Введение к работе
Актуальності, темы. Настоящая диссертация посвящена вопросам обратимости разностных операторов, а также матричному анализу некоторых классов ограниченных операторов, в том числе и интегральных, тесно связанных с разностными.
Теория разностных операторов находит разнообразные приложения во всех областях современной науки, в том числе, в биологии, экономике, химии, физике. Особое внимание к разностным операторам и уравнениям их содержащим обусловлено, прежде всего, применением аппарата разностных операторов в исследованиях разрешимости различных дифференциальных, интегральных и функциональных уравнений. Подобные исследования различных классов уравнений осуществлялись в работах многих авторов, в частности, в работах А.Г. Баскакова, Р. Беллмана и К.Л. Кука, И.Ц. Гохберга и И.А. Фельдмана, П.П. Забрейко и Нгуен Ван Миня, С.Г. Крейна, В.Г. Курбатова, Б.М. Левитана и В.В. Жикова, Х.Л. Массера и Х.Х. Шеффера, В.М. Тюрина, Д. Хенри.
Среди всех разностных операторов отдельный интерес представляют часто возникающие в приложениях операторы взвешенного сдвига. Пер-ные исследования, посвященные этим операторам, появились еще в конце прошлого - начале нашего столетия. Так, в работах О. Перрона л X. Пуанкаре изучались вопросы поведения на бесконечности некоторых типов разностных операторов, относящихся к операторам взвешенного сдвига.
Спектральные свойства операторов взвешенного сдвига и условия обратимости разностных операторов их содержащих находят широкое применение в теории дифференциальных операторов. Как правило, исследования обратимости дифференциального или соответствующего разностного операторов проводятся в терминах экспоненциальной дихотомии соответствующего семейства эволюционных операторов. Связь экспоненциальной дихотомии с разрешимостью дифференциальных уравнений исследовалась
в работах О. Перрона А.Д. Майзеля, X. Массера и X. Шеффера, Ю.Л. Да-лецкого и М.Г. Крейна, В.В. Жикова и А.Г. Баскакова.
Экспоненциальную дихотомию для разностных уравнений в банахо вом пространстве рассматривали С. Коффман и X. Шеффер, делая упо[ на связь дихотомии и допустимости. В работах В.Е. Слюсарчука и Д. Хен ри доказана эквивалентность обратимости действующего в 1^(7,, X) раз ностного оператора, содержащего взвешенный сдвиг, и экспоненциально* дихотомии соответствующего семейства эволюционных операторов. Соот ветствующий результат для всех пространств /P(Z, X) (р Є [1, оо]) получеі в работах А.Г. Баскакова. Кроме того, доказана эквивалентность обрати мости абстрактного линейного дифференциального параболического one ратора и соответствующего разностного оператора, содержащего операто{ взвешенного сдвига.
Эффективным аппаратом для исследования связанных с обратимо стью свойств разностных и интегральных операторов является матричньїі анализ, позволяющий изучать свойства операторов через структуру их ма трицы. Заметим, что представление оператора в виде матрицы можно ин терпретировать как один из способов сведения линейного ограниченной оператора к некоторому разностному оператору.
Таким образом, самостоятельный интерес представляет исследован» структуры матрицы оператора для рассматриваемых классов операторов Информация о структуре матрицы линейного оператора может лежать і основе конструктивного метода нахождения обратного оператора и оцен ки структуры его матрицы. В настоящее время опубликовано достаточт много работ, посвященных исследованию структуры матрицы обратного оператора. Как правило, структура обратных операторов выражается терминах асимптотических или конкретных оценок убывания элементо обратных матриц. В работах А.Г. Баскакова, И.А. Блатова, М.А. Шуби на для различных классов операторов найдены асимптотические оценк:
убывания внедиагональных элементов. Как правило, результаты формулируются в терминах наполненности соответствующих классов. Конкретные оценки получены в работах Т.В. Азарновой, А.Г. Баскакова и С. Демко.
Вышеизложенное позволяет заметить, что разрешимость разностных и сводимых к ним уравнений, условия обратимости и фредгольмовости соответствующих разностных операторов и структура обратных операторов несомненно представляют собой интересную область современного анализа. Исследованию условий обратимости разностных и тесно связанных с ними интегральных операторов и структуры матриц обратных к ним операторов посвящена данная диссертационная работа.
Цель работы. Основные цели работы состоят в следующем:
исследовать структуру матрицы обратного оператора к обратимому линейному ограниченному оператору с двухдиагональной матрицей, действующему в банаховом пространстве X;
изучить условия обратимости и фредгольмовости разностного оператора Т> = I — К.ц, где К.ц - оператор взвешенного сдвига, семейство эволюционных операторов которого допускает экспоненциальную дихотомию на множествах {.'..,тп\ — l,mi} и {гп2,ттіі + 1,...} для целых чисел ГП\ < ГП2\
методом замороженных коэффициентов найти достаточные условия обратимости некоторых классов разностных и интегральных операторов.
Методика исследования. Исследования, представленные в настоящей работе, проводились с использованием методов теории линейных операторов, гармонического анализа, функционального исчисления операторов, теории представлений и теории функций комплексного переменного.
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. В_ качестве основных результатов работы можно назвать следующие:
- получены конкретные оценки элементов матрицы обратного операто
ра для линейных ограниченных операторов, имеющих двухдиагональную
или конечнодиагональную матрицу, в том числе и для оператора V, содер-
жащего взвешенный сдвиг;
в терминах экспоненциальной дихотсм-и на бесконечности получе ны необходимые и достаточные условия обратимости и фредгольмовості оператора V;
найдены достаточные условия обратимости некоторых классов раз ностных и интегральных операторов.
Практическая и теоретическая знач:]< мость. Работа носит теоре тический характер. Полученные в диссертации результаты и методы и) обоснования могут быть использованы в различных вопросах спектраль ной теории разностных, дифференциальных а интегральных операторов в теории функциональных уравнений и мегс-дпх вычислений.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсу ждались на семинарах кафедры математич< /жих методов исследованш операций Воронежского государственного yt. іверситета (руководитель -профессор А.Г. Баскаков), научных сессиях Е.'ГУ, на конференции "Математическое моделирование систем. Методы, приложения и средства", т Международной научной конференции "Нелинейный анализ и функционально - дифференциальные уравнения", из Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения - X. Современные методы і теории краевых задач".
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в ра
ботах [1-8], список которых приводится в ко:-хо автореферата. Результать
работ [1-2] получены совместно с научным руководителем Т.В. Азарновой
Научному руководителю принадлежит постановка задачи, а автору - ее
решение. -
Структура и объем работы. Диссертационная работа изложена не 106 страницах и состоит из введения, трех глаз и списка литературы из 8С наименований. Нумерация приводимых в автореферате теорем и определений совпадает с нумерацией, принятой в диссертационной работе.
