Характеризация G-пространств Агеев, Сергей Михайлович

Введение к работе

Актуальность темы. Диссертация посвящена характеризации не-котороых классов топологических групп преобразований или, по-другому , G-пространств.

Под G-пространством понимается топологическое пространство X вместе с фиксированным действием компактной группы G . Это понятие призвано формализовать интуитивную идею о внутренней симметрии топологических пространств. В соответствии с этим естествен подход, основанный на изучении того, как те или иные топологические свойства преломляются в присутствии действия компактной группы. Так, например, Дж.Вестом И] была поставлена общая задача перенесения основ теории Q-нногообразий в эквивариантную область. Интерес к этой задаче кроме всего прочего был вызван тем, что в построенной для конечных групп М.Стейнбергером и Да.Вестом С2] теории О-много-образий были установлены все основные теоремы неэквивариантной теории за исключением теоремы о триангуляции. Не произойдет ли очередного ухудшения свойств таких многообразий при переходе от конечных групп к группам Ли , к произвольным компактным группам ? Поэтому и была сформулирована следующая проблема : " Верно ли, что Кх<в есть -многообразие, если К есть локально компактный G-ANR ? ".

Описывая круг вопросов и проблем, связанных с данной работой, подчеркнем важную роль инъективных объектов ( н эквивариантных экстензоров ) различных эквивариантных категорий, которые также существенны при характеризации эквивариантных многообразий, как и обычные экстензоры при характеризации топологических многообразий.

Основы этой теории были заложены А.Глиссоном [33, сумевшим выделить инъективные объекты категории G-пространств в классе конечномерных линейных G-пространств и связать их с понятием среза

[11. Open problem In topology. North-Holland, Amsterdam, 1990. [21. Stelnberger M..West J. On. the geometric topology of localy linear actions of finite groups: Geometric and algebraic topology.-Banach Center Publ.,18,PWN-Pollsh Scientific Publishers, Warszawa, 1986, p.181-204.

[3]. Gleason A. Spaces with a compact Lie group of transformations// Froc.A.M.S.- 1950. - V.I.- P.35-43.

G-пространства. Р.Пале [4] исследовал важное в классификации G-пространств понятие n-универсального пространства для структур данного орбитного типа, которое есть не что иное как абсолютный экстензор в некоторой изовариантной категории.

Остановимся на проблеме характеризации эквивариантных экстен
зоров через топологические свойства мноаеств Н-неподвижных точек.
Сохранение любым эквквариантвым отображением 1:Ж >Ч7

Н-неподвижных точек ( то есть f (Х¹⁵)^ ) влечет необходимое условие "АаШІЕ" для того, чтобы метрическое G-пространство Ж принадлежало классу G-ACN1E . В связи с этим на протяжении двух десятилетий ставились и частично решались вопросы об обращении этого необходимого условия [5-8] . Особенностью полученных здесь результатов являлось условие конечности, налагаемое на количество ор-битных типов. Как выясняется в данной работе в такой постановке задача характеризации инъективных объектов произвольной орбитной структуры неразрешима, ибо если XeG-AlO! , то, в общем случае, бесконечное семейство {X^й! H

Целесообразность изучения эквивариантных экстензоров кроме всего прочего диктуется потребностями теории топологических экстензоров. Так, например, при изучении экстензорных свойств нормальных функторов значительный интерес представляет вопрос о сохранении эквивариантных экстензоров орбитным функтором ( который сам к числу нормальных не принадлежит ) .

Еще одним мощным стимулом к развитию теории G-просгранств яв-

[43. Palais R. The classification of G-spaces.Mem.Amer.Math.Soc. No.36.Providence E.I.,1960.

[5]. Jaworowski S. Extensions of G-maps and Euclidean G-ret-racts // Math.Zeitschrift . - 1976.- V.146 .- P.143-148 . [6]. Jaworowski J. Extension properties of G-maps // Proc. Inter. Conf. Geometric. Top., Warszawa .- 1980 .- P. 209-213. [7]. Jaworowski J. An equlvariant extension theorem and G-ret-racts with a finite structure // Manuscr.Uath. - 1981. - V.35.-P.323-329.

18). Смирнов Ю.М. Множество Б-нелодвшсшх точек - абсолютный экстензор // Матвм. сборн.- 1975.- T.27.J61.- С.85-92.

ляется известная ( но до сих пор не доказанная ) гипотеза Гильберта-Смита, равносильная утверздению о том, что группа целых р-ади-Ч9СКИХ чисел А^ не может свободно действовать на конечномерном

топологическом многообразии N [9] . Неизвестен ответ в этой гипотезе и в том случае, если расширить класс конечномерных многообразий до клвсса конечномерных ANR-компактов. Однако далее наступает предел для расширения : как показал А.Н.Дранишников [10] любая нульмерная компактная группа ( в том числе и А ) может свободно

действовать на п-мэрном менгеровском компакте ц^п , который близок к классу АШ-пространств. В той ке работе были охарактеризованы свободные менгеровские компакты с конечной действущей группой.

Менгеровский компакт ц^п еще раз проявил себя в гипотезе Гильберта-Смита, когда была установлена тесная связь этой гипотезы с существованием эквквариантных отображений между ментеровскими компактами |iⁿ⁺¹ и |х^п , на которых свободно действует группа А^ .

В связи с этил особый интерес приобретают задачи о характеризащш свободных менгеровских компактов с бесконечной нульмерной действущей группой и о существовании подобного рода эквивариантных отображений.

Целью работы является

1. построение теории -многообразий с произвольной компактной

действущей группой ;

1. исследование и характеризация ннъективных объектов различных эквивариантных категорий ;

2. характеризация и построение п-универсального G-прост-ранства для структур данного орбитного типа ;

3. установление связи гипотезы Гильберта-Смита с существованием эквивариантных отображений мекду свободными ментеровскими компактами ;

4. построение и характеризация полного аналога менгеровского

t9]. Bredon G.E., Raymond 1., Williams R.F. p-Adic groups transformation // Trans. AMS. - 1961. - 7. 99. - P. 488-498. [10]. Дранишшков A.H.O свободных действиях нульмерных компактных груш//Изв.АН СССР . Серия магем.- 1988.- Т.52, & 1.- С.212-228.

универсального компакта в категории свободных пространств.

Основные методы исследования. В диссертации применяются как известные методы исследования в теории топологических групп преобразований, в теории многообразий, моделируемых гильбертовым кубом и менгеровскими компактами, так оригинальные, новые методы. К числу последних относятся: техника редуцирования разнообразных эк-вивариантных задач к конечномерной теорема Майкле о селекции, техника согласованных срезов, позволякщая любое G-пространство с любой степенью точности аппроксимировать G-пространством, порожденным семейством функций склеек. В четвертой главе предложена каноническая конструкция свободного действия группы на менгеровском компакте.

Научная новизна. Все основные результаты работы новые. В частности :

1. для компактных групп Ли решена проблема Р.Пале об описании и построении классифицирущих пространств для G-пространств с произвольной орбитной структурой;

2. решены проблемы Веста о характеризации -многообразий для произвольной компактной метрической группы;

3. охарактеризованы выпуклые G-компакты в эквивариантном
гильбертовом пространстве;

4. гипотеза Гильберта-Смита редуцирована к проблеме существования зквивариантных отображений между свободными менгеровскими компактами ;

5. охарактеризованы свободные менгеровские компакты ;

6. получено существенное продвижение в проблеме описания эк-вивариантных экстензоров с произвольной орбитной структурой;

7. решены вопрос о сохранении орбитшм функтором эквивариант-ных экстензоров и тесно связанная с ним задача Щешша о продолжении действия.

Практическая и теоретическая ценность.

Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты и разработанные методы могут найти применение в геометрической топологии, в теории топологических групп преобразований, в

гомотопической топологии, в функодональном анализе. Они могут служить основой для спецкурсов и спецсеминаров.

Апробация работы. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на Бакинской и Киевской международных топологических конференциях ( Баку, 1987 ; Киев, 1992 ), VI Тираспольском симпозиуме по топологии и ее применениям ( Тирасполь, 1991 ) , на сешшарэ по геометрической топологии в ШРАН им. Стеклова, на общемосковском топологическом семинаре, на научно-исследовательских семинарах по топологии в МГУ имени М.В.Ломоносова, на семинаре Ч.Бесаги и Х.Торунчика в Институте математике ПАН ( Варшава, 1990, 1992 ) и др..

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 16 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, которые делятся в общей сложности на 18 параграфов, а также списка основных понятий и обозначений и списка литературы. Полный объем диссертации 223 страницы. Библиография со-дерг-сит 75 наименований.