Содержание к диссертации
Введение
1 Асимптотика спектра и формулы следов для дифференциальных уравнений с неограниченными коэффициентами 25
1.1 Асимптотика спектра и собственных функций дифференциального уравнения второго порядка 25
1.2 Формулы следов для дифференциальных уравнений с неограниченными коэффициентами 42
2 Асимптотика спектра и формулы следов для дифференциальных уравнений Бесселя 50
2.1 Асимптотика спектра дифференциального уравнения Бесселя 50
2.2 Формулы следов для дифференциальных уравнений Бесселя 58
3 Асимптотика спектра и формулы следов для дифференциальных уравнений четвертого порядка 62
3.1 Асимптотика спектра дифференциального уравнения четвертого порядка 62
3.2 Формулы следов для дифференциальных уравнений четвертого порядка 79
Список литературы 89
- Формулы следов для дифференциальных уравнений с неограниченными коэффициентами
- Асимптотика спектра дифференциального уравнения Бесселя
- Формулы следов для дифференциальных уравнений Бесселя
- Формулы следов для дифференциальных уравнений четвертого порядка
Введение к работе
В общей спектральной теории операторов важным разделом является спектральная теория дифференциальных операторов. Результаты, полученные в этой области, находят многочисленные применения при исследовании задач математической физики. В частности, теория возмущений исследует возмущения собственных значений и собственных функций некоторой задачи, вызываемые небольшим изменением условий задачи.
Изучению дифференциальных операторов с дискретным спектром посвящено большое количество работ. Начало изучению этого вопроса было положено в 30-х годах XIX века в работах Штурма и Лиувилля [45], [46], в которых был рассмотрен оператор второго порядка на конечном интервале и с непрерывными коэффициентами (так называемый регулярный случай). Основы спектральной теории для сингулярных операторов были заложены Г. Вейлем в его работе [47]. Своим дальнейшим прогрессом теория сингулярных дифференциальных операторов обязана Э. Шредингеру [43], [44]. В первом из этих заметок, Шредингер получает стационарное уравнение для электрона, известное под его именем, и этим закладывает математический фундамент квантовой механике. Под влиянием успехов квантовой механики в середине 20 века, в печате систематически появляются работы по спектральному анализу. Начиная с 1950 г., в отечественной литературе публикуются исследования по спектральному анализу дифференциальных операторов высших порядков и по изучению природы спектра многомерных сингулярных краевых задач.
Впоследствии свое развитие получили два основных метода изучения спектра: аналитический и теоретико-операторный. Эти два метода в определенной мере соответствуют асимптотическому методу Лиувилля и вариационному методу Куранта.
Аналитическое направление опирается на асимптотические методы и аппарат теории аналитических функций. Аналитическим методам в теории дифференциальных операторов второго порядка посвящены работы Е.Ч. Титчмарша [38], Б.М. Левитана [14]. Из результатов относительно природы спектра дифференциальных операторов высших порядков, достигнутых аналитическим путем, следует отметить И.М. Рапопорта [24], и некоторые результаты М.А. Наймарка [23].
Теоретико-операторные методы по-другому можно назвать прямыми методами качественного спектрального анализа. Развитие теоретико-операторных методов исследования спектра было подготовлено работами Г. Вейля, Р. Куранта [13].
Достаточно полный обзор различных вопросов спектральной теории дифференциальных операторов дан в [25], там же можно найти подробную библиографию по этой тематике.
К настоящему времени разработаны достаточно много методов нахождения асимптотики спектра дифференциальных операторов, в основном на отрезке. Для задачи Штурма-Лиувилля на отрезке также решен вопрос об асимптотическом представлении собственных значений в случае негладких потенциалов [3], [4] и даже для потенциалов, содержащих J-функцию [5].
Теория следов линейных операторов берет свое начало с инвариантности матричного следа линейного оператора В и совпадение его со спектральным следом в конечномерном пространстве N N N ^2(вфк> фк) = Y,(BcPk, щ) = $>* (о-1) к=1 fc=l к=1 где {А*;} - собственные числа оператора В, а {фк}к=ц {^fclfcLi ~ Два произвольных базиса пространства.
Этот результат был перенесен на случай бесконечномерных операторов со следом - иначе называемых ядерными, а именно, доказано утверждение (см. [11]), если В - ядерный оператор, то для любой пары {^)^, {'jPfcJfcLi ортонормированных базисов справедливо оо оо (&, Фк) = Y^Bt*>b ^)- (-2) к=\ к=1
Доказано равенство, известное как теорема В.Б. Лидского ( [12], [16]), оо оо ^{В(рк, 4>к) = ^2 Mfc, (о.з) к=1 к=1 где fik - собственные числа оператора В.
Таким образом, этими результатами классическая теория была завершена, так как они охватывают весь класс операторов, имеющих след.
Дальнейшее развитие теории следов привело к рассмотрению понятия инвариантности следа на операторы, не имеющие следа, которое начато в цикле работ И.М. Лифшица, завершенном работой [19], мотивировано некоторыми вопросами квантовой статистики и теории кристаллов.
Так как для неядерных операторов В ряд из матричных элементов расходится, из теории расходящихся рядов естественно возникает следующая постановка задача: указать класс операторов и соответствующую пару базисов {(j>k}kLi, {ty^ljfcli таких, что будет справедлив аналог равенства (0.2) - соотношение ]Г [{Вфк, фк) - (В<рк, <рк)} = 0. (0.4)
Для дискретных операторов выбор одного базиса естественно предопределяется из спектральной подстановки (0.3), то есть выбирается базис из собственных векторов {ifk}kLi оператора В. Для подбора второго базиса оператор В представляется в виде суммы В = Во+V, причем оператор V в каком-то смысле подчинен оператору Bq; и второй базис строится из собственных векторов {фк}к*=\ оператора Bq. Тогда формула (0.4) приобретает следующий вид со оо J2 [(Вфк, фк) - (В<рк, <рк)] = Y, К(во + у)Фь, Фк) - {{Вук, 4>k)\ = fc=l k=l оо к=1 где Хк - собственные числа оператора Bq, Цк ~ собственные числа оператора В.
Начало теории регуляризованных следов было положено в 1952 -1953 г. в работах И.М. Лившица [19], М.Г. Крейна [11] и И.М. Гельфанда, Б.М. Левитана [8].
И. М. Гельфанд и Б.М. Левитан [8] для оператора Штурма-Лиувилля задачи Дирихле с потенциалом q(x) получили формулу, названную впоследствии формулой Гельфанда-Левитана: VV ^2 ч g(0) + gW) , 1 2_;Ы -к - с0) = + -со, где со = - J q(x)dx. И почти сразу Л.А. Дикий в работе [9] показал, п о что формула Гельфанда-Левитана эквивалентна тождеству
У j I Hk — к2 / q(x) sin2 кх dx J = О, fc=l x о т.е. равенству вида (0.5). Оказалось, что в работе И.М. Гельфанда и Б.М. Левитана член (Уфк,фк) в формуле (0.5), который есть /«<*>
, sin2 пх dx, о для оператора Штурма-Лиувилля самим методом - разложение характеристического определителя и следа резольвенты оператора по степеням, а затем сравнивания коэффициентов при одинаковых степенях - был разбит на две части, и главный член, образующий расходящийся ряд, оставлен в левой части формулы (0.5), а сходящаяся часть просуммирована и сумма записана в правую часть.
Такой подход, при котором член іУФк^Фк) разбивается на расходящуюся часть, которая выражается в терминах собственных чисел и параметров оператора Во, а сходящая часть суммируется и выносится в правую часть, долгое время оставался центральным в многочисленных исследованиях. На этом пути открывается связь теории следов с теорией дзета - функций операторов.
И.М. Гельфанд [7] предложил использовать метод, основанный на исследовании асимптотического разложения следа револьвенты по параметру и впервые для оператора Штурма-Лиувилля получил формулы регуляризованных следов высших порядков: n=l где Ak(n) - расходящаяся часть разложения /j% по степеням собственных чисел Ап, В (к) - сумма сходящейся части разложения /^, которая в конечном виде выражается через q(x) и ее производные.
В начале 60-х годов ряд интересных результатов в виде (0.5) был получен в работах Ч. Хальберга, Р. Гильберта и В. Крамера [40], [41], [42]. В этих работах авторы, предполагая, что для ограниченного возмущения V дискретного самосопряженного оператора В0 с ядерной резольвентой ряды оо оо
А=1 к=1 сходятся, доказали равенство
00 оо /fc=l к=1
Для сингулярных дискретных обыкновенных дифференциальных операторов крупное продвижение в теории регуляризованных следов было сделано А.Г. Костюченко в его докторской диссертации [10].
В связи с завершением исследований регулярных дифференциальных операторов второго порядка с середины 60-х годов основным направлением исследований многих математиков стало распространение теории следов на обыкновенные дифференциальные операторы выше второго порядка. Наиболее сильные результаты в этом направлении получены В.А. Садовничим [28], [29], [30], [31]; особо следует подчеркнуть результат для обыкновенного дифференциального оператора четвертого порядка полученный методом тета-функции. Исключительным продвижением в теории следов стало применение методов теории функций в исследовании дзета-функции оператора в работах В.Б. Лидского и В.А. Садовничего [17], [18]. Развитие этого направления теории следов, в основном, было завершено в работах В.А. Садовничего, В.А. Любишкина и Ю. Беллабасси [35], [36].
С конца 70-х годов на первый план выдвигается изучение следов операторов в частных производных, однако даже первую поправку теории возмущений (Vfk: fk) из-за сложной структуры спектра операторов в частных производных не всегда удается эффективно исследовать, не говоря о последующих поправках теории возмущений. В связи с этим возобновились активные исследования формул следов вида (0.5) и близких к ней (с вычитанием нескольких поправок теории возмущений). Пионерскими работами в этом направлении стали работы В.А. Садовничего и В.В. Дубровского [33], [34].
Принципиальным прорывом в теории следов является метод исследования и доказательства регуляризованного следа для абстрактных самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, предложенный Х.Х. Муртазином и З.Ю. Фазуллином в статье [22]. Этими авторами доказаны формулы регуляризованных следов с вычитаниями одной поправки теории возмущений при более слабых, "близких" к необходимых, условиях на функцию распределения спектра невозмущенного оператора в зависимости от возмущения, чем во всех известных ранее результатах. В работе [39] предложена методика исследования формул следов для операторов в частных производных. Данный метод используется в диссертации.
Для оператора Штурма-Лиувилля значительным продвижением в этом направлении следует отметить результаты работ [26], [6] и [27]. Савчук A.M. [26] и независимо Винокуров В.А. и Садовничий В.А. [6] получили формулы регуляризованных следов для оператора Штурма-Лиувилля на отрезке с потенциалом, содержащим 6-фукк-цию. Также в работе Савчука A.M. и Шкаликова А.А. [27] получена формула регуляризованного следа для операторов Штурма-Лиувилля на отрезке с сигулярными потенциаломи, не являющимися локально интегрируемыми функциями. Достаточно полный обзор истории теории следов дан в [37], там же можно найти подробную библиографию вышеуказанных авторов.
Перейдем к обзору содержания диссертации.
В первой главе изучается спектральная задача Дирихле на отрезке [0,7г] ~у"{т) + V{r)y{r) = \у(г), 2/(0) = 2/(тг) = 0, (0.6) где V(r) - измеримая (комплекснозначная) функция, которая не обязательно суммируема, но удовлетворяет условию: при некотором е [0,1] re(ir-r)\V{r)\dr <оо. (0.7)
Примером потенциала является функция {Г) ~ ^ га"(п - г)& г2(|1пгГ + 1) (тг - г)2(|1п(тг - г)Г2 + 1)' /С——J. где 0 < ак < 2, 0 < (Зк < 2, К ик (в (0.7) при \А0\ + |Д>| = 0 є < 1, а при |Л0| + |Б0| ^ 0 є = 1).
Исследованию задачи (0.6), в случае регулярных коэффициентов, посвящено много работ [15] и в цитированных выше работах. Отметим, что в работах [3]-[4] с помощью довольно тонкого анализа системы первого порядка, к которой сводится уравнение Штурма-Лиувилля, исследована асимптотика спектра и соответствующих собственных функций краевых задач с суммируемым потенциалом.
В 1 изучается асимптотика спектра задачи (0.6).
Спектральная задача (0.6) при Л ф п2, п Є N эквивалентна интегральному уравнению в банаховом пространстве С[0,7г] у(г) + Г Ro(r, t, X)V{t)y(t)dt = 0, Jo где Ro(r,t,X) ядро интегрального оператора Rq(X) = (Щ — Л)-1, Н0 - невозмущенный оператор задачи Дирихле, порожденный дифференциальным выражением —d?y(x)/dr2 и нулевыми граничными условиями. Спектр (т(Щ) — {Хк}кю==1 оператора До состоит из чисел Afc = /г2, соответствующие нормированные собственные функции суть /fc(r) = л/2/7г sin кг.
Ядро Ro(r: t, А) оператора Rq(\) имеет вид Ro(r, t, A) = G(r, t, A) + 9(r,t,\), где
1 J cos y/Xr sin VXt, t
Все дальнейшие построения основаны на проекционном методе, где показано, что в асимптотических формулах для собственных чисел и собственных функций, важную роль играет часть резольвенты невозмущенного оператора Ron(X) — ^Ук^Л^к — A)_1Pfc, где Рф = (h, fk)fk, (> ) - скалярное произведение в L2[0,7г].
Имеет место
Лемма 1.2-1.3 Пусть \Х — Хп\ < -^-. Тогда для всех (r,t) Є [О, 7Г] X [О, 7Г] |ДЬп(г,*,А)1 < —, l^n(r,t;A)| < ^ГТ, \Ron{r,t,\)\ < 2ао^-*) п п1 п1 е
Лемма 1.4 ifcym V(r) принадлежит классу (0.7), то для нормы ||-йоп(А)У|| оператора Ron(X)V в пространстве С[0,7г] имеет место соотношение lim sup \\Ron(X)V\\ = 0.
2тта.г\ п-* |A-An|<
Пусть {/in}Li - спектр краевой возмущенной задачи (0.6), пронумерованный в порядке роста модулей и с учетом алгебраических кратностей. Справедлива следующая
Теорема 1.1 Пусть V(r) комплекснозначная функция и / г(-7г — г) |V(r)| dr < со. 7о
При п ~^> 1 собственное число ип лежит в круге \z — Ап| < ^--При этом fin есть решение уравнения А = ФП(А), где сэюимающая функция
Фп(А) = An + (Vfn, /n) - (VRnWVfn, /„), а интегральный оператор Лп(А) определяется из уравнения Rn(X) + R0n(X)VRn(X) = B^n{\).
Теорема 1.3 Пусть выполнено условие (0.7), тогда для всех п ^> 1 справедливо асимптотическое разложение V-n = An + }j ос (0.8) (») _ ("І) 2?r. j (z- An) tr [Rv{z)V]k Ro(z)dz, tr - след ядерного оператора. При этом остаток ряда (0.8) (Зт = YlT=m+i аї представляется в виде в(п) = (-1) і < l-z-Anj— 2" г - An) tr [#o(z)V]m Д(-г)УДоW^ /э(п) < mci^c)-^; г^е С" постоянная, не и допускает оценку зависящая от п.
Следствие 1.1 Если в (0.7) є < 1, и число т удовлетворяет условию т > (1 + :)(1 — є)-1. Тогда справедливо представление /Хп = Ап + Х>Г+/?&>, (п) m
В частности, если в (0.7) є = 0, то есть V(r) Є L[0,7r], то имеем / = An + (Vfn, fn) - (VR^iXJVfn, fn) + 0(n-2).
В 2 получена формула следа задачи (0.6).
Ядро До(г, t1 А) интегрального оператора Ro(X) можно представить в другом виде
Яо(г,t, Л) = Gx{r,t, A) + gi{r,t, А), Gi(r,i,A) =
1 J exp (iy/Xr) sin y/Xt, t
Лемма 1.5 При n >> 1, є Є [0,1], An = (Лп + An+i)/2; s Є R *(тг -1) (l-)/2' Ro(r,t, Xn + is) Xn + is где С > 0, С - абсолютная постоянная.
Лемма 1.6 Если V(r) принадлежит классу (0.7), то для нормы ||i?o(
Хп + is
1-е 2 lim 7n = 0. п—*оо
Верна следующая теорема о следах.
Теорема 1.4 Пусть б (0.7) 0 < є < 1, am- минимальное натуральное число, такое, чтот > (1+)(1—є)-1. Тогда справедлива формула следов / - Ап - ^2 &1 = 0, (0.9) где ряд сходится абсолютно, а числа сц* равны \z-K\=
27тад
Замечание 1.1 Если в (0.7) є = 0, то есть V(r) Є L[0,7г]; то т = 2 и формула (0.9) представляется в виде Y, Ь*п -К- (Vfn: /„) + {VRon{*n)Vfn, /„)] = 0. ^слп же V(r) принадлежит пространству Соболева W2[0,7г] (иначе говоря, V'(r) Є L2[0,7г]^, то в (0.9) т = 1 и последовательность / — An — (Vfn, fn) абсолютно суммируема и
Х>--Лп-(К/п,/п)]=0, п=\ откуда вытекает известная формула следов Гельфанда-Левитана.
В главе II рассматривается спектральная задача Дирихле на отрезке [0,7г] z/2-± 1 -У" + —р^у + Vy(r) = Ау(г), і/ > -, у(0) = 0, у(тг) = 0, (0.10) где V- оператор умножения на (вообще говоря, комплекснозначную) функцию из Ь2[0,7г], удовлетворяющая условию (0.7).
Отметим, что задача (0.10) получается при разделение переменных оператора Лапласа —A+V заданного в шаре или на плоскости в круге радиуса 7г.
Спектр {Ап}^=1 невозмущенной задачи (0.10) хорошо известен и определяется из уравнения <Л,(\/А^7г) = 0, а нормированная последовательность соответствующих собственных функций имеет вид TTJlWK 71") где Jv{z) - функция Бесселя v-то порядка.
Резольвента Rq{\) = (Lq — А)-1 есть интегральный оператор с ядром До (г, t, A) = G(r, t, A) + g(r, t, А), где п j Yu(VXr)MV\t), t
Пользуясь асимптотическими разложениями функций Jv(z) и Yv{z), мы получим следующие оценки: |ЯопМ,Ап)| < 2, \R0n(r,t,Xn)\ < о«П*-*)Еп п1 Е где ао = const > 0, (далее, все а^ = const > 0, і — 1,2,3 ...).
При |А —An| < 2^- и для всех (г, ) Є [0,7г] х [0,7г] справедливы следующие неравенства: 2ао*Є id + 2а0(тг-і)є пА с п1_є |ЛЬп(г,*,А)1<^г, \Bvn{r,t,\)\ пгл Л. С
Если V(r) принадлежит классу (0.7) , то для нормы ||.Ron(A)V|| оператора Ron(\)V в пространстве С[0,7г] имеет место соотношение lim sup ||ДЬп(А)^|| = 0.
27гап "^ |А-АП|<
Пусть {//n}^=i спектр задачи (0.10), пронумерованный в порядке роста модулей и с учетом алгебраических кратностей. Для данной задачи справедливы следующие теоремы
Теорема 2.1 Пусть V(r) комплекснозначная функция и г(тг — r)V(r) Є L[0,7r]. При п ^$> 1 собственное число р,п лежит в круге \z — Ап| < 2^-- При этом \in есть решение уравнения А = ФП(А), где сжимающая функция
Ф»(А) = An + (Vfn, fn) - (VRn(\)Vfn, fn), а интегральный оператор -Rn(A) определяется из уравнения
Яп(А) + Яоп(А)^^(А) = ДЬп(А).
Теорема 2.2 Пусть выполнено условие (0.7) , тогда для всех п ^> 1 справедлива асимптотическое разложение
Мп = Ап + ^4П). (О-11) Jfe=l
4П) = {-=^~ j> (*- К) tr [Ro(z)V]k M*)dz, |г-А„|=2^- tr - след ядерного оператора. При этом остаток ряда (0.11) (Зт = YlkLm+i ак представляется в виде і {z- Хп) tr [Ro{z)V]m R{z)VRo(z)dz lZ-^"|-2^ < С та(1іЄ)-е, где С > 0 - постоянная, не и допускает оценку зависящая от п.
Основным результатом параграфа 4 является следующая теорема о следе для задачи (0.10).
Теорема 2.3 Пусть в (0.7) 0 < є < 1, а т - минимальное натуральное число, такое, чтот > (1+є)(1—є)-1. Тогда справедлива формула следов / - Ап - У^ а где ряд сходится абсолютно, а числа а? равны ак = (») _ ("І) і zti [Ro(z)V]k Ro(z)dz. \*-*п\=Ш5
В третьей главе изучается спектральная задача Дирихле четвертого порядка на отрезке [0,7г] y(/v)(r) + Vy(r) = Ay(r), (0.12) у(0) = у(тг) = 3/(0) = у'(тг) = 0, (0.13) Vy{r)=p2(r)y"{r) +pi{r)y'{r)+p0(r)y{r), (0.14) комплекснозначные функции Pi{r)(i — 0,1,2) удовлетворяют условиям: при некотором є Є [0,1) J r(ir-r)e\p2(r)\dr
Спектр задачи y^IV\r) — vAy{r) с краевыми условиями (0.13)
Определяется ИЗ уравнения COS Z/7T СП Ї/7Г = 1, И Z/jfe = fc + l + CKjfc, ак = 2(~^+1ехр(-(А;Ч- 1/2)тг) + 0(exp(-2for)), А; > 1.
Пусть Hq - невозмущенный оператор задачи Дирихле, порожденный дифференциальным выражением jffi" и граничными условиями (0.13). Через {fk}kLi обозначим ортонормированные собственные функции оператора Hq, и
Л (г) = Ак {cos z/fcr - sin vkr - ехр(-щг) + Bk (sh i/fcr - sin vkr)} , Afc = J_ Л _ 4+(-1)*9ехр(-^тг) + 0 ехр(-2^тг)Л л/5г \ 47Г ї/д. i/fc / Bfc = 2(-1)*ехр(-і/Атг) + 0(ехр(-2і/Атг)).
Пусть Ro(r,t, А) ядро оператора .Ro(A) = (#о — А)-1, А = іЛ Лемма 3.1 Ядро .Ro(r, і, А) резольвенты Ro(X) имеет вид o(r,*,A) = G(r,*,A) + <7(r,*,A),
1 I exp(iur) smut — exp(—ur)shut, t I sinur exp(iut) — shur exp(-ut), t > r , , .. shur , . sinur ... g(r:t,\) = -^з-ехр(-і/і) - -^-3-exp(iut)+ + wi(r;, i/) (cos 1/1— ch ur) + u>2(, ^)(sin ur — sh z/r), шг(і,и) = 4и3Ф(и) [(sin u(t — -к) — sh u(t — 7r))(sin uir + sh uir)— —(cos u(t — 7г) — chi/(t — 7r))(cosz/7r — chun)], w2(t,u) 4и3Ф(и) [(sin u(t — тс) — shu(t — tt))(cosu7t — chuir)+ +(cos u(t — 7г) — chu(t — 7r))(sinuir — shuir)] , Ф(^) = 1 — COS U1T Ch І/7Г. Лемма 3.2 Дая любого є Є [0,1) справедливы следующие оценки: а0г2(тг - г)2г(тг - ) \Ron(r,t,\n)\ < d_ dr Яоп(г, t, \n) aor(ir — r)te(ir — t) Ron{r,ti\n) a0t(ir - ty Имеют место следующие утверждения Лемма 3.3-3.4 Пусть |А — Ап| < ~^. Тогда для всех {г,і) Є [0,7г] х [0,7г] справедливы следующие неравенства: |ДопМ,А)| < Ц, |Доп(г,*,А)| < аг2(7Г~Г)2,\Щп{г,І,Х)\ < г— , \Ron(r,t,\)\ < „1—е- ) Г^П\' )"!'V —- 1-е- nL Є п1 Є Введем пространство J3[0,7r], состоящий из дважды непрерывных дифференцируемых на отрезке [0,7г] функций /(г), таких, что /(г) и /'(г) обращаются в нуль в точках 0 и 7г. Норму в этом пространстве определим равенством: Лемма 3.5 Если V(r) принадлежишь классу (0.14), т0 для нормы ||-Ron(A)V^|| оператора Ron(\)V в пространстве В[0,7г] при |А — Ап| < 2^- имеет место неравенство \\Ron(X)V\\ < ~ п1 є Пусть {/^п}^=1 - спектр задачи (0.12)-(0.13), пронумерованный в порядке роста модулей и с учетом алгебраических кратностей. Справедлива следующая Теорема 3.1 Пусть выполнены условия (0.15)-(0.17), тогда для всех п^> 1 справедливо асимптотическое разложение iin = K+Ysak> (-18) ак = (») _ (-1) & {z-Xn)tr[RQ{z)V}kR0{z)dz, |г-А„|-5^ tr - след ядерного оператора. При этом остаток ряда (0.18) Рт = Ylh=m+i ak представляется в виде і (z- Хп) tr [Mz)V]m R(z)VRo(z)d2 |-г-Л„|-2^ < (т+і)(і-Е)-з > где С- постоянная, не и допускает оценку ^т зависящая от п. Ядро Ro(r, t, А) интегрального оператора Rq(\) можно представить в другом виде Ro(r,t,\) = G(r,t,\) + g(r,t,\), І ехр(гі/г) sinut — exp(—ur)shut, t I sin it exp(iui) — shi/r exp(—1/), > r a g(r, , A) = o>i(, г/) (sin г/г — shz/r) + а/г(, i/)(cos^r — chj/r) — <3(г, t, A) |r=o shi/r, wi(t,u) = 2Ф(і/) (-G(7T, t, A) + ^Г'*'Л)1г- Sh ї/тгХвіП І/7Г + sh і/тг)+ ,, JG(r,t,\)\r=n t JGjr^X)^ ' + (--211 h -21 СП U7T)(C0S U7T — ch un) W2{t, v) = 2Ф(і/) (_G{M,A) + #M,.A)U sh і/7г) (cos і/7г — ch І/7Г)— _(_Je?M>a)Ut , ±GM>A)l- ch итг) (sin г/7Г — sh уж) Лемма 3.6 Пусть Хп — (Хп + Хп+\)/2, s Є R. Тогда при п>1« є Є [0,1) Ro(r,t, Xn + is) Хп + is Яо(г, , Лп + is) Сг2(ж-г)Нє(ж-і) (1-є)/4 ' Xn + is Ло(г,*,А„ + гв) Сг(тг - r)if (тт - t)e Хп + is (1-е)/4 ' Ло(г, і, Л„ + is) Сіє(ж - t)e (l-)/4' Xn + is где С > О, С - абсолютная постоянная. Лемма 3.7 Если V(r) принадлежит классу (О.Ц), то для нормы ||.Ro(,z)V|| оператора Rq(z)V имеем оценку: Ro(Xn + is)V Xn-\-is (1-є)/4' где {7n} - полоэюительная последовательность, такая, что lim 7n = 0. П—»00 Верна следующая теорема о следах. Теорема 3.2 Пусть в (0.15)-(0.17) 0<є<1, am- минимальное натуральное число, такое, чтот > (3+є)(1—є)-1. Тогда справедлива формула следов / ~ Ап — у j jfc=i где ряд сходится абсолютно, а числа ак равны (») _ С"1) і ztr [^o(z)V]fci2o(^)rf^ 1^-^1=2^ 1 Асимптотика спектра и формулы следов для дифференциальных уравнений с неограниченными коэффициентами В общей спектральной теории операторов важным разделом является спектральная теория дифференциальных операторов. Результаты, полученные в этой области, находят многочисленные применения при исследовании задач математической физики. В частности, теория возмущений исследует возмущения собственных значений и собственных функций некоторой задачи, вызываемые небольшим изменением условий задачи. Изучению дифференциальных операторов с дискретным спектром посвящено большое количество работ. Начало изучению этого вопроса было положено в 30-х годах XIX века в работах Штурма и Лиувилля [45], [46], в которых был рассмотрен оператор второго порядка на конечном интервале и с непрерывными коэффициентами (так называемый регулярный случай). Основы спектральной теории для сингулярных операторов были заложены Г. Вейлем в его работе [47]. Своим дальнейшим прогрессом теория сингулярных дифференциальных операторов обязана Э. Шредингеру [43], [44]. В первом из этих заметок, Шредингер получает стационарное уравнение для электрона, известное под его именем, и этим закладывает математический фундамент квантовой механике. Под влиянием успехов квантовой механики в середине 20 века, в печате систематически появляются работы по спектральному анализу. Начиная с 1950 г., в отечественной литературе публикуются исследования по спектральному анализу дифференциальных операторов высших порядков и по изучению природы спектра многомерных сингулярных краевых задач. Впоследствии свое развитие получили два основных метода изучения спектра: аналитический и теоретико-операторн изучению этого вопроса было положено в 30-х годах XIX века в работах Штурма и Лиувилля [45], [46], в которых был рассмотрен оператор второго порядка на конечном интервале и с непрерывными коэффициентами (так называемый регулярный случай). Основы спектральной теории для сингулярных операторов были заложены Г. Вейлем в его работе [47]. Своим дальнейшим прогрессом теория сингулярных дифференциальных операторов обязана Э. Шредингеру [43], [44]. В первом из этих заметок, Шредингер получает стационарное уравнение для электрона, известное под его именем, и этим закладывает математический фундамент квантовой механике. Под влиянием успехов квантовой механики в середине 20 века, в печате систематически появляются работы по спектральному анализу. Начиная с 1950 г., в отечественной литературе публикуются исследования по спектральному анализу дифференциальных операторов высших порядков и по изучению природы спектра многомерных сингулярных краевых задач. Впоследствии свое развитие получили два основных метода изучения спектра: аналитический и теоретико-операторный. Эти два метода в определенной мере соответствуют асимптотическому методу Лиувилля и вариационному методу Куранта. Аналитическое направление опирается на асимптотические методы и аппарат теории аналитических функций. Аналитическим методам в теории дифференциальных операторов второго порядка посвящены работы Е.Ч. Титчмарша [38], Б.М. Левитана [14]. Из результатов относительно природы спектра дифференциальных операторов высших порядков, достигнутых аналитическим путем, следует отметить И.М. Рапопорта [24], и некоторые результаты М.А. Наймарка [23]. Теоретико-операторные методы ый. Эти два метода в определенной мере соответствуют асимптотическому методу Лиувилля и вариационному методу Куранта. Аналитическое направление опирается на асимптотические методы и аппарат теории аналитических функций. Аналитическим методам в теории дифференциальных операторов второго порядка посвящены работы Е.Ч. Титчмарша [38], Б.М. Левитана [14]. Из результатов относительно природы спектра дифференциальных операторов высших порядков, достигнутых аналитическим путем, следует отметить И.М. Рапопорта [24], и некоторые результаты М.А. Наймарка [23]. Теоретико-операторные методы по-другому можно назвать прямыми методами качественного спектрального анализа. Развитие теоретико-операторных методов исследования спектра было подготовлено работами Г. Вейля, Р. Куранта [13]. Достаточно полный обзор различных вопросов спектральной теории дифференциальных операторов дан в [25], там же можно найти подробную библиографию по этой тематике. К настоящему времени разработаны достаточно много методов нахождения асимптотики спектра дифференциальных операторов, в основном на отрезке. Для задачи Штурма-Лиувилля на отрезке также решен вопрос об асимптотическом представлении собственных Рассматривается спектральная задача на отрезке [0, 7г] и краевыми условиями где V- оператор умножения на (вообще говоря, комплекснозначную) функцию из L2[0,7г], удовлетворяющая условию: при некотором є Є [0,1] Г JO ге(тг - r)e \V(r)\ dr oo,ee [0,1]. (2.3) Определим оператор Lo порожденный в L2[0,7r] дифференциальным выражением ЧУ) = -/ + у, у \ и краевыми условиями (2.2). Спектр {Ап} =1 оператора LQ хорошо известен (см. [32]) и определяется из уравнения Л/(\/А 7г) = 0, а нормированная последовательность соответствующих собственных функций /n(r) = /L . Л(л/Аг), (2.4) где Jv{z) - функция Бесселя і/-го порядка. Невозмущенная резольвента RQ(\) = (LQ — X)-1 есть интегральный оператор с ядром Ro(r, , А) = G(r, t, А) + g{r, t, А), где v І У„( /Аг).7„(л/Аі), t r G(r,t,X) = - Vrt { MVXr)Yv{V\t), t r JU{VX 7Г) где Yv{z) - функция Неймана индекса и. Тогда fk(r)fk(t) (А - А) оо Доп(г, t, A) = J2 J "Т/ = G(r Л) + (r »Л) где 9n(r,t,X) = g{r,t,\) (An - A) Легко показать, что Ron(r, t, Xn) = G(r, t, An) - /b l U n r)y/tJv(Vbn t) Jv{VXn 7Г) - Y" " n\ tirJ v{Vxn r)Jv(Vxn t) + tJ VXn t)Jv{VK r)l 2 JV(v An 7г) L J - кЛ/їПК Jv{Vxn r)VtJu{Vxn t). (2.5) v An Jv(v An 7г) Рассмотрим асимптотические разложения функций Jv{z) и V (z) (И, с.222): V7T 7Г, г 7Г 7TS J-(z) й v Иг - т - ї)Уі )(г) -8іп(г - т - 1)с/ 2)(г)] (2-6) V 7TZ І/7Г 7Г, г/7Г 71\ sm(z - - i)Dj«W - cos(z - .- j)C/(2 (z)j (2.7) где (1) (-1Г0л2т) т=0 (2гУ (2.8) Lrm(z) у (-1Г( 2т+1) т=0 (2z) (2.9) (i/,m) Г(і/ + т + 1/2) _ Ш!Г(ІУ - т + 1/2) (4 /2 - 12)(4і/2 - З2)... (4i/2 - (2m - 1)2) m J22m , (2.10) ((1/,0) = 1). Уравнение «/„(\/Л 7г) = 0 при n 1 перепишется в виде 7T2V% COS u/ -y- u/w -sin(v r-Y-) (V = 0. Из последнего равенства получаем, что Z/7T 7ГЧ У 4 г(2) COS ( Л„тг - — --) = sin(VAn7r - — - т) (2.11) z (Л) (л/Ап7г) Из (2.8), (2.9), при z » 1, получим следующие асимптотики из которых следует, что иР(у/К7г) _ (1/,1) (1/,1)( 2)-(1/,3) 1 , Uil\y/Kit) 2тгАп/2 8тгЗАп/2 An (2.12) Тогда подставляя (2.12) в равенство (2.11) мы получим асимптотику собственных чисел 1 2и - 1 v + Хп = п + + 0Ы 4 47г2п гг Для оценки (2.5) нам нужно найти асимптотические представления функций J v(z) и УЦг). Из (2.6), (2.7) находим, что т = - ш+ii L J/7T 71\ соф - - )( -(,) - У 2»(г)) Ї/7Г 7ГЧ sin(z - -- )( )( ) + UW(Z))\ , (2.13) к- (г) = hY"{z)+yh [shi{z - т - Ї М - w) І/7Г 7I\ + cos(z -f- j)(U \z) + UW{z))\ , (2.14) где С другой стороны из равенства Ju{z)Yl{z) — J v(z)Yv{z) = (см. [2]) при z = л/А У имеем (ч/А УЛл/Л г) = ЛП7Г2 Из (2.7), (2.9), (2.10) и (2.11) легко получим следующие асимптотические представления: Yuiyfa ) = У . г— 1/7Г 7Г 1+ Щф+ою п 4тг2Л, К(у/Къ) = ( /д- 2 ) Sin(\/ 7r - — - -) -1+ 2(i/, 1) - (и, І)2 + (і/, 2) + 4 +0[К } Уи(у/Кк) = \2 . /—- І/7Г 7Г 2л/Лп7Г (2.15) (л )1, + о (і/, 2) - (і/, І)2 + 4(1/, 2) - 2(і/, І)3 - 2(і/, 3) ЗтгЗД3/2 Из последних равенств следуют следующие асимптотики: К ( /% ) _ І" (і/,1) , А-2\ + (і/, І) + (і/, І)2 - 2(і/, 2) + (і/, 3) 47ГЗА3/2 + о( 5/2)]. (2-16) Из (2.6) и (2.13) имеем , 17(1/,2) + 4( ,3) 8A?/2r3 +0( - sm(y/Kr - Ц- - -)11 3(1/,1) + (1/,2) 1 ; 4Anr2 lA2r4 тогда VrirJ y/X J y/X t) С vK, (2.17) Подставляя (2.15), (2.16) и (2.17) в (2.5), получим оценки: До»(г, ,А»)І , /2o»(r,t,A„) є ІУ (2.18) где ао = const 0, (далее, все щ = const О, і = 1,2,3 ...). Применяя (2.6), (2.10) и тождество Гильберта при А — Ап -и для всех (г, і) Є [0,7г] х [0,7г] получим следующие неравенства: До»М,А) , \Ron(r,t,X)\ 2a(7[7t)- (2.19) Оператор і?оп( ) в банаховом пространстве С[0,7г] рассматривается как интегральный оператор (Ron(X)Vf)(r) = Г R0n(r,t )V(t)f(t)dt, Jo где / Є С[0,7г] и 11/11 - тахіє[0;7г] /( ). Тогда из оценок (2.10) и (2.11) при Л — Лп 2 - имеем (До»(А) /)(г) ЩЛ \ Г\е lV{t)\dt + Г (тг - ty \V(t)\ dt] + 71 UO JTT] + М!ГГОЛ (2.20) для каждого г/, 0 r\ тт. Если в (2.20) є = 1, то за счет выбора ту, выражение, стоящее в квадратных скобках в правой части неравенства (2.20) , мы можем сделать сколь угодно малым. То есть, если V(r) принадлежить классу (2.3), то для нормы і?оп(А)Т оператора RQn(X)V в пространстве С[0,7г] имеет место соотношение lim sup \\Ron(X)V\\ = 0. Пусть {цп} - спектр краевой возмущенной задачи (2.1)-(2.2), пронумерованный в порядке роста модулей и с учетом алгебраических кратностей. Для данной задачи справедливы следующие теоремы Теорема 2.1 Пусть V{r) комплекс?юзначпая функция и г(тг-г)У(г) Є [0,тг]. При п 1 собственное число / леэюит в круге \z — Хп\ Г-При этом fin есть решение уравнения Л = ФП(Л), где союимающая функция Ф»(А) = Лп + (Vfn, /„) - {VRn(\)Vfn, /„), а интегральный оператор Rn(X) определяется из уравнения RnW + Ron(X)VRn(X) = Доп(А). (2.21) Теорема 2.2 Пусть выполнено условие (2.3), тогда для всех п 1 справедлива асимптотическое разложение ос Мп = Ап + 4П% С2-22) fc=i где in) = Ц j (z- Хп) tr [R (z)V]k RoWz, і т і 27гап tr - след ядерного оператора. При этом остаток ряда (2.22) оо (п) fc А"» = представляется в виде \т+1 /4п) = Ц / ( - Л") г [ ( ) ]т RMVRo(z)dz и допускает оценку с пт(1-є)-є где С 0 - постоянная, не зависящая от п. Доказательство. Аналогично теореме 1.2. Здесь также (го-1) max \um{z)\ max /.(z) ,(Л) - \\R(X)V\\C Ь)(2-23) dx, Так как {Vum(z),f3) = f V(x)um{x)fs(x)dx, то согласно (2.4) (Уит(;г),Л) —р—-= -т max um(a;) / П/(х)л/ Л(\/Л а:) откуда следует, что ( т( ),Л)1 п o5sc т(1-е) гФ / №)1 :гє с+ + / \У{х)\{ъ-х)Чх J-K/2 г/2 Теперь из (2.23) и (2.24) вытекает неравенство (2.24) оо Об т (1 а6п2 /-27Гул se2 - nm(i-) уо JL (Лп _ AS + . )2 іг[аду]тадудо(г) Таким образом, показано, что ,2 /"2тг /?(п) п (1-е) -( -Л.)» 2жоо где использована подстановка 2; = Лп + «r r-e , р Є [0,2п]. Тогда 0(п) г гп а7 Е 2іга,бП - пт(1-е) {Хп _К_ _у 2 - пт(1-е)-е Утверждение 2.2 доказано. Лемма 2.1 При п » 1, є Є [0,1], Ап = (Лп + Лп+1)/2; s Є R a7t (тг - if (1-(0/2 Ro(r,t,\n + is) An + is (2.25) Доказательство. Для функции G(r, t, z) при z — \n + is справедлива оценка Cte (тт - t)e (1- )/2 G(r, , ) An + «s Оценим g(r, t, 2;), то есть І0М, ) = тг [ ;(УІ7Г)І 2Н Л( 7г) \JyfzrJv{\fzT) \Jy/ztJv(y/zt) {2.26) Имеем 1-/,( ) ,/ COS V 1 / !ч" V ж - - {у + -) откуда \Jj,(-\/zтг)\ адехр(7гІггіл/z), следовательно из (2.26) следует aio\y/rJv{y/zr)\ \y/tJv(y/zt)\ \g{r,t,z)\ 1 Учитывая, что \J yfzxJv{y/z x) ац \y/z\ {K — x), мы приходим к оценке \g(r, t, z)\ ai2t \ . Лемма доказано. Лемма 2.2 Если V(r) принадлежит классу (2.3) , то для нормы jRo(z)V оператора RQ(Z)V в пространстве С[0,7г] имеем оценку: In Ro(Xn + is)V -ЇГ7, lim 7n = 0. п—юо Xn + is Доказательство. Используя (2.18), (2.19) и лемму 2.1 при z Хп + is имеем + \(Ro(z)Vf){r)\ - [J \V{t)\dt + L y\V(t)\dt + _ гтг-д dt Ql5 1 1 " л для каждого 6, 0 S тт. Тогда In = ай [ / i V( )I Л + Г (тг - ) У(0 следовательно lim 7n = 0. n— oo dt + Г ш )л, Лемма 2.3 До любому замкнутому прямоугольному контуру Тп на комплексной плоскости, охватывающему собственные значения Лі, Л2,..., Хп и отстоящему от них на расстояние, не меньшее чем (An+i - А„)/2, п » 1, і Є 7V f г[Яо( М До( ) г==0, (2.27) / tr [RQ(Z)V]1 R(z)VRo(z)ds = 0. (2.28) Используя лемму 2.3, мы покажем, что верна следующая теорема о следах. Теорема 2.3 Пусть в (2.3) 0 є 1, a m - минимальное натуральное число, такое, чтот (1+є)(1—є)-1. Тогда справедлива формула следов оо 71=1 m / - АП - 22 & fc=i (п) к і о, (2.29) где ряд сходится абсолютно, а числа сц1 равны лм (-1) к+1 I ztr[Ro(z)V]kRo(z)dz. k-A»l=5S Доказательство. Выбирая число т из условия т(1 — є) — є 1, представим (2.22) в виде Ysk il k — к — J2T=i & ] = =i №п , где &П) = Ч - J ztr [Mz)V]m R(z)VRo(z)dz. fc=i г-Лк=(2тга0)-1А; Применяя леммы 2.1-2.2 и равенство (2.28), покажем, что 5т, 2тгг Пусть #n = X)Li / тогДа C_l)"i+i n г[Яо(г) ДМ ДоМ г. Дії t к 27Г ±Г -оо (AS + )-(1-.)/4 (Лп - Afc)2 + dt, причем w roo hi ( -dt + 2)-(1- )/4 (An - Afc)2 + t2 roo Jo fc -eft. Ґ1-ЄУ4 0 (AJ + 2)m(l-e)/4 (An _ Afc)2 + 2 Положим a = (1 — s)/2 — ы, где 0 ш (1 — )/2. Тогда 1 (К - A/fc)2 + І2 tl+a 1-е лп М следовательно, - оо — /1+СГ Z 00 fc к= ҐХ СК - А,)2 + 2 - 1+- An — Afc 1-0- (2.30) В силу того, что Лп Ап An+i, при п $ 1, для суммы в правой части (2.30), имеем 00 кЕ п кє кє Ер = Ет: у + 7 м = А + fc=i Ап — Afc A;=i (Ап — A/cJ A=n+i f Afc — AnJ При п 1 An « п2, для .Di и )2 имеем fc-i (л„-2) Л (A„-S2J - д1-.-(1+5)/2 Ji+0{n (1-52)1- арт /+і+0(п_2)(Г - 2-32) Так как 1 — a 1 и 2(1 — a) — є = 1 + 2o 1, то интегралы в (2.31) и (2.32) сходятся. Таким образом 1- оо ке С 1 S( - )2 + 2" 1+ffAi- "(1+)/2 Следовательно, /"ОО Д.1 / {XI + 2)m(l- )/4 Подбирая о; из условия 0 ш min{(l — e)/2,j/2}, где j = га(1 — є) — (1 + є) 0, окончательно получим, что ІД.І & % (2-33) Из (2.33) следует, что при т (1 + є)(1 — є)-1 Hm Bn = 0 и n— oo справедлива формула следов (2.29). Теорема доказана. 3 Асимптотика спектра и формулы следов для дифференциальных уравнений четвертого порядка 3.1 Асимптотика спектра дифференциального уравнения четвертого порядка В работе рассматривается спектральная задача Дирихле на отрезке [0,7г] y{IV\r) + Vy(r) = Xy(r), (3.1) 2/(0) = у(тг) = 2/(0) = у (п) = 0, (3.2) где Vy(r) = V2{r)y"{r) + Pi(r)y (r) + po(r)y(r), (3.3) комплекснозначные функции Pi(r)(i — 0,1, 2) удовлетворяют условиям: при некотором Є [0,1) [ г(тг - rf \p2{r)\dr оо, (3.4) Jo [ r+l(7T-r)+l\Pl{r)\dr oo, (3.5) Jo Ггє+2(тг - г)є+2 \p0(r)\dr 00. (3.6) ./о Спектр задачи 2/ )(г) = Иу(г) (3.7) с краевыми условиями (3.2) определяется из уравнения cos і/7г ch г/7г = 1. Утверждение 3.1 При и Є [0; ] уравнение cos VK ch VK = 1 не имеет корней. Доказательство. Пусть Ф(г/) = 1 — cos VK ch VK. Тогда Ф(0) = 0. Также для первой производной Ф (і/) = 7r(ch VK Sin VK — sh VK cos VK) , Ф (0) = 0. Но вторая поизводная Ф"(і/) = 27Г2 sh VK sin VK 0 при v Є (0,1). Получаем, что Ф {у) возрастает на интервале (0,1) и Ф {и) 0. Тогда и Ф{у) 0 при и Є (0,1). А при v Є [1, f] Ф{у) 1. Решениями уравнения Ф( ) = 0 будут числа v\. = k + + ctjfc, «& = 2( У+1 exp(-(fc + 1/2)тг) + О (exp(-2for)), /с 1. Утверждение 3.2 Все нули и (к 1) функции Ф( ) простые. Доказательство. Достаточно показать, что положительные нули функций Ф( ) и Ф (г/) не совпадают. Решениями уравнения Ф( ) = 0 являются числа Vk = k + \ + otk (к 1). Отметим, что \ctk\ — 0 при к — оо и а\ 0, аг 0, ... . Решения уравнения Ф ( ) = 0 есть и к = к + (Зк (к 1) и Рк / \ при /с — оо. Покажем, что для всех к 1 o!fc . Для этого достаточно доказать, что «і \. Имеем 1 2 2 2 _ 1 _1_ ch7r ехр(7г) + вхр(-7г) ехр(7г) ехр() 8\/2 10 Из которого следует, что - JQ при v . Тогда для всех к 1 cosi/jt7r JQ. Так как cosi/fc7r = (—l)fc+1sino;fc7r, тогда sinafc7r Y5 sin26 Отсюда \ак\ . С другой стороны в и к 0 / . Получили, что {1/} и {і/} не пересекаются. Что и требовалось доказать. Через {fk}kLi обозначим ортонормированные собственные функции задачи (3.7), (3.2), и /fc(r) = Ак {cos икг - sin vkr - exp(-ukr) + Вк (sh i r - sin ukr)} (3.8) где Afc = JL Л __ 4+(-l)fc9exp(-i/fc7r) + 0 ехр(-2 7г)Л v/тг V 4тг r/fc Ук ) Bk = 2(-1)к exp(-vkir) + 0(exp(-2i//fc7r)). Утверждение 3.3 Длл собственных функций справедливы следующие оценки: Л(г) С1А;2г2(7г-г)2, (3.9) \fk(r)\ c2k2r(7r-r), (3.10) 1№) с3А;2, (3.11) где с\, С2 и сз некоторые положительные постоянные. Доказательство. Из (3.8) следует, что Л(г) С при к » 1 . Для второй производной справедливо следующее неравенство: 1Ш1 СА;2. Тогда, пользуясь равенствами / ( )= f\r-y)fl;(y)dy, Jo fk(r)= ff Mdy, Jo мы получим остальные оценки (3.9)-(3.10). чтд. Пусть RQ(V, t, А) ядро оператора Ro(X) = (Н0 — Л)-1, Л = і/4, Но - оператор порожденный дифференциальным выражением —J T и граничными условиями (3.2). Лемма 3.1 Ядро Ro(r,t,X) резольвенты Ro{X) имеет вид ЛЬ(г, , A) = G(r, t, A) + ?(r, t, А), (3.12) где I ехр(гг/г) sini/t — ехр(—иг)shut, t r G(r, t: A) = 2ІД , I sini/r ехр(гг4) — shur exp(-ut), t r a , _. shur . . sin ur . . g(r, t, A) = - 3- exp(-i/t) - - 3- ехр(гі/ )+ + wi(t,i/)(cosi/r — chi/r) + U2{t,u){smur — shur), (3.13) где U\(t, u) = — 3 [(sin i/( — 7г) — sh u(t — 7r))(sin uir 4- sh г/7г)— —(cosi/( — 7г) — chf( — 7r))(cos 7r — ch UTT)] , (3.14) 2( 5 ) — — , о , ч f(sinj/( — 7r) — shz/(t — 7r))(cosi/7r — chu7r)-\-4иАФ(и) +(cos u(t — 7г) — ch u(t — 7r))(sin иж — sh U7r)) . (3.15) Доказательство. Функция 1 fx й(х, v) = —g / [sin i/(t — х) — sh z/( — х)] h(t)dt удовлетворяет неоднородному уравнению yW(r)-v4y(r) = h(r), (3.16) (3.17) и условиям у(0) = з/(0) = у"(0) = у" (0) = 0. (3.18) Легко проверить, что функция и(х, v) = й(х, v) + ui(t, и) (sin их — sh их) + + uj2(t и) (cos сп я) (3.19) удовлетворяет уравнению (3.12) и условиям (3.2), где Wi(t,v) = - [ц(7Г, г/)(sІnг/7Г + shl/7г) + гi/(7Г, V) \ -—(cos WK — ch І/7Г) ! , (3.20) 2Ф(і/) 2( ) = — ОДч/ ч [й(7Г, )(C0S2/7T — Chz/7r) — W (7T,I/) . I/ (sini/7r — shi/7r) (3.21) Лемма доказано. С другой стороны, ядро Ro(r, t, А) допускает разложение в ряд fk(r)fk(t) , _ 4 Afc-A ею М,А) = Ж Afc = 4 jfc=l (3.22) Тогда со Ron(rtt,\) = 2 кфп хк-х = G{r,t,X)+gn(r,t,X) ГДЄ9п(гХХ)=д(г Х)- . Простые выкладки показывают, что Ivl _,,,.. „. . . ехр(—ипі) - exp(iisni) . Ron{r, t, Xn) = G(r, t: Xn) H ЇГ-5 sh z/nr -5— sin vnr+ 2vl (-1) + exp(-Z/n7T) {[y?i( , I/„) - P2{t, Vn)r + bkipi(t, Un)] sin VnT 7Г - [ p[(t, un) + /?2(, i n) + ( Pi(t, un) + p2(t, vn)){ Доказательство. Из построения G(r, t, z) следует, что (3.63) С №,м)1 і2 z 4 Ы JtG(r,t,z) Исследуем поведение функции g(r:t, z) на прямой z = Хп + is при п » 1. Пользуясь равенством chy = shy + exp(—у), представим (3.57) в виде g(r, і, A) = Wi(t, v) sin г/г + 2( , v) cos IT — 0 2( , v) exp(—ur)— wi(t, 1/)+ w2(t, i/) + shz/r, (3.64) 1/ Отдельно рассмотрим выражение в квадратных скобках из (3.64) iG(r,t,A)r=o V Wl(t,l/)+W2(t,l/)+dr 2Ф(і/) — G(7T,t, A)(sin 7T + COSI/7T — ЄХр( —І/7Г)) + - G(r,t,X) r=0 /n/. , ч / u , V -І- ІІІ Ц _ (gm j/тг __ cos V1X) ЄХр(— VK)) + iG{r,t,\)\r=n/_. V (sin І/7Г — COS VK + ЄХр( —І/7Г)) , (3.65) ui(t, v) sin vr + 2(, v) cos vr 2Ф(и) L dr + v G(r, t, A) r=0 — G(7r,t,X)(cosu(r — 7г) + sh І/7Г sin IT — chz/7rcosz/r)+ (sh vir cos v(r — 7г) + ch vn sin i/(r — 7г) — sin г/г) — &G(r, t, A) [r=7r V (sin i/(r — 7г) — ch 1/7Г sin vr + sh 1/7Г cos vr) , (3.66) Учитывая, что функция Ф( ) не имеет особенностей при Z = (Хп + is)1/4, и при п $ 1 Ф ((An + is)1/4) = О (ехр({ Де(Лп + is)1/4 + /m(An + is)1/4} тг)) , из (3.59), (3.65) и (3.66) получим следующие оценки: С W2{t,v)\ V (3.67) 1 , ) +U 2(t,v) + dr G{r, t, A) r=0 i/ С exp( Jm I/7T) (3.68) ш\(і, v) sin i/r -f- u)2(t, v) cos i/r С V (3.69) Подставляя (3.67)-(3.69) в равенство (3.56), приходим к неравенству С з Ro(r,t,\n + is) An + is Легко заметить, что d3 С C. Ro(r,t,\n + is) 4 dr2dt Яо(г, t, An + is) An + is Тогда из последних двух неравенств следует утверждение леммы. Лемма 3.7 Если V(r) принадлеэюит классу (3.3), то для нормы \\RQ{Z)V\\ оператора RQ{Z)V имеем оценку: In (1-є)/4 MXn + is)V K + is где {in} - положительная последовательность, такая, что lim 7n = 0. П—+0О Доказательство. Оператор Ron(X)V в банаховом пространстве В рассматривается как интегральный оператор (Ro(\)Vf)(r) = rRo(r,t,\)V(t)f(t)dt, Jo где f ЄВ. Тогда {Ro(k + i8)Vf)(r) = max 0 Г 7Г (Bo(Xn + i )Vf)(r) г2(тг — г) + imK+i )vf){r) (7Г — г) + d2 dr2 (ДЬ(А„ + м)К/)(г) (3.70) По лемме 3.6 имеем (Ro{Xn + is)Vf)(r)\ Г \Ro(r,tX + is)V(t)f(t) 1 Jo С г2Г7Г - г)2 Г Г Г 4 L«/0 7тг-»7 Лп -Ms dt + + С2Г2(7Г-Г) . 3 л 4 гп-г) Г \V(t)f(t)\dt (3.71) ля каждого rj, О г] к. В неравенстве (3.71) рассмотрим один из интегралов стоящих в квадратной скобке, второй аналогичен: ["i?\v{t)№\dt Jo Г (\P2(t)f"(t)\ + pi(t)/ ( ) + Pd( )/( )l) dt Jo Тогда fVf\p2{t)\dt+ /V+1bi( ) ft+ [\+2\po(t)\dt (3.72) Jo Jo Jo in c llf iv{t)mdt+6{7r"t)e y(t)/(f) dt]+ с + \V(t)f(t)\dt, (2+)/4 ,5 следовательно lim 7n = 0. 71—»00 Далее, мы доказываем, что справедлива Лемма 3.8 По любому замкнутому прямоугольному контуру Гп на комплексной плоскости, охватывающему собственные значения Лі, Лг,. , Лп и отстоящему от них на расстояние, не меньшее чем (An+i - Лга)/2, п » 1, І Є N & tr[Ro(z)V}lRo(z)dz = Q, Jrn j tr [Ro{z)V]1 R{z)VRo{z)ds = 0. Используя (3.40), мы покажем, что верна следующая теорема о следах. Теорема 3.2 Пусть в (3.4)-(3.6) 0 1, Й m - минимальное натуральное число, такое, чтот (3+є)(1—є) 1. Тогда справедлива формула следов Е 71=1 то fJ n хп — у v fc=l а (п) = 0, (3.73) (п) где ряд сходится абсолютно, а числа ак равны fc+i ак = (») _ ("І) 2тгг і ztr [Щг)У]к R(z)dz. \г п\-щ Доказательство. Представим ряд (3.40) в виде (3.74) ь=і г=1 fc=l где $? = Ц — f tr № М Т R{z)VRQ{z)dz. (3.75) fc=i m і ПуСТЬ Вп = YTk=l Pm Т0ГДа Вп = ДЛ) = - -- f ztr №(z)V}m R(z)VRo{z)dz. (3.76) 1 n Деформируя контур в последнем интеграле, мы получим, что /+00 (An + is): 00 Вп = 2тгг л то х tr [#o(An + is)V R{Xn + is)VRo(Xn + is)ds. (3.77) Где tr №wvr ад w = f: с №МУіг1д(уД. (3.78) 1=1 (Xi -Xn- is)2 огда из (3.48) следует, что (V\Ro{z)V]m lR{z)Vfh fi) f\Mr)\dr Г ... Г \V(r)Mr,sl,z)\\V(sl)R{)(sl,S2,z)\. Jo Jo Jo, m раз z)\ \V(sm)fi(sm)\dsids2 .. - dm_idsm. (3.79) Согласно (3.3) и (3.79) имеем (V[flb(z)V]m-1JiWV/1,/,) E-E ГІЛМІ / Гй.(оіль(г,»і, ) і r» і. n O у О «0,1 fco=0 km=0 m раз X dkl I I dfcm_1 x X РьМ—г-Щві,s2,z)\... Ipk Sm-i)- r—-R(sm-i,sm,z) dsi1 I dsm-i-1 u m Pfcm(Sm)-; irfl{Sm) ds ds\ds2 -. dm-idsm. (3.80) m Для любых кг = 0,2 (г = 0, т) из леммы 3.6 Получим следующие выражения dk% -j Re(r,t,z) С tr2-fc-(7T-r)2-4e(7r) z,(l-e)/4 и для каждого слагаемого в правой части (3.80) справедливы оценки Г7Г ГТГ ГІГ к0 Уо \fi(r)\drj ...jf r) tfo(r,sbz) m раз dk dfcl I ds\м ds m ь\8т—1і 771) 7 Pfc.n-iCSm-l)- Г /7 ? лКт-1 usm-1 P m(sTO)- u fl(sm) dsids2 . dm-\dsm X r2-fc(7T — r)2_Ak)Si(7r — Si) UI (1- )/4 С Г ZV(7r-r)edr Г... Г \рко(т)\ Jo Jo Jo _ m раз X \РкхЫ\ 812- (7Г-31)2-к 2(7Г-82У NU-)/4 \pkm {sm-i)\ Sm-l2" "1 - Sm-l)2 km-1Sme(lT - Sm) (l-e)/4 x Pfcm(sm) Sm т(тг - sm)2 kml2dSlds2 ... dm dsm. (3.81) Из (3.4)-(3.6) и (3.81) следует (VlRoizW RWVfiJt) _ _ _ _ / І]1+Є fir E E r bn / і».wi r2"+ - r)M Cl2+ X ,m(l-e)/4 fco=0 fcm=0 Z -70 Cl2+ П/ ь .мі m (3.82) X m(l-e)/4 Зг2 кЛЫ - Si)2-kt+dSi Подставляя (3.82) в (3.78), получим, что tr "I тл ЩХп + is)V R(Xn + г5)УЛо(Ап + is) С Xn + is E г2+ (1-5W4 -, (Л/ _ К _ is)2 (3.83) Тогда +00 і str До(А„ + гз)У] Д(А„ + г8) До(Ап + г «) _ r+oo у. Г.2+Є і і J — oo dt, (3.84) причем со л+оо Ш Jx J-oo (A2 + 2)т(1-Є)/8 (An - Afc)2 + t2 k2+ - ft = Й Jo (X2 + t2)-(i-)/8 (An - A,)2 + t2 k2+s I ,+00 E -dt. (3.85) 0 (A + 2)m(l-)/8 (Л„ _ )2 + t2Формулы следов для дифференциальных уравнений с неограниченными коэффициентами
Асимптотика спектра дифференциального уравнения Бесселя
Формулы следов для дифференциальных уравнений Бесселя
Формулы следов для дифференциальных уравнений четвертого порядка
Похожие диссертации на О формулах следов для обыкновенных дифференциальных уравнений с особенностями
