Введение к работе
Актуальность темы. В современной теории оптимального уп-іавления одно из центральных мест занимает проблема быстродей-:твия- Поскольку время движения - весьма естественный критерий штимальности, задачи на быстродействие стали одним из наибо -;ее распространенных объектов применения различных методов оп-имального управления, в первую очередь, принципа максимума ;.С.Понтрягина. Эти вопросы нашли отражение в работах Л.С.Пон-рягина, Н.Н.Красовекого, Р.Беллмана и многих других известных іатематиков. Впервые систематическое исследование линейной про-ілемьі быстродействия дано Р.В.Гамкрелидзе : с помощью изучения ібластей управляемости доказан в этом случае принцип максиму -іа, получены теоремы существования, единственности оптимально-о управления, о характере этого управления и числе его пере -лючений. Исходя из этого, дана качественная картина оптималь-юго синтеза. Указанные результаты лежат в основе сформировав-ейся в начале 60-х годов теории линейного быстродействия. При-енение методов этой теории приводит к постановкам новых мате-атических задач, к которым сводится конкретное нахождение вре-ени быстродействия и моментов переключения оптимального управ-ения. Такие задачи носят индивидуальный (в зависимости от сис-емы) характер и значительно усложняются с увеличением порядка истемы. В случае же систем произвольного порядка точное реше-ие линейной задачи быстродействия представляет сложную мате -атическую проблему, которая не получила серьезного аналити -
' Гамкрелидзе Р.В. Теория оптимальных по быстродействию процессов в линейных системах // Изв.АН СССР, сер.математи -ческая. - 1958. - 22, М. - С.449-474
ческого исследования. Вместе с тем, необходимость конкретного решения задач быстродействия привела к возникновению цело го направления, посвященного разнообразным приближенным и численный методам ее решения.
М.Г.Крейн , рассматривая обобщенную (Y/f) - проблему А.А.Маркова, установил, что область ее разрешимости представ' ляет выпуклое тело, а также нашел общий вид решений проблемы в том случае, когда моыентная последовательность принадлежит границе этого тела. Эти результаты по существу аналогичны некоторым положениям линейной теории быстродействия.
Впервые идею изучения линейных задач управления с помо щыо их интерпретации в виде проблемы моментов выдвинул Н.Н.. Красовекий. Он инициировал применение метода исследования основанного на сведении L - проблемы моментов в абстрактных банаховых пространствах к двойственной экстремальной задаче. Достоинством указанного подхода является его применимость к широкому классу задач оптимального управления. Вместе с тем, если, например, для задач с квадратичным функционалом качества (иди с квадратичными ограничениями) метод L - проблемы моментов позволяет аналитически получить решение, то конкретно для задачи быстродействия с ограничением на модуль управ дения применение этого метода приводит к сложным задачам о наилучшем приближении в пространстве ui » решать которые предлагается с помощью тех иди иных численных методов.
Крейн Ы.Г. Идеи П.ДЛебышева и А.А.Маркова в теории предельных величин интегралов и их дальнейшее развитие П У вехи мат.наук. - І95Ґ. - УІ, М. - C.3-I20
Н.Н.Нрасовский. Теория управления движением. М.: Наука, IS68. - 465 с.
Предлагаемый в диссертации подход к проблеме линейного :тродействия основан на ее эквивалентности некоторой новой іблеме из теории моментов, названной в работе проблемой мо~ ітов А.А.Маркова на минимально возможном отрезке (ГШЛг -іблемой моментов). Проводимое в работе исследование указан-і проблемы и ее приложений в теории управления опирается на [влечение и развитие идей классической теории моментов А.А. ікова, значительный вклад в которую внесли М.Г.Крейн, Н.И. іезер и другие известные математики.
Вторая задача, изучаемая в диссертации, - задача синтеза іустимого позиционного управления - относится к современной іественной теории дифференциальных уравнений. Дня решения )й задачи В.И.Коробов предложил метод функции управляемое -
. Идея метода состоит во введении вспомогательной функ -і, удовлетворяющей вместе с управлением некоторому диффе -щиальноцу неравенству, с одной стороны, заменяющему урав-ие Р.Бедлмана в оптимальном синтезе, а с другой, аналогич-ЧГ неравенству для функции А.М.Ляпунова в задачах устойчи-:ти. Вторая идея В.И.Коробова относится к конкретным мето-1 построения функции управляемости - в виде неявной функ -і с помощью решения некоторых алгебраических уравнений спе-ільного вида.
В диссертационной работе дается дальнейшее развитие ме-\& функции управляемости, принципиальный характер которого [зан с использованием некоторых результатов теории момен -і и теории операторов. На этой основе предлагается единый
Коробов В.И. Общий подход к решению задачи синтеза ограниченных управлений в задаче управляемости // Мат.сборник. -1979. -109 (151), М Т8). 1 .582-606
_ 6 -
подход к построению решающих задач синтеза позиционных упраЕ лений для различных классов дифференциальных уравнений.
Цель работы. Исследование проблемы моментов А.А.Марков на минимально возможном отрезке, разработка на этой основе аналитических методов решения задач быстродействия и синтеза позиционного управления.
Общая методика исследования. В работе используются ме тоды классического и современного анализа, а также дифферен циальных уравнений и математической физики.
Научная новизна и практическая ценность. В диссертации предложена новая концепция теории линейного быстродействия. Центральное место в ней занимает mia- проблема моментов А.А.Маркова.
В результате исследования конкретных 171 t-Ю. - проблем (степенной, тригонометрической и др.) дано точное решение за дачи быстродействия для ряда систем произвольной размерности В частности, решена задача об оптимальном в смысле быстродей' ствия управлении колебанием струны.
Дан метод решения в локальном смысле задач быстродей ствия для систем с аналитическими матрицами, опирающийся на установленную их локальную эквивалентность.
Дан подход к нелокальному решению mt<^- - проблемы моментов и задачи быстродействия, основанный на предложенном методе порождающей функции.
Дано развитие метода функции управляемости.
Предложен единый подход к построению позиционных уп -равлений, решающих задачу локального и глобального синтеза для различных классов обыкновенных дифференциальных уравнениі
Получено решение задачи синтеза позиционного управле-
для уравнений с неограниченным оператором и для уравне-гиперболического типа.
Все основные результаты диссертации носят конструктив-характер. Предложенные в ней аналитические методы опре-гния оптимальных и допустимых управления могут служить овой для дальнейшего исследования и решения конкретных ач в области оптимального управления, дифференциальных внений, математической физики.
Апробация работы. Результаты .диссертации докладывались Всесоюзной конференции "Метод функций Ляпунова в современ-математике" (Харьков, 1986), республиканской конференции фференциальные и интегральные уравнений и их приложения" ,есса, 1987), Седьмом семинаре ШАК (Тбилиси, 1988), П Се-о-Кавказской региональной конференции по функционально-хференциальным уравнениям и их приложениям (Махачкала,1988), ідународной научной школе "Метод функций Ляпунове и его шожения" (Иркутск, 1989), республиканской конференции "Ди-шка твердого тела и устойчивость движения" (Донецк, 1990), ісесоюзной школе "Понтрягинские чтения. Оптимальное управ -іиє, геометрия и анализ" (Кемерово, 1990), на семинарах здемика В.А.Марченко, кафедры дифференциальных уравнений и завления в Харьковском государственном университете, кафед-оптимального управления факультета ВМК Московского госу -эственного университета, в МИ АН СССР им.В.А.Стеклова, й Ур.О АН СССР.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликова-в [I - 15] . Объем и структура работы. Диссертация состоит иг введе-я, четырех глав и списка цитированной литературы. Общий
объем 293 страницы машинописного текста. Список литературы содержит 115 наименований.
