Содержание к диссертации
Введение
1 Линейные пучки 20
1.1 Норма на X, порожденная линейным пучком 20
1.2 -умножение 24
1.3 Функциональное исчисление для линейного пучка 32
1.4 Экспоненциальные функции линейного пучка 34
1.5 Представление решения уравнения 1-го порядка 40
2 Квадратичные пучки 56
2.1 Ш-умножение 57
2.2 Функциональное исчисление для квадратичного пучка 67
2.3 Экспоненциальные функции квадратичного пучка 71
2.4 Представление решения уравнения 2-го порядка 80
2.5 Квадратичный пучок с F = 0 85
А Приложение: Классическая спектральная теория 92
А.1 Банаховы алгебры 93
А.2 Псевдорезольвенты 102
А.З Функциональное исчисление для псевдорезольвенты 114
Литература 125
- Функциональное исчисление для линейного пучка
- Представление решения уравнения 1-го порядка
- Экспоненциальные функции квадратичного пучка
- Квадратичный пучок с F = 0
Введение к работе
Актуальность темы. Линейные дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно старшей производной, первого
Fx{t) - Gx{t) = f{t) (1)
и второго порядка
Ex{t) + Fx{t) + Hx{t) = f{t) (2)
с постоянными операторными коэффициентами Е, F, G и Н возникают в механике, в теории линейных электрических цепей и ряде других приложений. Здесь Е: F, G и Н — линейные ограниченные операторы, действующие из банахова пространства X в банахово пространство Y. При этом важным для приложений и нетривиальным является не только случай бесконечномерных пространств X и У, но и конечномерных пространств X и Y большой размерности.
Если старшие коэффициенты F и Е являются обратимыми операторами, уравнения можно умножить на обратные к ним и тем самым привести к нормальному виду. Но даже при наличии такой возможности преобразование уравнений к нормальному виду не всегда оправдано, поскольку операторы F и Е могут иметь особый физический смысл (например, в теории линейных электрических цепей они могут описывать соответственно сопротивления, емкости конденсаторов или индуктивности катушек, входящих в цепь) и иметь особую структуру (например, быть самосопряженными, иметь специальный вид как, например, коэффициент J = (і "о1) в каноническом уравнении Jx = Нх или задаваться разреженными матрицами). Сведение уравнений (1) и (2) с необратимыми коэффициентами F и Е к уравнениям в нормальной форме сопряжено и с очевидными математическими проблемами. Тем самым целесообразно иметь независимую теорию уравнений (1) и (2).
Свойства уравнений (1) и (2) естественно описывать в терминах операторных пучков, соответственно, линейных
X^XF-G, А Є С,
и квадратичных
А ^ А2 + AF + Я, А Є С,
а точнее — в терминах поведения резольвент пучков
Rx = (XF - G)-\ Rx = {Х2Е + AF + Я)"1.
Резольвенты пучков порождают отображения
^{f) = ^-jf{\){\F-G)-ld\
= Ы
f{\){\2E + \F + H)-ld\
ставящие в соответствие аналитическим функциям / операторы. В частности, при построении решений уравнений (1) и (2) возникают операторы (p(expt) и ip(expt), порождаемые семейством функций ехрг(А) = expXt.
Целью работы является изучение алгебраических свойств отображений ср и гр и их применение к исследованию свойств резольвент пучков и построению решений дифференциальных уравнений.
Методика исследования. Основным средством решения поставленных задач являются язык и методы теории банаховых алгебр. Используются также методы теории функций комплексного переменного, обобщенные функции и общие методы линейного функционального анализа.
Ключевым моментом исследования является нахождение алгебраических операций, сохраняемых отображениями (р и гр.
Научная новизна. Основными результатами диссертации являются следующие:
>Ґ Определены специальные алгебраические операции ( и ), порождаемые линейным и квадратичным пучками. Выделены банаховы алгебры, в которых эти операции играют роль операций умножения.
>Ґ Построены функциональные исчисления (ср и Т), которые произведение функций переводят в рассматриваемые произведения (0 и И) операторов.
у/ Получены разложения резольвент пучков в степенные ряды и в сумму элементарных дробей, основанные на введенных операциях умножения.
у/ Выведены представления для операторов сдвига и импульсных характеристик дифференциальных уравнений, основанные на полученных разложениях резольвент.
у/ Получены формулы, выражающие решения дифференциальных уравнений через операторы сдвига и импульсные характеристики в случае, когда бесконечность является полюсом резольвенты пучка.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации имеют в основном теоретическую ценность. Они могут быть использованы для аналитического и приближенного решения дифференциальных уравнений (1) и (2).
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Воронежских зимних математических школах С.Г. Крейна 2008 [2] и 2010 [3], на конференциях КРОМШ-2008, КРОМШ-2009 и КРОМШ-2010 [7], на семинарах А.Г. Баскакова, А.И. Перова и Б.Н. Садовского, а также на научных сессиях В ГУ.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в [1, 3, 5, 6]. Работы [1, 3] опубликованы в изданиях, включенных в список ВАК.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, приложения и списка литературы, включающего 98 наименований. Общий объем диссертации составляет 133 страницы, из них приложение — 33 страницы.
Функциональное исчисление для линейного пучка
При этом расширенное сингулярное множество псевдорезольвенты По і2(.) в алгебре ПоВ( с) (Y, X) совпадает с сто, а (расширенное) сингулярное множество псевдорезольвенты Пі Д(.) в алгебре Пі 0 B(j?(j)(Y, X) совпадает с 7\ = ё\ \ {оо} (совпадает с а\).
Предположим, что сю — изолированная точка расширенного спектра. Обозначим через сто обычный (конечный) спектр cr(F, G) пучка, а через и\ — множество, состоящее из бесконечно удаленной точки. Рассуждая как в замечании А.3.21, видим, что проектор По из теоремы 1.3.4 и проектор П из предложения 1.2.7 — одно и то же. Кроме того, элемент А из предложения 1.2.7 совпадает с элементом AQ, порождающим псевдорезольвенту По 0 Щ.) в алгебре По 0 1${F,G) (У X) в соответствии с предложением А.2.4, а элемент N совпадает с элементом N, порождающим псевдорезольвенту HiQR в алгебре ПІ0В(ІГС)(У, X) в соответствии со следствием А.2.20.
ЗАМЕЧАНИЕ 1.3.5. Впервые вариант теоремы 1.3.4 был доказан [96]. В последствии его варианты публиковались в [3, 4, 20, 21, 55, 59, 86].
ЗАМЕЧАНИЕ 1.3.6. Отметим два других подхода к построению функционального исчисления, порожденного операторным пучком. В [59, 60] теорема о функциональном исчислении используется неявно. Отмечается справедливость .F-тождества Гильберта (предложение 1.2.1) и из него выводится, что левая и правая резольвенты Лд = (AF — G) 1F и і?д = F(XF — G) x удовлетворяют обычному тождеству Гильберта. После этого ряд операторов, связанных с дифференциальными уравнениями, определяется с помощью интегралов Рисса, содержащих эти резольвенты (по сути конструкция, соответствующая левой резольвенте, описывается ниже в предложении 1.4.3; аналогичным образом из наших построений можно получить и функциональное исчисление, соответствующее правой резольвенте). В [83, 84, 3, 4] дифференциальное уравнение Fx(t) — Gx(t) = f(t) умножается на обратный к F, который в общем случае оказывается многозначным оператором или линейным отношением. Получается уравнение с линейным отношением А = F 1G. Далее строится спектральная теория линейных отношений и применяется к исследованию дифференциальных уравнений. В виде явной формулировки функциональное исчисление для линейных отношений имеется в [3, 4]. Тем не менее, уже в [83] имеется теорема об отображении спектра для полиномиальных функций; для произвольной аналитической / теорема об отображении спектра доказана в [3, 4].
Введем в рассмотрение семейство экспоненциальных функций ехр (А) = exp At, t ЄШ. Зафиксируем пучок А і-»- AF—G, (обычный) спектр которого ограничен и тем самым бесконечность либо не принадлежит расширенному спектру пучка, либо является в нем изолированной точкой. Рассмотрим также модифицированное семейство экспоненциальных функций /ехр А, если Л Є С/о, ЕхРі(А) = 4 і Є К, 10, если А Є С/1, где С/о — некоторая ограниченная окрестность (обычного) спектра пучка, a U\ — не пересекающаяся с ней окрестность бесконечности. Очевидно, (Expt) = 2 і У еА Дл А, где Г — контур, окружающий (обычный) спектр пучка. Важную роль в последующем изложении будут играть (см. теоремы 1.4.4, 1.5.3 и 1.5.11) операторы /?(expf) и /?(Expt), где ip — функциональное исчисление, построенное в 1.3. В настоящем параграфе обсуждаются их различные свойства.
Заметим, что если F обратим (и тем самым бесконечность не принадлежит расширенному спектру), то /?(expf) = (p(Expt). Если же бесконечность является изолированной точкой в расширенном спектре пучка, то (/?(ехр4) не определено, но y?(Expt) определено. Таким образом, y (Expt) можно считать расширением определения /?(expf) на более общий случай. По этой причине мы, по возможности, будем ограничиваться рассмотрением p(Expt).
Пусть бесконечность является изолированной точкой расширенного спектра пучка. В этом случае функцию U(t) = ip{Expt), teR, зависящую от параметра t, будем называть оператором сдвига (вдоль траекторий соответствующего однородного уравнения). Предложение 1.4.1. Пусть бесконечность является изолированной точкой расширенного спектра пучка. Тогда оператор U(t) = у?(Ехр ) сдвига бесконечно дифференцируем и при всех t Є Ж удовлетворяет дифференциальным уравнениям FU(t) - GU(t) = 0, U{t)F - U(t)G = 0. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Заметим, что функция t ь Expf дифференцируема3) в алгебре 0(a(F,G)), поскольку множество a(F,G) компактно. 3)В этом месте используется топология в алгебре 0(a(F,G)), см. А.З. Напомним, что для сходимости в 0(cr(F, G)) достаточно равномерной сходимости в некоторой окрестности множества a(F,G). Поскольку из равномерной сходимости вытекает поточечная, производная функции t н- Expf совпадает с поточечной производной, то есть с функцией Л н- Л Expf(A). В силу линейности и непрерывности морфиз-ма у? (теоремы 1.3.1 и 1.3.2) получаем, что производная функции U(t) = ip(Expt) в точке t является значением ср на функции Л і-)- Л ЕхрДЛ). Аналогично доказывается существование производных более высокого порядка.
Представление решения уравнения 1-го порядка
Многие свойства линейных операторов не зависят от реализации их в виде аналитической формулы и от пространств, в которых они рассматриваются, а определяются алгебраическими соотношениями между ними. Простейший пример — спектр сохраняется при преобразованиях подобия А н-)- SAS 1. При изучении таких свойств удобно абстрагироваться от несущественных деталей реализации и перейти на язык банаховых алгебр.
Поскольку мы ориентируемся на спектральные задачи, все линейные пространства и алгебры предполагаются комплексными.
Пусть X — произвольное банахово пространство, а ВрС) — банахово пространство всех линейных ограниченных операторов, действующих в X. Заметим, что помимо восьми аксиом линейного пространства
Оказывается, В(Х) — не единственный пример, когда выполнены эти свойства. Поэтому (как, например, в случае линейного пространства) их удобно аксиоматизировать. Линейной алгеброй или просто алгеброй называют [10, 54, 73] линейное пространство В, в котором задана операция умножения, обладающая свойствами 9-11. Если дополнительно выполнено свойство 12, то говорят, что алгебра В имеет единицу, а саму алгебру называют алгеброй с единицей или униталъной. Единица в алгебре единственна (при условии, что она имеется). Если алгебра В является нормированным пространством и при этом выполнено 13, то говорят, что В — нормированная алгебра. Если нормированная алгебра содержит единицу (т. е. выполнено 12) и выполнено свойство 14, то говорят, что В — нормированная алгебра с единицей. Если нормированная алгебра является полным, т. е. банаховым пространством, то ее называют банаховой алгеброй.
Алгебру называют коммутативной, если для любых А и В выполнена аксиома 15) АВ = В А. Подмножество R алгебры В называют подалгеброй, если все три алгебраические операции (сложение, умножение на число и умножение) из него не выводят. Предложение А. 1.1. Подалгебра сама является алгеброй. Замыкание подалгебры является подалгеброй. Замкнутая подалгебра банаховой алгебры сама является банаховой алгеброй. Если В имеет единицу 1 = 1в, и единица 1в содержится в подалгебре R, то говорят, что R — подалгебра с единицей. Может случиться так, что подалгебра имеет свою единицу (т. е. элемент, удовлетворяющий аксиоме 12), но эта единица не совпадает с единицей алгебры. Если В нормирована, а подалгебра R замкнута в В как подмножество, то говорят, что R — замкнутая подалгебра. Очевидно, замкнутая подалгебра банаховой алгебры сама является банаховой алгеброй. Предложение А.1.2. Пусть В — коммутативная алгебра, П — идем-потент, т. е. П2 = П. Тоща множество Вп элементов вида НА = АП = ПАП, где А Є В; образуют подалгебру с единицей П. Эта подалгебра замкнута, если В — банахова алгебра.
Проверим, что сумма, умножение на число и умножение элементов алгебры не выводят из Вд: ПАі + ПА2 = П(А1 + А2), АПАї = П(ААі), (ПАі)(А2П) = П(АіА2)П. Следовательно, Вд является подалгеброй. То, что П является единицей, — очевидно. Пусть В — банахова алгебра. Покажем, что Вд замкнуто. Рассмот рим последовательность Копій ПА/;. Как последовательность в полной алгебре В она имеет в ней предел — некоторый элемент А. Умножим саму последовательность и ее предел на идемпотент П. Получим, что предел последовательности П2А равен ПА. Но, поскольку П2А/ = ПА&, то у последовательности ПА& есть два предела, которые должны совпадать, т. е. ПА = А, а следовательно, Вд замкнута. . Пусть В — алгебра с единицей. Элемент В Є В называют обратным к элементу А Є В, если АВ = 1 и В А = Iі). Обратный определен однозначно (при условии, что он существует). Обратный элемент к А обозначают символом А 1. Теорема А. 1.3. Пусть В — банахова алгебра с единицей и А, В Є В, причем элемент А обратим. Если \\в\\ ЦА-ЧІ 1, то элемент А — В также обратим. При этом (А - В)-1 = А"1 + A lBA x + A l В А-1 В А-1 + ... . (АЛЛ) Кроме того,
Экспоненциальные функции квадратичного пучка
Пусть Щ. — максимальная псевдорезольвента и со Є a(R ). Тогда отображение (р: 0(а(Щ.))) — Вд, определенное по формуле (/) = зЬ / Ял) ЛА d\ + /(со)1, (А.3.3) где Г — контур (см. правый рис. 1), являющийся ориентированной огибающей расширенного сингулярного множества a(R ) относительно дополнения к области определения функции /, является непрерывным морфизмом алгебр с единицей. В частности, функция и(Х) = 1 переводится морфизмом (р в (присоединенную) единицу 1 алгебры В д. Функция гАо( ) = Г А где е Р(Щ-)) переводится морфизмом (р В R\Q. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Заметим сначала, что морфизмом алгебр является отображение tp: Оо( т(Л(.))) — Вд, определенное-по формуле где Г — контур (см. правый рис. 1), являющийся ориентированной огибающей расширенного сингулярного множества a(R ) относительно дополнения к области определения функции /. Доказательство этого факта дословно повторяет доказательство теоремы А.3.4 с использованием предложения A.3.3(c) и правого рис. 1.
Переход от алгебры Oo(a(R )) к алгебре 0( т(.й(.))) можно интерпретировать как присоединение единицы. При этом в представлении / = au + /о функции / Є 0(а(Щ))) через /0 Є O0(a(R )) и единицу и, очевидно, имеем a = /(00). Поэтому расширение щ на 0(a(R )) в соответствии с предложением А. 1.7 приводит к формуле (А.3.3).
Чтобы доказать, что функция гд0(А) = д-Ц переводится морфизмом р в Д\0, достаточно гомотопировать в формуле р(г\0) = /г j Rx dX контур Г, являющийся ориентированной огибающей расширенного сингулярного множества сг(Д(.)), до маленькой окружности, ориентированной по часовой стрелке и окружающей Ло, и воспользоваться правилом вычисления вычета в полюсе первого порядка. Непрерывность отображения (р устанавливается как в доказательстве теоремы А.3.4. ЗАМЕЧАНИЕ А.3.20. В [73] предложено записывать формулы (А.3.1) и (А.3.3) в виде единой формулы (/) = 2 / ЛА)ЛА dX +Sf(oo)l, где 6 = 0, если оо Є р(Д(.)), и 8 — 1, если оо Є т(Д(.)). Следующая теорема представляет собой вариант классической теоремы о спектральном разложении [10, гл. 1, 4, п. 4], [73, теорема 5.13.1], [3, теорема 5.2.10] в формулировке, соответствующей нашей ситуации. Теорема А.3.8. Пусть Щ.) — максимальная псевдорезольвента и о(Д(.)) представлено в виде объединения двух непересекающихся замкнутых подмножеств со, &i С С, причем оо ограничено. Тогда существует идем-потент По Є Вд, для которого20 А = П0А + ПіД А Є Вд, (А.3.4) где Пі = 1 — По Є Вд — дополнительный идемпотент. В частности, Дл = П0ДА + ПіДА Лєр(Д(0). При ЭТОМ расширенное СИНГуЛЯрНОе МНОЖеСТВО ПСеВДОреЗОЛЬВеНТЫ По Д(.) в алгебре ПоВд совпадает с CTQ21\ а {расширенное) сингулярное множество псевдорезольвенты Пі Д(.) в алгебре ЩВд совпадает с о\ = G\ \ {оо} (совпадает с GI). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Щ и U\ — непересекающиеся открытые окрестности МНОЖеСТВ То И О-!, СООТВеТСТВенНО. РаССМОТрИМ фуНКЦИИ 7Го, 7Гі Є (Э(а(Д(.))), определенные формулами /л. І 1, если Л Є С/оj /лх 0, если Л Є Щ, W = 1 п \ с гг W = Ь Л г- тт I 0, если Л Є L/i, I 1, если Л Є (7і. 20)Напомним (предложение А.2.5), что алгебра Вд коммутативна. Поэтому П0АПо = ПоА 21)Поскольку cr0 ограничено, расширенное сингулярное множество псевдорезольвенты По-й(.) совпадает с обычным сингулярным множеством.
Положим По = ( о) и Пі = ір (тгі), где р определено как в теореме А.3.7, если а\ не ограничено, и как в теореме А.3.4, если а\ ограничено. В случае неограниченности ог\ в силу равенства нулю функции щ на окрестности U\ бесконечности из формулы (А.3.3) имеем По = (тг0) = 2 / "о(А) Яд d\ = - j RX d\ (А.3.5) где Г — контур, лежащий в С/о и окружающий CTQ. ИЗ ЭТОГО представления видно, что По принадлежит алгебре Вд. Очевидно, Пі = 1 — По. Кроме того, поскольку 7TQ — 7Го и 7i"i = 7Г1, а tp сохраняет умножение, элементы По и Пі являются идемпотентами. Тождество (А.3.4) очевидно. Тождества Гильберта для функций Л н-»-По-йд и Л І— TliR\ выполняются в силу коммутативности алгебры Вд и справедливости тождества Гильберта для функции Л ь- Rx. Положим (Ті = Ji \ {оо}. Очевидно, функция Л ь-»- (р(щ гд), Л сто, где гд( ) = jz , совпадает с псевдорезольвентой Л і-»- ПоЛд при Л a(F,G). Но функция Л М- (ТЧГ А) определена для всех Л сг0. Кроме того, гд — гм = —(Л —/х)гд-г . Следовательно, функция Л н (/с(7Го гд) может служить продолжением псевдорезольвенты Л (-) По-Яд. Поэтому сингулярное множество псевдорезольвенты Л н По Яд не шире CTQ. Аналогичным образом сингулярное множество псевдорезольвенты Л ь-)- Піі?д не шире (7і. Но если хотя бы одно из этих сингулярных множеств оказалось бы строго уже, то сингулярным множеством псевдорезольвенты
Л Н ip(rX Щ) + Р{ГХ 7Гі) = ip(rX (7Г0 + 7Гі)) = (гЛ) оказалось бы множество, более узкое, чем оо U j\ — сг(Я(.)). Но в силу теоремы А.3.7 Л (- р(гх) совпадает с Rx при Л Є /э(Я(.)). Следовательно, псевдорезольвента Я(.) оказалась бы не максимальной. Осталось показать, что оо принадлежит (или не принадлежит) а\ и расширенному сингулярному множество псевдорезольвенты ПіД(.) в алгебре ПіВд одновременно. Напомним, что по предположению теоремы оо сг0.
Если оо 0"і, то о\ и о"(і?(.)) ограничены, и в силу теоремы А.3.4 Пі Є Вд. Следовательно, Пі Є ПіВд. Но Пі является единицей алгебры ЩВд. Значит, алгебра ЩВд содержит единицу Пі. Заметим, что в силу теоремы А.2.6 алгебра ПіВд совпадает с алгеброй Вщд,), порожденной псевдорезольвентой Піі?(.). Следовательно, в данном случае в силу предложения А.2.19 расширенное сингулярное множество псевдорезольвенты Піі?(.) не содержит бесконечность. Докажем обратное. Если расширенные сингулярные множества обеих псевдорезольвент По-й(.) и ПіЛ(.) не содержат бесконечность, то в силу предложений А.2.19 и А. 1.5 lim XRX = lim АПОЛА + Hm АЩДд = П0 + Пі = 1, А-+оо А- оо А—юо в частности, алгебра Вд содержит единицу, т. е. оо a(R ). ЗАМЕЧАНИЕ А.3.21. Пусть со — изолированная точка расширенного сингулярного множества, 7о есть обычное сингулярное множество псевдорезольвенты, а 7\ состоит из бесконечно удаленной точки. Из формулы (А.3.5) видно, что тогда в условиях теоремы А.3.8 где Г окружает обычное сингулярное множество. С помощью точно того же интеграла восстанавливается и идемпотент Р в условиях предложения А.2.13. Тем самым, эти идемпотенты совпадают. В силу предложения А.2.4 псевдорезольвента ПоЛ(.) в алгебре ЩВд является резольвентой некоторого элемента AQ Є ПОВД и поэтому в силу предложения А. 1.5 ее продолжение до максимальной псевдорезольвенты в окрестности бесконечности раскладывается в степенной ряд гг R - П л- Л л. Л л. ІІОІїд — — -+- —g- + -р- + Аналогичным образом в силу следствия А.2.20 продолжение псевдорезольвенты Піі?(.) до максимальной в алгебре ЩВд раскладывается в окрестности бесконечности в степенной ряд ПіДЛ = -N- XN2 - A2iV3 - A3iV4 - ... , А Є С. В силу формулы R\ = ПО-RA + ПІЛА и единственности разложения в ряд Лорана эти разложения совпадают с разложениями в степенные ряды из следствия А.2.21.
Квадратичный пучок с F = 0
Псевдорезольвенту называют [3, с. 103] максимальной, если она не может быть расширена на более широкое множество с сохранением тождества (А.2.1). В дальнейшем (теорема А.2.2) мы увидим, что каждая псевдорезольвента единственным образом продолжается до максимальной. Область определения р(Щ.)) максимальной псевдорезольвенты назовем регулярным множеством исходной псевдорезольвенты. А дополнение сг(Щ.)) к регулярному множеству р(Щ.)) назовем [79], [4, с. 2] [3, с. 103] сингулярным множеством.
Для удобства в промежуточных вычислениях будем присоединять к В единицу в случае, если она сама не содержит единицу. Отметим, что наш основной пример — алгебра В( )(У,Х) с операцией F-умножения, который обсуждается в 1.3, — в наиболее интересных случаях не имеет естественной единицы.
Приведем примеры псевдорезольвент: (а) резольвента элемента банаховой алгебры с единицей (предложение А. 1.5); здесь оо принадлежит расширенному регулярному множеству, определяемому ниже; (Ь) функция-константа \ -+ N, где N Є В — произвольный элемент, квадрат которого равен нулю; здесь сингулярное множество пусто; (с) в частности, тождественно нулевая функция; (d) прямые суммы резольвент из предыдущих примеров; (d) см. также теорему А.2.22. Отметим, что тождество Гильберта (А.2.1) можно эквивалентным образом записать в виде R\ + (Л - /х) ДЛД„ = R» или (в алгебре с присоединенной единицей, если исходная алгебра не содержит единицу) ДА(1 + (А - p)Rp) = R». (А.2.2) Предложение А.2.1 ([73, следствие 1 теоремы 5.8.4]). Пусть два коммутирующих элемента R\,Rn Є В удовлетворяют равенству (А.2.1). Тогда элемент 1 + (А — p Rfx Є В обязательно обратим.
Теорема А.2.2 ([73, теорема 5.8.6], [3, теорема 5.2.4]). Всякая псевдорезольвента, область определения которой содержит хотя бы одну точку // Є С, единственным образом продолжается до максимальной. Областью определения максимальной псевдорезольвенты является множество всех А Є С, для которых элемент 1 + (Л — fj)Rfj, обратим в В. Это продолжение можно определить по формуле Rx = ДДі + (Л - /І)ДМ)_1. (А.2.3) Исходную псевдорезольвенту и ее продолжение до максимальной будем обозначать одним и тем же символом R .y Более того, ограничимся рассмотрением только максимальных псевдорезольвент. Следствие А.2.3 ([73, теорема 5.8.2], [83, гл. 6, 1]). Область определения максимальной псевдорезольвенты является открытым множеством, а сама она — аналитической функцией5 как функция со значениями в В. А именно, в окрестности любой точки [і Є p(R(.)) максимальная псевдорезольвента раскладывается в степенной ряд оо п=0 Предложение А.2.4 ([73, теоремы 5.8.3]). Максимальная псевдорезо-львента i(.) является резольвентой некоторого элемента А Є В тогда и только тогда, когда элемент R обратим при всех или хотя бы при одном \і Є p(R(.)). При этом А = XI — (Д\) для всех А Є p(R ). Пусть фиксирована псевдорезольвента R .y Обозначим через Вд наименьшую замкнутую подалгебру алгебры В, содержащую все элементы R\, А Є р(і(.)), ее расширения до максимальной псевдорезольвенты. Предложение А.2.5. Алгебра Вд совпадает с замыканием линейной оболочки семейства элементов R\, А Є p(R(.)), и является коммутативной. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Очевидно, замыкание линейной оболочки семейства R\, А Є /?(і?(.)), обязано содержаться в В д. Из тождества Гильберта 5 Иногда аналитическими называют только функции, областью определения которых является связное множество. Мы такое требование не накладываем. Для аналитических функций, определенных на несвязном множестве, в [73] используется термин "локально аналитическая". Именно такие функции мы называем аналитическими. (А.2.1) видно, что R\Rn при \ф [і принадлежит линейной оболочке семейства R\, А Є p(R(.)). Но оболочки семейства элементов R\, А Є p(R(.)). Отсюда видно, что замыкание линейной оболочки семейства ДА, А Є p(R(.)), уже образует замкнутую подалгебру. В силу следствия А. 1.14 бикоммутант семейства коммутирующих эле ментов {Яд} является коммутативной алгеброй. Очевидно, бикоммутант содержит алгебру Вд. Поэтому алгебра Вд коммутативна. Если алгебра Вд не содержит единицу алгебры В (это наверняка так, если В сама не имеет единицы), то через Вд, как обычно, обозначим алгебру Вд, к которой присоединена единица алгебры В6) (либо присоединенная единица алгебры В). Если Вд содержит единицу алгебры В, то под Вд будем понимать исходную алгебру Вд. Теорема А.2.6. Подалгебра Вд совпадает с наименьшей замкнутой наполненной подалгеброй B(i? ), порожденной произвольным элементом R„, р, Є p(R(.)). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Зафиксируем у. є p(R(.)) Формула (А.2.3) показывает, что R\ является функцией /A(Z)=і+(L Ф от элемента R . В частности, все значения псевдорезольвенты являются рациональными функциями одного элемента R . В виде линейной комбинации фуНКЦИЙ u(z) = 1, Vk{z) = Zk И Степеней фунКЦИЙ /д, Л Є /?(JR(.)), можно представить любой многочлен и любую элементарную дробь, знаменатель которой не обращается в ноль на спектре элемента R . Значит [37, 3.5], можно представить и любую рациональную функцию, знаменатель которой не обращается в ноль на спектре элемента R . Тем самым, алгебра Вд обязана содержать любую рациональную функцию от элемента R знаменатель которой не обращается в ноль на спектре элемента R . В силу предложения А. 1.15 такие рациональные функции образуют наполненную подалгебру. Ее замыкание в силу предложения А. 1.12 также образует наполненную подалгебру и обязано содержаться в Вд. Но чтобы получить подалгебру Вд, больше ничего добавлять и не нужно, 6 При добавлении 1 к Вд получается замкнутая подалгебра, поскольку при сложении замкнутого подпространства с подпространством размерности один получается замкнутое подпространство. поскольку все элементы R\ в этой подалгебре уже содержатся. Тем са мым мы получили эффективное описание алгебры Вд, роль единицы в которой играет единица 1 алгебры В. Обозначим через Х(Вд) тогда по непрерывности элемент R\R,j, при Л = /х принадлежит замыканию линейной множество всех характеров х алгебры Вд (напомним, что, возможно, алгебра Вд не содержит единицу 1 алгебры В). Если алгебра Вд не содержит единицу алгебры В, то символом Хоо обозначим характер, который равен нулю на всех элементах алгебры Вд. Напомним (предложение А.1.16), что все характеры алгебры Вд однозначно продолжаются на алгебру Вд с помощью формулы x(al 4-А) = а + х{А)- Таким образом, Х(Вд) = X(BR). Символом Х(Вд) обозначим множество всех ненулевых характеров.
