Введение к работе
Актуальность темы Одним из важнейших разделов современной общей топологии является теория кардинальноэначных инвариантов топологических пространств. Среди этих инвариантов вторым по значимости (после веса) является плотность. В определяемой плотностью иерархии пространств центральное место занимают пространства наименьшей бесконечной плотности, т.е. пространства, которые содержат счетные всюду плотные подпространства. Исторически сложилось так, что эти пространства называются сепарабельными, хотя слово "сепарабельный" в буквальном переводе означает "отделимый" и непосредственного отношения к плотности не имеет.
Сепарабелыше пространства играют видную роль не только в общей топологии, но и в других разделах математики, где возникают топологические пространства как инструмент или объект исследований. Наличие счетного плотного множества в данном топологическом пространстве зачастую позволяет получить дополнительную информацию об этом пространстве. Так сепарабельное метризуемое пространство имеет счетную базу, сепарабельный упорядоченный континуум метризуем, сепарабельное регулярное пространство имеет не более чем континуальный вес и т.д.
Класс сепарабельных пространств замкнут при переходе к расширениям этих пространств. В то же время, обратная операция (переход к всюду плотному подпространству) выводит за рамки сепарабельных пространств. В 1963 г. американский тополог Комфорт [1] построил не сепарабельное пространство (даже топологическую группу), Стоун-Чеховское расширение которого является сепарабельной топологической группой. В связи с этим возник вопрос:
Какие вполне регулярные пространства имеют сепарабелыше бикомпактные расширения?
другое направление исследований свойства сепарабельности и его обобщений связано с общей теорией непрерывных отображений. В этой теории в последние годы наметилась тенденция рассматривать непрерывное отображение как объект, более общий, чем топологическое пространство.
При этом, топологические пространства отождествляются с их постоянными отображениями. Оказалось, что перенесение фактов и даже понятий, касающихся топологических пространств, на непрерывные отображения отнгщь не носит автоматический характер. Большая работа в этом направлении проделана Б. А. Пасынковым и его учениками. Так, в работе [23 Б.А.Пасынков ввел тихоновские отображения и для них построил:
бикомпактификации того же веса, что и они саки (аналог георемы А.Н.Тихонова): бикомпактификации, являющиеся аналогом одноточечных бикомпактификации П.С.Александрова; а также ввел и изучил понятия локально бикомпактного, полного по Чеху, паракомпактного, предметриэуемого и т.д. отображения.
Третье направление исследований данной работы связано с теорией ковариантных функторов, действующих в категории Тор всех топологических пространств и непрерывных отображений, а также в некоторых ее подкатегориях. Общий подход к изучению ковариантных функторов был предложен Е.В.Щепиным [3]. Он, в частности, выделил ряд естественных и малоограничительных свойств функторов и дал определение нормального функтора.
На Пражском топологическом симпозиуме в 1981г. В.В.Федорчух [4] поставил несколько общих проблем в теории ковариантных функторов, определивших новые направления исследований в данной области топологии. В частности,как
1. W.W. Confort . An example in density character. Archiv der
Math. 1963, V. 14, pp.422-423.
2. Б.А.Пасынков. О распространении на отображения некоторых
понятий и утверждений, касающихся пространств. 'Отображения и
пространства". К. . МГУ .1984, с. 72-102 .
3. Е.В.Цепин. Функторы и несчетные степени компактов.
УМНЛ981,т.36,вып. 3,с.3-62.
4. В.В.Федорчух. Ковариантные. функторы в категории компактов,
абсолютные ретракты и -многообразия, УМН.1981,т.36,вып. 3,с.117-195.
ведут себя те или иные свойства пространств при воздействии на них различными ковариантными функторами?
Цель работы. Диссертация посвящена исследовании слабо сепарабельных пространств и их бикомпактных расширений, сепарабельных и слабо сепарабельных отображений, поведению сепарабельности и слабой сепарабельности пространств при воздействии на них ковариантными функторами.
Методы исследования. В диссертации используются методы теории кардинальноэначннх инвариантов, теории непрерывных отображений и теории ковариантных функторов.
Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты.
-
Доказано, что слабо сепарабельные тихоновские пространства и только они имеют бикомпактные сепарабельные расширения.
-
Выделены классы пространств, в которых свойства сепарабельности и слабой сепарабельности совпадают.
3. Введены понятия сепарабеяьного и слабо
сепарабельного отображения. Доказано, что произведение
континуума (слабо) сепарабельных отображений (слабо)
сепарабельно.
4. Доказано, что свойства сепарабельности и слабой
сепарабельности сохраняются функторами, близкими к
нормальным.
Научная и практическая пенность. Диссертационная
работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут найти применение в общей топологии, в частности, в теории непрерывных отображений и теории ковариантных функторов. Результаты диссертации могут быть полезны специалистам, работающим в функциональном анализе и топологической алгебре.
Апробация работы Результаты докладывались на кафедральном семинаре по общей топологии и геометрии в Московском Государственном Университете им. М.В. Ломоносова, яа научно-исследовательском семинаре "Обратные спектры и их приложения" под руководством профессора В.В. Федорчука, па научном семинаре кафедры "Геометрии".
Ташкентского государственного педагогического института имени Низами.
Публикация. По теме диссертации опубликовано 6 работ.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех параграфов и списка литературы. Текст изложен на 62 страницах, список литературы содержит 40 наименований.
