Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Квадратурные формулы для гиперсингулярного интеграла по отрезку действительной оси 18
1.1. Построение квадратурной формулы 21
1.2. Оценка погрешности квадратурной формулы в 22
1.3. Оценка погрешности квадратурной формулы в классе неулучшаемости оценки погрешности по порядку 40
1.4. Оценка для гиперсингулярного интеграла с весом в классе 49
1.5. О порядке аппроксимации гиперсингулярного интеграла с весом по отрезку 74
1.6. Представление гиперсингулярного интеграла с весом по отрезку от алгебраических многочленов в терминах специальных функций 81
ГЛАВА II. Интерполяционная квадратурная формула для сингулярного интеграла Адамара 104
2.1. Построение интерполяционной квадратурной формулы. Вычисление коэффициентов 105
2.2. Оценка погрешности квадратурной формулы в классе
Литература 132
- Оценка погрешности квадратурной формулы в классе неулучшаемости оценки погрешности по порядку
- О порядке аппроксимации гиперсингулярного интеграла с весом по отрезку
- Представление гиперсингулярного интеграла с весом по отрезку от алгебраических многочленов в терминах специальных функций
- Построение интерполяционной квадратурной формулы. Вычисление коэффициентов
Введение к работе
Актуальность темы. К настоящему времени в построении и исследовании приолиженных методов вычисления сингулярных интегралов, понимаемых в смысле главного значения Коши, достигнуты значительные успехи. Библиография работ по построению квадратурных формул для сингулярных интегралов с ядром Коши весьма обширна. Обзор полученных в этом направлении результатов имеется в монографиях Иванова В.В. [23] , Габдулхаева Б.Г, [14] , а так же в специальных обзорных работах этих же авторов [24,13]
В отличии от сингулярных интегралов, приближенные методы вычисления гиперсингулярных интегралов и интегралов, понимаемых в смысле конечного значения по Коши-Адамару (интеграл Адамара), исследованы мало, хотя в ряде прикладных задач встречаются именно эти интегралы. Так, например, при решении интегральных уравнений линейной теории несущей поверхности [10,66,67] возникают интегралы Адамара, а при обращении обобщенных риссовских потенциалов [54-55] и при представлении некоторых классов псевдодифференциальных операторов [44-471 - гиперсингулярные интегралы.
В связи с этим представляет интерес изучение методов приближенного вычисления указанных интегралов.
Цель работы. Работа посвящена построению и обоснованию приолиженных методов вычисления гиперсингулярных интегралов, понимаемых в смысле главного значения Коши, и интегралов Адамара.
Методика исследований. При выводе и обосновании полученных в работе результатов используются теория приближения функций, свойства гиперсингулярных интегралов и интегралов Адамара.
Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты:
- строится квадратурная формула для гиперсингулярного интеграла с непрерывной на интервале плотностью и находится оценка погрешности, которая является неулучшаемой в классе Иы » - ;
- дан способ получения оценки погрешности приближения гиперсингулярных интегралов с непрерывной плотностью гиперсингулярными интегралами с полиномиальной плотностью в весовых пространствах, основанный на -оценке для гиперсингулярных интегралов;
- в терминах специальных функций найдено представление для гиперсингулярного интеграла с весом по отрезку от алгебраических многочленов;
- построена интерполяционная квадратурная формула для интеграла Адамара и найдена оценка её погрешности в классе Н (1 1-целое).
Теоретическая и практическая ценность. Теоретическая ценность работы заключается в построении и обосновании методов приближенного вычисления, учитывающих специфику гиперсингулярных интегралов и интегралов Адамара. Полученные результаты могут найти применение при дальнейшем развитии теории приближенных мтодов вычисления рассматриваемых интегралов.
Практическая ценность работы заключается в возможности применения полученных результатов к численному решению прикладных задач, в которых встречаются гиперсингулярные интегралы и интегралы Адамара.
Диссертация является самостоятельным исследованием автора.
По материалам диссертации опубликованы работы ["2,6,7,8] .
Для изучения вопроса аппроксимации этого интеграла нам понадобятся специальные функциональные пространства. С этой целью остановимся несколько подробнее на классах и пространствах функций, в которых исследовался сингулярный интеграл (Л-О) по разомкнутой кривой.
Основные результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры математического анализа Азгосуниверситета им.С.М.Кирова (1982 - 1983 г.г.)» на V Республиканской научной конференции аспирантов ВУЗов Азерб.ССР, в IJ Саратовской зимней школе по теории функций и приближений (Саратов, 1984г.).
В заключение, пользуясь случаем, выражаю благодарность научным руководителям - член-корр. АН Азерб.ССР, профессору Бабаеву А.А. и доценту Мусаеву Б.И. за постановку задач и ценные советы.
Оценка погрешности квадратурной формулы в классе неулучшаемости оценки погрешности по порядку
Актуальность темы. К настоящему времени в построении и исследовании приолиженных методов вычисления сингулярных интегралов, понимаемых в смысле главного значения Коши, достигнуты значительные успехи. Библиография работ по построению квадратурных формул для сингулярных интегралов с ядром Коши весьма обширна. Обзор полученных в этом направлении результатов имеется в монографиях Иванова В.В. [23] , Габдулхаева Б.Г, [14] , а так же в специальных обзорных работах этих же авторов [24,13]
В отличии от сингулярных интегралов, приближенные методы вычисления гиперсингулярных интегралов и интегралов, понимаемых в смысле конечного значения по Коши-Адамару (интеграл Адамара), исследованы мало, хотя в ряде прикладных задач встречаются именно эти интегралы. Так, например, при решении интегральных уравнений линейной теории несущей поверхности [10,66,67] возникают интегралы Адамара, а при обращении обобщенных риссовских потенциалов [54-55] и при представлении некоторых классов псевдодифференциальных операторов [44-471 - гиперсингулярные интегралы.
В связи с этим представляет интерес изучение методов приближенного вычисления указанных интегралов. Цель работы. Работа посвящена построению и обоснованию приолиженных методов вычисления гиперсингулярных интегралов, понимаемых в смысле главного значения Коши, и интегралов Адамара. Методика исследований. При выводе и обосновании полученных в работе результатов используются теория приближения функций, свойства гиперсингулярных интегралов и интегралов Адамара. Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты: - строится квадратурная формула для гиперсингулярного интеграла с непрерывной на интервале плотностью и находится оценка погрешности, которая является неулучшаемой в классе Иы » - ; - дан способ получения оценки погрешности приближения гиперсингулярных интегралов с непрерывной плотностью гиперсингулярными интегралами с полиномиальной плотностью в весовых пространствах, основанный на -оценке для гиперсингулярных интегралов; - в терминах специальных функций найдено представление для гиперсингулярного интеграла с весом по отрезку от алгебраических многочленов; - построена интерполяционная квадратурная формула для интеграла Адамара и найдена оценка её погрешности в классе Н (1 1-целое). Теоретическая и практическая ценность. Теоретическая ценность работы заключается в построении и обосновании методов приближенного вычисления, учитывающих специфику гиперсингулярных интегралов и интегралов Адамара. Полученные результаты могут найти применение при дальнейшем развитии теории приближенных мтодов вычисления рассматриваемых интегралов. Практическая ценность работы заключается в возможности применения полученных результатов к численному решению прикладных задач, в которых встречаются гиперсингулярные интегралы и интегралы Адамара. Диссертация является самостоятельным исследованием автора. По материалам диссертации опубликованы работы ["2,6,7,8] .
О порядке аппроксимации гиперсингулярного интеграла с весом по отрезку
А.А.Бабаев и В.В.Салаев продолжили эти исследования в несколько ином направлении. А.А.Бабаевым [з] были введены характеристики непрерывных на (о., в) функций fcx.) : где 1 , lyo , Х+\ І-CL і o B i-cLt названные,соответственно, локальным максимумом и локальным модулем непреывности. Им же найдены оценки этих характеристик образа особого интеграла через те же характеристики прообраза, на основе которых построены бана-ховы пространства /-/ % и изучено действие оператора f(±) в этих пространствах. Далее, В.В.Салаевым [52] были уточнены оценки А.А.Бабаева, построена более широкая шкала банаховых пространств Цц и было найдено описание таких функций Н и , для которых сингулярный оператор действует в Hip и ограничен.
В основу определения 1-І могут быть положены различные шкалы пространств. В.в.СалаевнмГбЗІ были введены пространства Nj/V и показано, что +(±) действует из /4VV" в себя и ограничен, если «і , 2_ о , J ,PZ (0;1), 0 oL1-Ji/1,dz-jiz±l . Р.В.Дудучава Г 22] для исследования свойств особого интеграла ввел банаховы пространства Ц (р) . где г/л/ - класс функций, удовлятворяющих условию Гельдера с показателем J+ ,. (1) (1 Мм (р) - банахово пространство в норме и сингулярный оператор действует в Nji(p) ограниченно. Обозначим В.В.Салаевым в 53 было доказано, что при о ,&, ft 1 , Перейдем к изложению основных результатов первой главы диссертации. В ІД предлагается усложненная (по терминологии С.М.Никольского [ 40 J) квадратурная формула для гиперсингулярного интеграла с плотностью, непрерывной на ( -,) . Дяя её построения отрезок (а, ] разбивается на /ь {П-ъ 8 ) равных частей точками ij-Q.+jh. , j=oJyu » А = а- . Пусть ZI-CL+(2C-{) , =/,/г . Через X бО обозначается точка ік ( к орп. ), ближайшая слева (справа) к точке « , а через Д(х)- [( -) Д +if], Где(х-Л) а, при X- OL ; (x+bf=g при + За квадратурную формулу для интеграла /_ (и, ос) принимается выражение где Для - С ( ,) вводятся следующие характеристики "3 ] : ведлива оценка ж/ к Здесьй с означает, что существуют положительные постоянные С} , С2 , зависящие от , jS , и , такие что В 1.4 и 1.5 настоящей работы изучается порядок аппроксимации гиперсингулярного интеграла , гиперсингулярными интегралами $d}B,\ (&,") $ где rL - некоторый агрегат, приближающий функцию Сс) в определенном смысле. Отметим, что в случае сингулярного интеграла ( А = о ) в качестве агрегата I _ берется алгебраический многочлен наилучшего равномерного приближения или же полином, удовлетворяющий условиям типа теоремы С.А.Теляковского и И.Е.Гопенгауза. Эти вопросы для сингулярного интеграла были изучены в работах Д.Г.Саникид-зе [57] , М.А.Шешко[б4] , В.Н.1 усака и М.А.Шешко [49 ] ,Ъ.ШМ а. и F. Page-fa [71.72 J , Э.Д.Муратшаевой и Б.И.Мусаева [ 32 ] , Б.И.Мусаева [Зб] и др.
Представление гиперсингулярного интеграла с весом по отрезку от алгебраических многочленов в терминах специальных функций
Следовательно, вычисление интеграла Адамара редуцируется к вычислению сингулярного интеграла с ядром Коши, для которого этот вопрос достаточно хорошо разработан. Однако такой переход от интеграла (2) к интегралу (4), во-первых, сильно усложняет соответствующее интегральное уравнение, а во-вторых, он нежелателен, когда f - эмпирически заданная функция. Таким образом, становится естественной задача непосредственного вычисления интеграла (2),
Методы вычисления сингулярных интегралов Адамара практически только начинают разрабатываться. Отметим здесь недавно появившиеся работы 18] , f69J ,70] , [&з] и т.д., где предлагаются и исследуются некоторые квадратурные формулы для интеграла Адамара.
В работе 18] строится интерполяционная квадратурная формула которая точна для некоторых агрегатов. Однако полученная при этом оценка не позволяет получить порядок приближения интеграла (2).
В 633 проводится оптимизация квадратурных формул с узлами произвольной кратности для интегралов Адамара с подвижной особенностью и строится квадратурная формула, использующая не только значения плотности интеграла, но и всех ее производных. Там же устанавливается оптимальность по порядку построенных формул на классах дифференцируемых функций, определяемых выпуклым вверх модулем непрерывности. При этом не указываются способы вычисления коэффициентов рассматриваемых квадратурных формул,
В 2,1 данной главы диссертации строится интерполяционная квадратурная формула для интеграла Адамара, использующая только значения плотности интеграла (но не значения производных), следующим образом. Пусть / (/, і) - интерполяционный многочлен степени не выше /Ч- , интерполирующий функцию г в нулях многочлена ( ±z)U _1(i)-j/ trSL/byia ccosi » т.е. в точках В 2.2 оценивается погрешность квадратурной формулы в классе Нт . Доказывается следующая -целое) и rL{+,4- интерполяционный многочлен Лагранжа с узлами, являющимися нулями многочлена (1-і2) "Ок_ (i) ( L _ () -многочлен Чебышева второго рода). Тогда для остаточного члена квадратурной формулы справедлива оценка Из этой теоремы следует t 4 - целое) и - алгебраический многочлен, указанный в теореме Т-Г. Тогда {п ъЧг+5 ) верна оценка Основные результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры математического анализа Азгосуниверситета им.С.М.Кирова (1982 - 1983 г.г.)» на V Республиканской научной конференции аспирантов ВУЗов Азерб.ССР, в IJ Саратовской зимней школе по теории функций и приближений (Саратов, 1984г.). В заключение, пользуясь случаем, выражаю благодарность научным руководителям - член-корр. АН Азерб.ССР, профессору Бабаеву А.А. и доценту Мусаеву Б.И. за постановку задач и ценные советы. Рассмотрим гиперсингулярный интеграл вида і где и С(о.,і) І 0 \С± И интеграл понимается в смысле главного значения Коши. Введем характеристические функции [3] для сл&С( х,е) Оди (5 Предложение. Для сходимости интеграла (I) достаточна сходимость интегралов Доказательство. Пусть Х (о., \ (двойственным образом рассматривается случай Xcf il о) ). Так как существова-ниє предела означает сходимость интеграла (І), то следует показать, что из сходимости интегралов (2) следует существование предела (3). В свою очередь существование предела (3) равносильно существованию пределов.
Построение интерполяционной квадратурной формулы. Вычисление коэффициентов
Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты: - строится квадратурная формула для гиперсингулярного интеграла с непрерывной на интервале плотностью и находится оценка погрешности, которая является неулучшаемой в классе Иы » - ; - дан способ получения оценки погрешности приближения гиперсингулярных интегралов с непрерывной плотностью гиперсингулярными интегралами с полиномиальной плотностью в весовых пространствах, основанный на -оценке для гиперсингулярных интегралов; - в терминах специальных функций найдено представление для гиперсингулярного интеграла с весом по отрезку от алгебраических многочленов; - построена интерполяционная квадратурная формула для интеграла Адамара и найдена оценка её погрешности в классе Н (1 1-целое). Теоретическая и практическая ценность. Теоретическая ценность работы заключается в построении и обосновании методов приближенного вычисления, учитывающих специфику гиперсингулярных интегралов и интегралов Адамара. Полученные результаты могут найти применение при дальнейшем развитии теории приближенных мтодов вычисления рассматриваемых интегралов. Практическая ценность работы заключается в возможности применения полученных результатов к численному решению прикладных задач, в которых встречаются гиперсингулярные интегралы и интегралы Адамара. Диссертация является самостоятельным исследованием автора. По материалам диссертации опубликованы работы ["2,6,7,8] . Состояние вопроса и полученные результаты. В диссертационной работе рассматривается гиперсингулярный интеграл и интеграл понимается в смысле главного значения Коши. Для изучения вопроса аппроксимации этого интеграла нам понадобятся специальные функциональные пространства. С этой целью остановимся несколько подробнее на классах и пространствах функций, в которых исследовался сингулярный интеграл (Л-О) по разомкнутой кривой. Н.И.Мусхелишвили был введен класс Н [зэ7 . Пусть гладкая кривая. Ц - класс функций, определенных на Y\ {&-,} и допускающих представление =0 +%Ш Ct-ії где Ы1, 1е (О, {) , а функции 4i f fe , % удовлетворяют условию Гельдера. Им было показано, что если () /-/ , то этим же свойством обладает особый интеграл А.И.іусейновнм был введен класс функций Hj . [ 19 ] , определенных на (&,&) и удовлетворяющих условиям банахово пространство в норме ПНЦ = truxocl Seep lf( /(x-CL)«(g-x)fi S MMX и оператор действует из Д А в Hoi/ r и ограничен [ 19 ] . Классы j- и Й у связаны следующим образом А.А.Бабаев и В.В.Салаев продолжили эти исследования в несколько ином направлении. А.А.Бабаевым [з] были введены характеристики непрерывных на (о., в) функций fcx.) : где 1 , lyo , Х+\ І-CL і o B i-cLt названные,соответственно, локальным максимумом и локальным модулем непреывности. Им же найдены оценки этих характеристик образа особого интеграла через те же характеристики прообраза, на основе которых построены бана-ховы пространства /-/ % и изучено действие оператора f(±) в этих пространствах. Далее, В.В.Салаевым [52] были уточнены оценки А.А.Бабаева, построена более широкая шкала банаховых пространств Цц и было найдено описание таких функций Н и , для которых сингулярный оператор действует в Hip и ограничен.
В основу определения 1-І могут быть положены различные шкалы пространств. В.в.СалаевнмГбЗІ были введены пространства Nj/V и показано, что +(±) действует из /4VV" в себя и ограничен, если «і , 2_ о , J ,PZ (0;1), 0 oL1-Ji/1,dz-jiz±l .
