Введение к работе
Актуальность работы. Основной объект изучаемых в диссертации некорректных задач описывается уравнением
Az = , (і)
где к - линейный или нелинейный оператор, действующий из Е в F ( в основной части работы предполагается , что Е и Г являются гильбертовыми пространствами ). Диссертация посвящена исследованию приближенных методов решения уравнения (I) в различных ситуациях: при точных и приближенных исходных данных , при дискретизации уравнения (I). Такие исследования актуальны и важны при анализе широкого круга проблем , описание которых приводит к необходимости рассмотрения моделей с некорректной математической постановкой. Это направление исследований интенсивно развивается многими учеными ( см. обзоры В.А.Морозова и О.А.Дисковца).
В качестве теоретической основы методов решения некор
ректных задач общепризнанными являются фундаментальные труды
А.Н.Тихонова, М.М.Лаврентьева,и В.К.Иванова. Применительно к
нормально разрешимым задачам и методам их решения первоначаль
ные работы, наряду с уже упомянутыми , принадлежат также Е.Му
ру, А.Бьерхамару г Р.Пенрозе. Дальнейшие исследования проводи
лись в работах А.Б.Бакушинского, Г.М.Вайникко, В.В.Васина,
В.А.Винокурова, В.В.Воеводина, А.С.Леонова, О.А.Лисковца,
В.А.Морозова, В.А.Танана, Г.В.Худака, Л.А.Чудова, А.Г.Ягола и
других авторов. '
Одним из основных проблем приближенного построения решения уравнения (I)' является вопрос о связи погрешности приближенного решения с погрешностью исходных данных, а также с погрешностью дискретизации. Таким вопросам посвящены исследования многих авторов ( А.Б.Бакушшский, А.Л.Бухгейм,-В.В.Васин, Р.Ведан, В.В.Воеводин, О.А.Лисковец, В.А.Морозов, В.и.Мелешко, Р.Пенрозе, Л.А.Чудов и другие). Эти исследоваїшя привели к поішманию важности решения вопроса о-максимальном порядке погрешности .приближенного решения , в частности , -вопроса о том, когда этот порядок совпадает с порядком погреш-
- A -
ности исходных данных. Актуальной является и проблема разработки специальных методов решения задачи, которые бы "максимально" использовали свойства исходных данных в том смысле, что приводили бы к приближенным решениям, порядок погрешности которых был бы неулучшаем.
Цель работы. Построение и анализ методов приближенного решения уравнения (I) , обладающих тем свойством , что полная погрешность решения имеет максимальный порядок исходных данных. ( 'ошибки правой части и операторов, ошибки дискретизации). Разработка и исследование методов, максимально использующих свойства возмущенных и исходных данных, а также построение новых данных с нужными свойствами.
Методика работы. При исследовании рассматриваемых в диссертации задач использовались методы теории некорректных задач , разработанные А.Н.Тихоновым, М.М.Лаврентьевым и В.К.Ивановым, а также методы псевдообращения; принятый в диссертации подход базируется на методах функционального анализа и приближенных методах решения операторных уравнений.
Научная новизна. В диссертации разработаны теоретические положения, на базе которых проведен анализ ряда методов решения устойчивых и неустойчивых задач и выявлены их свойства, которые позволяют получить оценки полной погрешности, имеющие неулучшаемый порядок, а также указать пути построения новых возмущенных данных, обеспечивающих, возможность получения таких оценок. На основе разработанных положений в диссертации получены следующие результаты:
а) Получены различные формы представления псевдообратного
оператора и изучены его аппроксимация с оценкой погрешности
посредством ряда методов псевдообращения.
б) Доказаны общие теоремы сходимости нормальных
псевдорешений возмущенных уравнений и тихоновских приближений
к нормальному псевдорешению точных уранений с оценкой точности
приближения, совпадающих с точностью исходных данных, а также
предложены способы построения новых возмущенных данных,
обеспечивающих выполнение условий таких теорем.
в) Изучены свойства неустойчивых задач, позволяющие
сводить их к устойчивым с последующим обоснованием методов их
дискретизации. " -.
Практическая значимость. Работа теоретическая. В ней проведено исследование ряда методов решения устойчивых и неустойчивых задач. Полученные результаты позволяют для конкретных практических задач указать пути их решения на основе целенаправленного анализа математической постановки задачи.
Апробация работы. Результаты диссертацик докладывались на Международных, Всесоюзных и Республиканских конференциях, симпозиумах: на Всесоюзной школе-семинарз по теории некорректных задач и ее приложениям ( Фрунзе, 1979 г.; Самарканд, 1983 г. ) , III симпозиуме по методам решения нелинейных, уравнений и задач оптимизации ( Таллин, 1984 г. ), Международной школе-семинаре "Методы оптимизации и их приложения" (Иркутск, 1978 г., 1986 г. ), Школе-семинаре "Условно-корректные задачи математической фазини и анализа" (Красноярск, I98S г.), Международной конференции "Некорректно поставленные задачи з естественных науках" ( Москва, 19Э1 г.). Результаты диссертации оОсуадались на семинарах: семинаре ВЦ СО АН СССР "Метода вычислительной и прикладной математики", (г. Новосибирск), семинаре СЭМ СО АН СССР ( г. Иркутск), семинаре Отдела вычислительной математики Вычислительного цоптра Иркутского филиала СО АН СССР.
Публикации. Все основные результаты диссертации опубликованы в 19 печатных работах автора.
Структура диссертации. Диссертационная работа изложена на 247 страницах машинописного текста, состоит из введения, четырех глав, содержащих II параграфов и библиографии из наименований отечественных и иностранных источников.
Во введении изложено состояние исследуемой проблемы, дана краткая характеристика работ, примыкающих к томе диссертации, приведен краткий обзор основных результатов.диссертации.
В первой глава анализируются различные формы представления псевдообратного оператора А+ для оператора А , действующего из гильбертова пространства Е в гильбертово пространство F , устанавливается ряд его новых свойств и изучаются его аппроксимации с оценкой погрешности.
- б -
- Часть результатов I .и 2 носит вспомогательный характер; в них изучаются свойства псевдообратного оператора. В I рассматривается случай конечномерных пространств, а в 2 -случай гильбертовых пространств.
А*=
Пусть Л,* - определитель матрицы А А + о<1 где Ы > 0 и I - тождественный оператор на Е , а А* -сопряженная к А матрица; В^ - присоединенная, матрица для матрицы А*А + о( 1 ; m - кратность нулевого собственного значения матрицы А* А и п- 0 , если ctei А*А^ О Теорема I.I Имеет место равенство
г = dmm*)
m.
~ У dc*.
о!=0
! Эта теорема , как показано в 2, допускает естественное распространение на интегральные уравнения Фредгольма второго рода на спектре.
Одним из методов приближенного вычисления Д+ является операторный способ регуляризации. Известна следующая оценка
ІІМ*-А+Н4*ІІА+ІІ3, (2)
где {^= ( А*А + *1 )~ » с! > 0 . Из этой оценки следует , что для достижения заданной точности Є параметр регуляризации не должен превышать величину 611А+1Г3 Поэтому оценка (2) становится неэффективной с вычислительной точки зрения в случае, если норма оператора Д+ велика. В связи с этим представляет интерес нижеследующее утверждение, позволяющее приближенно строить матрицу А+ с привлечением матрицы Ro( при фиксированном Ы > 0 . Теорема 1.2. Справедливо равенство
ос Ц А* IIа \*+* 2 '
II z/cV-ami=iia*ii(^^
В 2 теорема 1.2 распространяется на случай замкнутых и нормально разрешимых операторов в гильбертовых пространствах (теорема 2.2).
Перейдем теперь к изложению- результатов, относящихся к приближенному построению псевдорешения уравнения (I) (под псевдореиением уравнения (I) понимается любой элемент г Є минимизирующий функционал !1 Лг-f Н ) Это построение осу-. ществляется комбинированием методов простой итерации и усреднения. Задача построения псевдорешения уравнения (I) стандартными приемами монет быть сведена к задаче решения уравнения
' н = Lz + 9 » 3е Lm(bL) (3)
с некоторым линейным оператором L . При этом в зависимости от накладаваемых на оператор L условий решения уравнения (3) совпадают с псевдорешением или нормальні»! псевдорешением Д+ уравнения (I).
Пусть в (3) L - матрица размерности fti х т. со спектральным радиусом р( L) - 1 . причем числа А - ± 1 являются ее полупростыми собственными значениями. Рассмотрим итерационные процессы:
V=L2n-i* V «г= 4,2,-..- ; г, = J , , (4)
гпи)=** Т. zK(H), 1=1,2,-; 2к(0)=гк. (5)
Обозначим через Ь максимальный порядок кордановых клеток матрицы L , соответствующих расположенным на единичной окружности ее собственным значениям, а черэз z ,,t Im(I-L) -- единственное псевдорешение уравнения (I). Теорема 1.6. Справедлива оценка'
ilzm-zii^oCn-V'a) (ьеп).
її тС
Равенства (4) и (5) однозначно определяют операторХ(ї):
T(C)Q = z (і) причем подпространство im.(T-L) инвариант-но для оператора Tn(l) hT^(Z)Z^= ъ Поэтому из теоремы 1.6 следует оценка
«ти<1>8-"Уе)г*п - 10i)»l
где Ч(п)аО(Л"^ Jv) Далее, в силу того, что неравенство (6) верно для любого 0ЄІт(Т-|_) и кавдого п={,2»---справедлива
Теорема 1.7. Имеет место оценка
причем если гц *= п2 == пу = п .то
Пусть t.J lm.(I-L)—* Im-(l-L)- индустированная на Lm(I-L) матрица, порожденная матрицей L . Образу ви последовательность Z:(n.)=Lz. .(а)+Ч ( 1=1,2,-.-) , где
a ZK определяется по (4).
Теорема 1.8. Пусть = 1 . Тогда верна оценка
ІІ2.<И)-2ЛИ 6j>l(LHCn)llfl-2#ll
Образуем последовательность
где 20(H,e)=Trt(C)g
Теорема 1.9. Справедлива оценка
lu^ih-z^tt^ctviMiij-z^u
Гляза 2 посвящена развитию ряда методов приближенного по-строония нормального псевдоре.шения линейных нормально разрешимых уравнений с возмущенными данными, главным образом, развитию методов псевдорешвния и операторного способа рзгуляриза- N цші. В 3, носящем вспомогательный характер, приводятся определения, играющие существенную роль в построениях главы.
Оператор А назовем (^*nt)- расщепляемым (0 &<т) , если интервал ( &, пг) не содержит точек спектра оператора Д*д.
Пусть вядаиы последовательности чисел { fin\ и ^ тп\ таки?, что 0 і J5„ < «1к и lnf тл > 0 .Последовательность операторов назовем Cf'ji'mn) — устойчивой, если существует натуральное число я0 - такое, что при н ^ п0 оператор Ап является ( &лг *тгп) -расщепляемым. В частности, (0»пга)-у-стэйчизуп последовательность операторов { А«. | назовем псевдоустойчкзой.
Последовательность операторов \ Аа j, будем называть корректно разрешимой, если если существует последовательность чисел та> 0 такая, что II Alt2ali> wall Zn\\ к1п.$тп>0
Оператор Йй (A) = Rrt (Л) A* ~ ( А*А + о<Т )и А * будем называть рогуляризатором оператора А
В 3 приводится также критерии (р>п*тп)~ расщепляемос-ти операторов в конечномерном и гильбертовом пространствах, сцепки норм регуляризируодих операторов.
В 4 изучается задача приближенного построения нормального псовдорешепия А+ нормально разрешимого уравнения (I) посредством нормальных псевдорешений: уравнения
Апгл = Рл , (n = 1,2,...)' if)
где "tt - линейный ограничеіпшй оператор, действующий из гильбертова пространства п в гильбертово пространство Fa , a f Fft . Рассматриваются два случая:
а) Еп=Е и Fft= F 'j
б) Eft* Е и «V* F
. В случае а) предполагается, что
II Ал- A iucn - IIV* lliffn- '(8)
Теорема 4.3. Пусть при м. . n.Q выполняется равенство tdKK Аа= tank А и Mrt= {IA+H~^-Crt>0 Тогда справедлива оценка
вар ииЧМч(и«^)ГХ
«} HAWAII- с(1 V VMAtybJI
cftc)=
І , если NCC)=] Є Е г се=0} { 0 } О , если А,'Сс)=-|0| .
Дальнейшие исследования показали, что для получения оценок близости между Д"^ и А+ в общих ситуациях определяющим является введенное понятие псевдоустойчивости. В частности, это понятие позволило распространить утверждение теоремы 4.3 на случай а) ( теорема 4.5 ).
Естественным является вопрос о том, как по последовательности операторов -j кц\г , удовлетворяющих условию (8), но не обладающих свойством (О, Иііг) - устойчивости ( неввдоустойчи-вости) построить другую последовательность операторов j Вп I аппроксимирующих исходный оператор и уие обладающую указанным свойством.
Пусть И А+1Г-20П>0 . Тогда интервал (Са, fa ) (jVift= .=„ЦА+ІГ*- Сц, ) не содержит точек спектра оператора А^А^ (теорема 3.11). Поэтому можно оперделить оператор Р :
Р[ = (2311)-4 J Ш-А*АП)"^* »
2 j- 2
где С^ < оп < р^ . Положим
.вп = л(1-рл)- <9>
Теорема 4.8. Пусть ИА+1Г - О.Сп > 0 . Тогда оператор (9) является (0, Ичл) -расщепляемым с Шп~ (tttf\\~*-On )2 и
выполняется неравенство Ц В п- А ЛII4 2сл
Кз теорем 4.3 и 4.8 следует, что если НА+1Г -2с(1"> 0 , то
sap іі(і-рХ-^^2ііа+іі(і+-—- ju;\, (I0)
АаШАа-АНСа V *ІІА "fa /
где Jlrt^r: ПА+ІІИ-е(г.
Оценка (10) и теорема 4.8 могут служить основой построения аппроксимирующих операторов для оператора А ; при этом возникает задача построения операторов (^ .В конечномерном случаэ конструктивный метод получения оценок типа (10) на основе модифицированного, метода Гревилля дает теорема 4.12.
Перейдем к задаче приближенного построения нормального ысэвдорешешш уравнения (І) в той общей постановке, что была сформулирована в начале, т.е. в ситуации, когда операторы А и к п. действуют в различных пространствах (случай б)). Будем предполагать, что линейные операторы ф„ ! Е —=> № и 4^; F—> Fa определены всюду, где того требует постановка задачі!.
Положим $п0 )= U ( %А - А п %,) И ь <ГЛ = » in - VnS II j
3LRC.)=lKA;All«Pft-a)rlA#A).ll, где Pfc/(A«)~ ортогональный прооктор на ?,/(А*)=|бЕ: А%=0 }j
О , если -f lm А і , если f Є Cm. А
Так как оператор а нормально разрешим, то уравнение Д**Я г A+-f имеет решение; ниже через Q будем обозначать одно из решений этого уравнения.
.-12-
Теорема 4.9. Пусть оператор А и. является { 0, М,п) -рас^ щепляемым. Тогда справедлива оценка
Пусть теперь последовательность операторов \ А и, V явля- . ется|Ь„ , ГПа) - устойчивой и Р - проектор Рлсса ни собственное подпространство оператора Д? Ац, > отвечающее лежащей в интервале СО, />ц ] части спектра, т.е.
ім=<ґ„.
Теорема 4.10. Пусть последовательность операторов является ($^-> ^а) - устойчивой. Тогда справедлива оценка
где ЛС А+*) = foC А+0+ г*;1'V » Фп А+* II .
Перейдем теперь к изложению результатов 5. Полояа-аг
R^CA^ (*!„.+А^Ґ1, Со(>0)
в указанном параграфе получены оценки
Sap Иг\'-A*fll 6(^+0^)11*11 ,
{AB\:"UAn-AM Cn еслик^с^осб^с^ и $ с Lm А і
(ID
Sap i\Z^-A^iU(o^ 0^)11 Л1 (I2)
{Kti\: IIA„.-AlUCn
для любого f F и KjCn 4 c( ^ ^20 При этом указываются значения постоянных Ctt, ( I - і, 2 ) и bj, С L = 4, 2 ) как при наличии условия II А+|-Г'<-2сЛ > 0 (в силу теоремы 3.1 это условие обеспечивает (с2 ? (II А1 Ц'^-С^,)2 ) - расщепля-емость оператора кя ), так и при его отсутствии.
Рассмотрим теперь общий случай, т.е. когда оператора А^ и А действуют в различных пространствах. Возмошюсть по-: лучения оценок типа (II) и (12) связана со свойством C^rt» mnV устойчивости последовательности операторов \ &п) При,этом если последовательность J А „_ \ близка к А по нормо, то это свойство выполняется. Если кэ, например, 4Л близки к А поэлементно, то свойство (6n, ma) - устойчивости может нарушаться. Естественной поэтому является
Теорема 5.2. Пусть оператор А^ является(В(г>^г1') - расщепляемым. Тогда при с* ^ ^/2 справедливы оценки
+ тазе J і, m'nl2\ С<Г№+ fn(A+0 + <* и Ф„ і M'rt+ maoc {l.m^l^li«pnA+-f її + 0ПШ ) для любого $ Є F } М^= Mft-o<"Y»(f)(F(A*) j)rt Рассмотрим теперь случай, когда операторы Дч не обладают свойством (йп, тн) - устойчивости. Здесь полезно следующее утверждение, дающее некоторые точные по порядку близости между z^V ( 1= 1,2 ) и Ф^А4^ оценки. В силу нормальной разрешимости оператора А , уравнение A*A-fi = A+f разрешимо; ниже через ti будем обозна- чать одно из решений этого уравнения. Теорема б.З. Справедливы оценки И ziVn." +ife(<Гл+ ^rtC А+*} * *" *M")' (I3} -W 2ЙІ- 4»nA*f II4' ot-^tf)^A*)Vf> * " (*M*A - - AtA A) A+-f И +2J=. ((Ttt+jrn( А+Л) + а И ФаЯ II , (14) + 2^( Иг^-Ф^іи^і ^СЛ(Г(Ан')і)іг(Л + 2о{ІІ^Ііі1+ . + -,(^+ U(A+f)) + 211(4^-^^ И (is) для любого -f Є F Анализ оценок (ІЗ) и (14) показывает, что их молено оптимизировать выбором параметра о( согласованно с величиной %п- (Га+ JfnCA"^) > а именно, для этого необходимо минимизировать по Ы. функции ^ 6Л + \/d IIц)пj II + oT^Cf )«Г(А*) ))л«), -j=r &п + «*' » 4>ft*i II + оґ]рлШ <Г(А*) *>л # 5 Тогда получим, что справедлива Теорема 5.5. ІІглеют место оценки если f Є Lm-A и кД^о^ K26n ; если .-fe-LmA и '.М'^ос-ё^Ь^3 .. Аналогичным образом оптимизируются оценки (ІБ) и (16); здесь необходимо минимизировать по <% функции 2^ к* f І!.ЧЯ8 Н + КОcfCA*) Vf), В Б (п.5.3 ) изучается также задача приближенного пост Пусть для оператора A s Е —> F существует псевдооб-ратннй оператор и образ сопряженного оператора А* плотен в ортогональном дополнении к ядру оператора Д , а f Є&(А*) ( сЭСД*) - область определения Д* ). Пусть нормы в пространствах Е , Е и F , F сог-ласовани, т.е. Elm. ИФ'zilC = iiziip , геЖЧ>п) п->сэ с« с km и чи Ир siif «рч fe«a(%l). а->со а ґи *" Теорема 5.7. Пусть Д та<Я | ^, \Ш, Х„(г)} вО. Тогда существует ы. = сха -> 0, п -> со С <*а > 0.) , что Urn 112^-4^11=0, f«SCA+). И. -»> со ' В главе 3 диссертаций изучается задача построения (p^jfll^) -устойчивых последовательностей аппроксимирующих операторов для нормально разрешимых операторов вида А = I- К , где К - линейный ограниченный оператор и dim Ке<с А < «э В 6 этой главы изучается вопрос о том, для какого класса операторов возможен переход от заданной последовательности ап Пусть нормы в пространствах Еа. Е и Fft , р согласованы и для є tm А и 2eJb(A*) выполнены условия Ь.т Гп(А+*)=0, ' Ьпг 2ft(z)=0. Н->СО U П.-УОО Тогда ответ на вышвпоставлешшй вопрос дает следующая Теорема 6.1. Если последовательность операторов \ Аг1 яв-ляется(|^ wa) -устойчивой и $п—> 0 при ft->oo , то оператор А нормально разрешим. В этом же параграфе изучается также вопрос о том, какие свойства аппроксимирующих операторов обеспечивают корректную разрешимость или ограниченную обратимость оператора А (теорема 6.2). Основная идея предлагаемого метода псотроания(ря»гйГь)-ус-тойчивых последовательностей аппроксимирующих операторов, который излагается в 7, заключается в том, что с помощью операторов сноса Фа! Е —> ^ и восполнения trts Е^-* Е строится последовательность операторов \ «й^^г^^а \ Затэм пр41 ес~ тественных требованиях на операторы сноса и восполнения устанавливается, что операторы «Й„ и дают одно из решений поставленной задачи. При решении конкретных задач использование операторов оЭа может оказаться неэффективны?/!; поэтому в 7 обсуждается также вопрос о замене этих операторов на "близкие", которые также обладают нужным свойством и которые уже можно эффективно использовать. В качестве приложения в 8 рассматривается задача постро-эния(а, тп) -устойчивых и корректно разрешимых последовательностей аттрокеимирующих операторов для интегральных уравнений Фредгольма второго рода. При этом на примере формул трапеции и Симпсона демонстрируется применение метода построения (,»г>иги.) _У0ТОйчивых и корректно разрешимых последовательностей аппроксимирующих, операторов для приближенного решения указанных уравнений. В главе 4 рассматривается задача, которую для удобства ссылок назовем Основной: пусть Є и F - линейные и нормированные пространства.,R:E —> F - линейный или нелинейный оператор с областью определения ей СИ) С Е . Требуется прибли-женно вычислить элемент V0-= R(3C0) (ос0є<ЯСЙ) ) в ситуации, когда вместо С0 известны его приближения Х^: II ос^- - зс0Н4 <Г и либо оператор Я: Е —> F не обладает свойством непрерывности, либо ос^-еЯСЙ)- Семейство операторов Япі Е —> F (и=1»2»»«« ) назовем регуляризатором оператора (? относительно элемента Х0<8(&) и пары (Е » F ) , если все операторы R ц определены в некотором шаре T(3C0,d^ = |oce Е : \\x-x0\\gf0 \ и Elm Uf sap її Rn((C)-l2Cuc0)iiFsO. (f-> 0 п. дсетсзс01<Гз Основную задачу назовем ф -квазиустойчивойt если существует метрическое пространство фС <3CR) , содержащее элемент Х0 и такое, что оператор R : ф —> Е непрерывен; существует семейство операторов (^! ТСЗС^о^) ~> *Р такое, что fcm Uf sup j>(Pm^xo)=0, cf->0 n асТ(я;0,(Г) ^ здесь РфС*'*) - метрика пространства Ф Пусть Еа и Frt ( 1=1,2» ) - банаховы пространства и«Ра: Е—> Е^ , Фп: F — > F - операторы сноса. Семейство операторов v Rft:Erl->F>l (а=1,2»«- ) назовем внешним регуляризатором оператора R относительно элемента зс0Є $(R) и пары Е» F) , если все операторы І?НФК определены в шаре Т ( Х0 , <Г0) и fcm Uf sup IIRft«l> лс-ф,,11С«о>Ир = 0. В 9 устанавливаются критерии регуляризируемости (внешней регуляризируемости ) Основной задачи (теоремы 9.1-9.4). При этом обнаруяагаается, что если оператор R обратим, то свойства регуляризируемости и Ф -квазиустойчшюстк Основной задачи эквивалентны. Вместе с тем, с методической точки зрения свойство Ф -квазиустойчивости имеет ряд преимуществ. Во-первых, как это следует из определения, реализующие это свойство пространство ф и оператора Рт связаны лишь с самыми общими свойствами оператора R и поэтому конкретные пространство Ф и операторы Р^ могут обеспечить свойство ф -квазиустойчивости широкого класса задач. Во-вторыхs свойство Ф -квазиустойчивости Основной задачи монет естественным образом обеспечить и ее внешнюю рзгуляризируемость, что важно в ситуациях, когда последнее свойство непосредственно не устанавливается. Приведенное понятие внешнего регуляризэтора предполагает, что область определения сЭ( Фм) оператора Фа содержит шар Т(0С0»<Го') при некотором &0 > 0 . Последнее может на выполняться'для выбранных операторов ф^ . Произвольная зке замена операторов Фа на другие, удовлетворяющие нушшы требованиям операторы, вообще говоря, приводит, и к другим операторам Ra , что далеко не всегда является оправданным. Если же Основная задача является Ф -квазиустойчивой и выполнено включение фПТСЗСоїгіЬ^СЛ.СФц.) (последнее требование в силу того, что фС F , менее ограничительно, чем условие TCiCojC^XcSCiPp.,) ; при решении практических задач оно обычно удовлетворяется), то можно не изменяя операторы срл построить новые операторы сноса ф^ , в совокупности с которыми семейство операторов Яп образует внешний регуляри-затор. А именно, справедлива Теорема 9.8. Пусть для Ф - квазиустойчивой Основной задачи выполнено включение фПТ(0Со>сГо'> С АСФп.') , с > 0 , и RC3C0)C <0(<^а) . Пусть семейство операторов \ Rft| удовлетворяет условию km Ivl{ Sap И ИЛ.х-Ц.ЫЯ^Ъ =0, f п0ъ\. Тогда существует функция W = W-(it) такая, что семейство \9.п\ образует внеигаий рэгуляризатор оператора R отно- - 19 -сительно ОСоєФП0СЮ и пары ( Е» F) с операторами сноса Фп. и «р; = фп о pmol) В 10 рассматривается задача построения фигурирующих в условии 2) определения <Р -квазиустойчивости Основной задачи операторов Рт в предположении, что пространство ф уже каким-либо образом выбрано. Такие построения осуществляются для случаев, когда Ф является сепарабельным гильбертовым пространством, банаховым пространством с базисом Шаудера или сепарабельным банаховым пространством. В этих случаях возможно построение конечномерных операторов Рт . Приведен такие и ряд примеров, иллюстрирующих, какая именно информация об Основной задаче может быть использована для построения пространства ф и операторов Pm . Кроме того, установлены критерии ф -квазиустойчивости Основной задачи (теоремы 10.13-Ю.15) и для ряда пространств предложен подход в задаче о регуляризации слабосходящихся последовательностей. В II, носящем характер приложений, рассматриваются интегральные уравнения Вольтерра. Для этих уравнений устанавливается устойчивость их дискретных аналогов в различных пространствах и внешняя регуляризируемость. При этом проверка внешней регуляризируемости основывается на отличных от теоремы 9.8 утверждениях; сформулируем их. Пусть для Ф -квазиустойчивой Основной задачи выполнено включение ФПТ(5С0>о^)С<ЭС'Рл)> сГ0>0 , и RCCC0)C^(9n^ . Пусть семейство операторов удовлетворяет условию km \\Rnipn(K0-va{l(X0)\\ =0. (18) И. -> со *"Л Тогда имеет место равенство Ит Ш sap IIR^P^jflC-^RC^H = О, (Г->0 И. OCT(0Co,d) ґп только если iim In* Sup и RrlipnPrn(n)3C-4'riR(ao)IL=0. При этом устанавливается оценка Uf Sap URif>P .j.OC-qVRCsc^U ^ (19) В случае, когда R : E —> F - обратный оператор к линейному оператору A; F—> Е а R-п/ En— > Fa - обратные для линейных операторов Д F„ —> ЕЛ условие (18) эквивалентно существованию пространств ФпС Е^ таких, что б) Elm. і!(ФаА-А>1ф)А^х0ІІф =0. Поэтому в указанном случае оценка (19) примет вид Uf sup іи"иФгРШ|Г.а-^ЧМ "^^(«(Vv^)^V Sap ич>п(Ртс<па-ао)иф)- I - Эта оценка в определенном смысле обобщает известную в теории приближенных методов теорему сходимости, утверждащую, что из аппроксимации и устойчивости следует сходимость порядка аппроксимации.
роения sp^A^f для уравнения (I) (в случае, когда ато
уравнение но является нормально разрешишм) посредством 2^1
( U4,2 ). . . '
проксимирующих операторов к(^п»ига) -устойчивым последователь
ностям (необходимость такого перехода обуславливается теорема
ми 4.9, 4.10 и 5.2). „ "
ia->oo a зсеТ(2С0,сГ) r*
сГ->0 л»пвасс<рфся,эсвн«Г a п '
<Г-> 0 a зсєТ(ж0,<Г) *Похожие диссертации на Исследование методов решения устойчивых и неустойчивых задач
