда интеграл F(z) для точек z Є Q дает голоморфное продолжение / с границы области в саму область. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим интеграл j F{z+)-dnF{z+)da(z). да. Данный интеграл стремится к нулю при є — 0 по теореме 1 и по теореме о скачке интеграла Бохнера-Мартинелли для интегрируемых функций (см. [8, гл. 1]). Поэтому функция F{z) — голоморфна в О. А ее граничное значение (в смысле пространства C2(dQ) совпадает с /. ЛЕММА 3.1. Если f гармоническая функция в D конечного порядка роста вблизи Г, то свойство конечного порядка роста сохраняется при дифференцировании и интегрировании. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1. Интегрирование. Пусть z Є Г. Будем считать, что z = О, a v{zQ) (1,0,...,0). Так как Г Є С, то существует шар B{z, г), что Г является графиком функции Re i — х\ — ft(Im i, 22,..., zn). Так как / — конечного порядка роста, то для некоторых констант С 0, т 0. Рассмотрим a Функция ф подбирается так, чтобы F была гармонической функцией (см. [8]).
Описание пространства Наггщ{В)
Дадим описание пространства Нагіщ (D) в терминах преобразования Бохнера-Мартинелли. предложение 3.1. Пусть F Harm {D)} [F]Q — граничное значение F. Тогда [BnF]Q — действительное тогда и только тогда, когда ImMF lmF eD. доказательство. Необходимость. По формуле Грина где g((,z) = С — z\2 2n — фундаментальное решение урав нения Лапласа. Если 1т[ 9„,Р]о = 0, тогда Достаточность. Пусть lm MF = IrnF, тогда Im.{[dnF]Q, g(Q, z)) = 0, отсюда Так как по теореме КелдЬІШа-Ла„ева дроби вида \z-C\2n 2 - плотны в С(Г) см. [13], то lm[dnF]0 = 0 на Г. То есть [dnF}0 действительное на Г. Пусть N это действительный линейный оператор определенный для F Є Harmf(D) таким соотношением следствие 3.1. Harml(D) это есть множество Fix(TV) — {F є Harm? : N{F) - F} 4. Пусть В В(0,1) — единичный шар вС"с центром в 0, радиуса 1. Сфера S — 5(0,1) — его граница. Рассмотрим Pk{z) — однородный гармонический многочлен степени к вида a+/?=ft где a = (oti,..., ап), /3 — (/Зі,..., /Зп) — мультииндексы, г01 = ,zf 2"71 и — мономы, a ЦскЦ = ai Н Ь cen, )j/3j = /?i + f- /?„. Тогда где Psi = 5Z 12 aa z x - Ps,t — гармонические многочлены, имею IMI=e/9N щие степень однородности по z равную s, а до z — t. Они плотны в Нагт?(0,). Множество таких многочленов обозначим VSlt Если PSjt Є Vs,t, а Рі т Є Ті,т, то скалярное произведение (Ps,u Pi,m) = 0; $ Ф I, t ф т. Действительно, поскольку dC\k] A dQ\s — (-l)fc-12,1-1«nCbd(7) а дф] A d(\s - (-1) - 1 то Кроме того, форма Y, - {-l)n+k ld([k]Ad( замкнута в силу гар-моничности P3j. Отсюда и из формулы Стоке а s Рассмотрим оператор NQ / + - 0, Пусть Fix JVb = {/: JVb/=/} Романов в своей работе (см. [14]) показал, что оператор Бохнера-Мартинелли в шаре выглядит таким образом; для любых PSjt Є 7\ . предложение 3-2. lim Nk = NQ в слабом смысле в Harmed. доказательство. Предположим, что MF = XF, MF = (Л?. Пусть a = (A + )/2, /3 = (А — / )/2. Проведя простые преобразования увидим, что ЛГ ( ) = Re F + гА Im где А = 1, \& = аЛ -1) + /?. Если Н 1, \[к) стремится к при А; - со. Полагая .F = Psi, 1 — а получаем = ——-, откуда следует, что Nk(Ps,t) -ї NQ(Ps t) для 1 — a s + i любых s, і D Отсюда следует, что Fix(7V0) = Harml(B) Это позволяет обобщить теорему Нагеля-Рудина (см. [31]) теорема 3.6. Вещественное распределение [и]о Є Harm (S) имеет, плюригармоническое продолэюение в В тогда и только тогда, если оно ортогонально пространствам TS]t в Harrof для любых $ 0, 0.
Доказательство. МЫ покажем, что условие из теоремы 3.1 эквивалентно условиям данной теоремы. Если [и] о удовлетворяет условию теоремы 3.1, мы можем взять Н — A/o(Psi) и получим, что и ортогонально Re(P ) для любых s,t 0. Если мы возьмем iPs i вместо PStt мы получим, что [и]о ортогонально lm.(PSjt) для любых s, t 0. То есть получим, что и ортогонально VB,t- Обратно, из ортогональности [U]Q dnNo(Psj) для любых s,t 0 следует, что [и]о ортогонально дпН на S для любых Я = NQ(H) Є Fix(iVo). Из того, что Fix(JV0) = Harml(B) получаем, что это условие совпадает с условием теоремы 3.1. Из теорем 3.1, 3.3 получаем необходимость. Дадим другое описание N f в шаре. П Перейдем от интегро-дифференциальных условий описания iV0 К дифференциальным. теорема 3.8. Пусть F разлагается по гармоническим многочленам F = 2Ps,t- F Є Fix(yV0) тогда и только тогда, когда s,t доказательство. Рассмотрим дифференциальный оператор применим его к обеим частям равенства 3.3 из условий предыдущей теоремы. Получим следствие 3.2. Пусть и Є {S) вещественнозначное, U — гармоническое продолжение в В. U — плюригармоническая функция тогда и только тогда, если [dndnU]a = О на S. доказательство. Пусть и имеет плюригармоническое продолжение; тогда по теореме 3.6 {[U]ot Ps,t) = 0 для любых s, t 0. Тогда отсюда, Получаем [дпдпЩо = 0 на Я. Обратно. Пусть [ 9n 3u/]o на S. Тогда Далее то есть, Аналогично получаем a Если расписать полученные в предыдущей теореме условия, полу чим Приведем, также, следствие теоремы 3.5 в шаре. СЛЕДСТВИЕ 3.3. Существует и є С(В) такая, что ди = f в В, Re и g на S тогда и только тогда df — 0 и для каждого $, і О и Psj H{S)t) выполняется С О Л—"J- D —-Ь теорема 3.9, Пусть F Harrn2(D) и вещественная. Функция F — плюригармонична в D тогда и только тогда, когда (dFA ddF)\T = 0. доказательство. Покажем, что форма 8dF — 5-й 3-замкнута. Имеем
