Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Подготовительные результаты 27
1.1 Псевдометрические пространства 27
1.2 Лоренцевы искривленные произведения 35
1.3 Уравнение максимальных поверхностей 45
Глава II. Продолжение функций при ограничениях на градиент 66
2.1 Продолжение липшицевых функций в псевдометрических пространствах 66
2.2 Финслерова метрика 76
2.3 Сравнение с евклидовой границей 89
Глава III. Изотропные гиперповерхности и минимальные продолжения липшицевых функций 102
102
3.1 Изотропные поверхности в искривленных лоренцевых произведениях
3.2 Существование и единственность изотропного продолжения 104
3.3 Множество единственности и изотропные поверхности 107
Глава IV. Решения с особенностями уравнения максимальных поверхностей 111
4.1 Постановка задачи 111
4.2 Поведение двумерных максимальных поверностей на бесконечности 114
4.3 Теоремы единственности 117
4.4 Существование максимальных поверхностей с заданным вектором потока 124
Глава V. Существование решений с особенностями уравнения поверхностей заданной средней кривизны в пространстве Минковского 1129
5.1 Постановка задачи 130
5.2 Множество 0((p,A) 132
5.2 Граничные точки можества 0((р, Л) 135
5.3 Предварительные утверждения 138
5.4 Единственность и устойчивость 141
5.5 Гомеоморфность отображения \i 149
5.6 Основная теорема 152
Глава VI. Асимптотическое поведение решений уравнения поверхностей заданной средней кривизны 160
6.1 Оценки скорости стабилизации ограниченных решений 160
6.2 Поведение решений на бесконечности 170 Список литературы 171
- Лоренцевы искривленные произведения
- Существование и единственность изотропного продолжения
- Существование максимальных поверхностей с заданным вектором потока
- Единственность и устойчивость
Введение к работе
А. Общая характеристика работы.,
Диссертационная работа выполнена в русле геометрического анализа — активно развивающегося в последние десятилетия направления, включающего в себя, в частности, ряд крупных проблем анализа на многообразиях. Основным объектом исследования в работе являются псевдометрические пространства и функции, экстремальные для функционала площади в пространстве Минковского. Круг рассматриваемых задач связан с проблемой продолжения функций с ограничением на градиент и приложениями полученных результатов к проблемам качественного анализа экстремалей функционала площади.
Актуальность темы. Задачи, относящиеся к вопросам существования и единственности, устойчивости и асимптотического поведения, геометрического и топологического строения минимальных поверхностей и максимальных поверхностей в пространстве Минковского рассматривались в работах многих отечественных и зарубежных математиков: Ю.А. Аминова, Р. Бартника, С.Н. Бернштейна, Э. Джусти, А.О. Иванова, В.А. Клячина, В,М. Миклюкова, И.С.С. Ниче, Р. Ос-сермана, Ю.Г. Решетника, И.Х. Сабитова, Л. Саймона, В.Г. Ткачева, А.А. Тужилина, Р. Финна, А.Т. Фоменко, С. Ченга, Е.М. Чирки, Е.В. Шикина, С. Яу и др.
Исследование решений ряда нелинейных уравнений с частными производными приводит к изучению функций с различного рода условиями на градиент. Например, для многих вариационных задач и краевых задач для квазилинейных уравнений с частными производными ключевой является задача описания класса допустимых функций. Так, задача Дирихле для уравнения максимальных поверхностей в пространстве
Минковского div(^=ZL==)=0 (0.1) приводит к исследованию задачи о продолжении граничной функции <р : дії -) R до функции / : О —> R, график которой является пространственно подобной поверхностью в пространстве Минковского (см. работы Ф. Флаерти [52], Р. Бартника и Л. Саймона [41]), что равносильно требованию |V/(a;)[ < 1.
Подобная же задача возникает при исследовании вопросов существования решений с особенностями уравнения максимальных поверхностей, как в ограниченных, так и в неограниченных областях. Стоит также сказать, что даже частичное решение задачи о существовании пространственно подобных продолжений позволило исследовать вопросы устранения особенностей решений уравнения максимальных поверхностей в произвольных областях (см. работу В.М. Миклюкова [29]).
Еще одним примером является уравнение газовой динамики (см. [24, с. 314]). Интересно, что возникающие при этом ограничения на градиент интерпретируются как дозвуковое и сверхзвуковое течение газа.
Отметим, что с точки зрения вариационных задач для описания множества допустимых функций для функционала площади j^l~\Vf{x)\*dx достаточно ограничиться изучением локально липшицевых функций. В этом случае требование пространственно подобности можно заменить условием esssup |V/(x)| < 1 для любого компакта К С П.
В случае выпуклых областей Q С Rn решение данной проблемы непосредственно следует из классической теоремы Кирсбрауна о продол- жении липшицевых функций (см. теорему 2.10.43 в книге Г. Федерера [39] и новейшие результаты в работах В.А. Милмана [58], [59]).
С другой стороны, многие работы посвящены изучению решений уравнения AooU = 0 и их связям с функциями, имеющими постоянный по модулю градиент. В свою очередь, такие функции описываются в терминах минимальных и абсолютно минимальных липшицевых продолжений. Задачам, связанным с минимальными липшицевыми продолжениями, посвящены работы Г. Аронсона [40], Р. Иенсена [54], М.Г. Крандолла, Л.С. Эван-са, Р.Ф, Гарипи [50], П. Юутинена [55] и др. Геометрически условие равенства единице модуля градиента функции означает изотропность ее графика в пространстве Минковского. До настоящего времени задача существования изотропных поверхностей с заданным краем не была исследована.
Большой интерес представляют поверхности нулевой средней кривизны в пространстве Минковского, имеющие особые точки. Это обусловлено тем, что решения уравнения максимальных поверхностей допускают наличие изолированных особенностей. Сказанное мотивирует изучение вопросов существования, единственности таких решений и их поведение в окрестности особых точек.
Строение решений уравнения максимальных поверхностей в окрестности конечной особой точки и асимптотические свойства максимальных трубок и лент достаточно полно изучены в работах В.М. Мик-лкжова и В.А. Клячина [18], [19], [20], [26]. В этих работах было дано разложение решения в окрестности особенности в степенной ряд, доказаны теоремы типа Фрагмена-Линделефа для гауссова отображения максимальной поверхности, получен аналог теоремы И.С.С. Ниче [31] о единственности решения для уравнения типа максимальных поверхностей. Следует также отметить результаты О. Кобаяси [56], К. Экера [51], В.А. Клячина и В.М. Миклюкова [18], [30] о световом характере изолированных особенностей. Исследование задачи Дирихле для этого уравнения было начато в работах Ф. Флаерти [52], Р. Бартника и Л. Саймона [41]. Позже вопросы существования и единственности решений с особенностями уравнения (0.1) в ограниченных и неограниченных областях рассматривались в работах А.А. Клячина и В.М. Миклюкова [10], [11].
Среди работ, посвященных изучению целых решений уравнения максимальных поверхностей следует отметить, в первую очередь, работы Е. Калаби [45], С, Ченга и С. Яу [46] . Ими было установлено, в частности, что графиком решения уравнения (0.1), определенного всюду в R", является гиперплоскость (аналог теоремы С.Н. Бернштейна [1] для уравнения минимальных поверхностей). Решения с одной изолированной особенностью изучались О. Кобаяси [56] и К. Экера [51]. Ими было показано, что графиком решения уравнения максимальных поверхностей, определенного всюду за исключением одной точки является поверхностью вращения в R" вокруг некоторой времени подобной прямой. Однако, более общая задача описания множества решений уравнения (0.1) с несколькими особенностями оставалась не исследованной. Главной трудностью при решении данной задачи было отыскание геометрических характеристик решения, посредством которых такое решение определялось бы однозначно.
Поверхности заданной средней кривизны в пространстве Минков-ского обладают также рядом отличительных свойств. В первую очередь нужно отметить, что множество целых решений данного уравнения, определенных в Rn, не исчерпывается поверхностями вращения.
Вопросам существования таких решений посвящены работы X. Чоя и А. Трайбергса [47], [48], [49], [62]. Ими так же исследовалась задача определения конформного типа двумерных поверхностей заданной средней кривизны. Наиболее полно признаки параболичности и гиперболичности типа таких поверхностей были изучены В.М. Миклюковым в работе [28].
Определяющую роль при исследовании многих глобальных свойств решений уравнения поверхностей заданной средней кривизны играют теоремы существования и единственности решений задачи Дирихле для данного уравнения, полученные в работах Р. Бартника и Л. Саймона [41], [42], [43]. Однако остались незатронутыми вопросы разрешимости задачи Дирихле с особенностями и вопросы асимптотического поведения поверхности в зависимости от поведения средней кривизны поверхности на бесконечности.
Целью нашей работы является исследование пространственно подобных графиков функций, являющихся экстремалями функционала площади в пространстве Минковского. В связи с этим, нас будут интересовать вопросы относящиеся к проблемам продолжения функций при ограничениях на градиент.
Методика исследований базируется на теоретико-функциональных подходах и изучении поведения липшицевых функций в псевдометрических пространствах.
Научная новизна и практическая значимость. В настоящей работе получила дальнейшее развитие техника использования методов теории функций и математического анализа в совокупности с методами теории квазилинейных уравнений эллиптического типа для исследования вопросов существования продолжения функций с ограничениями на градиент. Дано применение полученных результатов для описания условий разрешимости и единственности различного рода краевых задач для уравнения максимальных поверхностей.
Опираясь на указанные методы, автором получены следующие результаты.
Найдены необходимые и достаточные условия существования функций с заданными граничными значениями при определенных ограничениях на градиент. Даны условия продолжимости липшицевых функций в метрическом и псевдометрическом пространствах.
Выявлены функциональные условия существования пространственно подобных гиперповерхностей с заданным краем в лоренце-вых искривленных произведениях.
Указаны геометрические характеристики особенностей решений уравнения максимальных поверхностей и в терминах этих характеристик описаны все такие решения.
Описаны условия на граничную функцию, обеспечивающие существование и единственность решения уравнения заданной средней кривизны.
Получены оценки асимпотического поведения на бесконечности поверхностей ненулевой средней кривизны в пространстве Минков-ского.
Структура диссертации. Диссертация содержит 179 страниц и состоит из введения, шести глав и библиографического списка.
Апробация диссертации. Основные результаты диссертации докладывались на всероссийских и международных конференциях: " Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования" (Москва, 1998 г.), международной конференции - школы по геометрии и анализу (Новосибирск, 2002 г.), международной конференции "Колмогоров и современная математика" (Москва, 2003 г.), 11-ой зимней школы "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов, январь 2002 г.). На семинарах: Московского государственного университета (руководитель - академик А.Т. Фоменко), Института математики им. В.А.Стеклова (руководитель - академик А.А. Гончар), Институт математики СО РАН (руководитель - академик Ю.Г. Решетняк). А так же на семинарах и конференциях Волгоградского государственного университета и Волгоградской области.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [5], [7] - [17].
Охарактеризуем кратко содержание и основные результаты работы.
В главе I вводятся основные определения и доказывается ряд вспомогательных утверждений.
Лоренцевы искривленные произведения
Пусть М — риманово многообразие класса С2 с метрикой #, и пусть 5(т) 0 — С2-функция на М. Пусть Н — пространство Минковско-го с метрикой h. Следуя [3, 2.6, с. 58-59], искривленным лоренцевым произведением W = MxsH будем называть многообразие, оснащенное лоренцевой метрикой р, определяемой по правилу где р Є W, 7г и 17 естественные проекции на М и Н, соответственно, и и, г/ TP( V). Из вида метрики ясно, что касательные пространства Тф М и Тф-jH ортогональны. Вектор и Tp(W) называется пространственно подобным, если (?(u,u) 0. В вырожденном случае, когда д(и и) = 0, вектор и называется изотропным (ИЛИ световъш). Рассмотрим искривленное лоренцево произведение W вида Mx R, где R — вещественная прямая с метрикой — dt2. Предположим, что гиперповерхность F в W = М x jR есть график некоторой функции f(rn), О1-гладкой в области П С М. Гиперповерхность F называется пространственно подобной, если любой ее касательный вектор пространственно подобен. Если в каждой точке гиперповерхности ортогональный к ней вектор является изотропным, то гиперповерхность называется изотропной. Выпишем условия, при которых поверхность F пространственно подобна (изотропна). Фиксируем точку т Є М и ортонормированный базис {»}"=1 в ТтМ. Пусть ?о R — некоторый вектор, для которого д(Еъ,Ео) = —1. При этом мы будем предполагать, что EQ выбран таким образом, чтобы набор векторов EQ, і?ь » Еп был ориентирован так же, как и W. Поверхность F пространственно подобна тогда и только тогда, когда для всякого набора чисел {&}"=1 выполнено где ХІ = Е\ + VK.(/J?O) и V — связность в многообразии М. Ясно, что ХІ принадлежиит касательному пространству TVF в каждой точке р Є F. Действительно, зафиксируем точку р — (m,t) Є F. Пусть 7(s) С М произвольная гладкая кривая, удовлетворяю щая условиям 7(0) = m, 7(0) = Дї- Мы имеем для кривой j (s) (7(s))/(7(s))) С F и. 7 (0) = Р Тем самым, для произвольной непрерывно дифференцируемой функции h : F -» R выполнено 4 A(7W,/(7W))ko - VjaA + VEohVEJ = Xih as и, следовательно, вектор Xj является касательным к поверхности J 1. Соотношение (1.10) эквивалентно системе Вычислим определители. Мы имеем Таким образом, график F функции t = /(m) пространственно подобен тогда и только тогда, когда Такие же рассуждения приводят к условию изотропности:
Положим где точная нижняя грань берется по всем дугам 7 С О, соединяющим точки mi, т2 Є ft и ds — элемент дуги 7 в метрике д. Положим Обозначим через QT пополнение области Q по метрике г. Для произвольных двух точек mi,m2 Є 2Г положим Г(тьт2) = {т Є Пг : rn(mi,m2) = т п(тьтп) +rfi(m, m2)}. Будем рассматривать поверхности, заданные в виде графика локально липшицевой функции f(m). В этом случае, поверхность F назовем пространственно подобной, если для любого компакта U С 2. Частным случаем искривленных лоренцевых произведений является пространство-время Минковского R"+1, то есть (п-J-l)- мерное вещественное псевдоевклидово пространство с метрикой сигнатуры (1,п), Пусть X = (»#) Є R"+1. Для произвольной пары векторов %? = {t\x ) и Х" = {t",x") из R?+1 символом обозначим их скалярное произведение, а символом — скалярный квадрат длины вектора х Є Ri+1. Ненулевой вектор х Є R"+1 называется пространственно подобным, свето подобным или времени подобным в зависимости от того, будет ли \х\2 0, х2 = 0 или х2 0. Совокупность световых векторов с началом в точке хо Є R?+l образует световой конус. Символами С+(хо) и С (хо) будем обозначать его верхнюю и нижнюю полости соответственно. Гиперповерхность F в R"+1 называется пространственно подобной, если любой ее касательный вектор пространственно подобен. Если F
Существование и единственность изотропного продолжения
Мы используем минимальные Липшице вы продолжения для описания условий существования изотропной поверхности с заданным краем. Положим где объединение берется по всем точкам ті,п%2 Є dQP таким, что Прежде всего? несложно убедиться в том, что неравенство (3.4) эквивалентно условию Следующая теорема является основным результатом настоящей главы. Теорема 3.1 Пусть М x,f R — искривленное лоренцево произведение. Предположим, что множество dQr компактно в метрике г& и (р : дІЇг — R. Тогда для существования функции f(m) Є Сг{и) с изотропным графиком F eMxjR такой, что f\scir — 9 необходимо и достаточно, чтобы выполнялись включение Q С Iv и условие для всех mi,m2 Є dVtr. Доказательство. Докажем достаточность. Рассмотрим верхнее и нижнее продолжения f{m) и /(т) функции р Ясно, что f(m) /(яг) при m fir и f(m) = /(m) = p{m) при m Є 9)r. Покажем, что на самом деле / = /, Действительно, рассмотрим произвольную точку m,Q fi. Так как шо Е П и U С /у», то существуют точки ті, тг Є сШГ, для которых ограничивая общности будем предполагать, что Тогда, по определению /, имеемС другой стороны, используя, что тщ Є Г(ті, m2), из равенства (3,5) и неравенства (3.6), получаем /(т0) у(ті) -гй(ті,то) = (т2) + rfi(m1}m2) -rfi(mbmo) = Следовательно, /(mo) = /(mo). Докажем теперь, что функция / Є С1(ЄІ). Заметим сначала, что из равенства / / следует, что для любого геодезического шара Дй(гао) СС Г2, в силу равенств (1.13) и (1.14), справедливы равенства Пусть mo Є П. Используя лемму 1.3, выберем R 0 настолько малым, что функция rn(mi,m) Є C fDjjfmo)) по переменной m для любой фиксированной точки ті Є сШд(то). В силу компактности сШд(то) найдутся точки mi,m2 Є сШд(то), для которых выполняются равенства Положим v(rn) — /(mi)-f-rfi(mi,7n) и v{m) =/(m2) — т п(т2 т) В силу определения функций /, / для всех т Є Атг(то), имеем Поскольку V(TTIO) = v(mo), а функции v,v Є C1(DR(mo})} получаем, что функция / дифференцируема в точке тло- При этом, из леммы 1.4 следует равенство Покажем непрерывность V/ в точке то. Предположим противное. Тогда найдется последовательность тк — то точек шара Пд(то), для которой V/(mfc) не сходится к V/(mo).
Обозначим через m rn такие точки границы 6\Е д(то), что что из доказанного выше следует равенство Используя компактность сШд(т71о), можно выделить подпоследовательности mі1 —У m -L и т2 — т2, сходящиеся к некоторым точкам т , т2 dDjt(mo). В силу непрерывности функции /, получаем Тем самым, выполняется равенство V/(mo) — г т т т то и, следовательно, Приходим к противоречию с нашим предположением и, поэтому, функция /(т) есть искомое продолжение. Для доказательства необходимости достаточно заметить, что во-первых условие (3.3), с очевидностью, выполняется, а во-вторых, из тождества 5l 2V/ = 1 следует, что для любой точки т$ Є Q, найдутся такие точки ті,тз Є dQr, в которых выполняются соотношения Для нахождения этих точек необходимо рассмотреть решение j(s) С fi уравнения 7 = V/(7), для которого выполнено 7(0) = т. Пусть [si, 52] -максимальный отрезок, на котором определено данное решение. Тогда точки j(si) и 7() являются искомыми. Следовательно, yj(mi) p(mi}\ = rn(mum0) + гп(т2,тпо) rn(mi,m2), то есть mo Є і . Теорема доказана. произвольной липшицевой функции р : дС1т — R выполнено Доказательство. Прежде всего отметим, что можно считать постоянную Lip( , дС1г) = 1. Пусть mo Є І П ft. Тогда так же как и при доказательстве теоремы 3.1 устанавливаем, что /(то) = /(то), то есть то Є Щ. Предположим теперь, что то Є U p. В силу компактности dQT найдутся точки ті, 7П2 c?ftr, для которых Теорема 3.3 Пусть МхД — искривленное лоренцево произведение, где многообразие М и функция S принадлежат классу С2. Пусть Q С М — подобласть с компактной в метрике (3.1) границей dQr и пусть р : дС1Г 4 R — липшицева в метрике г& функция. Предположим, что для множества единственности функции р выполнено Uv — П. Пусть / = /]л = 71п- Тогда f Є Cl(Q) и величина 5 (m)\Vf(m)\ постоянна в Q, причем
Существование максимальных поверхностей с заданным вектором потока
Доказательство. Так как при лоренцевых преобразованиях условие (4.13) сохраняется, то подбирая такое лоренцево преобразование, при котором вектор Q перейдет в вектор вида (0,..., О, q). Поставленная задача существования сводится, таким образом, к следующей задаче: доказать, что найдется решение /(аг) Є C2(R" \ К) Л CQ(Rn) уравнения (1.11) такое, что Пусть п 2. Покажем, что для любого с Є R существует /(я), удовлетворяющая уравнению (1.11) в Ип \К такое, что Действительно, пусть /л - решение в BR \ К уравнения (1.11), для которого выполнено /ц\к = р и /дІ5д = с- Такое решение найдется при достаточно больших Л (свойство III). Далее, положим где А выбраны так, что w±(R) с и /+ = maxtp(x), / = mintp(x). it А Тогда в силу принципа сравнения, получаем неравенства Очевидно, что при R -$ оо постоянные А стремятся к некоторым конечным значениям А . При этом С другой стороны, можно найти такую последовательность Rk — со, что fnk(x) равномерно сходятся к некоторой функции /(ж) на каждом компактном множестве. В силу ограниченности последовательности {/д(.} и свойства II, функция f(x) удовлетворяет уравнению (1-11) в R" \ К. Ясно, что /\к = р. При этом, из неравенств (4.14) и равенства (4.15) следует, что lim f(x) = с. Пусть п = 2. Зафиксируем произвольное А. Рассмотрим, как и выше, такое решение /д уравнения (1.11), определенное в BR \ К, что $R\SR — Фг(А, Л) и /&\к = Р- Положим где А выбраны так, что гу і?) = Фг(А, І?). Применяя те же рассуждения, что и выше, мы прийдем к тому, что найдется такое решение / уравнения (1.11), определенное в Rn \ К, что f]K — (р и существует Таким образом мы показали, что для любого числа с найдется решение fc(x) уравнения максимальных поверхностей, для которого /с]к = Р и Определим функцию fi{c) равенством /z(c) = fifc(K). Из утверждения 4.1 следует, что при с\ ф c i выполнено ц(сі) ф м(сг) Лемма 1.7 дает непрерывность этой, а значит и обратной к ней, функции. Тогда область значений функции р(с) есть некоторый непустой интервал /.
При п = 2 из замечания 4.2 следует, что р(с) = 27гс, то есть / = R. Покажем, что и при п 2 это справедливо. Рассмотрим решение /с в R" \ К уравнения (1.11) такое, что Будем предполагать, что с /+. Обозначим через #о точку множества К в которой у достигает значения /+. Рассмотрим такое , что /+ t с. Положим Обозначим через (ж) решение в А \{х$) уравнения (1.11), удовлетворяющее условиям Ясно, что gt(x) /+ при х К. Тогда, применяя принцип сравнения, получаем Из полученного неравенства, в частности, следует, что v - вектор внешней единичной нормали к Et} то С другой стороны можно выделить последовательность ijfc — с такую, что последовательность gtk равномерно на каждом компакте сходится к некоторой функции д. Так как д (при п 2) ограничена, то из свойства II следует, что д удовлетворяет уравнению (1.11) при х ф яг0- При этом из неравенства (4.16) находим, что lim д(х) = с. Таким образом из утверждения 4.2 получаем где А выбрано из условия lim Ф„(А, \х — х$\) = с. Прямые вычисления jx-+oo дают, что jJ g(K) = tr„_iA, где сг„_і - (n — 1)-мерная площадь единичной сферы Si-Поэтому из леммы 1.7 приходим к равенству lim pig = сг„_іА. Тогда из неравенства (4.17) получаем оценку где А = Фп(с) - функция, обратная к функции с = Ф(А,+оо). Аналогично для с f получаем неравенство Из полученных неравенств мы приходим к соотношениям Следовательно I = R, Теорема доказана. Отметим, что в ограниченных областях и неограниченных областях специального вида (например параболического типа) теоремы существования и единственности были получены в работах А,А. Клячина и В.М. Миклюкова [10], [11]. 128
Функция t — f{x) класса С2 является решением уравнения заданной средней кривизны в области Q С R" если [V/(a;)[ 1 и где H(X)t,p) — заданная С1 функция в R" X R X Rn. Будем пред полагать, что функция Н ограничена и неубывает по переменной . В данном разделе мы рассматриваем проблему существования решения уравнения (5.1) в области П с конечным числом изолированных осо бенностей Л = {ai,a2,.",eijv}. Именно, предположим, что функция (р непрерывна на сЮ, ир= (мьМ2) )##) фиксированный набор чисел. Рассмотрим задачу существования решения t = f(x) в области Q \ А, удовлетворяющего условиям где C\(a,i) достаточно малые (n — 1)-мерные циклы в области Q охватывающие точки о, и C\{a,i) -» а; при Л — 0. При естественных предположениях на функцию (fi мы покажем существование постоянной Мп — Мп((р,А) такой, что поставленная задача однозначно разрешима при // Мп. Так же докажем, что М% всегда равна +оо, и дадим оценки снизу для величин Мп когда п 2. При этом устанавливаем непрерывную зависимость решения от параметра fi.
Единственность и устойчивость
В данном параграфе мы доказываем единственность решения задачи (5.2) и непрерывную зависимость от параметра у,. Отметим, что имеет место принцип сравнения, который является следствием общего утверждения (см. [4] Теорема 10.7, с. 248—250). Лемма 5.4 Пусть /і(ее) и /2 (я) решения уравнения (5.1) с функцией H(x,t,p) = H(x,t), Щ 0и fuh Є C2{U)DC{U). Тогда При исследовании вопросов единственности и устойчивости решений задачи (5.2) важную роль играет следующее утверждение. Предложение 5.1 Предположим, что п Є 0((р, Л) и пусть /jt(а;),/,,(ее) произвольные С2—функции с пространственно подобными графиками при жЄІІ\Л, удовлетворяющие условиям / = и / {л = V Тогда для любой функции h(x) Є CQ(&) выполняется равенство Доказательство. Пусть Выберем числа Рі,р2, чрлг 0 так, чтобы шары BPh{ak) содержатся в области Q и не пересекались друг с другом. Из формулы Гаусса— Остроградского следует Эти равенства очевидны в случае, когда граница сШ кусочно-гладкая, а функции и fq имеют градиент, по модулю отделенный от 1 в окрестности д1. В общем случае поступаем так же с множеством и переходим к пределу при є — 0. Следовательно для некоторого числа M 0. Поэтому, предыдущее равенство может быть переписано в следующем виде Как и при доказательстве теоремы 2.2 в [26] для максимальных трубок, докажем Достаточно рассмотреть случай, когда а являются существенно особыми точками функции Д. Обозначим через і?т связную компоненту множества {х Є 2 : Д(#) = т}» отделяющая точку сц от границы 912. По лемме 1.12 для функции Д(ж) выполнено Поэтому множество Д. непусто и содержится в Вр(аь) для г достаточно близких к Д(о ). Пусть jff(r) подобласть Q с границей -Б(г) С дН{т). Имеем Из доказанного предложения следует весьма интересное равенство, содержащееся в следующем утверждении. Предложение 5.2 Предположим, что Є Q{y ,A) и пусть Д произвольная С2— функции с пространственно подобным графиком, удовлетворяющая условию ДЦ = Тогда для любой функции h{x) Є Cl(Q) с h[dii — 0 выполнено Равенство (5.21) можно интерпретировать следующим образом. Если функция / удовлетворяет, например, уравнению максимальных поверхностей в области Q \ Л, то она является обобщенным решением уравнения (5.1) с правой частью где S(x — сц) функция Дирака, сосредоточенная в точке а . В качестве следствия приведем соответствующую оценку для реше ний уравнения максимальных поверхностей. Предложение 5.3 Предположим, что ,7) Є 0((р,Л) и пусть f {x), Д(ж) произвольные решения уравнения ма модулю отделенный от 1 в окрестности д1. В общем случае поступаем так же с множеством и переходим к пределу при є — 0. Следовательно для некоторого числа M 0. Поэтому, предыдущее равенство может быть переписано в следующем виде Как и при доказательстве теоремы 2.2 в [26] для максимальных трубок, докажем Достаточно рассмотреть случай, когда а являются существенно особыми точками функции Д. Обозначим через і?т связную компоненту множества {х Є 2 : Д(#) = т}» отделяющая точку сц от границы 912. По лемме 1.12 для функции Д(ж) выполнено Поэтому множество Д. непусто и содержится в Вр(аь) для г достаточно близких к Д(о ). Пусть jff(r) подобласть Q с границей -Б(г) С дН{т).
Имеем Из доказанного предложения следует весьма интересное равенство, содержащееся в следующем утверждении. Предложение 5.2 Предположим, что Є Q{y ,A) и пусть Д произвольная С2— функции с пространственно подобным графиком, удовлетворяющая условию ДЦ = Тогда для любой функции h{x) Є Cl(Q) с h[dii — 0 выполнено Равенство (5.21) можно интерпретировать следующим образом. Если функция / удовлетворяет, например, уравнению максимальных поверхностей в области Q \ Л, то она является обобщенным решением уравнения (5.1) с правой частью где S(x — сц) функция Дирака, сосредоточенная в точке а . В качестве следствия приведем соответствующую оценку для реше ний уравнения максимальных поверхностей. Предложение 5.3 Предположим, что ,7) Є 0((р,Л) и пусть f {x), Д(ж) произвольные решения уравнения ксимальных поверхностей в О, \ Л, удовлетворяющие условиям / = и ДЫ = V- Тогда справедливо равенство Единственность и устойчивость содержатся в следующем утверж дении. Следствие 5.1 Предположим, что функция Д"(ж,і,р) не зависит от переменной р, то есть H(x,t,p) = H(x,t), и Щ(х,Ь) 0. Тогда р п и С(п,р) — постоянная в неравенстве Соболева. и Доказательство. Чтобы доказать неравенство (5.23) воспользуем ся (5.22) с h = fi — frf Неравенство (5.24) следует из (5.23), неравенства Соболева (1.16), оценки У(Д — Д) 2 и цепочки неравенств В случае общего вида правой части уравнения (5.1) теорема единственности так же следует из предложения 5.1. Следствие 5.2 Предположим, что заданы два решения Д, Д уравнения (5.1) в области$1\А, удовлетворяющие условию (5.13) uHft(xft,p) 0. Если /І/ДЛ) = Pf4{A), то Д = Д. Доказательство. Обозначим через ги = Д — Д. Предположим, что гУо = зир- удги 0. Для произвольных , 0 гио рассмотрим функцию v = тах(ш — ,0). Используя (5.22) с h = v7 мы получаем
Похожие диссертации на Проблема продолжения функций при ограничениях на градиент
