Содержание к диссертации
Введение
1. Базисы инвариантные относительно сдвига 20
2. Дифференцирование в точности классов базисами не инвариантными относительно сдвига 35
3. О дифференцировании интегралов равноизмеримых функций . 47
4. Неравенства для равноизмеримых перестановок 55
5. Проблема А. Зигмунда об оптимальном выборе координатных осек 59
6. Приложение к теории кратных рядов Фурье 67
7 . Оценки для максимальных операторов 77
8. N - мерные обобщения 91
Литература 96
- Дифференцирование в точности классов базисами не инвариантными относительно сдвига
- Неравенства для равноизмеримых перестановок
- Приложение к теории кратных рядов Фурье
- . Оценки для максимальных операторов
Введение к работе
Напомним общепринятые и введем новые определения и понятия, с которыми нам предстоит иметь дело. С целью экономного введения определений , будем приводить их подряд и нумеровать.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ I. Пусть В00-семейство открытых ограниченных множеств из Яы , содержащих точку х. , таких, что существует последовательность {вк\сВ(.) , diWn&^o t ic-»oo . Семейство Вс=о называется дифференциальным базисом в точке х. , а совокупность В = \R.-- Р. Вех.э , -х.ь IR-N } - дифференциальным базисом в IR-N .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Базис Б называется инвариантным относительно сдвига или TI-базисом, если вместе с каждым множеством, в базис входит любой сдвиг этого множества.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Базис Ь называется базисом типа Буземана-Шел-лера /e>f -типа/, если из условия неб ,К.ъх. , следует, чтоР.ьвс^ .
Всюду ниже, для измеримого множества Ее|R.N , через IЕ| будем обозначать N -мерную лебегову меру /в каждом случае будет ясно, о какой размерности идет речь/.
Определим верхнюю и нижнюю производную интеграла от локально суммируемой функции 4 относительно базиса ь следующим образом.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Производной интеграла от 4 относительно базиса В в точке xt\R.N называется общее значение верхней и нижней производной
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. базис Ъ дифференцирует интеграл от 4 , если для почти всех х справедливо равенство
Пусть ФСО - неубывающая неотрицательная на Со,»-) функция,
Ф(о)=ф(04>о»
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Базис В дифференцирует класс Фс и) С IR^W") , если от дифференцирует интеграл от каждой функции-НФСЮС^*1) . Базис Ъ не дифференцирует о (ф(.1-Нв-ы*) , если для любой функции «jot-)io ,4,-^«*> существует функция^ ^Cl)4>(lXH^n) , такая, что 5 С SI,*) = + о п.в. Базис b дифференцирует в точности класс
Всюду ниже, мы будем рассматривать исключительно базисы 6F -типа, состоящие из N -мерных интервалов. Для краткости слова " N -мерный" будем опускать. В случае, когда понятно о какой размерности идет речь, или, когда это не существенно, вместо В (ir.n) или
Ведем теперь обозначения для основных дифференциальных базисов /по-существу, здесь будут приведены все базисы с известными дифференциальными свойствами/.
IVl&M(IR)- ТІ-базис из всевозможных кубических интервалов со сторонами параллельными осям координат. рIB (Л, \±S±n-±- ТІ-базис из всевозможных интервалов со сторонами параллельными осям координат, у которых s из М взаимоортогональных сторон имеют одинаковую длину.
В случае s=i , дифференцируемость интеграла базисом 18^с 1RN) называют "сильной дифференцируемостью".
3? IB'(IR.N)- ТІ-базис из всевозможных интервалов с произвольной ориентацией сторон.
Пусть 6 = їв4, — , 9*) - некоторая ориентация осей координат / в1*", іса і,..., iv - тангенсы углов между соответствующими осями стандартной системы координат, и б -ориентированной/
4? l&se0R*)есть базис lBs(mN) ориентированный в направлении б
Пусть {OjJ.f5- некоторая совокупность ориентации осей координат.
59^(63)(112. ) - ТІ-базис из интервалов, стороны которых имеют одну из заданных ориентации 9j .
Перейдем теперь к изложению основ теории дифференцирования интегралов, фундамент которой составляют следующие классические результаты. a/. I8KCIR.N) дифференцирует L С IR.N") /А.Лебег [1910]/. Эта фундаментальная теорема явилась важным шагом на пути создания теории. Отметим, что оригинальная формулировка теоремы дается в несколько иных терминах, поскольку понятие дифференциального базиса было введено позже. Так же отметим, что теорема останется справедливой, если квадраты заменить шарами или другими регулярными относительно шаров множествами /семейство 6 называется регулярньш относительно шаров, если -Зс-cokrt ,VR.eB , 3 Q -mapjGL'R- ,\вл^сіаі/. Поэтому, после доказательства этой теоремы естественным образом возник вопрос о распространении полученного результата на возможно более общие базисы, в частности, на I6.,CIR.N) .
В доказательстве теоремы Лебега существенную роль играла теорема о покрытии Витали [1908] . В 1927 году Х.Бор построил пример, впервые опубликованный у К.Каратеодори [1927], показывающий, что теорема типа Витали не верна для семейств прямоугольников со сторонами параллельными осям координат. В основу примера положена кон- _ о _
М струкция Н(М) = U Со,^3>to, -jj_l f которую теперь принято называть "лестницей Бора".
Б этом же году, А.Зигмунд, изучая принадлежащую О.Никодиму[1927] конструкцию одного множества, обнаружил, что б/. 1В'0Е.г)не дифференцирует L*4lfcz) /А. Зигмунд, см. об этом М.Гусман [1978], стр. I09-II5/.
Точнее, ш/ не дифференцирует класс характеристических функций измеримых множеств.
Введем понятие точки плотности множества Е. относительно базиса Ь по аналогии с известным понятием точки плотности линейного множества. Пусть задано измеримое по Лебегу множествоЕ. ,EciR.N }1Еі>0 . Точка х е. lkN является точкой плотности множества Е относительно базиса В , если D С5^Е»Х)-А » где УЕ - характеристическая функция множества Е . Если в качестве Ь рассматривать базис из интервалов в R1 , с центром в точке х , получим классическое определение точки плотности.
Нетрудно показать, что дифференцируемость некоторым базисом В класса характеристических функций измеримых множеств эквивалентна дифференцируемости базисом В класса L00 . Поэтому базисы, дифференцирующие L , принято называть гоготностными базисами.
Таким образом, было показано, чтов'ОЯ-1) не является плотностным базисом. Тогда возникает вопрос, является ли плотностным базис BA0RN)? Ответ на этот вопрос был получен С.Саксом[1933] ,/стр. 195-196/, который доказал т.н. "теорему о сильной плотности", утверждающую, что IB»A(.|R.N) дифференцирует класс характеристических функций измеримых множеств. Следовательно,IB.,CiR.N) дифференцирует L( RN") . А.Зигмунд распространяет этот результат на все пространства!- (IR.N} t\cf±<» i а С.Сакс показывает что р=і брать нельзя /см. Зигмунд [1934], С.Сакс [1934]/. Вопрос о том, какой класс в точности дифференцирует базис 15^(1^") был решен в 1935 году b/.IB^CIR^) дифференцируетL(Jetoit)M"1(IR»N') /Б.йессен, Й.Марцинке- вич, А.Зигмунд [1935]/. г/. ІВ^КЯ не дифференцирует о (L (^+10^-1 ( IP*)) /С.Сакс [1935}
В смысле определения 7 это означает, что »,(*") D( L С ^+10^01^ У).
В 1967 году, обобщая а/ и в/, А.Зигмунд доказывает, что fl/.IBs(RN) дифференцируетL(eo|L)N"s( lfcN) , us* N /А.Зигмунд р967] / Очевидно, в случае S=N получается результат а/, а в случае s*i получается в/. Тот факт, чтоІВ$(іЛ не дифференцирует oCL^+L)N"s(IR.%, 4fcS 6N-1 вытекает из работ Б.Мелеро [1982] и А.М.Стоколоса [1983], полученных независимо /нам неизвестны более ранние работы, где доказывалось это утверждение/.
В 1976 году появляется первый результат, касающийся базисов E>JCi)(iR.N). Ж.О.Стрёмберг [ 1977]установил, что если ei=Cei\...,ejN) таковы, чтов^-б^г»^ с некоторым с*->0 для Bcexj^i , тоB/i8jXfc.N) диф-ференцирует ЦЧ toq+L) OR.N),>o . С другой стороны, им же было показано, что в случае 9 J= г~\^=і,...,А/) ,l6iCeJ0(IP-2'>) не дифференцирует oCLW^LUR.2-)) . Итак, видно, что в отличие от базиса ІВ'ОР-14) , базис с лакунарным /т.е. достаточно "редким"/ убыванием направлений сторон составляющих интервалов, обладает относительно хорошими дифференциальными свойствами. В 1977 году А.Кордоба, Р.ефферман[1977] , опираясь на оригинальные геометрические рассувдения, показывают, что базис Стрёмберга дифференцирует Lz С КО .А в 1978 году, используя теоремы о мультипликаторах Фурье, И.Стейн, А.Нагель и С.Вейнгер доводят степень суммируемости до L , кр6 , т.е. e/.B^ejXR") дифференцирует LPC^N) ,^р^ ,j=le/",..-, jN) , где Є* -9^ г* Є* , ы>о ,(с=4,..., м ,jelN /И.Стейн, А.Нагель, С.Вей- гер [1978]/.
Приведенные результаты являются основными в теории дифференцирования интегралов.
Достаточно полное изложение теории дифференцирования интегралов - II - имеется в М.Гусман [1978], А.М.Брукнер [1971], К.Хейес,К.Паук [1970].
Перейдем к изложению результатов диссертации. При этом первая цифра в нумерации утверждений будет означать номер параграфа, где это утверждение рассматривается. С целью наглядности и выделения идейной стороны рассуждений, всюду ниже, если не оговоренно особен-но, №i будем рассматривать случай IR- , который, зачастую, вполне типичен. Точнее, в 1,2,3,5,6,7 мы будем проводить рассуждения и приводить формулировки в IR. , не оговаривая это особо, а в 8 мы приведем N -мерные аналоги. Вместо "двумерный интервал" мы будем писать "прямоугольник", подразумевая при этом /если не оговоренно противное/ прямоугольник со сторонами параллельными осям координат. Кроме того, базис 1&г(1Я.г"), для удобства,обозначим просто В0
Как следует из а/,б/,в/ дифференциальные свойства Т1-базисов можно улучшать с помощью разрежений. Так, например,базис 1В0 , обладающий самыми хорошими дифференциальными свойствами, есть разрежение базиса Вх , обладающего худшими дифференциальными свойствами. В связи с этим, интересно было бы проследить, каким образом меняются дифференциальные свойства базисов в зависимости от разрежений. Понятно, что хуже они становиться не могут. Возникают следующие вопросы.
I/. Насколько узким может быть подбазис базиса |61 , чтобы он всё ещё не дифференцировал oCL-toa+L") ?
2/. Насколько узким нужно выбрать подбазис базиса \Ъ± , чтобы он дифференцировал в точности класс Lvf(L') , промежуточный между L и L^+L ?
При этом, разрежение желательно проводить в рамках какого-нибудь естественного класса базисов /например, инвариантных относительно сдвига/. Пример подобного базиса для класса Ые^Ь в качестве гипотезы предложил А.Зигмунд /см. М.Гусман [1978], стр.138/.
Пусть ВсівЛ, В - TI-базис, такой, что Вех) - семейство всех со- держащих точку х прямоугольников, у которых d. - длина меньшей стороны и 9> - длина большей стороны связаны соотношением<**# «{$>* і. А.Зигмунд поставил следующий вопрос: возможно В дифференцирует
Однако, Р.Морион /см. М.Гусман t19783, стр.190-192/ дал отрицательный ответ: этот базис не дифференцирует 6 С.L Соа+І/). То есть подобное разрежение, которое накладывает ограничение на отношение длин сторон прямоугольников в зависимости от абсолютных размеров, не улучшает дифференциальных свойств базиса. Отсюда, естественным образом возникает вопрос о дифференциальных свойствах Т1-базисов из прямоугольников, у которых отношение длин сторон составляет некоторую достаточно редкую последовательность, независящую от абсолютных размеров прямоугольников. Оказывается, базисы подобного типа так же не дифференцируют o(.Lloo+L") . В связи с этим, сформулируем следующую задачу.
Существуют ли TI-базисы из прямоугольников, дифференцирующие в точности классы Lv^CL') , где i?ct)fc» ,-t-> , ЦЧ*)-о(С*с1Л ,-t->?
Нам удалось показать/А.М.Стоколос [1983,а]/, что таких базисов не существует, и для TI-базисов из прямоугольников справедлива
АЛЬТЕРНАТИВА. Пусть В - ТІ-базис^сЩ^. Тогда, либоВеГДО , либоБбВС1-Ц+ю .
Укажем простой геометрический критерий того, какой из классов, L или L6oa+L в точности дифференцирует заданный TI-базис из прямоугольников. С этой целью введем понятие ассоциированного базиса. Пусть ЕЬсіВі . Вокруг каждого прямоугольника R. из Ъ опишем концентрический с ним прямоугольник R. минимальной меры, такой, что длины сторон Я. имеют вид і* ,*-Z .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Пусть задан базис В . Совокупность Ь*Цр.* я* 6} назовём базисом, ассоциированным с Ь . - ІЗ - /Когда будет понятно о каком базисе В идет речь, &* будем называть просто ассоциированным базисом/.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Два прямоугольника Я и R/ срв^анимы, если существует сдвиг, помещающий один из них внутрь другого. В этом случае будем писать RXR/. В противном случае, назовём пир.' несравнимыми и будем писать R. Ч R.' .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10. Базис В обладает s*-свойством, если найдётся сколь угодно много, сколь угодно малых попарно несравнимых прямоугольников из В* : vs>o,v»
Следующая теорема дает искомый критерий. Теорема I.I Пусть В - Т1-базис,6с \ъх . /I/ Если В обладает s -свойством, то 6 не дифференцирует о С LlocfL'). /II/ Если5 не обладает s -свойством, то Б дифференцирует L.
Теорема I.I не применима к одному важному классу базисов - к базисам из двоично-рациональных прямоугольников. В связи с этим, нами введён более широкий класс базисов, который мы назовём Т-базисами, и получено обобщение теоремы I.I на этот класс.
При доказательстве теоремы I.I мы использовали конструкцию, которая является обобщением лестницы Бора. Отметим, что опираясь непосредственно на лестницу Бора /как это стандартно делается, см. С.Сакс [1935] , Д.Марстранд [1977]/, доказать теорему I.I нельзя. Мы применили более сложный метод накопления особенностей.
В итоге, установленно, что для достаточно широкого класса базисов из прямоугольников справедлива альтернатива: либо базисы из этого класса дифференцируют в точности Loa+L , либо L . Поэтому, возникает вопрос о том, существуют ли вообще базисы из прямоугольников, дифференцирующие в точности классы 1_ц>(1-Л , промежуточные межу L и Loq + L ? Оказывается, такие базисы существуют, и нами построены соответствующие примеры.
ТЕОРИЙ 2.1 Для любой возрастающей выпуклой вверх функции Ч>Ш , ^«я=о> такой, что^Уе*.* монотонно убывает при-Ь-»+<*> начиная с некоторого -to > і , существует базис в ,e>c,&i , такой, чтоб дифференцирует в точности класс Lif СІЛ .
Очевидно, подобное разрежение базиса В^ не является Т-базисом. У построенного базиса геометрия базиса в точке, естественно, существенным образом зависит от точки. Таким образом, возникает следующий эффект: равномерное разрежение /т.е. одинаковое во всех точках/ базисов из прямоугольников улучшает дифференциальные свойства скачкообразно, а неравномерное разрежение позволяет улучшать дифференциальные свойства непрерывным образом.
Доказательство теоремы 2d основано на изучении покрывающих свойств базисов. Введём следующее свойство слабого перекрытия V^ -типа, где УСі) - возрастающая выпуклая вниз функция, ч>со) - о .
Будем говорить, что базис В обладает V^» -свойством, если существуют константы сі>о ,*«, ,т0ехУив<.т0/, такие, что из любой сис-темы U-Лс & можно выделить подсистему [Rа.і\.ртакую, что
111 \ nqiT Х~ <*>-ko))cU. 6 сг Т. IR.jl.1 \ *- "L /p. tx)5. »neJ /ЇІ/ lUfcdL І 6 С3 Т. ^С1 /Частный случай НЧ-t )= V ,YCt)^e см., например,М.Гусман [1978] , стр.173-177/.
Соотношение 111 означает, что элементы Яа.- не сильно пересекают-ся /имеют Ч* -малое пересечение/, а соотношение /II/ показывает, что при выборе{Rj..] -^ было выброшено не очень много множеств R.^ .
Следующая лемма, являющаяся одной из существенных частей доказательства теоремы 2.1, представляет и самостоятельный иинтерес.
ЛЕША 2.1 Пусть Фс-t) иЧЧ-О - сопряженные по Юнгу выпуклые функции,
Отметим, что первые результаты, относящиеся к покрывающим свойствам Vp - типа, были получены Р. де Посселем [1936] ,и затем значительно развиты К.Хейесом, .К.Пауком [1955].
Перейдем к рассмотрению индивидуальных дифференциальных свойств функций.
Пусть ! со - измеримая, конечная почти всюду функция и ^c-t)=l{x: l-?c*ol>Ul - её функция распределения.Напомним, что две функции 4 и называются равноизмеримыми, если ^Ci")= tott") , v-t^o . функцию -P*Ct^ = ^{г: Ч^")**) называют равноизмеримой перестановкой функции
Как уже отмечалось /п. г/./ С.Сакс [1935]показал, что в любом классе o(L^oq+L) найдется функция, интеграл от которой не дифференцируется базисом 13^ почти всюду. Нами получен результат, который, по-существу, утверждает, что такая функция может иметь наперёд заданное распределение, лишь бы ^4L^+L. . Точнее, справедлива следующая теорема.
ТЕОРЕМА 3.1 Для любой суммируемой функции 4 4 L &>*+L (го.щ2-) существует равноизмеримая с:ней функция О- , такая, что D ($9,^)=400 П.В. На 10,11а.
Таким образом, для построения функции со свойством Сакса, достаточно взять любую функцию из o(L&><»+L) ч L loa^L и соответствующим образом переставить её значения. Заметим, что если функцию переставить так, чтобы она стала монотонной по каждой переменной, то интеграл от неё будет дифференцироваться базисом 18х . ото легко проверить непосредственно.
Обращает на себя внимание тот факт, что у базиса IB , со свободой вращения составляющих прямоугольников, и у базиса В± , с фиксированной ориентацией сторон прямоугольников, принципиально различные свойства. Это приводит к постановке следующей проблемы, принадлежащей Л.Зигмунду /см. М.Гусман [1978] , стр.95/.
Можно ли для заданной суммируемой функции выбрать такую ориентацию осей 6 , чтобы базис В1іЄ дифференцировал интеграл от I ?
Отметим, что в силу инвариантности классов 4>(.L") относительно вращений, из в/ следует, что базис IS^е будет дифференцировать интеграл от 4 при любой фиксированной ориентации е , если -Р е L Co^L .
Как оказалось, проблема А.Зигмунда тлеет отрицательное решение, полученное Д.Марстрандом [1977] . Его схема основана на идее С.Сакса [1935j, которая, в свою очередь, опирается на лестницу Бора. Однако, вопрос об окончательной степени суммируемости функции с таким свойством и проблема М -мерного обобщения оставались открытыми, так как метод Марстранда не позволял это выяснить. Нами /А.М.Стоко-лос [1983]/ установлена следующая теорема, которую мы приведем сразу же в N -мерном варианте.
ТЕОРЕМА 5.1 Для любой монотонно убывающей к нулю функции o(t) C-t-j>oo), существует функция- йЧЪКОоа+О (IR.N) такая, что "5 U,x>+o п.в. :". при любой фиксированной ориентации Є (.S=i,...,n-i").
Отметим, что более слабый результат eft U L При доказательстве теоремы 5.1 мы использовали следующее неравенство, представляющее самостоятельный интерес Здесь-i^tt)- одномерные невозрастающие перестановки функций .f^oo , фС-fc") - неотрицательная, чётная выпуклая вниз функция. Неравенство меняет знак для функций выпуклых вверх. Гипотеза о справедливости такого неравенства, а так же идея его применения в рассматриваемых вопросах принадлежит Б.И.Коляде. Рассмотрим теперь некоторые приложения полученных результатов к теории суммирования кратных рядов Фурье. Определим С і О - средние ряда Фурье SIU по прямоугольнику сотщюдо в точке х-l-x.\-x}) следующим образом где К^СО- ядра Фей ера. Известно /см. А.Зигмунд [1959], глава ХУII/, что ряд Фурье SC3 функции -fб Lбоч*''-ССо,го13х)суммируем по прямоугольникам методом (с,і) к 4? почти всюду, причем класс L6ofi4L (с<цmi2) не улучшаем. Если же рассматривать ограниченную суммируемость, то ряд фурье Stf] ограниченно суммируем по прямоугольникам методом (.с,г> к і почти всюду, для всех суммируемых функций. Рассмотрим вопрос о поведении (с,о - средних, если рассматривать суммируемость не по всем прямоугольникам, а по некоторой заданной последовательности. Оказывается, и в этом случае справедлив альтернативный исход: для любой произвольной последовательности прямоугольников I г[о т^/Со.п.ц] jm^toc yVi^too ^^ со ^ либо st-to суммируем<с,±-) - ме- тодом по прямоугольникам 1К к I почти всюду для любой ttrLiio^ni2-), либо в любом классе oCLCoa+L") существует функция | , такая, что ^^ 5"*. * (-3.,4)= + 00 п.в. наі,«ог . VC-» oo it , is. Понятно, что существо дела заключено в сильной дифференцируе-мости интеграла от {. . Пусть JL = (i ^к.}^ , І "іЛкО - пара последовательностей натуральных чи сел, ы.^ о ,ик*с» ,*.-*<» # Положим in** t &» іті^"], h=[6ooto-iJ ,k=i,v. Будем говорить, что Л обладает s* -свойством, если ТЕОРЕМ 6.1 ЕустьА=С{^Лк?іДМк?Дг»^<*> ,*іс* , *-* . /I/ Если Л обладает S -свойством, то для любой монотонно убывающей к нулю при-Ь-*<*> функции g(t> существует неотрицательная функция I с} С L) L Єоо+ L (Co.CTj1) такая, что Є*: <э t^-.-^3 =+ п*в* на Со.пті? ^ic.*-* U.-»eo к і к /II/ Если Л не обладает S*- свойством, то для любой функции Ч-\ 1_(го,*іяа,> t^m, 6". t^)=^cx) п.в. на [о,2тіД Далее, из теоремы 3.1,в качестве следствия, можно получить следующую теорему. ТЕОРЕМА 6.2 Для любой суммируемой функции Н LCoaL (с«,2тгз ^ существуют равноизмеримые с^ функции а и L , такие, что /I/ 5СЯЛ суммируем почти всюду к q методом Cc,i) на кгттз7, /II/ Ссі*0 - средние ряда Фурье Sfri почти всюду расходятся на tym]* Заметим, что аналогичные резкльтаты справедливы для общих методов tc,*,po ,o*-j.&l ,*[ь±і , и для метода А - суммирования./Детали см. 6 и работу Б.йессен, Й.Марцинкевич, А.Зигмунд ^1935)/. На этом мы закончил обзор основных результатов диссертации, М -мерные аналоги которых содержатся в 8. Сделаем следующие замечания относительно структуры диссертации. Весь материал разбит на восемь параграфов. 1 посвящен доказательству альтернативы. В 2 строятся базисы, дифференцирующие в точности классы LLf(L) . В 3 доказывается теорема 3.1. В 4 рассматриваются неравенства для равноизмеримых перестановок, с помощью которых в 5 дается окончательное решение проблемы А.Зигмунда об оптимальном выборе координатных осей для индивидуальной функции. Приложение полученных результатов к теории кратных рядов Фурье рассматриваются в 6. 7, результатов которого мы во введении не касались, посвящен суммируемости максимальных операторов. В 8 приводятся N^мерные аналоги результатов предыдущих параграфов. В диссертации используется двойная нумерация формул и теорем. Первая цифра означает номер параграфа, вторая - номер по порядку внутри данного параграфа. Буквой G с различными индексами обозначаются абсолютные положительные константы, нумерация которых в каждом параграфе начинается с единицы. При ссылках на литературу указываются инициалы и фамилия автора, а в квадратных скобках год издания на языке оригинала, дополненный, при необходимости, буквами. Среди классов дифференциальных базисов выделяют важный подкласс базисов, т.н. базисы инвариантные относительно сдвига /ТІ базисы/, как наиболее естественные и просто устроенные. Нетрудно видеть, что любой Т1-базис, состоящий из выпуклых множеств, содержит Т1-подбазис, дифференцирующий L . Для этого достаточно в каждом точке оставить семейство вложенных множеств, диаметра стремящегося к нулю. Приведенные рассуждения показывают, что разрежением любого TI-базиса можно улучшить его свойства. При этом будем говорить, что базис В является разрежением базиса 6 если В с в . Классическими представителями таких базисов являются базис 1В1 из всевозможных прямоугольников со сторонами параллельными ОСЯМ КООрдИНаТ, КОТОРЫЙ Дифференцирует В ТОЧНОСТИ Llog+L, и его разрежение - базис Во из всевозможных квадратов, который дифференцирует L . Естественным образом, возникает вопрос о том, существует ли такое разрежение базиса В , чтобы полученный базис дифференцировал в точности некоторый класс Lq CL , промежуточный между L и Ltoo+L По-видимому, впервые вопрос такого типа поставил А.Зигмунд /см. М.Гусман [1978] , стр. 138/. Пусть В - TI-базис из прямоугольников, у которых длина меньшей d и большей стороны 9 связаны соотношением ъ2- d& 5& & і . А.Зигмунд поставил следующий вопрос: дифференцирует ли В класс L-Jtoa+L Однако Р.Морион /см. М.Гусман [1978], стр. 190-192/ показал, что В не дифференцирует o(.L-ke+lO . То есть, подобное разрежение не улучшает дифференциальных свойств базиса. В этом параграфе будет показано, что любое разрежение не позволяет в рамках Т1-базисов непрерывным образом улучшать дифференциальные свойства базисов из прямоугольников, т.е. получать дифференцируемость в точности классов L_Lp(L) , промежуточных между L И Lloo L Доказательство альтернативы основано на изучении некоторой геометрической характеристики базиса, которую мы будем называть S - свойством. Будем говорить, что два прямоугольника с ии почти сравнимы и писать RX R/ , если существует гомотетия Н с коэффициентом два, такая, чтоЙСЯ R или H(.R. )cR . Б противном случае будем говорить, что Я и R/ существенно несравнимы и писать R" R; . Будем говорить, что базис В обладает S - свойством, если Иными словами, найдется сколь угодно много, сколь угодно малых, попарно сушественно несравнимых прямоугольников из базиса. Однако, с технической точки зрения, S - свойство выгодно запенить эквивалентным ему s - свойством, которое мы определили во введении следующим образом: V o, VkelM.HiRc i Б , Re 4Rj СІФІ), лем Яс , и ,...,к.. Обозначим через ир Я - проекцию R на ось сс\х) , а через hp R - проекцию R на ось Со, -) . Тогда S - свойство запишется в следующем виде Легко показать, что если прямоугольники Ял , R-г. , R3 попарно почти сравнимы, то, по крайней мере, два прямоугольника из { Я і і с І а. з сранимы. Если же прямоугольники R и R таковы, ЧТОР. Р/ , то R R . Из приведенных рассуждений видно, что s - свойство эк - 22 вивадентно S - свойству. Поэтому, в формулировках мы будем применять S - свойство, т.к. оно выражено в терминах самого базиса, а при доказательстве будем пользоваться технически более удобным S - свойством. Для доказательства основного результата нам понадобится ряд утверждений. ТЕОРЕМА І.А /йессен-Марцинкевич-Зигмунд \ 935], см., также, Й.Стейн [1970] , стр. 35/ Пусть базис В порожден сдвигами попарно сравнимых прямоугольников. Тогда В дифференцирует L . ТЕОРЕМ 1.Б /см. М.Гусман [1978], стр. 86 / Пусть Т1-базис В дифференцирует «KlOCiR. ). Тогда существуют константы с о и о такие, что JiEMM I.I Пусть базис В не обладает S - свойством. Тогда В распадается на конечное объединение базисов, состоящих из попарно сравнимых прямоугольников , и на семейство прямоугольников диаметра больше некоторого о 0 . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку В не обладает S - свойством, то Э ( , aic0eIN такие, что УР ] . сВ , k k0 ,3C,j CifcUK,i-J ыОД+т, такие, чтоИ- Й,- . Обозначим через Ъ- \ R-fe ь , си и.R. &л\ . Тогда, не ограничивая общности, можно считать, что В \В порожден сдви гами прямоугольников из некоторой системы G = Ri =1 , такой, что hf 9-і фо, і- оо и в G существует не более Ко попарно несрав-3 нимых прямоугольников. Пусть первые Ко прямоугольников из G попарно несравнимы. Будем строить к0 семейств Cv С v= і,..., к сО , образованных попарно сравнимыми прямоугольникшли из G- , причем - 23 любой прямоугольник из G попадет в какой-нибудь G- . Для на чала, отнесем Р у к G (. = , ,..., it 0 . Далее, если к-и 4- , то отнесем & +1 к &х . Если это не так, то сравниваем В. k +i_ с Яг., и т.д. Тогда обязательно найдется прямоугольник R.v » ifc tvco, сравнимый с Р.ко+1, ибо, в противном случае, в G- существовало 6ЬІСО+І попарно несравнимых прямоугольников. Предположим, мы отнесли прямоугольники R-i,..., Р. „-і к некоторым & так, чтобы G-N были монотонными семействами, т.е. состоящими из попарно сравнимых прямоугольников. Далее, если P-h- Rj для всех &j из G , то отнесем R-p, к G1 . Если не так, то сравниваем R.h с прямоугольниками из Gx и т.д. Покажем, что обязательно найдется семейство Gv такое, чтоР.н- .&) для всех Rj (г G-v. Пусть это не так. Тогда существует R.jtKo)fc G , P-j(K0) Rh. HoitKo) .ri поэтому Таким образом, для любого і о , и соотношение /3.10/ доказано. Приступим к построению искомой функции. Пусть }i.tX) / eAj;; 1=1,2. / равны нулю, еслихе!\йк и равно-измеримы с Функциями їс-х. У tv , где С=4, - в первом случае, Ь2. во втором. Нетрудно видеть, что к-1 Q CX; t к для xtQk и aKnQv= ФС УЛ Определим теперь функции acU) = T #itx) » гДе» КЖ и прежде, t=i в первом случае, 1=2. во втором. Из /3.9/ следует, что почти каждая точка с-1 принадлежит некоторой бесконечной последовательности Как видно из построения, Qxtx) \c-i , :uQ ,Г и для каждой точки хе Мн существует прямоугольник Rk9x jP,,-, fc ві , такой, что например, пршлоугольник, левая нижняя вершина которого совпадает с левой нижней вершиной 3 , а правая верхняя лежит на границе множества Hh /. Тогда, если хь П \\ J , то существует система Следовательно, окончательно получаем, что где Ї=І в первом случае,х = 2. во втором и функции QC равноизме-римы с функцией 4 в соответствующих случаях. Освободимся теперь от ограничения L= о в первом случае , = 0 во втором. Введём функции ktAi И пусть j4x) равноизмеримы c+oWB соответствующих случаях и D С S QS x) = + со п.в. на [o,i]z . Существование таких функций уже доказано. Далее, пустьQ x) - некоторые функции, равноизмеримые с ?i%) и такие, что -( ) = 0 , если Ju(x) o. Тогда функцияgwr ix) - ) равноизмерима с-fсх) и, как легко видеть, D (So,-х) DR С$ ?i(х) = 4 » п.в. на to.13х , гдеі=± в первом случае, т= 2. во втором. Теорема 3.1 доказана полностью. ЗАМЕЧАНИЕ 3.1 Ясно, что для любой суммируемой функции существует равноизмеримая с ней функция, интеграл от которой дифференцируется базисом 1В1 . Для этого достаточно переставить значения Ї так, чтобы она стала монотонной по каждой переменной в отдельности.Например, для ас сх .х положим PL(X)= CX ) , где Ct) - невозрастающая равноизмеримая перестановка функции 4сх . Очевидно, функция ktxo равноизмерима с сх) и ограничена константой с= СО для BcexxtLt.iV1. В силу произвольности 6. , получим, что D ИЦх}= Ucx п.в. на Таким образом, каждую суммируемую функцию не принадлежащую LЬЛ[_ можно переставить так, чтобы интеграл от перестановки дифференцировался базисом IB;L , а можно переставить и так, чтобы верхняя производная интеграла от перестановки равнялась + » почти всюду. В настоящем параграфе мы установим некоторые неравенства для невозрастающих перестановок, представляющие самостоятельный интерес. В дальнейшем они будут использованы для решения проблемы А.Зигмунда об оптимальном выборе координатных осей. Вначале рассмотрим дискретный случай. Для заданной совокупности чисел. обозначим упорядоченную совокупность чисел о.,: , образу-ющих пг. убывающих наборов ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Неравенства /І/ и/ІІ/ доказываются аналогично, поэтому мы приведём доказательство только первого неравенства. Доказательство проведём индукцией по п. и по m. . Пусть задана пара последовательностей натуральных чисел Л-С{ Л,. Wi, , m , П оо, оо - С НЄЙ естественным образом связывается система прямоугольников Iko,hv3xto, пкз Будем говорить, что ряд сіурьеЯГЗ суммируем методомСс, 1") по последовательности прямоугольников {licJ,J? в точке эс , если Хорошо известны следующие теоремы /см., например, А.Зигмунд [1959] , гл. ШІ/. ТЕОРЕМ б.А /Йессен-Марцинкевич-Зигмунд/ /I/ Пусть-peLfe a+L(to(2Ji]2). Тогда ряд Фурье $Ш суммируем методом (ii к-Р почти всюду. /II/ Пусть задана любая неотрицательная функция Ф С ") ,Uo , возрастающая и имеющая порядок роста 6(-be _t) , t -» о . Тогда существует такая суммируемая функция-f о ,-ре Ри)(го(г-тяг), такая, что ряд Фурье S[{3 нигде не суммируем методом Cc.i . ТЕОРЕМ 6.Б Каждый ряд Фурье SU3 суммируемой функции почти всюду ограниченно суммируем к Jf. методом (с, О . Из приведенных результатов видно, что если рассматривать суммируемость по произвольным прямоугольникам, то лучше, чем суммируемость рядов фурье функций из\-Сос [- получить нельзя. Однако, если рассматривать суммируемость по некоторым прямоугольникам, например, по прямоугольникам с ограниченным отношением длин сторон, то можно суммировать ряды їурье функций из L Сг«і2тізг). В связи с этим, естественным образом возникает следующая задача. Пусть »v « , in oo, it-» » - последовательности натуральных чисел. Найти необходимые и достаточные условия на функцию ФСt") , чтобы для любой функции $(: ФСЬ) С1Ч "пзг) Из теоремы 6.Б следует, что если существует такое А о, ЧТОІ. 2І Л To4H-)=t, t o . В тоже время известно, что суммируемость кратных рядов Фурье методом (АО тесно связано с сильной дифференцируемкостью интегралов /см. об этом А. Зигмунд [1959] , гл. ХУЛ/. В связи с этим, учитывая результаты-1, 2, можно предположить, что и в этом случае имеет место альтернатива, аналогичная утверждению из 1. Как оказалось, это действительно так и существо дела заключено в s -свойстве, которое в данном случае будет выглядеть следующим образом. Пусть А = Цтк}к=1_ t 4 3 ") совокупность последовательностей натуральных чисел m too , кк оа , ic- oo . /І/ Если Л обладает «»- свойством, то для любой монотонно убы-вающей к нулю при -fc-»» функции $l") существует неотрицательная функция е ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем вначале /І/. Совокупность Л порождает ТІ - базис Ь(А) образованный сдвигами прямоугольников Зк . тц З їА г-к.З ,к-=д,2,-- . Тогда, в качестве функции 4-возьмем функцию из теоремы 1.2 часть /I/ для базисаЄ (зО. Как следует из метода доказательства теоремы 1.2, расходимость средних 13 ГА $ - ) 4. не зависит от положения и , относительно точки х. . Поэтому можно предположить, что СГ имеет точку х своей левой нижней вершиной. Учитывая /7.1/ и /7.4/, получим Следовательно, m ( ,-} неограниченны при tt- оо , и S III не суммируем методом (с,і) в точке х , а так-.-как множество расходимости интегральных средних для базиса В (Л") составляет полную меру, то часть /І/ доказана. Доказательство /II/ опирается на часть /II/ теоремы 1.2, но требует некоторых предварительных рассуждений. Если базис ВСЛ") не обладает s г свойством, то в силу теоремы 1.2, В (Л) будет дифференцировать L . Тогда, по теореме I.A, существует t o , такое, что усечённый максимальный оператор м $ схл имеет слабый тип сі,і) Ниже, с целью упрощения записи, вместо М -к ) будем писать 4 аО или сх ,Х1) . Далее, пусть задан некоторый базис из прямоугольников б » и пустьR.6 Ь . Через R. ,{Ъ обозначим прямоугольник, получаемый из R. растяжением в і - раз по первой координате, и в ъ - раз по второй. Полученный базис обозначим Ь ,br{R- R.e-6] . Усечённый максимальный оператор соответствующий базису 5 ( -ІД будем обозначать-К (.-). Например, обозначим через Т4 - оператор тригонометрического сопряжения И пусть «КО - класс всех функций, тригонометрически сопряженных к функциям -Р&4ЧО / р(1_) с L /. Вопрос о вложении $(L) с Ф(Х) и $СЮсЧЧО , в случае, когда фс - удовлетворяет Д-2, - условию был решён О.Д.Церетели [1973] ,[.1975]. Условия вложения, естественно, совпадают с условиями теоремы 7.1, т.к., в силу известной теоремы А.Н.Колмогорова [1925] /см. так же, Н.К. Бари [l96l] , стр. 573/ операторТ имеет слабый тип С i,o . Вопрос о вложении 4 (L)C:M CL) в общем случае был решен в работах П. Освальда 1982 , І983\. В связи с этим, отметим, что в пространствах ФCL , где ф(1)удовлетворяет Д2 - условию, операторы Т и М ведут себя одинаково. Однако, при подходе к L , их поведение различается. Так, в силу теоремы 7.2, оператор Цдействует из е в G . В то же время, как показал П. Освальд [1983], оператор Т действует из е BJLS1 . Причем, вложение Сі сфси) имеет место тогда и только тогда, когда (л)эквивалентна некоторой выпуклой функции, удовлетворяющей А2 - условию /очевидно, Є не удовлетворяет Д? -условию/. Полученные в 1-7 теоремы имеют свои прямые аналоги в случае IR.N , М 5 . Пусть задан базис &UW) , В ( }с&±{Яы\ Для N - мерного интервала И B(R. ) через R- обозначим концентрический с ним интервал минимальной меры, содержащий R. , у которого длины рёбер имеют вид 2 , Кб Ж . Совокупность В ={& Яе-Ь} назовём ассоциированным базисом. Будем говорить, что два интервала сравнимы если существует сдвиг, помещающий один из них внутрь другого. В этом случае будем писать R. R. . В противном случае назовём их несравнимыми и будем писать R.- Я- . Базис B( R-N) обладает S - свойством, если ТЕОРЕМА 8.1 Пусть В - ТІ-базис сіВ ОЯ ). /I/ Если В обладает S - свойством, то Е не дифференцирует о С L Ъ» L ( /R.N -)\ /II/ Если В не обладает .s - свойством, то В дифференцирует L С \V \ СЛЕДСТВИЕ 8.1 Для любого ТІ-базиса В (RN) ,В = IB Cltf1), справедлива альтернатива: либо В СIR-N ) в D(L(I-N )) , либо 6(1(2") 6 D С L &9+L(RNU Отметим, что нам не известен аналог теоремы 8.1 для базисовIBS(IR- ), Доказательство теоремы 8.1 проводится точно так же, как и доказательство теоремы I.I , с той лишь разницей, что по2- ,3- , ..., - координатной оси применяется следующее обобщение леммы 1.2, где М = N - і . Доказательство леммы 8.1 аналогично доказательству леммы 1.2. Далее, будем говорить, что базис BClR.N") является Т-базисом, если существует система N - мерных интервалов { такая, что V , VR. 5( ),31 - сдвиг некоторого Як в точку х , такой, что R- совпадает с t-х к R « , причём К. пробегает весь натуральный ряд при фиксированном эс . ТЕОРЕМА 8.2 Пусть В (Ж )- Т-базис, B(RN c BN.1CiR-N). /I/ Если В обладает s - свойством, то ь е D (1_Сэ5+(_ (R.N /II/ Если Б не обладает 5 - свойством, то be D(L(RN Дальше. Лемма 2.3 легко переносится на случай IR. ,М ?. Для этого основное построение надо проводить в единичном кубе Lo,ll разбивая его на каждом шаге на к одинаковых кубов. Тогда теорема 2.1 обобщается следующим образом. ТЕОРЕМА 8.3 Для любой возрастающей выпуклой вверх функции ipC ) » такой, что при некотором натуральном s / 1S N-I /, Vik монотонно убывает при - о начиная с некоторого ±0 i- , существует базис B(IR.N)? В (IR?)с В (Атакой, что В (Rf) 6 D(Lip(U)(ІРЛ) . Доказательство теоремы 8.3 следует схеме доказательства теоремы 2.3. Основная трудность, возникающая при этом - получение оценки для интеграла по редкому объединениюДифференцирование в точности классов базисами не инвариантными относительно сдвига
Неравенства для равноизмеримых перестановок
Приложение к теории кратных рядов Фурье
. Оценки для максимальных операторов
Похожие диссертации на Теория дифференцирования интегралов над евклидовыми пространствами базисами из интервалов
