Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Линейные операторы вольтерра и вольтерра фредгольма с частными интегралами 18
1. Основные свойства линейных операторов с частными интегралами 18
1.1. Действие и непрерывность '... 19
1.2. Пространства операторов с частными интегралами 22
1.3. Условия нетеровости и фредгольмовости 24
1.4. Обратимость и резольвента 32
2. Линейные операторы Вольтерра с частными интегралами . 40
2.1. Операторы Вольтерра с одномерными частными интегралами . 40
2.2. Операторы Вольтерра с частными интегралами в C(TxS) 45
3. Линейные операторы Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами . 58
3.1. Операторы Вольтерра-Фредгольма с одномерными частными интегралами 59
3.2. Операторы Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами в C(TxS)...: 64
3.3. Операторы Вольтерра-Фредгольма-Романовского с частными интегралами 66
ГЛАВА II. Нелинейные операторы вольтерра и вольтерра-фредгольма с частными интегралами 71
4. Нелинейные операторы с частными интегралами в пространстве непрерывных функций 71
4.1. Действие, ограниченность, непрерывность и равномерная непрерывность операторов Урысона с частными интегралами . 71
4.2. Условие Липшица и условие Гельдера 77
4.3. Дифференцирование операторов Урысона с частными интегралами 80
4.4. Операторы Гаммерштейна с частными интегралами 84
5. Нелинейные операторы Вольтерра с частными интегралами ... 86
5.1. Нелинейные операторы Вольтерра с частными интегралами в C([a,b]x[c,d]) 86
5.2. Случай пространства C(TxS) 90
6. Нелинейные операторы Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами 93
ГЛАВА III. Уравнения вольтерра и вольтерра фредгольма с частными интегралами 98
7. Линейные уравнения с частными интегралами в пространстве непрерывных функций 98
8. Линейные уравнения Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами 102
8.1. Уравнения Вольтерра с частными интегралами 102
8.2. Уравнения Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами 104
8.3. Уравнения Вольтерра-Фредгольма-Романовского с частными интегралами... 106
9. Нелинейные уравнения Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами 107
9.1. Нелинейные уравнения Вольтерра с частными интегралами 108
9.2. Нелинейные уравнения Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами 111
10. О применении уравнений с частными интегралами к изучению математических моделей некоторых прикладных задач 112
10.1. Приложения линейных уравнений с частными интегралами 112
10.2. Применение нелинейных уравнений с частными интегралами к изучению математических моделей некоторых задач теплоизлу-чающих тел 116
11. О приближенном и численном решении уравнений с частными интегралами 118
Литература 122
- Линейные операторы Вольтерра с частными интегралами
- Линейные операторы Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами
- Нелинейные операторы Вольтерра с частными интегралами
- Нелинейные уравнения Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами
Введение к работе
1. К интегральным уравнениям Вольтерра с частными интегралами x(t,s) = I l(t,s,r)x(r,s)dr -f I m(t, s,a)x(t, a)dcr+ rr (01) + n(t,s,T,a)x(T,(T)dTda + f(t,s) = (Kix)(t,s) + f(t,s) приводятся различные проблемы дифференциальных уравнений с частными производными [9, 12, 63], теории упругих оболочек [9] и другие задачи [9, 14,
Интегральные уравнения Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами x(t,s) — I l(t,s,T)x(r,s)dT+ I m(t,s,cr)x(t,<7)d(T+ Ja Jc (0>2) + n(t,s,T,a)x(T, В уравнениях (0.1) и (0.2), Q — одно из множеств [a, t] х [с, s],[a,] х [с,d],[a,6] х [cys] и [a,t] х [c,s]j[a,t] х [с, d],[a,6] х [с,s], [a,b] х [с,d] соответственно, l,m,n,f — заданные измеримые функции, а интегралы понимаются в смысле Лебега. Разрешимость и свойства решений уравнений (0.1) и (0.2) зависят от пространств, в которых изучаются эти уравнения, и свойств операторов К\ и Кч в выбранных пространствах. Так как оператор К\ содержит интегралы с переменными пределами интегрирования, а Кч~ с переменными и постоянными пределами интегрирования и интегралы, в которых x(t,s) интегрируется по части переменных, то К\ называют оператором Вольтерра, а K Уравнение (0.1) с О, = [a,t] х [с, s] и непрерывными ядрами изучалось впервые, по-видимому, В. Вольтерра [98], Э. Гурса [12], Г. Мюнтцем [63]. В пространстве C(D) непрерывных на D = [а, Ь] X [с, d\ функций оператор К\ и уравнение (0.1) с непрерывными в целом и интегрально ограниченными ядрами исследовались в [76, 77, 78, 79, 80], в различных классах функциональных пространств оператор К\ и уравнение (0.1) с ядрами достаточно общего вида исследовались в [17, 21, 23, 25, 26, 27, 40, 41, 83, 85, 86, 87, 91]. При этом были получены условия равенства нулю спектрального радиуса оператора К\, решение уравнения находилось методом последовательных приближений и устанавливался вид резольвенты. Пример 2.2 показывает, что спектральный радиус действующего в C{D) оператора К\ может быть отличен от нуля. Оператор Кч и уравнение (0.2) с непрерывными в целом и интегрально ограниченными ядрами в C(D) изучалось в [78], при других условиях на ядра и в других пространствах операторы и уравнения Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами изучались в [26, 31, 78, 85]. В этих работах получены условия нетеровости, фредгольмовости и обратимости оператора XI — Кч и уравнения (0.2), строились резольвенты обратимых уравнений. Приближенное и численное решение уравнений Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами рассматривалось в [13, 26, 65, 73, 82, 83,90]. Уравнения Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами теории упругих оболочек, механики сплошных сред, осесимметричных контактных задач изучались в [9, 20, 22, 24, 26, 28, 29, 30, 74, 75]. К нелинейным уравнениям Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами сводятся некоторые задачи для нелинейных уравнений с 'A частными производными [92, 93, 95, 96], интегро-дифференциальных уравнений Барбашина [83], для температурного поля теплопроводящих тел [7, 8]. Нелинейные операторы и уравнения Вольтерра, Вольтерра-Фредгольма, Гам-мерштейна и Урысона с частными интегралами исследовали Ю. Аппелль, П.П. Забрейко, А.С. Калитвин, А.И. Поволоцкий и др. [32, 33, 34, 35, 39, 66, 70,71,83,92,93,95,96]. Систематическое изложение свойств нелинейных операторов с частными интегралами в функциональных пространствах, отличных от пространства непрерывных функций, проведено в монографии [33], в ней же содержится и библиография работ по теории линейных и нелинейных операторов и урав-нений с частными интегралами и их приложениям. Основные результаты об операторах и уравнениях Вольтерра и Вольтерра- Фредгольма с частными интегралами в пространстве С(Т х S) непрерывных на Т х S функций были получены при условии Т = [а,Ь] и S = [с, d\. В об щем случае компактных множеств Т и S из конечномерных пространств свой ства линейных и нелинейных операторов Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма ; с частными интегралами оказались фактически неисследованными. Данное | обстоятельство и важное прикладное значение линейных и нелинейных ин- ! тегральных уравнений Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма с частными ин- ' тегралами свидетельствуют об актуальности исследования этих уравнений и соответствующих им операторов. 2. В диссертации развиты операторные методы исследования линейных и нелинейных интегральных уравнений Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами в пространстве непрерывных функций. Изучают ся действие, непрерывность, нетеровость, фредгольмовость, обратимость ли- ; нейных операторов с частными интегралами, спектральные свойства опера- торов Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами и раз решимость соответствующих интегральных уравнений. Исследуются дей ствие, ограниченность, непрерывность, равномерная непрерывность, лип- шицивость, гельдеровость и дифференцируемость операторов Урысона и j^i Гаммерштейна, а также нелинейных операторов Вольтерра и Вольтерра- Фредгольма с частными интегралами, и разрешимость соответствующих им нелинейных уравнений Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма. Рассмотрено применение линейных и нелинейных уравнений Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами к изучению математических моделей некоторых задач механики сплошных сред и теплоизлучающих тел, приведены алгоритмы приближенного и схемы численного решения некоторых классов уравнений с частными интегралами. Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего, 98 наименований (всего 132 страницы машинописного текста). В главе 1 изучаются линейные операторы Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами. 1 содержит основные свойства линейных операторов с частными интегралами в пространстве C(D) непрерывных на D = [а, Ь] х [с, d] и на D = Т х S функций, где Т и S — некоторые компактные множества конечномерных пространств. Основным объектом, рассматриваемым в данном параграфе, является оператор K = C + L + M + N, (0.3) где операторы С, L, М, N определяются равенствами (Cx)(t,s) = c(t, s)x(t, s),(Lx)(t, s) = l(t,s,r)x(r,s)dr, (Mx)(t,s) = m(t,s,a)x(t,a)d(T,(Nx)(t,s) = // n(t,s,r,a)x(T,a)drda, Js J Jd c,Z,m,n — заданные действительные измеримые на D,D х Г, D х 5, D х D соответственно функции, а интегралы понимаются в смысле Лебега. Пример 1.1 оператора (0.3) с c(t,s) = 0,m(t,s,a) = 0, n(, s,г,a) = Q,l(t,s,r) = l и T = S = [0,1] показывает, что К — не интегральный, а / — К — не нетеров оператор. Пункты 1.1 и 1.2 носят вспомогательный характер; они содержат известные результаты о непрерывности действия, достаточные условия действия в C(D) оператора (0.3), критерии его действия в C([a,b] х [с, d]) и свойства различных пространств операторов вида (0.3). Пример 1.2 показывает, что из действия оператора (0.3) в C(D) не следует действие в C(D) операторов C,L,M,N. Основные результаты параграфа — это приведенные в пунктах 1.3—1.4 условия нетеровости, фредгольмовости и обратимости оператора I — К в C(D) = С(Т х S) при c(t,s) = 0. В теоремах 1.7 и 1.11 получены условия, при которых в банаховом пространстве X нетеровость оператора I—А—В—С; где А, В, С—действующие в X линейные непрерывные операторы, равносильна нетеровости операторов / — А и І" — Б, и условия равносильности в X фредгольмовости оператора I — А — В — Си оператора I — В (1-А) при дополнительном условии фредгольмовости или обратимости в X оператора I — А (I — В соответственно ). С применением этих теорем, в теоремах 1.8 и 1.12 получены условия, при которых в C{D) нетеровость оператора I — К равносильна нетеровости операторов I — Lnl — М, а фредгольмовость I — K — фредгольмовости 1-М (I — L) при дополнительном условии фредгольмовости или обратимости оператора I — L (I — М) соответственно. В теореме 1.9 установлена равносильность в C(D) нетеровости оператора I — K с непре рывными в целом и интегрально ограниченными ядрами l(t, s,r),m{t, s,a) и n(t,s,T,a) нетеровости более простых операторов I — L и 1-М. Теорема 1.10 показывает равносильность в C(D) фредгольмовости оператора I — К снепрерывными в целом и интегрально ограниченными ядрами фредгольмово сти операторов 1—Ьи 1-М, которая равносильна обратимости I—Ln 1-М.В теореме предполагается, что Т и S — компактные множества без изолиро ванных точек. С применением методики из [16] для случая С([а, b] х [с, d])изучается обратимость в С(Т х S) оператора I — К с непрерывными в целом и интегрально ограниченными ядрами и строятся резольвенты обратимых уравнений. В 2 изучаются линейные операторы Вольтерра с частными интегралами. Свойства этих операторов в пространстве С([а,Ь]х [с, d]) приведены в пункте 2.1. Теорема 2.1 дает критерий действия оператора Вольтерра в этом пространстве, пример 2.1 показывает, что его спектральный радиус может быть отличен от нуля, а теоремы 2.2—2.4 и следствия 2.1—2.3 содержат условия равенства нулю спектрального радиуса. В пункте 2.2 операторы Вольтерра с частными интегралами изучаются в пространстве С(Т х5), где Т и S — некоторые компактные множества конечномерных пространств. При этом вводится определение ядер Вольтерра, а оператором Вольтерра с частными интегралами называется оператор (Kx)(t,s) = l(t,s,r)x(r,s)dr + I m(t,s,a)x(t,cr)d В теореме 2.5 показано, что если операторы L,M,N с ограниченными ядрами Вольтерра действуют в C(TxS), то спектральный радиус операторов K,L,М,N равен нулю: r(K) = r(L) = r(M) = r(N) = 0. Ядра Вольтерра определяют множества Вольтерра T(t) и S(s), по которым строятся другие ядра Вольтерра. В теореме 2.6 показано, что если J(t,s,r),m(t,s,cr) и n(t,s,r,а) непрерывные в целом и интегрально ограниченные функции, то r(K) = r(L) = r(M) = r(N), где ядра оператора (0.4) определяются равенствами l(t,s,r)=J(t,s,T)xT(t)(r),m{t,s,a)=m(t,s,a)xs(s)(cr), ,пе. _ _ (U.5) n(t,s,r,a) =n(t,s,T,a)xT(t){T),n(t,s,T,a) =n(t,s,r,a)xs(s){^)r Другие условия, при которых r(K) = r(L) = r(M) = r(N), получены в теореме 2.7 и следствиях 2.4—2.6. Из результатов пункта 2.2 непосредственно вытекают приведенные в пункте 2.1 условия обращения в нуль спектрального радиуса оператора К\. В 3 изучаются операторы Вольтерра-Фредгольма с одномерными частными интегралами, в С(Т х S) и операторы Вольтерра-Фредгольма-Романовского. Приводятся схемы получения критериев действия в С ([а, Ь] х [с, d]) следу- ющих операторов: (Kzx)(t,s)= / l(t,s,T)x(r,s)dT + / m(t,s,cr)x(t,a)da+ (0.6) J a J с лЬ pd + / I n(t,s,T, Если ядра операторов (0.6)-(0.8) непрерывны в целом и интегрально ограничены, то эти операторы действуют в С([а,6] X [с,d]), в силу теоремы 3.1 для существенного спектра Шехтера этих операторов справедливы равенства aes(K^) = {0},aes(K4) = a(M), Приводятся условия, при которых фредгольмовость оператора / — fiK^ (I — 11К5) равносильна фредгольмовости оператора / — \iM (I — fiL соответственно). Если среди ядер оператора (0.4) имеются ядра Вольтерра, то он называется" оператором Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами и обобщает оператор Вольтерра с частными интегралами. Через Kq, Kj, К% обозначим оператор (0.4) с ядрами Вольтерра Z и га, Z,m соответственно. В силу теоремы 3.5 aes(Ko) — {0}, если I и т — ядра Вольтерра (0.5), а функции 1,Шип непрерывны в целом и интегрально ограничены; если же / (тп)— ядро Вольтерра (0.5), а функции Z, га и п (га,/,п) непрерывны в целом и интегрально ограничены, то aes(K-j) = a(M)((jes(K%) = a(L)). Теорема 3.6 содержит условия, при которых фредгольмовость оператора XI — K-j (XI — К$), его обратимость и обратимость оператора XI —М (XI — L) равносильны. В теоремах 3.7 и 3.8 приведены условия фредгольмовости операторов I — fj,K-j и / — [іКя. Из теорем 3.5 - 3.8 вытекают приведенные выше спектральные свойства операторов К$,К^К^. Нелинейные операторы Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами исследуются в главе 2. В 4 рассматриваются условия действия, ограниченности, непрерывности, равномерной непрерывности, липшицивости, дифференцируемости, липши-цивости производных нелинейных операторов с частными интегралами. Изучаются операторы Урысона с частными интегралами, которые в общем случае записываются в виде A = F + A1+A2 + A3, ~ (0.9) где через F, Лі, Л2,Лз обозначены операторы (Fx)(t,s) = f(t,s,x(t,s)), (Aix)(t, s) = ai(t,s,r,x(r,s))dr, (A2x)(t,s) = a2(t,s,a,x(t,a))da, (A3x)(t,s) =// ai(t,s,r,c7,x(T,a))dTdc7, T и S — компактные множества в конечномерных пространствах, D = Т х 5, t,r Є Т, s,a Є 5, а функции f(t,s,u), ai(t,s,r,u), a2(t,s,a,u), a^(t, s, г, а, и) определены на Dx (—со, сю), DxTx (—со, со), DxSx (—со, со), D х D х (—со,оо) соответственно и удовлетворяют уловиям Каратеодори. Свойства оператора (0.9) определяются свойствами оператора суперпозиции F и операторов Лі,Л2,Лз- Основные свойства оператора F представлены для удобства в теореме 4.1. В теореме 4.2 показано, что операторы Лі, А2, А-х,с г—непрерывными в целом и г — интегрально ограниченными функция ми действуют в C(D), ограничены, непрерывны и равномерно непрерывны ^ на ограниченных множествах. Условия, при которых этими же свойствами обладает оператор (0.9), приведены в теореме 4.3; они получаются объединением условий теорем 4.1 и 4.3. Теорема 4.4 содержит свойства операторов суперпозиции (Aix)(r,s,t) =ai(T1sit,x(T,s,t)),(A2x)(tia,s)=a2(t,a,s,x(t,(ris))i (A3x)(t, s, r, cr) = az(ty s, т, (7, x(t, s, r, cr), где ai(r,s,tyu) = ai(t,s,T,u),a,2(T,a,s,u) = a,2(t,s,a,u),a^(t,s,r,a,u) = a^(t,s,r,(T,u), а теорема 4.5 — условия действия, ограниченности, непрерывности и равномерной непрерывности на ограниченных множествах оператора А, вытекающие из теорем 4.1, 4.4 и равенства Ах = Fx + J\A\x + J2A2X + J3A3X, где Ji, J2, J3 — интегралы Лебега по Т, S,D от А\х, А2Х,А$х по переменным г, сг, (г, о-). Установленные в параграфе глобальное и локальное условия Липшица и Гельдера основаны на глобальном и локальном условиях Липшица и Гельдера соответственно функций f(t,s,u),а\(t, s, т, и), й2(t, s,a,u),d3(, s,t, В теореме 4.10 установлены более общие условия дифференцируемости по Фреше оператора А, а в теореме 4.11 приведены полученные в [94] условия липшицивости производной оператора Урысона с частными интегралами. Исследование свойств оператора Гаммерштейна с частными интегралами А — KF, где К — оператор (0.3), a F — оператор суперпозиции, основано на объединении содержащихся в 1 свойств оператора (0.3) с приведенными в теореме 4.1 свойствами оператора F. В 5 изучаются нелинейные операторы Вольтерра с частными интегралами. Для оператора Чу (Ax)(t,s)= ai(t,s,r,x(T,s))dT + a2(t,s,a,x(t,a))da+ J Jc (0.10) + // a3(t,s,T,a,x(T,a))drda, где t Є [a, b], s Є [с, d], D Є {[a, t] x [c, s], [a, b] x [c, s], [a, t] x [c, d\}, с применени ем результатов из 4, установлены условия действия, ограниченности, непре рывности, равномерной непрерывности на ограниченных множествах, диф ференцируемости. Важное значение имеют условия, при которых некоторая степень оператора (0.10) является сжимающим отображением. В полученных условиях используются предположение о липшицивости оператора (0.10) и приведенные в 2 признаки равенства нулю спектрального радиуса линейно го оператора Вольтерра с частными интегралами. Аналогичные результаты получены для нелинейного оператора Вольтерра с частными интегралами, ,^- рассматриваемого в С(Т х 5), и для оператора Вольтерра-Гаммерштейна с частными интегралами. В 6 устанавливаются условия действия, ограниченности, непрерывности, равномерной непрерывности на ограниченных множествах, липшицивости, дифференцируемости нелинейных операторов Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами Vi,V2,V3, а также признаки обратимости оператора J-К (« = 1,2,3). В главе 3 исследуется разрешимость линейных и нелинейных уравнений с частными интегралами, рассматриваются применения полученных результатов к изучению интегральных уравнений некоторых прикладных задач и и* приводятся схемы приближенного и численного решения некоторых классов уравнений Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами. Исследование разрешимости интегральных уравнений основано на развитой в главах 1 и 2 теории линейных и нелинейных операторов Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами. В 7 изучаются линейные уравнения с частными интегралами. Приведены примеры, подчеркивающие существенное отличие теории интегральных уравнений второго рода с частными интегралами от теории интегральных уравнений Фредгольма второго рода. В теоремах 7-ій 7.3 содержатся условия, при которых нетеровость уравнения с частными интегралами x(t, s) = / l(t,s,r)x(r,s)dT + / m(t,s,a)x(tJa)da+ (0.П) JT J s + // n(t,s,r,a)x(r,a)dTda + f{t,s) = (L + M + N)x(t,s) + f(t,s) J JTxS равносильна нетеровости двух более простых уравнений x = Lx + f,x = Mx + f, (0.12) фредгольмовость уравнения (0.11) — фредгольмовости одного из последних двух уравнений в предположении фредгольмовости другого. В теоремах 7.2, 7.4 и 7.5 рассматривается уравнение (0.11) с непрерывными в целом и ин тегрально ограниченными ядрами. В этом случае нетеровость уравнения ^ (0-11) равносильна нетеровости уравнений (0.12), а фредгольмовость урав- нения (0.11) — фредгольмовости уравнений (0.12), что в свою очередь равносильно их обратимости. В теореме 7.5 получен критерий разрешимости фредгольмового уравнения (0.11), при условии, что однородное уравнение (L + М + N)x = 0 имеет ненулевое решение в С(Т х S). В 8 приводятся основные утверждения о линейных уравнениях Вольтер ра, Вольтерра-Фредгольма и Вольтерра-Фредгольма-Романовского с частны ми интегралами. Теоремы 8.1 — 8.3 основаны на установленных в 2 призна ках равенства нулю спектрального радиуса операторов Вольтерра с частными г-4 интегралами и содержат условия, при которых уравнения Вольтерра с част- ными интегралами однозначно разрешимы, а их решения находятся методом последовательных приближений. Фредгольмовость и обратимость уравнений Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами второго рода изучается в теоремах 8.4—8.9. При этом используются установленные в 3 свойства соответствующих уравнениям операторов. В теоремах 8.6—8.8 (8.4) приведены условия равносильности фредгольмовости уравнений Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами фредгольмовости (обратимости) более простых уравнений, а в теоремах 8.5 и 8.9 — условия, при которых фредгольмовость и обратимость уравнений совпадают. Условия фредгольмовости уравнений Вольтерра-Фредгольма-Романовского с частными интегралами получены в теоремах 8.10 и 8.11. 9 содержит результаты об однозначной разрешимости нелинейных уравнений Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами. Рассматриваются уравнения с ядрами, удовлетворяющими условию Липщица по последней переменной. Так же, как в 5, некоторая степень оператора, соответствующего уравнению Вольтерра с частными интегралами, является сжимающим отображением. Поэтому это.уравнение имеет единственное решение и оно может быть получено методом последовательных приближений. Соответствующие утверждения приведены в теоремах 9.1 — 9.3. Приведенные условия разрешимости нелинейных уравнений Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами связаны с переходом к равносильному нелинейному уравнению Вольтерра с частными интегралами, которое разрешимо, в силу обобщенного принципа сжимающих отображений [67], и его решение может быть найдено методом последовательных приближений. 10 посвящен применению уравнений с частными интегралами к изучению математических моделей некоторых прикладных задач. Линейное уравнение Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами x(t,s)= / l(t,s,r)x(T,s)dT +.'/ m(t,s,a)x(t,(T)d(T+ (0.13) Jo Js + / n(t,s,T,a)x(T,a)dTda + f(t,s) = (L + M + N)x(t,s) + f(t,s), Jo Js где S — компактное множество положительной меры в Rn,t,r Є [0,a],s, Из результатов 3 и 9 вытекает, что фредгольмовость уравнения (0.13) с непрерывными в целом и интегрально ограниченными ядрами, его обратимость и обратимость уравнения х = Мх..+'/ равносильны. В прикладных задачах уравнение х = Мх + / обычно обратимо. Поэтому уравнение (0.13) приводится к линейному уравнению Вольтерра с частными интегралами, решение которого может быть найдено методом последовательных приближений, так как спектральный радиус соответствующего последнему уравнению оператора равен нулю. В примерах 10.1—10.4 эти утверждения применены к интегральным уравнениям некоторых задач механики сплошных сред, смешанных задач эволюционного типа, осесимметричных контактных задач, гравитационно-гироскопических волн в приближении Буссинеска. Уравнение Урысона с частными интегралами x(t,s)=ai(t,s,T,x(T,s))dT+l m(t,s,a)x(t,a)d(T+ Ґ г (0Л4) + Т I az(t,s,T,a,x(T,a))dTd(j + f{t,s) h Js обобщает интегральное уравнение математической модели одной задачи теп-лоизлучающих тел [7, 8] и является частным случаем уравнений, рассмотренных в 9. С применением результатов из 9 в теореме 10.2 устанавливается, что уравнение (0.14) однозначно разрешимо, а его решение может быть найдено методом последовательных приближений. Заключительный параграф работы содержит схемы приближенного и численного решения некоторых классов линейных уравнений Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами. Необходимость разработки таких схем связана с тем, что явные решения уравнений с частными интегралами удается найти в редких случаях. Приближенное решение уравнений связано с заменой их однозначно разрешимыми системами интегральных уравнений, а при численном решении эти системы заменяются системами линейных алгебраических уравнений, которые решаются последовательно. Линейной интерполя- цией находятся приближенные непрерывные решения исходных уравнений. Приведенные численные схемы реализованы автором на языке программирования Borland Delphi 5 и дают неплохие результаты. В работе принята единая нумерация параграфов, формулы нумеруются в пределах каждого параграфа, причем сначала указывается номер параграфа, а затем номер формулы в параграфе. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах и конференциях в Липецком государственном педагогическом университете (1997-2003 годы), на семинаре в Липецком государственном техническом университете (руководитель семинара профессор В.М. Тюрин), на семинаре в Воронежском государственном университете (руководитель семинара профессор А.Г. Баскаков), на Воронежской весенней математической школе в 2002 году, на Воронежской зимней математической школе в 2003 году, на международной конференции "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений" (Минск, 1999 год), были представлены на международной конференции по функциональному анализу (Киев, 2001 год), на Воронежской и Саратовской зимних математических школах в 2002 году, на международной конференции "Дифференциальные уравнения и динамические системы" (Суздаль, 2002 год), на Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Йошкар-Ола, 2001 год, Сочи, 2002 год), на 13-ом международном симпозиуме по дифференциальным уравнениям (Болгария, Пловдив, 2002 год), и опубликованы в работах [36]-[38],[43]-[54],[88]. В совместных работах [36]-[38] соавтору принадлежит постановка задачи и обсуждение полученных результатов. Автор глубоко благодарен своему научному руководителю В.М. Тюрину за постоянный интерес к работе и за ценные указания, способствовавшие ее написанию. К интегральным уравнениям, содержащим операторы Вольтерра с частными интегралами, приводятся различные задачи теории упругих оболочек [9], дифференциальных уравнений с частными производными [9,12, 63], уравнений Соболевского типа [69] и некоторые другие задачи [9, 14, 63]. При этом операторы Вольтерра с частными интегралами допускают представление где операторы L, М, N определяются равенствами в которых t Є [a,6],s Є [c,d],D = [a,t] x[c,s] или D = [a,b] x [c,s], или D = [a, ] x [c, d], функции /(і, s, r), m(, s, сг) и n(, 5, г, сг) измеримы по совокупности переменных, а интегралы понимаются в смысле Лебега. Оператор (2.1) — частный случай оператора (1.1). При D = [a, t] х [с, s] он получается из оператора (1.1) при c(t,s) = 0 и ядрах l(t,syr) при г t, О при т t, (2.5) m(t,s,a) при а s, О при а 5, n(t,s,r, сг) при г t и сг s, О при т t или сг s у операторов L,M,N соответственно. Из теоремы 1.3 вытекает следующий критерий действия оператора (2.1) с D = [a t] х [c,s] в C([a,b] х [с,d]). Теорема 2.1. Оператор Вольтерра (2.1) с D = [a,t] х [с, s] действует в пространстве C([a,b] х [с, d]) тогда и только тогда, когда при каэюдом фиксированном Є [а, Ь] и v Є [с, d] функции равенством \\K\\=s\ipD В(t,s). Заметим, что этот и другие критерии действия оператора (2.1) с D = [а,] х [c,s] в С([а,6] х [с, d\) установлены в [78]. Отметим, что уравнение Вольтерра х = Кх + / с непрерывными ядрами и D = [a,t] х [с, 5] изучалось в [9, 12, 63, 98], операторы и уравнения Вольтерра с частными интегралами и непрерывными в целом и интегрально ограниченными ядрами исследовались в [76, 77, 78, 79, 80]. Операторы и уравнения Вольтерра с частными интегралами и ядрами достаточно общего вида исследовались в различных классах функциональных пространств в [17, 21, 23, 25, 26, 27, 40, 41, 83, 85, 86, 87, 91], а операторы причинного типа -в [89]. В теории интегральных уравнений Вольтерра с частными интегралами важнейшее значение имеет обращение в нуль спектрального радиуса оператора (2.1). Условия равенства нулю спектрального радиуса оператора (2.1), действующего в пространстве С([а,b] х [с,d]), изучались в [76, 78, 79, 80], а в случае действия его в других функциональных пространствах — в [17,21,23,25,26,27,83,85,87]. Оператор (Lx)(t,s) = f0l(t)x(T,s)dr действует в С([0,1] х [0,1]). Лри этом fQ l(t) ldr = 1. Следовательно, функция x(t,s) = 1 — собственная функция оператора L с собственным числом 1. Поэтому спектральный радиус оператора L отличен от нуля. Таким образом, существуют операторы Вольтерра с частными интегралами, у которых спектральный радиус не равен нулю. Следующее утверждение доказано в [78]. При этом использовалась схема доказательств, предложенные в [26, 85, 87]. Теорема 2.2. Если ядра /(,s,r),m(t,s,o ) и n(t,s,r,cr) непрерывны в целом и интегрально ограничены, то спектральный радиус оператора (2.1) равен нулю: г(К) = 0. Отметим, что в условии теоремы r(L) = r(M) = r(N) = 0. Теорема 2.3. Если D = [a, i] х [c,s], операторы L,M,N действуют в С([а, Ь] х [с, d]) и равномерно no (t,s) при mes T\ — 0,mes S\ — 0, где отрезки Ті и S\ содержатся в [а,Ь] и [c,d] соответственно, то r(K) = r(L) = r(M) = r(N) = 0. Из теоремы 2.3 вытекает Следствие 2.1. Если D = [а,] х [c,s], операторы L,M,N действуют в С([а,6] х [с, i]), ядра l(t,s,r) и m(t,s,o ) удовлетворяют условию при mes Ті - 0 и mes 5i — 0, а n(tys,r,а)—условию (2.6), то r(K) = r(L) = r(M) = r(N) = 0. Следующее следствие позволяет сформулировать условия обращения в нуль спектрального радиуса операторов с частными интегралами в терминах ядер интегральных операторов Вольтерра. Следствие 2.2. Пусть D = [a, t] х [с, s], операторы L,M,N действуют в С([а,Ь] х [с,d]), функции l(t,r) = sups\l(t,s,r)\ и rh(s,a) = supt \m(t,s,cr)\ удовлетворяют условиям при mes T\ — 0 и mes S\ — 0, яфо n(t, s, г, сг) удовлетворяет условию (2.6),mor(K)=r(L) = r(M) = r(N)=0. где /i(i, s, r, or5 ) — некоторая измеримая на [a, 6] x [с, d] x [a, 6] x [c, d] функция. Если теперь h(t, 5, r, a-, /x) удовлетворяет условию Уті J с равномерно относительно 5 при mes T\ —f 0, то уравнение (2.9) имеет единственное решение в С([а,6] х [c,d]) при каждом фиксированном /z и любой функции g Є C([a,b] х [с, d]). Отсюда вытекает Теорема 2.4. Пусть D = [a,] х [с, d], операторы L,M,N действуют в С([а,Ь] х [c,d]), ядра l(t,s,r) и m(t,s,a) удовлетворяют условию (2.6), а ядро h(t,s,T,a,u) — условию (2.10). Тогда r(K) = r(L) = r(M) = r(N) = 0. Аналогично следствиям 2.1 и 2.2 имеет место Следствие 2.3. Если D — [a,t] х [c,d], операторы L,M,N действуют в С([а,Ь] х [с,d]), ядра l(t,s,r) um(t,s,o ) удовлетворяют условию (2.7) или (2.8), a h(t,s,r,a,fi) - условию (2.10), то r(K) = r(L) = r(M) = r(N) = 0. Условие теоремы 2.4 выполняется для оператора К с непрерывными в целом и интегрально ограниченными ядрами, так как для них выполняются условия (2.6). Из условий (2.6) непрерывность в целом ядер не следует. Это показывает пример оператора L, ядро /(і, г) которого ограничено, а действующий в С([а, Ь]) оператор x(t) —» fa l(t1r)x(r)dr не является компактным. В противном случае этот оператор был бы компактным в С([а,Ь]) [19]. В данном разделе предполагается, что Т и S — компактные множества положительной лебеговой меры в конечномерных пространствах. Аналогично П.П. Забрейко [15], ядра /( ,5,7-),771( ,5,0-) и n(t, s,r, а) операторов (1.3), (1.4) и (1.5) назовем ядрами Вольтерра, если в Т и S заданы семейства замкнутых множеств {T(t) : t Є Т} и {S(s) : s Є S], причем t Є T(t),s Є S(s), при t Є T(t) T(t) С T(t), при s Є S{s) S{s) С S{s) и выполнены следующие свойства: а) для каждого S 0 существуют такие конечные множества где А обозначает симметрическую разность множеств; б) l(t,s,r) = 0 при г T(t),m(t,s,a) = 0 при о- S(s),n(t,s,r,a) = 0 при г Г(і) или сг 5(5). Приведенное определение отличается от определения ядра Вольтерра интегрального оператора, предложенного П.П. Забрейко в [15], в котором не предполагается условие t Є Т(і) и при t Є T(t) T(t) С T(t). К линейным интегральным уравнениям Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами приводятся многочисленные задачи механики сплошных сред [5]: квазистатические смешанные задачи теории упругости, вязкоупруго-сти и гидромеханики [3, 26, 57,82,83], смешанные задачи эволюционного типа [5], осесимметричные контактные задачи [2, 4, 11, 26, 58, 61, 62, 82, 83], контактные задачи теории ползучести неоднородно-стареющих тел [1], начально-краевые задачи для уравнения гравитационно-гироскопических волн в приближении Буссинеска [10] и ряд других задач. Критерии действия (непрерывности ) этих операторов в С ([a, b] х [с, d\) вытекают из теоремы 1.3. Например, для получения критерия действия оператора К\ в С([а, Ь] х [с, с?]) в условии теоремы 1.3 в качестве Z(, s, г) и m(, s, г) следует выбрать функции l(t,s,r)x[a,t]{T) и га(,5,сг)х[С)5](сг) соответственно, где Х[0) ](т) и х М - характеристические функции отрезков [a, t] и [c,s]. Аналогично получаются критерии действия операторов К2Я К$. Достаточным условием действия операторов К\ — К% в C([a,6] х [c,d\) является непрерывность в целом и интегральная ограниченность ядер l(t, s,r),m(t, s,a) и n(t, s,r, a). Обозначим через jes(K\) — существенный спектр оператора К\ в смысле Шехтера, т.е. дополнение области фредгольмовости оператора К\. Напомним, что область фредгольмовости — это множество комплексных чисел А, для которых оператор XI — К\ фредгольмов, т.е. имеет замкнутое множество значений, а размерности его ядра и коядра конечны и совпадают. Аналогич но, aes(K2) и cres(Ks) обозначает существенный спектр в смысле Шехтера оператора Кч и К% соответственно. Теорема 3.1. Если 1,т,п — непрерывные в целом и интегрально ограниченные функции, то aes(Ki) — {0},aes(K2} = a(M),aes(Ks) = cr(L). Доказательство. При А ф 0 уравнение (XI — К\)х — / равносильно уравнению (/ — iiK\)x = uf, где fj, = А-1. В силу теоремы 1.10 фредгольмовость последнего уравнения равносильна обратимости операторов I — fiL и / —/хМ, которая равносильна обратимости операторов XI — L и XI — М. По теореме 2.2 спектральные радиусы операторов L и М равны нулю. Поэтому при Л ф 0 операторы XI — L и XI — М обратимы, а оператор XI — К\ фредгольмов. Так как спектр ограниченного линейного оператора в банаховом пространстве отличен от пустого множества и r(L) = г(М) = 0, то 0 Є a(L),a(M). Тогда операторы 0«/ — L и 0 / — Мне обратимы. Следовательно, оператор 0-1 —К не является фредгольмовым, т.е. aes(K\) = {0}. Докажем, что ае8(К2) = а{М). Как и выше, фредгольмовость оператора XI — K L равносильна обратимости операторов XI — L и XI — М. При Л а(М) оператор XI — М обратим. Оператор же XI — L обратим при всех Л ф 0. Однако Л = 0 Є а(М). Действительно, если 0 0"(М), то оператор М обратим. Тогда будет обратим и достаточно близкий к М оператор М с вырожденным ядром X)j=i mj{t- s)bj(&)- Покажем, что это не так. Для функции x(t, s) = x(s) имеем Так как число функций bj(a) (j = 1,... ,q) конечно, то найдется ненулевая функция хо(а), ортогональная всем функциям bj(a) (j = 1,...,q). Тогда MXQ = 0. Следовательно, 0 Є с(М), т.е. М — необратимый оператор. По лучили противоречие. Поэтому 0 Є а(М). Ввиду этого условие Л а(М) влечет,-что Л ф 0. Тогда обратим оператор XI —L. Таким образом, оба опера тора XI — Lii XI — М обратимы точно тогда, когда Л 0 а(М). Следовательно, 0"es(-K2) = сг(М). Равенство сге8(Щ) = cr(L) доказывается аналогично. Другие условия, при которых (Jes(Ki) = {0}, (7es(K2) = 0-(М), (Гез(Къ) = cr(L) вытекают из теоремы 2.3 и следствий 2.1 и 2.2. Приведем эти условия для операторов К\и К2. Предположим, что операторы К\,К2 Є W (см. пункт 1.2), а ядра /(, S,T) и m(t, s, а) удовлетворяют одному из условий (2.6),(2.7) или (2.8). Тогда уравнение х = \iK\x + / приводится к равносильному интегральному уравнению Если теперь R\ и iVi — компактные операторы, то cres(.Ki) = {0} и c"es(- 2) = сг(М). Таким образом, оператор XI — К\ фредгольмов только при Л ф 0, а операторы Л/ — .Кг и Л/ — К% фредгольмовы точно тогда, когда Л 0 сг(М) и соответственно Л 0 сг(Ь). Следующая теорема дополняет теорему 3.1. Теорема 3.2. Если l,m,n — непрерывные в целом и интегрально ограниченные функции, то фредгольмовость оператора XI — K i сТ = [a,t] равносильна его обратимости, а также обратимости оператора XI — М. Аналогично, фредгольмовость оператора XI — К% с S — [с, s] равносильна его обратимости, а также обратимости оператора XI — L. Доказательство. Доказательство проведем для оператора XI — К \ для оператора XI — К% оно аналогично. В теореме 3.1 доказана равносильность фредгольмовости оператора XI — Кч и обратимости оператора XI — М. Поэтому достаточно доказать равносильность обратимости операторов XI — K L и XI — М. Из обратимости оператора XI—Кч следует его фредгольмовость, а потому и обратимость оператора XI — М. Обратно, пусть оператор XI — М обратим. Тогда Л ф 0 и уравнение (XI — Кч)х = / равносильно уравнению. где p, = А-1. Так как оператор левой части уравнения (3.4) обратим, а оператор (I — р,М) 1 допускает представление с непрерывным в целом и интегрально ограниченным ядром r(t,s,cr,ii), то применяя (I—fiM) l к обеим частям уравнения (3.4), с учетом (3.5), получим при S = [с, d\ уравнениеdo-. Так как (3.6) есть уравнение Вольтерра с частными интегралами и непрерывными в целом и интегрально ограниченными ядрами, то по теореме 2.2 оно имеет единственное решение. Тогда уравнение (3.4) имеет единственное решение при любой функции / Є C{D). Следовательно, оператор XI—Кч обратим. Аналогично доказывается обратимость оператора XI — Кч с S = [с, s]. Приведем еще условия фредгольмовости операторов I — iiK\y I — [іКч, І — ІіК$, не вытекающие из теоремы 3.1. Теорема 3.3. Пусть оператор К\ Є W, функция l(t,s,r) (m(t,s,a)) и одна из функций nrn(t,s,a)l(t,a,r)x[a,t]{T)X[c,s)( )+ n{t,s,r,a), fil(t,s,r) m(r,s,a)x[a,t](T)X[c,s]( )+ n(t,s,r,a) непрерывна в целом и интегрально ограничена. Тогда фредгольмовость оператора І — [ІК\ равносильна фредгольмовости оператора I — fiM (I — fiL соответственно). Доказательство. Пусть l(t,s,r) и H m{t,s,o )l(t,cr,T)x[a,t](i )x[c,s](0 ) +n(t,s,r,cr) — непрерывные в целом и интегрально ограниченные функции. Уравнение (I — fiKi)x = / запишем в виде (I — fiM)(I — \iU)x .= fi(fiML + N)x + /. Так как frni(t,s,a)l(t,a,r)x[a,t](r)x[c,s}( ) + n(t,s,r,a) — непрерывная в целом и интегрально ограниченная функция, то фредгольмовость последнего уравнения равносильна фредгольмовости уравнения Нелинейным оператором Вольтерра с частными интегралами будем называть оператор где операторы А\, А2,А$ определяются равенствами в которых t Є [a,4,s Є [c,d],D = [a,t] x [c,s] или D = [a,b] x [c,s], или D = [a,t] x [c,d], функции a\(t,s,r,u),a2(t,s,a,u),az(t,s,r,a,u) действуют из [a,b]x[c,d\x[a,t]x(—oo,oo),[a,b]x[c,d]x[c, s]x(-co,oo),[a,b]x[c,d]xDx (—со, oo) соответственно в (—со, со) и удовлетворяют условиям Каратеодори, а интегралы понимаются в смысле Лебега. Оператор (5.1) является частным случаем оператора (4.4). В силу теоремы 4.2 из г — непрерывности в целом и г — интегральной ограниченности функций ai(t,s,T,u),a2(t,s,a,u),az(t,s,T,(T,u) вытекает действие в С([а,6] х [c,d]), ограниченность, непрерывность и равномерная непрерывность на ограниченных множествах операторов А\,А2,Аз и А. В частно сти, эти утверждения справедливы, если функции ai(t\ s,T,u),a,2(t,s,cr,и) и az(t, s,r, а,и) непрерывны. Если г — непрерывные в целом и г — интегрально ограниченные функции a\(t, s,г,u),02( , s,a,и) и a${t,s,T,а,и) удовлетворяют неравенствам (4.20), (4.21) и (4.22) соответственно, то операторы А\,А2,Аз и А удовлетворяют глобальному условию Липшица. При этом справедливы оценки где операторы L,M,N,K с положительными ядрами определяются равенствами Если теперь l(t,s,T),m(t,s,a) и n(t,s,r,a) — непрерывные в целом и интегрально ограниченные функции, то в силу теоремы 2.2 спектральный радиус оператора К равен нулю: г (К) = 0. Так как (Lx)(t,s), (Mx)(t,s), (Nx)(t,s) (Kx)(t,s) для x(t,s) 0, то r(L),r(M),r(N) r(K). Поэтому r(L) = r(M) = r(N) = 0. Отсюда, формулы Гельфанда для спектрального радиуса и неравенств (5.5)-(5.8) следует, что некоторые степени операторов А\ — Лз и А являются сжимающими операторами. Другие условия, при которых некоторые степени операторов А\ — А% и А являются сжимающими операторами, получаются с применением теорем 2.3-2.4 и следствий 2.1-2.3. Действующие в С([а, b] х [с, d\) операторы А\,А2, А$ и А удовлетворяют локальному условию Липшица, если выполнены условия (4.24)-(4.26). В общем случае ни одна из степеней этих операторов не является сжимающим оператором. Это показывает простой пример оператора А\ с ядром ai(t,s,r,u) — и2. Однако, если эти операторы отображают шар Тг пространства С([а, b] х [с, d]) в себя и спектральный радиус оператора равен нулю, то операторы А\ — А$ и А являются сжимающими операторами на шаре Тг. В частности, если операторы А\ — А% и А отображают шар Тг в себя, выполнены условия (4.24)-(4.26), в которых lr,mr и пг — непрерывные в целом и интегрально ограниченные функции, то операторы А\ — А$ и А являются сжимающими операторами на Тг. Дифференцируемость по Фреше операторов А\ — Аз и А изучается так же, как в пункте 4.3. В условии теоремы 4.9 эти операторы дифференцируемы в точке х Є C([a,b] х [c,d]), причем где bi(r,s,t),b2(t,or,s) и h(t, s,r, a) — функции (4.34), (4.35) и (4.36); в условии теоремы 4.10 Если ЙІ и а іи (і = 1,2,3) — непрерывные функции, то операторы Лі — А% и А дифференцируемы по Фреше в любой точке х Є C(D). При этом Пусть Ai(x) — A 3(x) — операторы (5.9). Аналогично теореме 4.11, оператор А {(х) (г = 1,2,3) удовлетворяет условию Липшица на шаре Тг, если функция а,-(, s,u,u) имеет частную производную второго порядка по и для всех (,s) Є [a,b] х [c,d] и почти при всех и Є fi, где Q = [a,b],[c,d],[a,b] х [c,d\ при і = 1,2,3 соответственно, и для г R + &з(г) — константы Липшица операторов А {(х) и А (х) = Аі(ж) + А2(х) + А3(ж) на Тг. Частным случаем операторов (4.47) и (5.1) является оператор где К — линейный оператор Вольтерра с частными интегралами (2.1), а (Fx) (, s) = f(t, s, x(t, s)) — оператор суперпозиции. Из теоремы 4.12 следует, что если оператор (2.1) действует в С([а,Ь] х [c,d]), а функция f(t,s,u) непрерывна на [a,b] х [с,d] х (—со,со), то оператор (5.10) действует в C([a,b] х [с,е(), ограничен и непрерывен; оператор (5.10) удовлетворяет условию Липшица \\Axi — Ах2\\ \\К\\к(г)\\хі — х2\\ (х\,х2 Є Тг), если функция f(t,s,u) удовлетворяет условию Липшица (4.6), и дифференцируем в точке х Є C([a,b] х [c,d]), если функция (4.7) непре Нелинейные уравнения с частными интегралами в настоящее время исследованы недостаточно. Отдельные классы таких уравнений изучались в [32, 33, 66, 70, 83] с применением конусных методов, метода монотонных в смысле Минти-Браудера операторов, вариационным методом. В [83, 94] рассмотрено применение к уравнениям с частными интегралами метода Ньютона-Канторовича, а в [66, 83] — метода неподвижной точки в неметрическом пространстве. В данном параграфе приводятся основанные на обобщенном принципе сжимающих отображений [67] условия разрешимости уравнений Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами в пространстве непрерывных функций. Эти условия предполагают переход к операторным уравнениям с операторами, удовлетворяющими условию Липшица. Рассмотрим в C([a,b] х [c,d\) нелинейное уравнение Вольтерра где А — оператор (5.1), а / Є С([а, b] х [с, $\). Теорема 9.1. Если оператор (5.1) действует в С([а, 6] х [с, d\), а его ядра ai(t,s,r,u),a2(t,s,cr,u) и az(t,s,r,a,u) удовлетворяют условию Липшица (4-20), (4-21) и (4- 2) соответственно, где функции l(t,s,r),Tn(t,s,a) и n(t,s,r,a) непрерывны в целом и интегрально ограничены, то уравнение (9.1) имеет единственное решение в C([a,b] х [c,d]) и оно может быть найдено методом последовательных приближений с произвольной функцией XQ Є С([а, b] х [с, с\). Доказательство. Пусть Вх = Ax+f. Так же, как в пункте 5.1, доказывается, что некоторая степень оператора В является сжимающим отображением в С([а, Ь] х [с, d]). По теореме Банаха о сжимающем отображении уравнение х — Вх = Ах + / имеет единственное решение в С ([a, b] х [с, d\) и оно может быть найдено по формуле (9.2). Доказательство того, что некоторая степень оператора В является сжимающим отображением в C([a,b] х [с, d\), основано на оценке равенстве нулю спектрального радиуса оператора К и формулы Гельфанда для спектрального радиуса. В теореме 9.1 использовано одно из условий равенства г (К) = 0 — непрерывность в целом и интегральная ограниченность ядер l(t,s,r), m(t,s,a), n(t,s,T,cr). Другие условия, при которых г (К) = 0, приведены в теоремах 2.3, 2.4 и следствиях 2.1-2.3. Применение их приводит к различным условиям однозначной разрешимости в С([а,Ь] х [с, d\) уравнения (9.1). В частности, справедлива Теорема 9.2. Пусть оператор (5.1) действует в C([a,b] х [c,d]), его ядра ai(t,s,r,u),a2(t, s,er,n) и аз(і, s,r,cr,n) удовлетворяют условию Липшица (4-20), (4-21) и (4-22) соответственно, а операторы (2.2), (2.3) и (2.4) с ядрами l(t,s,r),m(t,s,a) и n(t,s,r,a) из (4-20), (4-21) и (4-22) действуют вС([а,Ь]х[с, 2]). Если в (5.7) D = [a,t] х [с, s], ядро n(t,s,r,a) удовлетворяет условию (2.6), а ядра l(t,s,r) и m(t,s,a) — условию (2.6) или (2.7), или (2.8), то уравнение (9.1) имеет единственное решение в С ([a, b] х [с, d\) и оно может быть найдено по формуле (9.2). Аналогично, если в (5.7) D = [a,t] х [с,d], выполнено условие (2.10), а функции l(t,s,r) и m(t, s,сг) удовлетворяют условию (2.6) или (2.7), или (2.8), то уравнение (9.1) имеет единственное решение в C([a,b] х [с, d]) и оно может быть найдено по формуле (9.2). Рассмотрим теперь в пространстве С(Т х S) уравнение (9.1), в котором А — нелинейный оператор Вольтерра с частными интегралами (5.11), а / Є С(Т сжимающим отображением в C([a,b] х [с, d\), основано на оценке равенстве нулю спектрального радиуса оператора К и формулы Гельфанда для спектрального радиуса. В теореме 9.1 использовано одно из условий равенства г (К) = 0 — непрерывность в целом и интегральная ограниченность ядер l(t,s,r), m(t,s,a), n(t,s,T,cr). Другие условия, при которых г (К) = 0, приведены в теоремах 2.3, 2.4 и следствиях 2.1-2.3. Применение их приводит к различным условиям однозначной разрешимости в С([а,Ь] х [с, d\) уравнения (9.1). В частности, справедлива Теорема 9.2. Пусть оператор (5.1) действует в C([a,b] х [c,d]), его ядра ai(t,s,r,u),a2(t, s,er,n) и аз(і, s,r,cr,n) удовлетворяют условию Липшица (4-20), (4-21) и (4-22) соответственно, а операторы (2.2), (2.3) и (2.4) с ядрами l(t,s,r),m(t,s,a) и n(t,s,r,a) из (4-20), (4-21) и (4-22) действуют вС([а,Ь]х[с, 2]). Если в (5.7) D = [a,t] х [с, s], ядро n(t,s,r,a) удовлетворяет условию (2.6), а ядра l(t,s,r) и m(t,s,a) — условию (2.6) или (2.7), или (2.8), то уравнение (9.1) имеет единственное решение в С ([a, b] х [с, d\) и оно может быть найдено по формуле (9.2). Аналогично, если в (5.7) D = [a,t] х [с,d], выполнено условие (2.10), а функции l(t,s,r) и m(t, s,сг) удовлетворяют условию (2.6) или (2 х S). Если ядра оператора (5.11) удовлетворяют условиям Липшица (5.15)-(5.17) и Вх = Ах + /, то справедлива оценка где А — оператор (5.11), а К — оператор (2.11). Тогда некоторая степень оператора В будет сжимающим отображением в C(TxS), если спектральный радиус оператора Вольтерра К с частными интегралами равен нулю. Отсюда и приведенных в пункте 2.2 условиях равенства нулю спектрального радиуса действующего в С(Т х S) оператора К вытекают различные утверждения об однозначной разрешимости в С(Т х S) уравнения х = Ах + /.Линейные операторы Вольтерра с частными интегралами
Линейные операторы Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами
Нелинейные операторы Вольтерра с частными интегралами
Нелинейные уравнения Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами
Похожие диссертации на Операторные методы исследования уравнений Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами
