Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Теоретические основы построения методов 10
1. Свойства псевдообратных операторов 10
2. Задача связанного псевдообращения 15
3. Аппроксимирующая задача 18
Глава II. Методы регуляризации основной задачи 22
4. Неявные схемы итерированного и итерационного методов . 22
5. Явная схема итерационного метода 30
6. Сходимость методов в условиях нормальной разрешимости составного оператора 36
Глава III. Устойчивость методов регуляризации основной задачи 40
7. Устойчивость неявных схем решения основной задачи . 40
8. Устойчивость явной схемы решения основной задачи . 45
Глава IV. Апостериорный выбор параметров регуляризации 49
9. Устойчивость неявных методов в классе корректных возмущений псевдообратного Г4 49
10. Выбор параметра г 53
10.1 Принцип невязки 59
10.2 Обобщенный принцип невязки 62
11. Критерии последовательного выбора параметров регуляризации . 66
11.1. Критерий выбора (р; П) 70
11.2 Критерий выбора (/?,7;П) 72
Глава V. Приложение 73
12. Задачи оптимального управления 73
13. Численное приложение 79
Заключение 86
Литература 87
- Задача связанного псевдообращения
- Сходимость методов в условиях нормальной разрешимости составного оператора
- Устойчивость явной схемы решения основной задачи
- Устойчивость неявных методов в классе корректных возмущений псевдообратного Г4
Введение к работе
В начале XX века при выяснении вопроса о соответствии математических и физических моделей задач естествознания впервые было введено понятие некорректной задачи. Часто абстрактной моделью таких задач служит линейное операторное уравнение
Ах = у (0.1)
с непрерывным оператором А, действующим между гильбертовыми пространствами X и Y. По уравнению (1) требуется найти нормальное относительно заданного элемента xqEX псевдорешение ж, (или просто нормальное псевдорешение х*, если #0=0) > принадлежащее множеству
ХА = {х Є X : \\Ах - у\\ = inf \\Аи - у||}.
Если А+ - псевдообратный к оператору А, то нормальное псевдорешение уравнения (1) запишется в виде
х* = А+у, (0.2)
а нормальное относительно хо псевдорешение -
х* = X* + PN(A)XQ,
где Рдг(Л) - ортопроектор на ядро N(A) оператора А. Поэтому задачу отыскания нормальных псевдорешений уравнения (1) можно назвать задачей псевдообращения.
Не останавливаясь на истории вопроса, отметим, что одним из наиболее важных методов решения задачи псевдообращения является метод регуляризации А.Н. Тихонова, состоящий в аппроксимации решения (2) семейством {ха}, а>0, экстремалей функционала
Фа(х) = \\Ах - у\\2 + а[|а:||2. (0.3)
Теории и методам решения некорректного уравнения (1) посвящены многочисленные исследования, опубликованные в периодических изданиях, и которые нашли отражение в известных монографиях А.Н. Тихонова и В.Я. Арсснина [45], В.К. Иванова, В.В. Васина и В.П. Тананы [2G], М.М. Лаврентьева [29], Ф.П. Васильева [19], Г.М. Вайникко и А.Ю. Вере-тешшкова [18], А.Б. Бакушинского и А.В. Гончарского [16], В.В. Васина и А.Л. Агеева [21], а также в работах [17], [30], [31], [36], [38], [43], [47] и многих других.
Начиная с 1970 года, стали появляться практические задачи, абстрактной моделью которых служит уравнение (1), но неизвестная х - не произвольный вектор пространства X, а удовлетворяет некоторым линейным связям, которые можно описать с помощью другого линейного уравнения
Вх = z (0.4)
с непрерывным оператором В, действующим между гильбертовыми пространствами X и Z. По уравнениям (1) и (4) требуется найти элемент х*, ближайший к заданному ссобХ, принадлежащий множеству
Хл = {х Є Х1 : \\Лх - у\\ = inf \\Аи - у\\}, (0.5)
где Хг={хХ: \\Bx~z\\= inf ||Bu-z||}.
Эта задача по аналогии с предыдущей называется задачей связанного псевдообращения, элемент х^ЕХд, ближайший к xq, - нормальным относительно xq связанным псевдорешением уравнения (1), а при xq=0 -нормальным связанным псевдорешением этого уравнения и обозначается х*.
Задача связанного псевдообращения, когда заданный элемент хоТ^О, ранее не рассматривалась вообще. При #о=0 задача связанного псевдообращения поставлена независимо в работах N. Minamide и К. Nakamura [58] и В.А. Морозова [37]. Японские математики ввели понятие суженного псевдообратного оператора и записали точный вид нормального решения х* задачи (5):
х* = B+z + (АРщв)) + (у - AB+z), (0.6)
где Pjv(b) - ортонроектор на ядро N(B) оператора В.
В.А. Морозов предложил и исследовал вариационный однопараметри-ческий регуляризирующий алгоритм построения этого решения, используя функционал А.Н. Тихонова (3) с естественной заменой стабилизирующей его части на \\Вх—z\[2. Решению задачи связанного псевдообращения методом регуляризации посвящены также работы ряда авторов [3], [23], [33], [40], [55], [56], но во всех этих работах предполагается выполненным условие дополнительности операторов А и В:
37 > 0 : )\Ах\\2 + > 72|И2 Мх Є X, (0.7)
из которого в частности следует, что множество Ха одноэлементно. При отсутствии условия дополнительности задачу (5) рассмотрел Р.А. Ша-фисв в работах [48], [49], [50] и других, которые вошли в монографию [51].
Он предложил регуляризирующий алгоритм ее решения, основанный на двупараметрическом функционале
Фга{х) = г\\Вх - z\\2 + ]\Ах - у\\2 + а\\х\\2, г, а > 0. (0.8)
Этот вариационный метод регуляризации рассмотрели его ученики М.Я. Кугель [28] и И.Ю. Ястребова [54]. При выполнении условия (7) в функционале (8) можно положить ск=0, при этом полученный таким образом функционал с точностью до параметризации совпадает с функционалом В.А. Морозова [37].
Для решения уравнения (1), кроме вариационных регуляризирующих методов, известны удобные в вычислительной практике итерационные процедуры. Многие из этих алгоритмов представляют собой методы решения уравнения
А* (Ах-у) = 0, (0.9)
которое, как известно, равносильно задаче псевдообращения уравнения (1). Примеры таких итерационных методов можно найти в работах Г.М. Вайникко и АЛО. Веретенникова [18], А.Б. Бакушинского и А.В. Гончарского [16] и других авторов.
В данной диссертационной работе исследуется проблема распространения итерационных методов регуляризации для решения задачи связанного псевдообращения. Предполагается, что А: Х~>У, В: X—Z -линейные ограниченные операторы, X, Y, Z - гильбертовы пространства. Способ построения итерационных методов базируется па аппроксимирующей задаче, вывод которой основан на замене в точной формуле (G) псевдообратного оператора (АРщв))+ аппроксимирующим его семейством (3) и опирается на известные факты из теории псевдообратных операторов и теории некорректных уравнений (глава I, 1 и 2). Аналогом уравнения (9) в случае задачи связанного псевдообращения может служить параметрическое уравнение, которое равносильно аппроксимирующей задаче. С помощью оператора Гг и вектор дг:
Тг =
фВ А
:X^ZxY = G, дг =
л/rz
это уравнение можно записать в виде
Г;{Ггх - дг) = 0. (0.10)
Именно это уравнение предлагается использовать для построения методов решения задачи (5). Таким образом построены итерированный и
итерационные методы регуляризации задачи связанного псе в дооб ращения (глава II, 4).
Под итерированным методом регуляризации понимается последовательное вычисление элементов хі]Гаі..., х1Щга по формулам
аХтг,7-а+Г*ГгжПіт=ап_1?т+Г*г, г, а>0, п=1,2,..., т—canstу (0.11)
исходя из начального приближения xqjT(1~xq. Элемент хт>га принимается за приближенное решение основной задачи. Итерационный метод заключается в последовательном вычислении элементов хП)Г по формулам
аХщГ-{-Т*гТгХщГ=ахп-1гГ+Т*гдТ) г>0, п=1,2,..., a=const>0 (0.12)
при заданном начальном приближении xo^=xq.
Методы (11) - (12) относятся к неявным итерационным схемам решения уравнения (10). Явная итерационная схема приводит к следующему методу:
где х0)Г=я;о, г>0, п=1, 2,..., 0 Построенные методы являются двунараметрическими и ни при каких значениях параметров не совпадают с задачей связанного псевдообращения (5). Во второй главе рассматриваются вопросы сходимости методов, вывода оценок погрешностей и априорного выбора параметров при точных входных данных при общих предположениях относительно операторов An В (4, 5). В этом случае сходимость методов достигается за счет согласованного стремления к своим пределам параметров регуляризации. Например, для итерационного метода (12) а;П|Г—кс* при п—>со, г—^оо, и 7~^0 (теорема 4.5). Приведенные для задачи псевдообращения {В=0, z—0) следствия, соответствуют известным результатам из [18]. Для сходимости хП)Г к х*, когда п—»оо, г—>оо независимо (С, следствие 6.2), потребовалось, чтобы операторы А и В были обобщенно дополнительные: 37 > 0 : + \\Вх\\2 > 72|М|2 Ух Є {N{A) П ЛГ(В))"1. (0.14) Но для метода (13) даже это условие не обеспечивает сходимости без согласования параметров. Этому препятствуют релаксационные множители }іг (замечание 6.4). В случае, если известны приближенные данные задачи: At} В^, уТ) z$, то предполагаются выполненными следующие условия аппроксимации: \\At-A\\ При выполнении условия (15) установлена устойчивость регуляризиру-ющих алгоритмов (7, 8). Так, для неявного итерационного метода (12) в возмущенном случае доказано хщг-+х* при h, t, 6, г—)-0, п—їоо, г~$оо и выполнении условий согласования --^-0, rn(S2-\-h)—>0, n(r2+t)~^-0 (теорема 7.5). Для рассматриваемых методов выведены оценки погрешности при обычном условии исто ко представ и мости начальной погрешности. Априорный выбор параметров осуществлен по полученным оценкам при условии, что точность приближенных оператора B}t и вектора z$ выше, чем оператора At и вектора ут. Для итерационных процедур более удобным и практичным является апостериорный выбор параметров, выбор момента останова. В диссертации для решения этой проблемы используется идея последовательного выбора параметров регуляризации, предложенная в работе Р.А. Шафие-ва и И.Ю. Ястребовой [52]: параметр гд выбирается по принципу невязки или обобщенному принципу невязки из регуляризирующего алгоритма, который заключается в построении семейства {хг}, где хт - решение вариационной задачи Fr{xr)= inf Fr{x), Fr(x)=\\rrx~grf~r\\Bhx-z5\\2+\\Atx~yT\\, геЛГ(Г)1 (0.16) где оператор Гг составлен из приближенных данных аналогично Гг, а оператор Гі обозначается без индекса Г. Второй параметр п выбирается по правилу останова в итерационном методе (12) при фиксированном г=гд. Проблема выбора параметра г в методе регуляризации (16) была рассмотрена ранее в монографии В.А, Морозова [37] при ограничении (7), и И.Ю. Ястребовой [54] при условии (14). В этих работах поведение нормы невязки |[5ftr-~z,j[[ изучается при 0<г<оо, что приводит к необходимости исследования так называемой двойственной задачи и введением связанных с ней дополнительных ограничений, в частности, требования, чтобы оператор А и вектор у были вычислены точно. В отличие от работ В.А. Морозова и И.Ю. Ястребовой, мы рассматриваем параметр г в промежутке [1,-f-oo), в связи с чем становятся излишними рассмотрение двойственной задачи и дополнительные ограничения. Последовательному выбору параметров посвящена четвертая глава диссертации, состоящая из трех параграфов (9 - 11). Здесь предполагается, что как сами операторы А, В, так и приближенные операторы At, Ви удовлетворяют обобщенному условию дополнительности. Полное описание класса возмущений, для которых приближенные операторы At, Bh - обобщенно дополнительные, приводится в 1. Отсюда, в частности, следует, что если уровни возмущений из этого класса t и h малы: \/Ч-Д2<|7) где 7 ~ константа из (14), то справедлива оценка \\Atxf + ||И|2 > ^2\\х\\2 Ух є (N(At) n N(13^ . Указанные ограничения обеспечивают независимость параметров в случае возмущенных данных (9). Далее, исследуя свойства функции-невязки p{r) = \\B}Lxr—zs\\, приходим к выводу, что р(г) непрерывная и строго убывающая на [1,+оо) функция, значения которой заполняют промежуток (Дв,Ді] (лемма 10.8). С помощью этих результатов установлена возможность выбора параметра регуляризации г по принципу невязки как корня уравнения p{r) = Д. (0.17) Зафиксируем параметр г=г& и перепишем возмущенный метод (12): аж„,д+ГдГдя»,д=ахп-і,д+Гд0, (0.18) где обозначено жП)д=ссП|Гд, Гд=ГГд) #д=д- Очевидно, метод (18) является итерационным методом построения псевдорешения u^=x/\-\-Qxq уравнения Гдж=х$. Здесь Q - ортопроск-тор на ядро оператора Гд. После нахождения параметра гд из уравнения (17), параметр п~п(а) находится по правилу останова для итераций из (18) как номер, для которого впервые ||хп,д—„_i^||< В заключение отметим, что формулировки некоторых практических задач, абстрактной моделью которых служит задача связанного псевдообращения, можно найти в [56]. Одна из этих задач рассмотрена в [58]. Суть этой задачи состоит в том, что требуется найти управление системой обыкновенных дифференциальных уравнений, которое за заданное время Т переведет эту систему из начального состояния x(to) в состояние x(h), h—to+T, наименее уклоняющееся от заданной точки Применение итерационного метода к решению задач оптимального управления иллюстрируется на примере. В диссертации принята следующая система нумерации. Нумерация параграфов в работе сквозная. Формулы в работе занумерованы двумя числами, разделенными точкой. Первое число в номере формулы - номер параграфа, в котором приводится данная формула, второе - номер формулы в параграфе. Во введении номер формул начинается с нуля. При ссылке на формулы внутри параграфа указывается только ее помер в данном параграфе. Нумерация определений, теорем, следствий, лемм и замечаний единая в параграфе и состоит из двух чисел, разделенных точкой. Первое число - номер параграфа, в котором сформулировано предложение, второе - номер предложения в параграфе. При ссылке на предложение указывается полный его номер. Основные результаты предложенной работы являются новыми н вносят определенный вклад в теорию методов решения некорректных задач. Они опубликованы в [4] - [14] и докладывались на Всероссийской конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (г. Екатеринбург, 2004 г.), на научном семинаре "Методы оптимизации" кафедры оптимального управления факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (руководители - проф. Ф.П. Васильев, доктор физ.-мат. наук А.С. Антипин, доц. М.М. Потапов) (2005 г.), на научном семинаре "Математическая теория оптимального управления" Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского (руководители -проф. В.И. Сумин, проф. М.И. Сумин) (2005 г.), на научном семинаре кафедры прикладной математики Нижегородского государственного технического университета (руководитель - проф. И.П. Рязанцева) (2005 г.), на VI, VII, VIII, IX Нижегородской сессии молодых ученых (математические пауки) (г. Саров, Нижегородская область, 2001 - 2004 г.г.), на научных конференциях Нижегородского государственного педагогического университета (2000 - 2005 г.г.), на научных семинарах кафедры математического анализа Нижегородского государственного педагогического университета (2000 - 2005 г.г.). Для итерационных процедур более удобным и практичным является апостериорный выбор параметров, выбор момента останова. В диссертации для решения этой проблемы используется идея последовательного выбора параметров регуляризации, предложенная в работе Р.А. Шафие-ва и И.Ю. Ястребовой [52]: параметр гд выбирается по принципу невязки или обобщенному принципу невязки из регуляризирующего алгоритма, который заключается в построении семейства {хг}, где хт - решение вариационной задачи (0.16) где оператор Гг составлен из приближенных данных аналогично Гг, а оператор Гі обозначается без индекса Г. Второй параметр п выбирается по правилу останова в итерационном методе (12) при фиксированном г=гд. Проблема выбора параметра г в методе регуляризации (16) была рассмотрена ранее в монографии В.А, Морозова [37] при ограничении (7), и И.Ю. Ястребовой [54] при условии (14). В этих работах поведение нормы невязки [5ftr- z,j[[ изучается при 0 г оо, что приводит к необходимости исследования так называемой двойственной задачи и введением связанных с ней дополнительных ограничений, в частности, требования, чтобы оператор А и вектор у были вычислены точно. В отличие от работ В.А. Морозова и И.Ю. Ястребовой, мы рассматриваем параметр г в промежутке [1,-f-oo), в связи с чем становятся излишними рассмотрение двойственной задачи и дополнительные ограничения. Последовательному выбору параметров посвящена четвертая глава диссертации, состоящая из трех параграфов (9 - 11). Здесь предполагается, что как сами операторы А, В, так и приближенные операторы At, Ви удовлетворяют обобщенному условию дополнительности. Полное описание класса возмущений, для которых приближенные операторы At, Bh - обобщенно дополнительные, приводится в 1. Отсюда, в частности, следует, что если уровни возмущений из этого класса t и h малы: \/Ч-Д2 7) где 7 константа из (14), то справедлива оценка Указанные ограничения обеспечивают независимость параметров в случае возмущенных данных (9). Далее, исследуя свойства функции-невязки p{r) = \\B}Lxr—zs\\, приходим к выводу, что р(г) непрерывная и строго убывающая на [1,+оо) функция, значения которой заполняют промежуток (Дв,Ді] (лемма 10.8). С помощью этих результатов установлена возможность выбора параметра регуляризации г по принципу невязки как корня уравнения Зафиксируем параметр г=г& и перепишем возмущенный метод (12): где обозначено жП)д=ссПГд, Гд=ГГд) #д= ?гд- Очевидно, метод (18) является итерационным методом построения псевдорешения U =X/\-\-QXQ уравнения Гдж= ?д нормального относительно х$. Здесь Q - ортопроск-тор на ядро оператора Гд. После нахождения параметра гд из уравнения (17), параметр п п(а) находится по правилу останова для итераций из (18) как номер, для которого впервые хп,д—„_I T, где а - наперед заданное число. В заключение отметим, что формулировки некоторых практических задач, абстрактной моделью которых служит задача связанного псевдообращения, можно найти в [56]. Одна из этих задач рассмотрена в [58]. Суть этой задачи состоит в том, что требуется найти управление системой обыкновенных дифференциальных уравнений, которое за заданное время Т переведет эту систему из начального состояния x(to) в состояние x(h), h—to+T, наименее уклоняющееся от заданной точки p(ti) фазового пространства, и при этом минимизирующее энергетические затраты. Приведенное в [58] решение связано с обращением ряда операторов. В главе V диссертации эта задача и аналогичная ей решена итерационного методом. Применение итерационного метода к решению задач оптимального управления иллюстрируется на примере. В диссертации принята следующая система нумерации. Нумерация параграфов в работе сквозная. Формулы в работе занумерованы двумя числами, разделенными точкой. Первое число в номере формулы - номер параграфа, в котором приводится данная формула, второе - номер формулы в параграфе. Во введении номер формул начинается с нуля. При ссылке на формулы внутри параграфа указывается только ее помер в данном параграфе. Нумерация определений, теорем, следствий, лемм и замечаний единая в параграфе и состоит из двух чисел, разделенных точкой. Первое число - номер параграфа, в котором сформулировано предложение, второе - номер предложения в параграфе. При ссылке на предложение указывается полный его номер. Основные результаты предложенной работы являются новыми н вносят определенный вклад в теорию методов решения некорректных задач. Они опубликованы в [4] - [14] и докладывались на Всероссийской конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (г. Екатеринбург, 2004 г.), на научном семинаре "Методы оптимизации" кафедры оптимального управления факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (руководители - проф. Ф.П. Васильев, доктор физ.-мат. наук А.С. Антипин, доц. М.М. Потапов) (2005 г.), на научном семинаре "Математическая теория оптимального управления" Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского (руководители -проф. В.И. Сумин, проф. М.И. Сумин) (2005 г.), на научном семинаре кафедры прикладной математики Нижегородского государственного технического университета (руководитель - проф. И.П. Рязанцева) (2005 г.), на VI, VII, VIII, IX Нижегородской сессии молодых ученых (математические пауки) (г. Саров, Нижегородская область, 2001 - 2004 г.г.), на научных конференциях Нижегородского государственного педагогического университета (2000 - 2005 г.г.), на научных семинарах кафедры математического анализа Нижегородского государственного педагогического университета (2000 - 2005 г.г.). Глава I. Теоретические основы построения методов Задача связанного псевдообращения не столь хорошо известна в математической литературе. Поэтому в данной главе мы приведем необходимые сведения о пей и о том способе построения регуляризирующих алгоритмов для ее решения, который лежит в основе рассмотренных в диссертации методов. Этот способ построения методов регуляризации базируется на аппроксимирующей задаче. Исследование задачи связанного псевдообращения опирается на теорию псевдообратных операторов, а вывод аппроксимирующей задачи — на регуляризирующий алгоритм А. Н. Тихонова. По этой причине 1, играющий вспомогательную роль, посвящен вопросам псевдообращения и решению некорректных уравнений, Проблема выбора параметров регуляризации - одна из важных и трудных проблем в исследовании регуляризирующего алгоритма. В связи с тем, что рассматриваемые в диссертации регуляризирующие алгоритмы двупараметрические, то эта проблема еще более усложняется. В данной главе реализуется идея последовательного выбора параметров, впервые предложенная И. Ю. Ястребовой при исследовании вариационного метода (3.13) [52] - [54]. Суть этой идеи в том, что сначала по какому-либо критерию выбирается параметр г из регуляризирующего алгоритма, порожденного аппроксимирующей задачей, другой параметр выбирается из исходного алгоритма, в котором параметр г фиксируется выбранным значением. Очевидно, осуществить последовательный выбор параметров возможно, если параметры не связаны между собой какими либо соотношениями, т.е. являются независимыми. В б показано, что условие нормальной разрешимости оператора Г обеспечивает независимость параметров регуляризации в неявных схемах итерированного и итерационного методов (4.2) и (4.3). Настоящая глава начинается с 9, в котором приводятся условия (9.3) - (9.5), обеспечивающие независимость параметров в случае воз мущенных методов (4.2) и (4.3). Для облегчения формулировок резуль татов всюду в этой главе предполагаются выполненными условия (9.3) (9.5), а также условие (9.9). 9. Устойчивость неявных методов в классе корректных возмущений псевдообратного Г+ Рассмотрим возмущенные методы (4.2) и (4.3). Используя обозначения 7, их можно записать в виде: в обоих методах за начальное приближение принимается элемент XQ. В 7 проблема устойчивости этих методов рассмотрена в условиях, когда операторы А и В возмущены произвольными линейными ограниченными операторами At As(X Y), B}l Be(X,Z)) имеющими малую норму (7.1). Как оказалось, в этих условиях устойчивость методов достигается за счет установления связей между параметрами. 1. Сузим класс возмущающих операторов: пусть операторы At—А, Bfr—B удовлетворяют условию (7.1) и составленные из них операторы Г—Г принадлежат классу корректных возмущений псевдообратного Г+. Этот класс, полное описание которого приводится в теореме 1.10 и замечании 1.11, будем называть суженным классом возмущений. Следствия, которые вытекают отсюда, для удобства чтения приведем здесь полностью: операторы А и В обобщенно дополнительные, т.е. Рассмотренная нами задача связанного псевдообращения является абстрактной моделью ряда практических задач. Формулировка некоторых из них приводится в [56]. Впервые такая задача рассмотрена в [58] и относится она к разделу оптимального управления с минимальными затратами [57]. Поставленная в [58] задача оптимального управления решена в [54] вариационным двупараметрическим методом регуляризации. В данной главе к решению этой задачи, а также к решению аналогичной ей задачи применяется неявный итерационный метод (4.3). В заключение, рассмотрены иллюстративные примеры.В (1)-(4) заданными являются матричные функции W(t)} V(t) порядка и xv и v X (і соответственно, ограниченные на [i0, j функциями, интегрируемыми с квадратом, симметрическая положительная ограниченная на [,,, tj] матричная функция Q(t) порядка v X і/, симметрическая положительно определенная ограниченная на [tQ, j матричная функция R(t) порядка \i X \i (разумеется, что Q(t) и R(t) интегрируемы), а также и - мерная интегрируемая с квадратом вектор-функция наблюдения tp(t). Неизвестные - v - мерная вектор-функция состояния системы x(t) и ц - мерная вектор-функция управления u(t). Ниже будут приведены определение решения системы дифференциальных уравнений и условие разрешимости задачи Коши. Предположим, что допустимые управления образуют вещественное гильбертово пространство Я вектор-функций из Z 2([t0, j; ШУ) со скалярным произведением, определенным равенством: Определение 12.1. Решение и = и () приведенных задач называется оптимальным управлением. Суть задач состоит в том, что требуется найти управление, которое за заданное время tl — t0 переведет управляемую систему из начального состояния х0 в состояние 2j(j, наименее уклоняющееся от заданной точки фазового пространства (ij, при этом в целом оно оптимизирует качество движения и энергетические затраты. Задачи различаются лишь определением оптимальности качества движения и затрат в целом. 2. Приведем некоторые факты из теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений = U{t)y{t) + b[t). (12.6) Определение [2] (с. 184). Вектор-функция y(t) называется решением системы дифференциальных уравнений (6), если она абсолютно непрерывна и удовлетворяет системе почти всюду. Лемма [2] (с. 191). Если матричная функция U(t) порядка п X п и гс-мерная вектор-функция b(t) измеримы и интегрируемы на отрезке [t0, ij, то любая задача Копій для уравнения (6), поставленная в момент времени t0, имеет единственное решение, и это решение продолжается на весь отрезок [tQ, tj]. Явные формулы для решения системы (б) выражаются через фундаментальную матрицу решений соответствующей однородной системы: f- = U(t)y(t). (12.7) Определение [2] (с. 193). Фундаментальной матрицей Ф(і,з) решений системы (7) называется матричная функция порядка п х п, определенная на [t0, tj] х [toi ij и являющаяся решением задачи Коши I Щз, s) = I. Теорема [2] (с. 193). Если матричная функция U(t) интегрируема на отрезке [t0, tj, то фундаментальная матрица Ф(, s) системы (7) существует и непрерывна на квадрате [t0, tj X [i0, j, причем: 1) Ф(і, г)Ф(г, s) = Ф(і, s) Vi, st т Є [ 0, ij; 2) Ф(, я) при каждом і является решением дифференциального уравне ния ЗФ(М) = -Ф( ,5)17(в); ds Кроме того: 3) Если b(t) интегрируема на отрезке [t0, ,] и у() - решение системы (6),TOW,TG[0, і,] ї() = Ф( , г)г/(т) + У Ф(і, s)b(s)ds 3. В силу предположений матричные функции W(t) и V(t) интегрируемы с квадратом на отрезке [0, ij, и потому вектор-функция 6(f) = V(t)n(t) интегрируема на [tQf ij. Следовательно, к системе (1) применима приведенная выше теорема из [2], откуда следует существование и непрерывность фундаментальной матрицы Ф(, s) системы (1) и представление се решения в виде: Из последних равенств следует, что искомое оптимальное управление и в задачах I и II - это нормальное связанное псевдорешение уравнения (2.1), иначе нормальное решение основной задачи (см. определения 2.1 и 2.2). Теорема 12,2. Задача I имеет единственное оптимальное управление и , при этом Для доказательства теоремы достаточно установить, что основная задача с операторами А и В, определенными равенствами (9) - (11), имеет единственное нормальное решение при любых z и у. Доказательство этого проведем, опираясь на теорему 2.6. Из равенств (10), (11) имеем Индексы у норм здесь и в дальнейшем писать не будем. Отсюда следует, что что означает в силу определения 2.5, что операторы А и В обобщенно дополнительные. Далее, образ R(B) оператора В— линейное многообразие в конечномерном пространстве, а поэтому замкнут. Согласно первому равенству из (1.1) имеем D(B+) = R{B) ф Я(В)Х = R{B) Л(В)-1- = R". Следовательно, z Є D(B+), и условия теоремы 2.6 выполнены. Формула (14) следует из (2.6). Теорема 12.3. Если в задаче II оптимальное управление и существует, то оно единственно и находится но формуле (14). Доказательство. Согласно теореме 2.3 для разрешимости основной задачи необходимо и достаточно выполнение условий (2.4). Первое из условий (2.4), как и в задаче I, выполняется для любых z, а второе - пе для любых у. Связано это с тем, что в задаче II операторы А и В не являются дополнительными. 5. Оптимальное управление будем искать итерационным методом (4.3) с начальным приближением XQ — 0 : где п = 1,2,..., г 0, a = const 0, с определенными в (9) - (11) операторами А к В. Для составления уравнений (16) следует вычислить сопряженные операторы А , В . В [54] эти операторы найдены: Подставляя в (16) выражения для В , Я, A , A, z и у, получим : (/З + а)«П)Г(0 + гЛ-1 ) "(і)Ф (іь где щ г — 0, п = 1,2,..., г 0, о; = consi 0 и в случае задачи I /3 = 1, в случае задачи II - /3 = 0. Теорема 12.4. Последовательность иП)Г(), определенная из уравнений (17) при п —V со, г —ь со, - — 0 сходится к оптимальному управлению W = it () задач I и II в норме пространства Я: (12.18) При этом в случае задачи II требуется существование оптимального управления. Доказатсльство. Воспользуемся п. 2) теоремы 4.5. Для сходимости (18) требуется разрешимость задачи и выполнение условия (4.21). Разрешимость задачи I проверена, а разрешимость задачи II требуется в теореме. Условие (4.21) выполняется всегда, т.к. в силу нормальной разрешимости оператора В выполняется равенство D(B +)=H. Заметим, что в случае задачи I стремление j —» 0 в (18) не требуется (см. следствие 6.2). 13. Численное приложение 1. Для численного построения приближений (12.17) применим проекционный метод (см., например [22]). Согласно определению пространство Н— это пространство L2([0, j; Ш11 с положительно определенной и ограниченной весовой матрицей R(t). Очевидно, нормы этих пространств эквивалентны, и, следовательно, из сепарабельности L2 следует сепарабельность Н. В самом деле, УгіЄЬо (и ф 0) имеем Отсюда, переходя к интегралам, получим Пусть {ги :()}ь=і — ортонормированный базис пространства Н : Области определения операторов Л и В, определенных равенствами (12.9), (12.11) и (12.12) совпадают с Н. В этом случае в качестве семейства конечномерных пространств, аппроксимирующего пространство Н, можно рассматривать семейство {Я )}, гдеЯ - линейная оболочка, натянутая на р первых векторов ортонормированного базиса Я » = L{{Wk{t)Yk=l). Решения ищг Н задач оптимального управления будем искать в виде ,гМ = Ё4",гЧм- (13-і) Тогда для нахождения иПзГ необходимо найти коэффициенты % его ряда Фурье (1). Итерации ищг(Ь) находятся как решения уравнения (12.17). Рассмотрим проекцию уравнения (12.17) на множество Н :Задача связанного псевдообращения
Сходимость методов в условиях нормальной разрешимости составного оператора
Устойчивость явной схемы решения основной задачи
Устойчивость неявных методов в классе корректных возмущений псевдообратного Г4
Похожие диссертации на Построение и исследование методов регуляризации для задачи связанного псевдообращения
