Содержание к диссертации
Введение
1 Общая схема метода подобных операторов в исследовании некоторых классов возмущенных самосопряженных операторов 21
1.1 Метод подобных операторов и теорема о расщеплении 21
1.2 Блочная диагонализация по изолированному спектральному множеству 31
1.3 Блочная диагонализация и равносходимость спектральных разложений 37
1.4 Метод подобных операторов для дискретных самосопряженных операторов 41
2 Спектральный анализ дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условиями 47
2.1 Оценки собственных значений и собственных функций одного класса дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условиями 47
2.2 Асимптотика собственных значений и равносходимость спек тральных разложений дифференциального оператора второго порядка с периодическими нелокальными краевыми условиями 64
3 Приложения к интегро - дифференциальным операторам с вырожденным ядром 87
4 Приложения к интегро - дифференциальным операторам с интегрируемым с квадратом ядром 117
Литература 133
- Блочная диагонализация по изолированному спектральному множеству
- Метод подобных операторов для дискретных самосопряженных операторов
- Асимптотика собственных значений и равносходимость спек тральных разложений дифференциального оператора второго порядка с периодическими нелокальными краевыми условиями
- Приложения к интегро - дифференциальным операторам с интегрируемым с квадратом ядром
Введение к работе
В диссертационной работе методом подобных операторов исследуются спектральные свойства относительно конечномерных возмущений самосопряженных дифференциальных операторов с дискретным спектром.
Рассматриваемый здесь класс операторов естественным образом возникает при исследовании некоторых классов интегральных операторов (см. [76], § 3), при сведении исследования дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условиями к исследованию интегро - дифференциальных операторов, определяемых обычными двухточечными краевыми условиями (см. [5], [Ю]). Относительно конечномерные возмущения играют важную роль в теории управления [84].Отметим, что интерес к исследованию дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условиями был проявлен давно (см. литературу 1-11 из статьи А.Л. Скубачевского [54], а также из статей В.В. Власова [18] и Л.С. Пулькиной [45]).
Метод подобных операторов берёт своё начало с метода Пуанкаре нормальных форм для обыкновенных дифференциальных уравнений [2] и тесно связан с методом A.M. Ляпунова кинематического подобия дифференциальных операторов [20], абстрактным вариантом замены Крылова - Боголюбова [4], [7]. Основная идея метода подобных операторов состоит в преобразовании исследуемого оператора А — В к другому, подобному ему оператору А —Во, где Во имеет несложную по отношению к А структуру.
Впервые метод подобных операторов был изложен К.О. Фридрихсом [72] для возмущенных самосопряженных операторов с абсолютно непрерывным спектром. Р. Тернером [86] для возмущенных нормальных вполне непрерывных операторов были получены теоремы о возможности их преобразования к диагональному оператору в базисе невозмущенного оператора.
Дальнейшее своё развитие метод подобных операторов получил в работах А.Г. Баскакова [4] - [12] и его учеников, который стал использовать технику абстрактного гармонического анализа линейных операторов.
В данной диссертационной работе для исследования спектральных свойств операторов применяется вариант метода подобных операторов, изложенный в работах А.Г. Баскакова и Е.Л. Ульяновой, позволяющий получить оценку сходимости спектральных разложений оператора с относительно конечномерным возмущением.
Прежде чем перейти к изложению основных результатов, отметим, что в диссертационной работе используется тройная нумерация теорем, лемм, следствий, замечаний, определений, формул. Причём первая цифра означает номер главы, вторая - номер параграфа, третья - порядковый номер теоремы, леммы и т.д. в данном параграфе.
В первой главе диссертации приводятся основные понятия,определения и теоремы из метода подобных операторов (см. [7], [67]), наиболее приспособленные для исследования рассматриваемого класса дифференциальных операторов. Этот метод является основой проводимых исследований.
Пусть Н - бесконечномерное комплексное гильбертово пространство.
Определение 1.1.1. Два оператора А : D(Ai) сЯчЯ, г = 1, 2, называются подобными, если существует непрерывно обратимый оператор U є End Н (т.е. U"1 Є End Н, End Н - банахова алгебра линейных ограниченных операторов (эндоморфизмов), действующих в гильбертовом пространстве #), такой, что UD(A2) = D(Ai) и выполняются равенства AiUx = UA2 х, х є D(A2). Оператор U называется оператором преобразования подобия оператора А\ в оператор А2 .
Определение 1.1.2. Линейный оператор С : D{C) сЯчЯ, на зывается подчиненным оператору A : D(A) С Я-іЯ, если выполнены следующие два условия:
1) D(C) Э D(A);
2) существует константа М 0, такая, что
Сж М(Ав + я;), Vz€D(A).
Определение 1.1.3. Тройка (Я, J, Г), J : Я - Я, Г : Я -» nd Я, называется допустимой для оператора А, а Я - допустимым пространством возмущений, если:
1.Я - банахово пространство (со своей нормой ), непрерывно вложенное в банахово пространство СА{Н) линейных операторов, подчиненных оператору А;
2. J, Г - непрерывные трансформаторы (т.е. линейные операторы, действующие в пространстве линейных операторов);
3. (ТХ)х D(A) Vx Є D(A) и имеет место равенство:
АТХ - (ГХ)А = X - JX, X Є Я (равенство понимается как равенство элементов из Я);
4. ЛГУ, (ГУ)Х Є Я \/Х,У Є Я и существуют постоянные 71 О и 72 0, такие, что Г 7і и тах{ХГУ„ (ГУ)Х,} 72ІХІ У ;
5. выполнены условия:
а) Im ТХ С D(A) и АТХ Є -End Я или
б) VX 6 Я и Ve 0 существует число і/є Є р(А) (р(А) - резольвентное множество оператора А), такое, что ХД(і/є, А)оо є, где
[- Coo = sup (Хж(-норма оператора в End Н; Н(і/ЄіА) - резольвен ИІ і та оператора А в точке vE.
Здесь Im VX - образ оператора ГХ. Непрерывность вложения банахова пространства Я в Сд Н) означает, что существует постоянная MQ О, такая, что \\В\\А М0 УБ € Я.
Пусть A : D(A) сЯ- Я - нормальный оператор (см., например, [3]) (частный случай нормального - самосопряженный оператор), спектр которого представим в виде
где aj - взаимно непересекающиеся компактные множества, и существует последовательность G С, к = 1, 2,..., из резольвентного множества
IS If
такая, что Jm м(_ґ л /С; Pj7 j 1, - проектор Рисса, построенный
р(А) оператора Л, такая, что di&t( j(A),Vk) — оо при к — оо, и const К, "к
dist( (A)7Vk)
по спектральному множеству Oj, Aj = APj, j = 1, 2,..., Aj Є End H.
7j = supA.
В качестве пространства возмущений Я рассматриваются операторы В : D(A) СЯ-УЯ, допускающие представление В = В$А} В$ Є т2(#) (здесь &2{Н) - идеал операторов Гильберта - Шмидта, действующих в пространстве Я, с нормой Цг), причём существуют две ненулевые последовательности {о } 1? {А} 1 такие? что имеет место оценка
\PjBQPi\\2 const • aj • /%, г, j = 1,2,.,. .
Наименьшая из констант, удовлетворяющая этому неравенству, определяет норму в Я.
п
Пусть п - некоторое натуральное число, положим An = (J ст , Р(ЛПэЛ) - проектор Рисса, построенный по спектральному множеству
П •
A,
Ffc
I-sup \X\,Ql = P{An,A) = YJPu Q2 = I-Qi Xeak {=1
Трансформаторы Jn : Я -» Я и Гп : Я — (72 (Я) определяются следующим образом:
ЗпХ = QiXQi + Q2XQ21
YnX = lf X + If X,
г")х= Е Ёг р™х ),
где
га г+1 &=1 т=1 к п-\-1
На операторных блоках РтХоР} А трансформатор Тп определяется как решение уравнения
удовлетворяющее условию
где либо {& п + 1, гп п}, либо {к га, m гг + 1}. Для всех остальных значений т я к Тп{РтХ{)Р А) = 0.
Теорема 1,2.2, Пусть п - натуральное число, такое, что
1/2
7iH - 1 2 Ъ Ш« Г„.„ ггЛЛЪ I °° чт=1fc n+l
(dist(a-m,ak))2
/ ч Г f v Ы Oik Рк 1 J v k «A Afc 72(n) = max max ——, r- ; sup -—-. r
oo,
причём выполнено условие
2ma {7i( ),72(n)} + 7i( ) +72Ы 1,
тогда оператор А — В подобен оператору А — JnX (n), где Х (п) Є it имеет вид:
X» = Х п(п) + Х{2(п) + Х1г{п) + Х 2(п),
где Х (п) = QiX (n)Qj г, j = 1, 2, есть решение системы уравнений
\хц = BijTXji + В« (і = 1J = 2) V (t = 2, j = 1) yXij = FijiXij),
где оператор i : Я - - Я - задается формулой
ЩХ = ВЦТХ - (ТХЩІ - {ТХ){ВцТХ) + Bij}
Bij = QiBQj, i}j = 1,2, - блоки оператора В Є Я, являющегося возмущением оператора А, допустимое пространство возмущений Я является суммой четырёх замкнутых подпространств вида
Ufj = {QiXQj, ХєЯ}, ,і = 1,2.
Оператор преобразования подобия имеет вид I + ГпХ (п).
Теорема 1.3.4. Пусть операторы А, Б Є Я таковы, что 7i(n) " 0, 72 (п) — 0 при п - оо. Тогда, начиная с некоторого натурального щ , оператор А—В подобен оператору A—JnX (n), п щ, где Х (п) = Xii(n)+ Xt2(n)+X (n)+Xi2{n)} и Р(ЛЛ,А)-Р(Л„,А-В) 0 при гг -» ос, где Ап = а((А - JnX (n)) Р(Д„, А)#) С а(А - В), Р(Ап,А В) -проектор Рисса, построенный по спектральному множеству Лп оператора А-В .
ф 1
Следствие 1.3.1. Пусть выполнены условия теоремы 1.3.4, тогда для любого фиксированного х из Н
(1-Р(Л„, А-В))х- J2 ріх\\ ° ПРИ ™- °о.
г п+1
Вопросами равносходимости для различных классов операторов занимались Дж. Биркгоф [82], [83], Я.Д. Тамаркин [56], В,А. Стеклов [55], М. Стоун [85]. В настоящее время эти исследования продолжены в рабо- г тах АЛ. Хромова [74]-[76], B.C. Рыхлова [47], [48], В.А. Ильина [23]-[26],
А.А. Шкаликова [81]. В работах В.А. Садовничего и его учеников [4.9]-[53] исследовались свойства спектра дискретных операторов, были получены формулы регуляризованных следов, в статьях [16]—[17] изучалась асимптотика собственных значений некоторых классов дифференциальных операторов с негладкими коэффициентами, при этом использовались отличные от данной работы методы. В статье [33] Г,М. Кесельман получил спектральность оператора (Су)(х) =у (х)+а{х)у{0) + Ь(х)у(1) + [Ву)(х) с областью определения D(), задаваемой краевыми условиями
і і
У(°) = / y( )a0(x)dx7 у(1) = I y(x)b0(x)dx, о о
где а, 6, а0, h Є Ь2(0; 1), В Є End L2(0; 1).
Во второй главе диссертации исследуются спектральные свойства относительно конечномерных возмущений самосопряженных дифференциальных операторов с дискретным спектром. Изучается асимптотика спектра и собственных функций операторов, представимых в виде А — В, где невозмущенный оператор А порождается краевой задачей для обыкновенного дифференциального уравнения. Доказана сходимость спектральных разложений исследуемого класса операторов.
В §2.1 проводится исследование спектральных свойств дифференциального оператора, действующего в гильбертовом пространстве Ьг[0; 1] задаваемого выражением Су = у и нелокальными краевыми условиями
і і
у(0) = f ao(t)y(t)dt, у(1) = У ai(t)y(t)dt,
о о
где ao(t) и ai(t) - функции из . [О; 1].
Для исследования спектра оператора С рассматривается сопряженный ему оператор
(C x)(t) = -x(t) + [i(l)ai(t) - (0)a0(i)]
с краевыми условиями х(0) = х(1) = 0. Представляя этот оператор в виде
А - В, где
(ЛІС)(І) = — x(t) — невозмущенный оператор,
(Bx)(t) = (0)ao() — i?(l)ai( ) — возмущение,
показывается, что данный оператор для любых функций ao(i), i(i) из 1 2[0; 1] принадлежит рассматриваемому классу операторов, и для собственных функций и собственных значений этого оператора получены оценки.
Теорема 2.1.1. Для любых функций ao(t) и ai(i) из гильбертова пространства 1 [0; 1] для собственных значений Ап и собственных функций en(t) оператора А — В справедливы оценки:
хп - А2 - ™( с + (-i)n+1 n)+
+™Е
п2 — fc2 fe i
const-n- (a + K)-72(n),
1/2
/ en( ) — -\/2sin7rrbt\2dt J consi
n
/ \1/2
(Kil + Knl)2
\Пг
k2\
I
fe l \кфп
где Ощ = 2 Jao(t)sin7rjtdt, a™ = 2 J ai(t) sin жjtdt - коэффициенты
о 0
разложения функций ao(t) и ai(t) в ряд Фурье по синусам.
В §2.2 исследуется асимптотика собственных значений и равносходимость спектральных разложений дифференциального оператора второго порядка, действующего в комплексном гильбертовом пространстве L i [0; 27г] и порождаемого дифференциальным выражением
А/ = -У + У
и начальными краевыми условиями:
2тг
у{0) = у(2тг) + f aQ(t)y{t)dt, о
2тг
у(0) = у(2тг) + /о1ЙуйЛ.
Здесь ао() и ai(t) - функции из L2[0;2TT]. Переходом к сопряженному оператору
[Cx){t) = -5(t) + a(t) - [і(2тг)а0( ) - ж(2тг)аі( )]
с краевыми условиями
х(0) = ж(2тг)
(0) = я(2тг)
и представляя его в виде Ах — So?, где невозмущенный оператор А порождается дифференциальным выражением
J\X — X \ Ху
а возмущение В порождается дифференциальным выражением
(Bx)(t) = x(27r)a0(t) - ж(2тг)аі( )5
доказывается, что оператор В принадлежит классу относительно конечномерных возмущений самосопряженных операторов, и справедлива следующая теорема.
Теорема 2.2.3. Пусть п - натуральное число, такое, что для любых функций ао() и аі(), принадлежащих гильбертову пространству і 2[0;27г], для величин 7і(п) и 72 ( ) выполнены условия:
п-їоо
lim 7i(n) = 0? lim ъ(п) = О п-їоо
Тогда для Х(Ап) - взвешенного среднего собственных значений оператора
Ап = А — В - имеет место оценка:
Лп(Ап)-(п2 + 1)+
па]
(-1)
п+1
sin , On i + E
т 1 тфп
( l)mmaZ п2 — m2 +
n — m E , T)+
.—J юл — rn J
m l тфп
п — т
п — т -L I ,rt™ V l V a0m _ „cos V V""1; malm + »aln 2 „2 _ m2 а0п Z „2 _ m2
т 1 тфп
т 1
тфп
а 72(n)VKT + №T + i T +
л/ад
где D(n) = (1 - 71W 72W)2 - 471( )72( )-Также справедлива оценка:
2тг / 2тг
cos
In
/ (Pn#)(t) / x(t) cos ntdt J cosnt—
2 \l/2
dt) 271W
sin ntdt I sin nt
J /Щп) + 1 - ЗТІ(П) - 72 (n) где Pn есть проектор Рисса, построенный по спектральному множеству ап оператора А — В.
I 2тг j_ 2тг
Здесь affis = — Г ao( ) cos jtdt] а,и = — f ao(t) sin jtdt;
7Г 0 7Г 27Г 2 2?r
sin
ад
a;
= — Г aUt) cos jtdt] Onf = — f ai(t) cos jtdt, j = 1,2,.-. , — коэф 0 7Г л 7Г n
фициенты Фурье функций ao(i) и ai(t) по системе собственных функций оператора А.
В §2.3 исследуются свойства интегро - дифференциальных операторов с вырожденным ядром. Доказано, что интегро - дифференциальный оператор, задаваемый выражением
(Cx)(t) = -ЗД - / K{t)s)x{s)ds,
о
к
K{t,s) = pi{t)qi{s)) pi,qi Є L2[0;1], =і и краевыми условиями ж (0) = ж (1) = 0 , принадлежит классу относительно
конечномерных возмущений самосопряженных операторов, и справедлива
следующая теорема.
Теорема 2.3.1. Для любых функций Pi(t), qi(s)9i = 1}к, из гильбертова пространства 1 2[0; 1] для собственных значений Хп и собственных функций en(t) оператора С справедливы оценки:
n2 _ m2
к к
К-КП -7;2 qinPin+T-2 2 / xm " « 4 2
г=1 m l
,sin
in
consi n • sup
«sin
к
E _ sin
i=l J (n),
/
Vі
,sin
V2
СЮ
Л Угп -г г:
n2 — га2
en(t) — v2 sin7rnt + —r -= r- sin7rm
9.ТГ І— ТІЙ — т т=1 \l/2
eft
/
™ «sin
n2 — m2\2
const • гг
/
оо sup
т=1
2\ V ft
/
\
1 t 1
где pfj1 = 2 J pi{t)sm7rjtdt, qfj1 = 2 f q%(s) sin ж jsds - коэффициенты 0 0
разложения функций Pi(t) qi(s)} і = l,k в ряд Фурье по синусам.
В этом же параграфе рассматривается интегро - дифференциальный оператор, действующий в гильбертовом пространстве . [О; 1], и порождаемый интегро - дифференциальным выражением
/
к ]СЙ( )Ф( М )Л
о i=1
1 и нелокальными краевыми условиями у(0) = f ao(t)y(t)dt,
3/(1) = /ai(t)y(t)dt7 где функции a0(t), ai(t) p;( ), ф(в), г = l,fc, при-о
надлежат 1/2 [0 ;1].
Переходя к сопряженному оператору
і (Cx)(t) = -x(t) - [x(0)a0(t) - x(l)ai(t)] - / K(i, s)a(s)ds,
e) = ft( )ftW,
г=1
с краевыми условиями (0) = ж(1) = 0 и представляя его виде Ах — Вх, где невозмущенный оператор А порождается дифференциальным выра
жением
Ах = -х, х Є D(A),
D(A) = {xe L2[0; 1]:х,хЄ C[0; 1], x Є L2[0; 1], x(0) = ж(1) = 0},
а возмущение В представляет собой сумму двух операторов В\ и В , которые на области определения D(A) задаются соотношениями
(ВіЯ;)( )=і(0)ао( )-і(1)аі( ); (В2я)( ) = / K{t,s)x(s)ds,
х є D{A)) t є [0;1], доказано, что оператор В принадлежит к классу относительно конечномерных возмущений самосопряженных операторов, и справедлива следующая теорема.
Теорема 2.3.5. Для любых функций pi{t)} ®(s), « = l,fc, ao(t), ai(t) из гильбертова пространства L [0; 1] для собственных значений Лп и собственных функций en(t) оператора А — В справедливы оценки:
1 \ _2 2 ГЛЛ //.sin і / -і \n+l_яіп\ \ А «sin- sin I
Ап»7гп -тгп(а0п + (-1) alfJ - - 2 n ftn + г=1
к
sin
І7П
+ Е ™№+(-1) ) + Е с#
т 1 тфп
т 1 V L Z г=1
sin гп
1 & 7гт(С + (-1)т+1 ) + О г=1
(п2 - т2)
A nsin
const• п. 7r(ag + aS) + - sup
й J
,81Н Н;
ёп( ) — v2sin7rnt+
sin
/к со 7гп(а + (-1Г+1аЙ + Е9Ж
— У о " Sill 7ГГДЇ
n2 — ГД2
ra=l
" «sin
г=1
oo
E
тфп
const • n
/
In2 — m2 2 v 1/2 dt\ 2\ 1/2
/
\
В §2.4 рассматриваются те же интегро - дифференциальные операторы, что и в §2.3, но ядро K(t7s) в них принадлежит гильбертову пространству L2([0; 1] X [0; 1]). Доказывается, что эти операторы также принадлежат классу относительно конечномерных возмущений и справедливы следующие теоремы.
Теорема 2.4.1, Для любых функций K(t,s) из гильбертова пространства 1/2 ([0; 1] х [0; 1]) для собственных значений Лп и собственных функций
en(t) оператора
і
(x)(t) = -( ) - / K(t,s)x(s)ds
о с краевыми условиями х(0) = х(1) = 0 справедливы оценки:
sin nm\
А„ - А2 - іКЙ + JL Y.
m l
ггьфп
Ksin\ • \к
n2 — m2
const - n • sup
nj
IKfin W,
f і
I
sin
e„(t) - V2siYi7rnt + - V I, mnl0 sinTrmt
№ — 77Г
27Г - - " — rr m—1 тфп xl/2
dt\
№\ \1/2
oo SUp f
n — m
const • n
2- In2 _
V
m l тфп
212
/
1
где Kf = 4// K(t} s) sin irjt sin msdtds -коэффициенты разложения функ o о ции K(t: s) в ряд Фурье по синусам.
Теорема 2.4.5. Для любых функций K(t, s) Є L2([0; 1] x [0; 1]),
a o{t)i ai(t) - 2[0; 1] для собственных значений Xn и собственных функций
en(t) оператора
і
{{А - B)x)(t) = x(t) - [x(0)a0{t) - i(l)ai( )] - I K{t,s)x(s)ds,
о
Ax = —x, x Є D(A),
D(A) ={xe L2[0; 1] : x, x Є C7[0; 1], x Є L2[Q] 1], я(0) - (1) = 0},
і {Bx)(t) = x(0)a0(t) - x(l)ai(t) + / if(t,s)tf(s)ds,
xeD(A), Є[0;1],
справедливы оценки:
Lnn
\ 2 2
A« — 7Г П —
7m(a+(-1)
s
m l тфп
sin
7rn(a + (-ir+1at) + - m
7rm(aS? + (-ir+1ag?) + iiqb
(n - m2)
Xsi?
const n • 72 (тг)
T(№I + K) + -SUP
(t) — V2sin7rnt+
E
тфп
V2 vniaZ + (-l)n+1« + IKZ
7Ґ
n2 — m2
sin 7rmt ЧІ/2
dt\
const - n
I
E
?n=l тфп
•(KSI + KD + I P
3 J
n2 — m2 2
Блочная диагонализация по изолированному спектральному множеству
Пусть A : D(A) С Н - Н - нормальный оператор (см., например, [3]), спектр которого представим в виде где Tj - взаимно непересекающиеся компактные множества. Кроме того, будем считать, что существует последовательность чисел і/ єС, к = 1,2,..., из резольвентного множества р(А) оператора А, такая,что Допустим, что существует константа /С, такая, что Заметим, что если на комплексной плоскости существует угол, внутри которого нет точек спектра оператора А9 то эти условия выполняются. Обозначим через Р/, j 1, проектор Рисса, построенный по спектральному множеству ay, j 1, тогда X) Pj = - Этот ряд является сходящимся в сильной операторной топологии. Без ограничения общности можно считать, что спектр а (А) оператора А не содержи возможен, если последовательности векторов {a&}Li С Я и {6 } 11 С Н таковы, что YJ 11II2 и fc i Пусть п - некоторое натуральное число; введём дополнительные обозначения: Построим допустимую для А тройку (Я, 7П,ГП), чтобы оператор В принадлежал пространству Я. Осуществим это в несколько этапов. Определение 1.2.1. В качестве Я возьмём линейное многообразие операторов из СА{Н) , представимых в виде для которых существует постоянная с 0, такая, что Отметим, что любой оператор XQ ИЗ Т2(#)? удовлетворяющий условию (1.2.10), принадлежит пространству допустимых возмущений it, поскольку Х0 - Х0А 1 А. Норму + в пространстве it зададим следующим образом; Построим теперь трансформатор Jn : it - ІХ вида Поскольку Qi и Q2 перестановочны с А, то Для построения трансформатора Гп в гильбертовом пространстве сг Н) (скалярное произведение задаётся формулой (Ti,T2) = tr Ti T )) рассмотрим трансформатор CLCIA : D(ad ) С o"2(i?) - т2(Я) (см., например, [39] ,[7] ,[35] ,[20]), определяемый формулой и оператор CLCIAXO : (.А) СЯ- Я допускает единственное расширение до некоторого оператора из a2(iJ)}. Введём подпространства из (Т2{Н) вида Эти подпространства являются инвариантными для трансформатора ad А .
Сужение adA \amk (adA)mk является ограниченным трансформатором и имеет спектр, совпадающий со множеством (см., например, [20]) Если т/ то трансформатор (асЦ)т& непрерывно обратим. Посколь ку операторы Ат и Ак являются нормальными (как сужение нормаль т нуля. Обозначим через Aj оператор APj, j = 1, 2,... Aj Є End H, a aj = sup Л. В качестве возмущения будем рассматривать оператор В : D(B) С Н -+ Н, такой, что D(B) = D(A) и оператор Б допускает представление (здесь (72(Я) - идеал операторов Гильберта - Шмидта, действующих в Я, с нормой І) Цг). Причём существуют две ненулевые последовательности неотрицательных чисел {oy}Li, {/} из гильбертова пространства э такие, что оператор BQ допускает оценки Лемма 1,2.1. Оператор В : D{A) С Н Я, задаваемый соотношением удовлетворяет условиям (1,2.3), (1.2.4), если в оценке (1.2.4) положить Замечание 1.2.1. Случай N = оо возможен, если последовательности векторов {a&}Li С Я и {6 } 11 С Н таковы, что YJ 11II2 и fc i Пусть п - некоторое натуральное число; введём дополнительные обозначения: Построим допустимую для А тройку (Я, 7П,ГП), чтобы оператор В принадлежал пространству Я. Осуществим это в несколько этапов. Определение 1.2.1. В качестве Я возьмём линейное многообразие операторов из СА{Н) , представимых в виде для которых существует постоянная с 0, такая, что Отметим, что любой оператор XQ ИЗ Т2(#)? удовлетворяющий условию (1.2.10), принадлежит пространству допустимых возмущений it, поскольку Х0 - Х0А 1 А. Норму + в пространстве it зададим следующим образом; Построим теперь трансформатор Jn : it - ІХ вида Поскольку Qi и Q2 перестановочны с А, то Для построения трансформатора Гп в гильбертовом пространстве сг Н) (скалярное произведение задаётся формулой (Ti,T2) = tr Ti T )) рассмотрим трансформатор CLCIA : D(ad ) С o"2(i?) - т2(Я) (см., например, [39] ,[7] ,[35] ,[20]), определяемый формулой и оператор CLCIAXO : (.А) СЯ- Я допускает единственное расширение до некоторого оператора из a2(iJ)}. Введём подпространства из (Т2{Н) вида Эти подпространства являются инвариантными для трансформатора ad А . Сужение adA \amk (adA)mk является ограниченным трансформатором и имеет спектр, совпадающий со множеством (см., например, [20]) Если т/ то трансформатор (асЦ)т& непрерывно обратим. Посколь ку операторы Ат и Ак являются нормальными (как сужение нормаль ного оператора), то трансформатор (adA)mk : атк — &тк также явля ется нормальным в гильбертовом пространстве ат (скалярное произве дение в гтк индуцируется из 0(Я )), следовательно, нормальным явля ется и его обратный (ad ) , и его норма равна спектральному радиусу I г ((ad ) .) = т.—/ г ) ) т-е- имеет место оценка Трансформатор Гп определим на операторных блоках Xmk = PmXPk. Положим TnXmk — 0, если {гп ф п} А {к ф п} V {гп = к = п}. На оставшихся блоках Xmk = Р Х Р А, Х$ Є 72{H){m = п А к ф п} V {k = п А та ф п} в качестве YnXm будем брать оператор ZQ A, где %0тк 02(H) удовлетворяет условию PmZ$mkPk = Zomk, {m = пАк ф п}\/ {к = п Агп фп}, и является решением уравнения AZamk — Zomk = = AmZomk — ZomkAk = PmX$Pk или Поскольку m ф k то это уравнение имеет единственное решение, для которого в силу неравенства (1.2.15) справедлива оценка В силу соотношения (1.2.10) окончательно получаем \\Zomk\\2 У ХК {m = nAk n}V{k = nAm n}. (1.2.17) aist{am, ah) Определение 1.2.2, Трансформатор Гп : 11 —у cr i{H) С End Н для любого X = XQA Є it определим следующим образом: Корректность определения трансформатора Тп доказывается при дополнительных условиях, сформулированных в следующей лемме. Сразу же отметим, что непосредственно из построения трансформатора Гп следует, что выполнено свойство 4 из определения 1.1.4. Лемма 1.2,2. Пусть натуральное число п 1 таково, что выполнено условие Тогда ряды (1.2.19) и (1.2,20) сходятся в ильбертовом пространстве сг2(#), т.е. трансформатор Тп корректно определен, и для него справедлива оценка Теорема 1.2.1. Пусть п - натуральное число, такое, что выполнено условие (1.2.21), и, кроме того, Тогда тройка (il, Jra, Гп) является допустимой для оператора А. Замечание 1.2.2. Из способа построения допустимой тройки (ІХ, Jn, Г„ следует, что она является допустимой расщепляющей тройкой для оператора А. Напомним, что Ьу = Ц-By , где By = QiBQj, Хц = Q%XQj) j = 1,2, - операторные блоки. Теорема 1.2,2 Пусть п - натуральное число, такое, что выполнены условия (1.2.21) и (1.2.23). Тогда для любого оператора В Gil, удовлетворяющего условию где 7 (ft) = тах{7і(н), 72( ))5 оператор А — Б подобен оператору А - JnX {n), Х (п) Є it имеет вид: Хц{п) (i9j = 1,2) есть соответствующее решение системы уравнений (1.1.10) - (1.1.13), для которого справедлива оценка (1.1.16). Оператором преобразования подобия является оператор I -\- ГпХ (n). Теорема 1.2,2 позволяет получить разнообразные спектральные свойства оператора А — В .
Метод подобных операторов для дискретных самосопряженных операторов
Пусть Н - бесконечномерное сепарабельное комплексное пространство и A : D(A) С Н — Н - самосопряженный полуограниченный снизу дискретный оператор (т.е. оператор, резольвента которого R(X:A) = (А — А/)"1, А Є р(А), является компактом). Без ограничения общности можно считать А положительно определенным оператором. Кроме того, будем предполагать, что собственные значения оператора А полупростые и перенумерованы (с учётом кратности) в порядке неубывания 0 Аі А2 ... Ап .., , и спектр оператора представим в виде с (A) = (J т&, где 0 - состоящее из конечного числа собственных А;=1 значений множество. Обозначим через Р(ХІ:А) проектор Рисса Р{а А) когда 7 - одноточечное множество, состоящее из собственного значения Х(: Оператор А будем считать невозмущенным оператором. В качестве возмущения будем рассматривать оператор В : D{B) СЯ4Я, удовлетворяющий тем же требованиям, что ив 1.2. Поскольку самосопряженный оператор является нормальным, то к оператору А — В применимы результаты этой главы. Кроме того, они допускают некоторое уточнение и позволяют получить оценки на собственные значения и собственные векторы оператора А — В. Зафиксируем п - некоторое натуральное число и рассмотрим тройку (it, «/„, Г„), определенную в 1.2. Напомним, что пространство возмущений it - это линейное многообразие операторов из CA(H) , удовлетворяющих условиям (1.2.9), (1.2.10), с нормой, задаваемой соотношением (1.2.11). Трансформатор Jn : it — Я определяется соотношением Трансформатор Тп задается определением (1-2.2) из 1.2, корректность которого сформулирована в лемме 1.2.2 1.2. Оказывается, что в этом случае трансформатор Гп : it Ч- Т2{Щ можно задать явной формулой, которая позволяет получить теоремы о локализации собственных значений и собственных векторов оператора А — В. Лемма 1-4.1, Пусть трансформатор Гп на операторах X Є it определяется формулой где Si - линейный ограниченный оператор в Н, удовлетворяющий условию (0 - нулевой оператор в Н). Тогда ГпХ Є ст2(і7) для любого X Є it, и трансформатор ГП} определяемый формулой (1.4.2), совпадает с трансформатором, задаваемым определением 1.2.2 из 1.2, и для него справедлива оценка (1.2.22). Замечание 1.4Л. Оценки норм операторов ТпХ, YTnX, (TnX)Y, где X, Y Є ІІ} можно получить непосредственно, используя представление (1.4.2) оператора ТпХ и оператора 5г- формулой Замечание 1.4.2.
В этом случае для оператора ТпХ выполнено свойство 5а определения допустимой тройки, поскольку АТпХ = ]Г {AP(Xi} A)X0ASi - ASiX0AP(Xh А)). Каждое слагаемое в этой сумме является ограниченным оператором, поэтому, в силу конечности множества ап, ЛГпХ является ограниченным оператором. Перейдем к дальнейшему изучению спектральных свойств оператора А — В , используя конечномерность подпространства РпН. Определение 1.4.1. Пусть Е - конечномерное линейное простран 1 ство, С : Е — Е - линейный оператор, число Л = ——— tr С называет diirijK ся взвешенным средним собственных значений оператора С (tr С - спектральный след оператора С, равный сумме всех его собственных значений с учетом кратности). Теорема 1.4.1. Пусть п - натуральное число, такое, что выполнены условия теоремы 1.2.2. Тогда для Х(Ап) - взвешенного среднего собственных значений \(Ап) оператора Ап = {А - В) РпН, (1.4.5) где проектор Рп определен формулой w Следствие 1.4.1. Если множество ап = {Хп} состоит из одного собственного значения кратности к, то Оценки на собственные значения и собственные векторы оператора А — В : если ап = {Хп}7 га 1, - одноточечные множества, причем Лп -простое собственное значение оператора А, даются в следующей теореме. Теорема 1.4.2. Пусть собственные значения оператора А простые и пронумерованы в порядке возрастания 0 Лі Л2 ... Хп и еі, Є23 ... ,en, ... - ортонормированный базис из собственных векторов оператора А, соответствующих этим собственным значениям. Если для некоторого натурального п выполнены условия теоремы 1.2.2, то еп = (J -f ГпХ (п)) еп является собственным вектором оператора А — В, соответствующим собственному значению Хп, и имеют место оценки: .
Асимптотика собственных значений и равносходимость спек тральных разложений дифференциального оператора второго порядка с периодическими нелокальными краевыми условиями
Рассмотрим дифференциальный оператор порождаемый дифференциальным выражением вида N и краевыми условиями Такого класса операторы возникают, в частности, при исследовании спектральных свойств дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условиями, причём рассматривается сопряженный исходному оператор. Для простоты выкладок будем рассматривать случай N = 2. Рассмотрим дифференциальный оператор, действующий в комплексном гильбертовом пространстве L2[0;27r], И порождаемый дифференциальным выражением и начальными краевыми условиями: Здесь do(t) и ai(t) - функции из L2[0;27r]. Т.к. собственные значения оператора С и ему сопряженного оператора С связаны соотношением Л = Л, то для исследования спектра оператора С рассмотрим сопряженный ему оператор из условия {Су х) = (у, #), где (,) скалярное произведение в 2[0;2 7г]. Для исследования спектральных свойств оператора применяется вариант метода подобных операторов, изложенный в работе [67], позволяющий получить оценку сходимости спектральных разложений оператора с сопряженный исходному оператор. Для простоты выкладок будем рассматривать случай N = 2. Рассмотрим дифференциальный оператор, действующий в комплексном гильбертовом пространстве L2[0;27r], И порождаемый дифференциальным выражением и начальными краевыми условиями: Здесь do(t) и ai(t) - функции из L2[0;27r]. Т.к. собственные значения оператора С и ему сопряженного оператора С связаны соотношением Л = Л, то для исследования спектра оператора С рассмотрим сопряженный ему оператор из условия {Су х) = (у, #), где (,) скалярное произведение в 2[0;2 7г]. Для исследования спектральных свойств оператора применяется вариант метода подобных операторов, изложенный в работе [67], позволяющий получить оценку сходимости спектральных разложений оператора с относительно конечномерным возмущением. Перейдём к исследованию спектральных свойств оператора где А порождается дифференциальным выражением Ах = — х + х и краевыми условиями (2.2.2),
Известно, что А - самосопряженный оператор с дискретным спектром, собственное значение которого AQ = 1 является простым, а остальные собственные значения Лп = п2 + 1, п 1, двукратны; собственные функции оператора А, отвечающие этим собственным значениям e0(t) = ванный базис в гильбертовом пространстве І О; 27г] (см., например, [7]). Докажем следующие утверждения. Теорема 2.2.1. Оператор В : D(A) С 2[0;27г] - 2[0;27г] представим в виде где Бо Є 02(- 2 [0; 27г])(а"2(І/2[0; 27г]) - идеал операторов Гильберта - Шмидта, действующих в гильбертовом пространстве 2 2[0; 2тг]) и где Pi - проектор Рисса, построенный по одноточечному множеству V% = (2 + 1}, (PiX = (ж, Є2г-і)е2г-1 + (ж, Є2г)е2г? « Ф 0, (-, )" Скалярное произведение в І2[0;2тг]), Доказательство. Покажем, что оператор В представим в виде Вх = Во Ах. Действительно, Вх = Віх = В А 1 Ах = В0Ах, где В0 = В А 1. Докажем, что JP0B0Pj2 OQPJ, J = 1,2,... . ей /1( 060, -012+ ( e0,e2,)2. -і(і) Й = Числа a a 1, a(s являются коэффициентами Фурье для функции ao(i), а числа a, a, a5s - коэффициентами Фурье для функции а\{і) по системе (е(ьеъе2э. ) собственных функций оператора А. Как известно, для любой функции / Є 1/2[0; 2тг] квадраты её коэффициентов Фурье образуют относительно конечномерным возмущением. Перейдём к исследованию спектральных свойств оператора где А порождается дифференциальным выражением Ах = — х + х и краевыми условиями (2.2.2), Известно, что А - самосопряженный оператор с дискретным спектром, собственное значение которого AQ = 1 является простым, а остальные собственные значения Лп = п2 + 1, п 1, двукратны; собственные функции оператора А, отвечающие этим собственным значениям e0(t) = ванный базис в гильбертовом пространстве І О; 27г] (см., например, [7]). Докажем следующие утверждения. Теорема 2.2.1. Оператор В : D(A) С 2[0;27г] - 2[0;27г] представим в виде где Бо Є 02(- 2 [0; 27г])(а"2(І/2[0; 27г]) - идеал операторов Гильберта - Шмидта, действующих в гильбертовом пространстве 2 2[0; 2тг]) и где Pi - проектор Рисса, построенный по одноточечному множеству V% = (2 + 1}, (PiX = (ж, Є2г-і)е2г-1 + (ж, Є2г)е2г? « Ф 0, (-, )" Скалярное произведение в І2[0;2тг]), Доказательство. Покажем, что оператор В представим в виде Вх = Во Ах. Действительно, Вх = Віх = В А 1 Ах = В0Ах, где В0 = В А 1. Докажем, что JP0B0Pj2 OQPJ, J = 1,2,... . ей /1( 060, -012+ ( e0,e2,)2. -і(і) Й = Числа a a 1, a(s являются коэффициентами Фурье для функции ao(i), а числа a, a, a5s - коэффициентами Фурье для функции а\{і) по системе (е(ьеъе2э. ) собственных функций оператора А. Как известно, для любой функции / Є 1/2[0; 2тг] квадраты её коэффициентов Фурье образуют
Приложения к интегро - дифференциальным операторам с интегрируемым с квадратом ядром
К данному оператору применим рассматриваемый вариант метода подобных операторов, те. оператор С можно представить в виде А — В, где (Ау)(х) = у (х) - невозмущенный оператор, а В гильбертовом пространстве 2/2 [0; 1] рассмотрим оператор С : D() С Ьг[0;1] — 2уг[0;1], задаваемый интегро-дифференциальным выражением вида Оператор А будем считать невозмущенным оператором, В - возмущением, которое представляет собой интегральный оператор с ядром K(tjs) Є L/2([0] 1] х [0; 1]). Рассматриваемый оператор А является самосопряженным пол Хп = 7Г2п2, п Є N, а собственные функции en(t) = л/2 sin imt образуют ортоиормированный базис в гильбертовом пространстве г[0; 1]. Доказательства многих из приводимых здесь результатов опускаются, так как они аналогичны доказательствам соответствующих результатов 2.3. Бо Є О2(І 2[0;1]) (о"2(- 2[0; 1]) - идеал операторов Гильберта - Шмидта, действующих в гильбертовом пространстве Хг[0; 1] и Таким образом, исследуемый оператор принадлежит к классу операторов, рассмотренных в работе [67]. Применим результаты этой работы для оценки собственных значений и собственных функций оператора (2.4.1). Имеет место следующее утверждение. Лемма 2.4.2. Для любых функций K(t,s) L2([0;1] х [0; 1]) для величин Получим оценки на собственные значения и собственные функции оператора А — В. Теорема 2,4.1. Для любых функций K[tjs) из гильбертова пространства 1/2 ([0; 1]х[0; 1]) для собственных значений Лп и собственных функций en(t) оператора (2.4.1) справедливы оценки: Как показано в работе [67] (теорема 2.1.2), при выполнении условий (2.4.10) для собственных значений Л и собственных функций en(t) оператора А — В справедливы оценки; Учитывая, что норма в выражении (2.4.14) берётся в гильбертовом пространстве 1/2 [0; 1], получим окончательную оценку на собственные функции оператора А — В: Аналогично теоремам 2.3.2 и 2.3.3 доказываются следующие утверждения. Теорема 2,4.2, Для любого натурального п На основе вышеприведенных теорем 2.4.2 и 2.4.3 сформулируем утверждение, справедливое для рассматриваемого оператора (2.4.1). Теорема 2.4.4. Пусть функция K{t, s) Є L2([0] 1] X [0; 1]). Тогда, начиная с некоторого натурального щ, оператор А —
В подобен оператору А— /пХ (п), п щ, где Х (п) представим в виде суммы решений системы (1.1.10) - (1.1.13) и \\P(Ai{n),A)-P(Ai(n),A-B)\\ - 0 при п -+ оо. п Учитывая, что норма в последнем выражении берётся в гильбертовом пространстве Ьг[0; 1], получим окончательную ожительно определенным оператором, который имеет простые собственные значения Хп = 7Г2п2, п Є N, а собственные функции en(t) = л/2 sin imt образуют ортоиормированный базис в гильбертовом пространстве г[0; 1]. Доказательства многих из приводимых здесь результатов опускаются, так как они аналогичны доказательствам соответствующих результатов 2.3. Бо Є О2(І 2[0;1]) (о"2(- 2[0; 1]) - идеал операторов Гильберта - Шмидта, действующих в гильбертовом пространстве Хг[0; 1] и Таким образом, исследуемый оператор принадлежит к классу операторов, рассмотренных в работе [67]. Применим результаты этой работы для оценки собственных значений и собственных функций оператора (2.4.1). Имеет место следующее утверждение. Лемма 2.4.2. Для любых функций K(t,s) L2([0;1] х [0; 1]) для величин Получим оценки на собственные значения и собственные функции оператора А — В. Теорема 2,4.1. Для любых функций K[tjs) из гильбертова пространства 1/2 ([0; 1]х[0; 1]) для собственных значений Лп и собственных функций en(t) оператора (2.4.1) справедливы оценки: Как показано в работе [67] (теорема 2.1.2), при выполнении условий (2.4.10) для собственных значений Л и собственных функций en(t) оператора А — В справедливы оценки; Учитывая, что норма в выражении (2.4.14) берётся в гильбертовом пространстве 1/2 [0; 1], получим окончательную оценку на собственные функции оператора А — В: Аналогично теоремам 2.3.2 и 2.3.3 доказываются следующие утверждения. Теорема 2,4.2, Для любого натурального п На основе вышеприведенных теорем 2.4.2 и 2.4.3 сформулируем утверждение, справедливое для рассматриваемого оператора (2.4.1). Теорема 2.4.4. Пусть функция K{t, s) Є L2([0] 1] X [0; 1]). Тогда, начиная с некоторого натурального щ, оператор А — В подобен оператору А— /пХ (п), п щ, где Х (п) представим в виде суммы решений системы (1.1.10) - (1.1.13) и \\P(Ai{n),A)-P(Ai(n),A-B)\\ - 0 при п -+ оо. п Учитывая, что норма в последнем выражении берётся в гильбертовом пространстве Ьг[0; 1], получим окончательную оценку: і
