Введение к работе
ведение
L. Актуальность темы
15 начале XX вена открыт один из самых замечательных фактов в мно-іерном комплексном анализе (Гартогс. 1906: Пуанкаре. 1907) функция, оморфнан на границе области со связным дополнением, голоморфно про-іжяетсн внутрь этой обласні.
С.Бохнер и К.Северн в 194.4 году независимо друг от друге нашли диф->енииальные условия голоморфноП продолжимости в область гладкой икцпм. заданной на гладкой связной границе области. Эти условия поз-
получилп название касательных уравнений Коши-Рнмана, а функции, тлетворяющие им. назвали С'R-функциями.
Данное утверждение, называемое сейчас теоремой Гартогса-Бохнера, іорнт о том. что для того чтобы функция /, заданная на границе ограни-іной области П в С" (т > 1) со связным дополнением, имела голоморф- продолжение в П необходимо и достаточно, чтобы / была СЯ-функцией Q, то есть
jfdio = o (і)
і всех внешних дифференциальных форм типа (п, п — 2) с коэффициен-
1Н класса С в окрестности границы.
Эта теорема доказана для различных классов функций.
Тем не менее эта теорема не снимает вопроса о нахождении других
личных от (1)) условий, которые бы гарантировали голоморфное про-
іжение функции / в П.
Так в работах Л.Л.Айзенберга, Л.М.Лронова, А.М.Кытманова,
5.Романова, Г.Фолланда. Дж.Кона был исследован вопрос о функци-
представнмых в области Q интегралом Бохнера-Мартинелли. Ими та доказана голоморфность таких функций различных классов глад-:ти (несмотря на не голоморфность ядра Бохнера-Мартинелли). Эти
утверждения можно формулировать в терминах ортогональности якцни ядрам Бохнера-Мартинелли. Поэтому данные теоремы служат ібщениями теоремы Гартогса-Бохнера.
Так в работе Г.Фолланда и Дж.Кона (1975) было дано утверждение. Бивалентное представимости функции класса C^(Q) интегралом Бохнс Мартпнел.іи. В работе А.М.Аропова. А.М.Нытманова (1975) рассмотрс функции класса C1(Q). У Л.А.Айзенберга, А.М.Нытманова (1978) неп рывные функции, а у А.В.Романова — интегрируемые (1978).
В работах А.М.Кытманона. II.А.Них рассмотрены вопросы одностор него голомо])фного продолжения С/{-гиперфункций и фііксіі|)оианнуіо ласть (1995-1997).
В работах Е.Л.Стаута (1995). Ж.-И.Росен и Е.Л.Стаута (1999) изу ны граничные значении решений дифференциальных уравнений. Зі и і ничные значении являются гиперфункциями, если на граничное поиедеї решений не накладывается дополнительных условий.
1.2. Цель диссертации
Исследование голоморфности функций, представимых интегралы ми формулами с неголоморфными ядрами (Бохнера-Мартинелли, Ког Фантапье определенного вида), граничные значении этих голоморфы функций являются гиперфункциями или распределениями.
Обобщение теоремы Гартогса-Бохнера на гиперфункции и распреде ния, ортогональные ядрам интегральных представлений при интегриро нии по целой границе области.
1.3. Методика исследования
Используются методы теории функций одного и многих комплекси переменных, функционального анализа, геометрии, топологии, уравнен математической физики.
1.4- Научная новизна
Все результаты, изложенные в диссертации, являются новыми. Осш ные результаты диссертации следующие:
показано, что гармонические функции (не имеющие ограничений порядок роста вблизи границы ограниченной области), представимыс этой области Q интегралом Бохнера-Мартинелли, голоморфны в этой ( ласти;
дано обобщение теоремы Гартогса-Бохнера на случай гиперфункциг
аспределениП, ортогональных ядрам Бохнера-Мартинелли при интегриро-
ании по границе области; _
- показано, что решениями однородной 3-задачн Неймана являются
олько голоморфные функции;
- дан критерий голоморфного продолжения функций и распределений в
Я в терминах аналога задачи с косой производной.
.5. Публикации и апробация работы
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-7], из них
соавторстве [1-2]. Теоремы 2.1, 4.1 получены в соавторстве. Остальные
тверждения, приведенные в диссертации принадлежат лично соискателю.
По материалам диссертации делались доклады на международной кон-іеренции "Математические модели и методы их исследования" (Красно-рск, 1999); на V Международном семинаре-совещании "Кубатурные фор-іульї и их приложения" (Красноярск, 1999); на IV Сибирском конгрессе ІНПРИМ-2000 (Новосибирск, 2000).
1.6. Структура и объем работы
