Содержание к диссертации
Введение
I Топологические характеристики уплотняющих операторов на финслеровых многообразиях 20
1.1 Конструкция топологических характеристик 20
1.2 Пример: Многообразие С1- кривых на римановом многообразии 36
II Уравнения нейтрального типа на многообразиях. Оператор сдвига и его топологические характеристики 41
2.1 Функционально — дифференциальные уравнения нейтрального типа на римановом многообразии 42
2.2 Оператор сдвига по траекториям ФДУН 48
III Вычисление числа Нильсена для операторов на функциональных многообразиях 55
3.1 Число Нильсена для одного оператора в многообразии кривых на торе 56
3.2 Оператор с ненулевым числом Нильсена, имеющий нулевое число Лефшеца 59
3.3 Интегральные уравнения на торе 61
3.4 Вычисление топологических характеристик одного интегрального оператора на многообразии 66
Литература 70
- Пример: Многообразие С1- кривых на римановом многообразии
- Оператор сдвига по траекториям ФДУН
- Оператор с ненулевым числом Нильсена, имеющий нулевое число Лефшеца
- Вычисление топологических характеристик одного интегрального оператора на многообразии
Введение к работе
Изучение топологических характеристик бесконечномерных операторов (вполне непрерывных, слабо непрерывных, монотонных, уплотняющих, фредгольмовых и др.) является одним из основных направлений нелинейного функционального анализа и в течение ряда последних десятилетий активно развивается во всем мире. Рассмотрение отображений нелинейных пространств, в частности, построение и изучение их характеристик, связанных с существованием неподвижных точек, является существенно более сложной задачей, чем для отображений линейных пространств, и поэтому представляет особый интерес. Такие характеристики рассматривались в работах Ф. Браудера (F. Browder) [18], X. Фен-ске (C.Fenske) [21], Г. Фурнье (G. Fournier) [22], Ю.Г. Борисовича, Ю.Е. Гликлиха [10,16,17,23] и др. В них изучены локально компактные отображения, имеющие компактную итерацию или имеющие компактный аттрактор, слабо непрерывные и другие отображения топологических пространств, которые могут быть вложены в некоторое банахово пространство, как окрестностный ретракт.
Выделим особо теорию уплотняющих операторов в бесконечномерных линейных пространствах, созданную в свое время в трудах Б.Н. Садовского [2], Р. Нуссбаума (R. Nussbaum), В. Петришина (W. Petryshin), Ю.Г. Борисовича, Ю.И. Сапронова, М.И. Каменского [11] и многих других, поскольку она существенным образом опирается на понятие выпуклого замыкания и поэтому не перено-
сится непосредственно на отображения нелинейных многообразии.
В работах Ю.Г. Борисовича и Ю.Е. Гликлиха [16,17,23] были построены топологические характеристики отображений финсле-ровых многообразий, уплотняющие относительно мер некомпактности Куратовского и Хаусдорфа относительно внутреннего (фин-слерова) расстояния, которые (в отличие от общих мер некомпактности) удается корректно задать на многообразии. Для того, чтобы преодолеть трудность, связанную с некорректностью понятия выпуклого замыкания на нелинейных многообразиях, в отмеченных работах Ю.Г. Борисовича и Ю.Е. Гликлиха на финслерово многообразие накладывалось дополнительное требование, чтобы оно могло быть изометрично вложено в некоторое банахово пространство, как окрестностный ретракт.
Построенные характеристики применялись к исследованию широкого класса операторных уравнений на многообразиях. Однако в последнее время были найдены примеры операторов (например, оператор сдвига по траекториям функционально-дифференциального уравнения нейтрального типа), действующих на многообразиях, для которых условие изометричности вложения в банахово пространство не выполняется. Это послужило причиной для дальнейших исследований в данном направлении.
Отметим также, что для уплотняющих отображений многообразий были введены и использовались топологические характеристики типа индекса неподвижных точек и числа Лефшеца, од-
нако не был рассмотрен инвариант типа числа Нильсена.
Естественной областью для приложений отмеченных выше топологических методов являются различные интегральные и дифференциальные уравнения, в частности, функционально-дифференциальные уравнения. Отметим в связи с этим работы школы Б.Н. Садовского (и, в частности, работы М.И. Каменского) по использованию топологического индекса уплотняющих операторов в теории функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа (ФДУН). Однако, если теория обыкновенных дифференциальных уравнений (ФДУ) на многообразиях, начатая, по-видимому, с работы В.М. Оливы (W.M. Oliva) [30] 1969 г., активно развивалась, исследования ФДУ нейтрального типа на многообразиях не проводились.
Теория числа Нильсена в настоящее время получила широкое развитие в работах Р.Ф. Брауна (R.F. Brown) [19,20], X. Шер-мер (H.Schirmer) [31,32], П. Вонга (P. Wong) [33,34], Л. Гонсалвеша (L.Goncalves) [24,25,26], Д.В. Аносова [1], Т.Н. Фоменко [13] и многих других. Особый интерес представляют приложения числа Нильсена к исследованию различных интегральных и дифференциальных уравнений в неодносвязных областях евклидова пространства, среди которых необходимо отметить цикл работ А.Ю. Борисовича, 3. Кухарского (Z. Kucharski) и В. Марзантовича (W. Marzantowicz) [14,15] где, в частности, получены теоремы существования нескольких решений рассматриваемых уравнений, кото-
рые не удается получить без использования числа Нильсена. Другой естественной областью для приложения этих методов является теория аналогичных уравнений на неодносвязных гладких многообразиях, однако на эту область методы не были перенесены.
В диссертации конструкция топологических характеристик уплотняющих операторов на финслеровых многообразиях распространена на случай, когда многообразие может быть (не обязательно изометрично) вложено в некоторое банахово пространство, как окрестностный ретракт, при условии, что финслерова норма и сужение нормы объемлющего пространства в касательных пространствах являются эквивалентными.
Теория ФДУН перенесена на римановы гладкие многообразия. В частности, изучен оператор сдвига по траекториям ФДУН, на основе развитых выше топологических методов получены теоремы о существовании его неподвижных точек и, как следствие, о существовании периодических решений ФДУН на компактных многообразиях.
Построено число Нильсена для операторов на пространствах кривых в неодносвязном компактном многообразии и этот инвариант использован для доказательства существования нескольких решений операторных уравнений.
В первой главе строится теория топологического индекса для уплотняющих отображений финслеровых многообразий. Понятие уплотняемости формулируется в терминах мер некомпактности
Куратовского и Хаусдорфа относительно внутреннего (финслеро-ва) расстояния. Предполагается, что многообразие может быть вложено в некоторое банахово пространство, как окрестностный ретракт, и при этом финслеровы нормы и сужение нормы объемлющего пространства на касательных пространствах к многообразию эквивалентны.
Пусть Л4 - финслерово многообразие. Обозначим через р/ внутреннее расстояние в Л4, превращающее его в метрическое пространство. Рассмотрим меры некомпактности Куратовского о;/ и Хаусдорфа хі на М. относительно р/. Для простоты изложения будем говорить о мере некомпакности ф (например, фі и т.д.), считая, что это мера некомпактности Куратовского или Хаусдорфа.
Вложим Л4 посредством вложения г в банахово пространство с нормой || ||, как окрестностный ретракт, и пусть сужение ||-|| на касательные пространства эквивалентно финслеровой норме. Обозначим через Фе соответствующую меру некомпактности относительно внутреннего расстояния, порожденного сужением || || на касательные пространства, а через т/^.ц соответствующую меру некомпактности в Е.
Показано, что если F уплотняет с константой q относительно фі, то он уплотняет с другой константой q относительно Фе- Мы накладываем предположение, что обе эти константы меньше 1. Это выполняется, например, для оператора сдвига по траекториям ФДУН (см. 2.2).
Обозначим через U трубчатую окрестность М в Е. Введем F : U —> М. С І7, формулой F = F о R. Зададим число Q > 1 такое, что gQ < 1. Показывается, что для любой точки т Є Л4 существует шар Вт С U достаточно малого радиуса с центром в га, для которого верно следующее:
Утверждение 1.1.2. Отображение F уплотняет на Вт относительно г^ц.у с константой qQ < 1.
Пусть множество О С Л4 имеет конечный диаметр относительно расстояния pi и F : М. —> Л4 уплотняет с константой q < 1 относительно -0/. Рассмотрим множество F0 = F0 =
П Ffc(0), где Ffc - k-я итерация F. Jb=l
Лемма 1.1.1 Множество FQ - компактно. Следствие 1.1.1 Если F(A4) имеет конечный диаметр относительно pi, то FA4 компактно.
Заметим, что множество F0 (соответственно, F^Ad) содержит все неподвижные точки F из в (из всего АЛ). Поскольку оно компактно, его можно покрыть конечным числом шаров, для которых выполняется Утверждение 1.1.2. Объединение этих шаров обозначим Vb(Q). По построению, на границе <9Ув(0) нет неподвижных точек F и F уплотняет на Ув(6) с константой qQ < 1. Таким образом, для множества <9Ув(0) корректно определено вращение ^(1 — F, дУв(0)) векторного поля I — F .
Аналогичным образом, если F(A4) имеет конечный диаметр, строится множество Vb(M), содержащее FA4, на границе кото-
рого нет неподвижных точек F и такое, что на нем F уплотняет с константой q~Q < 1. То есть на дУв(Л4) также корректно определено вращение векторного поля I — F.
Определение 1.1.7. (і) Число ^{1 — Р,дУв{)) назовем индексом indp отображения F на О; (ii) число j(I — F,8Vb{A4)) назовем числом Лефшеца Ар отображения F на Л4. Лемма 1.1.2. Ар не зависит от выбора U, R, и вложения. Лемма 1.1.3. Пусть Л4\ - подмногообразие М., такое что F : М. -* М.\. Тогда число Лефшеца Ар = Ар\м , где (F\mx) ~ сужение F на М\.
Теорема 1.1.3. Число Лефшеца сохраняется при гомотопии в классе уплотняющих отображений.
Теорема 1.1.4. Если Ар ф 0, то F имеет в М неподвижную точку.
Для indp имеют место утверждения, аналогичные Леммам 1.1.2 и 1.1.3 и Теоремам 1.1.3 и 1.1.4.
Для введенных выше многообразий и отображений определим число Нильсена, следуя общей схеме построения этого инварианта.
Пусть Л4 - связно, но не односвязно. Путем называется непрерывное отображение отрезка [0,1] вМ.
Определение 1.1.9. Неподвижные точки х\ и Х2 отображения F : М. —> М. принадлежат одному классу эквивалентности Нильсена, если существует некоторый путь w, соединяющий эти точки, такой что w о F^w)-1 = 0 в -їїі(Л4).
Определение 1.1.10. Класс эквивалентности Нильсена неподвижных точек X называется существенным, если ind(F,X) ф О и несущественным - в противном случае.
Определение 1.1.11. Число существенных классов отображения называется числом Нильсена и обозначается Np. Лемма 1.1.4. Число Нильсена сохраняется при гомотопии в классе уплотняющих отображений.
В 1.2 мы рассматриваем многообразие С^-кривых на компактном многообразии и задаем на нем финслерову метрику с помощью конструкций римановои геометрии. Затем мы показываем, что это многообразие может быть вложено в банахово пространство С1-кривых в некотором евклидовом пространстве большой размерности таким образом, что сужение нормы объемлющего пространства на касательные пространства к многообразию С^-кривых эквивалентно финслеровой норме. Материал этого параграфа является основой для конструкций 2.2.
Пусть М - компактное риманово многообразие. По теореме Нэша его можно изометрично вложить в евклидово пространство RN, где iV - достаточно велико, как окрестностный ретракт.
Рассматривается С1^—h,0],M) - банахово многообразие С1-кривых в М, определенных на интервале [—h,0] и С([—h, 0],М) - банахово многообразие непрерывных кривых, определенное на некотором интервале.
Определена внутренняя финслерова метрика на Cl([—/і,0],М),
построенная из норм в ТХ^С1{{—/г, 0], М):
\\Y(-)\\f= sup ||У(*)||+ sup ||У(«)||, (1.2.1)
te[-hfl] te[-h,0] ut
где jftY(t) - ковариантная производная связности Леви-Чивита на М векторного поля Y(t) вдоль х(-). Сужение нормы объемлющего пространства на касательные пространства к C1([—h,0],M) описывается в виде
\\У(-Ш= sup ||У(*)||+ sup ||(ГІУ(*))'||, (1.2.3)
tG[-h,0] t[-h,0]
где (TiY(t))' производная кривой TiY(t) в RN.
Получена следующую локальная оценка на нормы:
\\Y(-)\\f <\\Y(-)fE' <\\Y(-)\\f(l + Ek). (1.2.6)
Последнее неравенство означает, что нормы || ||^ и || ||^ эквивалентны на областях с ограниченным диаметром относительно расстояния pi.
Вторая глава посвящена теории функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа (ФДУН) на многообразиях. В 2.1 строится теория ФДУН на конечномерных полных римановых многообразиях.
Пусть М - полное риманово многообразие конечной размерности и ТМ его касательное расслоение. Рассмотрим банаховы многообразия непрерывных кривых С([—h, 0], М) и С([—h,0],TM) в М и ТМ. Введем отображение f : І х С([-/і,0],ТМ) -> ТМ такое, что для любого у(-) Є С([—/і,0],ТМ) выполнено условие:
/(, у(-)) Є Т^ущМ, где / некоторый интервал вещественной прямой (в частности, может быть, целая вещественная прямая), называемое функциональным векторным полем нейтрального типа (ФВПН).
Для простоты будем предполагать, что / целая вещественная прямая. В различных задачах, которые рассматриваются в этой главе, / удовлетворяет некоторым дополнительным условиям: Условие (і) ФВПН ограничено, то есть для некоторой константы С > О и любого у(-) Є С([—/і,0],ТМ), t Є I выполнено неравенство \\f{t,y(-))\\ < С, где норма порождена римановой метрикой в М.
Отметим, что у(-) Є С([—/і,0],ТМ) представимо в виде y(t) = (x(t),X(t)) , где х(-) Є С([—h,0],M), a X(t) - непрерывное векторное поле вдоль x(t).
Условие (ii) Для любой непрерывной кривой х(-) Є С([—/і,0],М) / удовлетворяет условию Липшица по третьему аргументу, то есть, для некоторой константы С\ > 0 выполнено неравенство
||/(t,z(-),Xo(-)) - ДМ(-)Л(-))Н < C-ірГо - *ilb
где С\ не зависит от t и х(-).
Условие (iii) Отображение f : I х С([—h,0],TM) —> ТМ является С1 - гладким отображением.
Для непрерывной кривой y(t) в ТМ, t Є [—h, Т] (Т > 0) - некоторое число), введем семейство кривых yt(0) в С([—/і,0],ТМ) стандартным образом по формуле yt(@) = y{t + 6), в Є [—/i;0], t Є [0,T].
Семейство yt{0) является непрерывной кривой в С([—h, 0],ТМ),
t Є [0,Т]. Тогда f(t,yt), t Є [0,Т] непрерывная кривая в ТМ.
Условие (iv) Для ограниченного множества Y С С([—/і,0],ТМ)
такого, что ttY компактно в С([—/і, 0],М), множество кривых
{f(t,Vt)\y Є ^} компактно в С([0,Т],ТМ).
Условие (v)(Уcлoвиe склейки) Для кривой x(t) Є С!([—/г,0],М)
быполкемо
я'_(0) =/(0, *(),*'())>
где #'_(0) - производная слева в точке ноль.
Отметим, что (v) является условием не на /, а на кривую х(-). Условие (vi) ФВПН / - ш-периодическое, то есть, для некоторого ш > 0, любого у(-) Є C([—h,0],TM) и любого t Є R выполнено равенство: /(і + uj,y(-)) = f(t,y(-)).
Для С1 - кривой x(t), t Є [—h,T], Т > 0 введем стандартные обозначения: xt{9) = x(t + 0), x't(6) = x'(t + $), где в Є [—h, 0].
Рассматривается следующая задача:
x'{t) = f{t,xux't),t>0. (2.1.1)
Определение 2.1.2 Уравнение (2.1.1) называется функционально-дифференциальным уравнением нейтрального типа (ФДУН) на римановом многообразии М, порожденным ФВПН /. С1 -кривая x^(t), t Є [—h,T], для некоторого Т > 0 называется решением (2.1.1) с начальным условием ір, если x^(t) =
Отметим, что задача (2.1.1) с начальным условием (р корректна только в случае, если кривая ip(t) удовлетворяет условию (v). Для того, чтобы эта задача была корректна при любой начальной кривой (р, мы используем стандартный метод (см., например, [2]) -вместо уравнения (2.1.1) рассматриваем уравнение
x'(t) = f(t,xt,x[) + vr,(t)[x'_(0) - f(0,x0,x'0)},t > О, (2.1.2)
где rj > 0 - достаточно малое число, vv(t) = 1 — i)~lt при t Є [0, rj\ и vv(t) = 0 при t Є (?7, оо). Решения (2.1.2) называются обобщенными решениями уравнения (2.1.1).
Теорема 2.1.1. В условиях (г) - (гіг), для любой кривой
В 2.2 изучается оператор сдвига по траекториям ФДУН на компактном римановом многообразии. Показано, что он является уплотняющим относительно внутренних мер некомпактности Ку-ратовского при специальном выборе финслеровой метрики на многообразии СЯ-кривых и что для него корректно определено число Лефшеца. Доказывается теорема о равенстве числа Лефшеца оператора сдвига эйлеровой характеристике компактного многообразия.
Пусть М - компактное риманово многообразие и пусть выполнены Условия (i)-(iii). Тогда для любой начальной кривой (р существует единственное обобщенное решение x^it) задачи (2.1.1),
непрерывное по ip. Зададим ш > 0. Определение 2.2.1. Оператор
Uu : C\[-h,0],M) ^ C\[-h,0],M),
переводящий кривую ір в кривую х^, называется оператором сдвига вдоль решения ФДУН.
Если выполнено Условие (vi), то неподвижные точки оператора сдвига иш и только они являются ^-периодическими решениями (2.1.1).
Будем считать, что Условия (i)-(iv) выполнены. Преобразуем метрику (1.2.1) в Сг([— /i,0], М), следующим образом
\\Y(-)\\f = sup е'||У(і)|| + sup е'||У(<)|| (2.2.1)
te[-h,o] te[-hfi] at
и далее через pi будем обозначать функцию финслерова расстояния, порожденную (2.2.1), а через й/ - соответствующую ей меру некомпактности Куратовского. Аналогичным образом, преобра-'
зуем и (1.2.3)
\\Y(-)\\f = sup е«||У(*)||+ sup е*\\(Ті(і))'\\ (2-2.2)
te[-h,0] t[-hfi]
и обозначим через ссе соответствующую меру некомпактности Куратовского.
Лемма 2.2.1. Если ш >h, то для ограниченного множества О в Cl{[—h,0], М) множество иш(Г1) компактно в C1([—h,0],M).
Рассмотрим случай, когда ш < h. Для точки —h + ш Є [—/і, 0] рассмотрим сужение кривых из C1([—h,0],M) на интервалы
[—/і, — h-\-uj} и [—h-\-oo, 0]. На многообразиях кривых, определенных на этих интервалах, можно определить финслерову метрику, расстояние и меры некомпактности Куратовского. Обозначим эти меры некомпактности через а^ь-ь+^О,) и а^+^о^П), соответственно.
Лемма 2.2.2. Для ограниченного множества Q С C1([—h,0],M) выполнено равенство:
й7(П) = тах(й[_л_л+ы](Ю),й[_л+„)0](П)).
Лемма 2.2.3. Пусть си < h и П - ограниченное множество в C\[-h,0],M). Тогда щи^П) < е^йДП).
Для 6іе имеет место утверждение, в точности аналогичное Лемме 2.2.3. Значит для уплотняющего относительно cxj и й^с константой, меньшей 1, оператора иш при выполнении условия (і) определено число Лефшеца.
Теорема 2.2.2. Число Лефшеца АЧш равно Эйлеровой характеристике х(М).
Следствие 2.2.1.Пусть х(М) Ф 0 и f удовлетворяет Условиям (i)-(iv) и (иг). Тогда (2.1.1) имеет ш - периодическое решение.
В Главе 3 рассмотрены четыре примера, в которых вычислено число Нильсена операторов на функциональных многообразиях. Отправной точкой для материала этой главы послужили работы А.Ю. Борисовича, 3. Кухарского (Z. Kucharski) и В. Мар-зантовича (W. Marzantowicz), в которых число Нильсена применялось для доказательства существования нескольких решений инте-
гральных и других уравнений в неодносвязных областях векторных пространств. Естественной областью для применения этого метода являются также соответствующие уравнения на неодносвязных многообразиях. Мы используем число Нильсена, построенное в Главе 1.
В 3.1 и в 3.3 операторы действуют на многообразии непрерывных кривых на двумерном торе Г2. В 3.2 и 3.4 операторы действуют на непрерывных кривых в некотором специальном многообразии М, которое рассматривалось Л.Гонсалвешом (L.Goncalv-es) и П. Вонгом (P. Wong) в [25, 26].
В 3.1 оператор является суперпозицией оператора сдвига по траекториям ФДУ и специального конечномерного отображения на торе. В 3.2 оператор является суперпозицией оператора сдвига по траекториям ФДУН и конечномерного оператора h : М —» М, введенного Л.Гонсалвешом (L.Goncalves) и П. Вонгом (P. Wong) в [25,26]. В этих случаях показано, что числа Лефшеца и Нильсена бесконечномерных операторов равны соответствующим числам Лефшеца и Нильсена конечномерных отображений.
В 3.3 и в 3.4 исследуются уравнения интегрального типа. В 3.3 для интегрального оператора
і u(t) = J Ki(t,s,u(s),v(s))Sv(s) ds
(3.3.1),
v(t) — J K2(t,s,u(s),v(s))5u(s)ds
на торе Г2 доказана корректность существования числа Нильсена и показано, что оно равно 2.
Следствие 3.3.1 Система уравнений (3.3.1) наТ2 имеет по крайней мере два решения.
А.
В 3.4 рассмотрен вполне непрерывный оператор h о вш в С(/, М), где / = [0,о»], и уравнение интегрального типа на многообразии М
m(t) = hSum(t), (3.4.3)
где оператор интегрального типа с параллельным переносом 5Ш =
5oTw : С(1, М) —» С(/, М) ранее был введен Ю.Е. Гликлихом (см.,
например, [10,16,17]).
Теорема 3.4.1 Число Лефшеца оператора hoSu равно нулю, число
Нильсена оператора ho S^ равно 2.
Следствие 3.4.1 Уравнение (3-4-3) имеет на М по крайней мере
два решения.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [4]-[9].
Пример: Многообразие С1- кривых на римановом многообразии
В этом параграфе мы рассматриваем многообразие С1-кривых на компактном многообразии и задаем на нем финслерову метрику с помощью конструкции римановои геометрии, оатем мы показываем, что это многообразие может быть вложено в банахово пространство С1-кривых в некотором евклидовом пространстве большой размерности таким образом, что сужение нормы объемлющего пространства на касательные пространства к многообразию С1-кривых эквивалентно финслеровой норме. Материал этого параграфа является основой для конструкций 2.2. Пусть М - компактное риманово многообразие. По теореме Нэша [29] его можно изометрично вложить в евклидово пространство RN, где iV - достаточно велико, как окрестностный ретракт. Обозначим через г : М — RN указанное вложение и через Ті - касательное отображение. Заметим, что все касательные пространства к RN канонически изоморфны самому RN и поэтому будем рассматривать Ті как отображение, действующее из ТМ в RN. Рассмотрим С1([—/і,0],М) - банахово многообразие С1 - кривых в М, определенных на интервале [—/i,0] И С([—/г,0],М) - банахово многообразие непрерывных кривых, определенное на некотором интервале. Для кривой х(-) из Cl{[—h, 0], М) касательным пространством ТХ С1{[—/І,0],М) является множеством С1 - векторных полей вдоль х(-), а для х(-) из С([—/і,0], М) касательным пространством ТХ С([—/i,0], М) является множеством С0 - векторных полей вдоль х(-).
Очевидно, что вложение і порождает вложение многообразия С1([—/г, 0], М) в банахово пространство С([—/г, 0], RN), как окрест ностного ретракта. Определим финслерову метрику на Cl([—h,0],M), задав в каждом касательном пространстве Tx C1([—h,0],M) норму вида: где jfiY(t) - ковариантная производная связности Леви-Чивита на М векторного поля Y(t) вдоль х(-) (подчеркнем, что норма (1.2.1) определена во внутренних терминах). Финслерову метрику в C([—h, 0], М) введем через аналогичную норму норму аналогичную (1.2.3). Тогда (1.2.3) - ее сужение на касательное пространство С1([—h, 0],М). Как и в предыдущем параграфе, построим функции расстояния в C1([—h,0],M), соответствующие нормам (1.2.3) и (1.2.1) и обозначим их, соответственно, pi И РЕ Обозначим через Р ортогональную проекцию RN на ТтМ. Хорошо известно, что Y(t) = P(TiY(t)) . Тогда Получаем, что где Ті2 билинейный оператор второй производной вложения І. Рассмотрим множество U Є Cl{[—h, 0], М) конечного диаметра относительно pi. Тогда, в частности, для всех кривых х(-) Є U производная будет ограниченной: ж () к для некоторого к 0, не зависящего от х(-). Норма оператора (/ — Р)Тг2 на М ограничена, как непрерывная функция на компактном многообразии М, то есть (/ — Р)Тг21 S, для некоторого Н 0. Следовательно, используя приведенные выше оценки и известный факт, что Неравенство (1.2.6) означает, что нормы -f и- эквивалентны на множестве Q конечного диаметра.
Таким образом, если некоторый оператор переводит многообразие С1 ([—h, 0], М) в некоторое его подмножество конечного диаметра относительно pi и уплотняет с достаточно малой константой относительно мер некомпактности Куратовского или Хаус-дорфа, то с помощью конструкции 1.1 для этого оператора можно определить топологические характеристики типа индекса, числа Лефшеца или числа Нильсена. Отметим, что при сделанных в 2.1 предположениях указанными свойствами обладает оператор сдвига по траекториям функционально-дифференциального уравнения нейтрального типа, но не для финслеровых метрик (1.2.1) и (1.2.3), а для некоторых их модификаций. Эта глава посвящена теории функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа (ФДУН) на многообразиях. В отличие от теории обыкновенных функционально-дифференциальных уравнений, эта теория на многообразиях ранее не рассматривалась. В первом параграфе главы строится теория ФДУН на конечномерных полных римановых многообразиях. Во втором параграфе изучается оператор сдвига по траекториям ФДУН. Показано, что в случае ФДУН на компактном ри-мановом многообразии указанный оператор сдвига действует на финслеровом многообразии из нужного класса и является уплотняющим относительно внутренних мер некомпактности, то есть для него корректно определены число Нильсена и число Лефшеца, построенные в предыдущей главе. При некоторых предположениях на ФДУН число Лефшеца оператора сдвига вычислено - оно равно эйлеровой характеристике компактного многообразия. Этот параграф посвящен перенесению основных фактов теории функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа (ФДУН) на случай гладких многообразий. Вводится понятие функционального векторного поля нейтрального типа (ФВПН) и на его основе описывается конструкция ФДУН. Доказывается теорема существования решений для ФДУН на полных римановых многообразиях. Пусть М - полное риманово многообразие конечной размерности и ТМ его касательное расслоение. Обозначим через 7г : ТМ
Оператор сдвига по траекториям ФДУН
В настоящем параграфе изучается оператор сдвига по траекториям ФДУН на компактном римановом многообразии. Показано, что он является уплотняющим относительно внутренней меры некомпактности Куратовского специальной финслеровои метрики на многообразии С1-кривых, т.е. что для него корректно определено число Лефшеца. Доказывается теорема о равенстве числа Леф-шеца оператора сдвига Эйлеровой характеристике компактного многообразия. Пусть М - компактное риманово многообразие. Допустим, что выполнены Условия (i)-(iii) предыдущего параграфа. Тогда по Следствию 2.1.1 для любой начальной кривой у? существует единственное решение ж9() задачи (2.1.2), непрерывное по /?. Зададим ш 0. Определение 2.2.1. Оператор переводящий кривую ір в кривую xf, называется оператором сдвига вдоль решения ФДУН. Если выполнено Условие (vi) параграфа 2.1, то неподвижные точки иш и только они являются со - периодическими решениями (2.1.1). Будем считать, что Условия (i)-(iv) выполнены. Преобразуем метрику (1.2.1) в С!([—/І,0], М), следующим образом: Аналогичным образом, преобразуем и (1.2.3), то есть: Тогда (1.2.2) преобразуется к виду: Пусть xo(t) и xi(t) - кривые в М, t Є [—h, 0], то есть точки в С1([—Л.,0], М). Соединим эти точки С1 - кривой (s) = x(t,s), где t Є [—h,0] и s Є [0,1], (0) = XQ и (1) = x\, на многообразии C\[-h,0],M). Обозначим ftx(t, s) через W(t,s). Тогда длина кривой (s) относительно р вычисляется по формуле: Расстояние в Cl([—h,0],M) между xo(-) и xi(-) соответствующее норме (2.2.1) является инфимумом длин кривых соединяющих 7](-) и #(), где длина вычисляется по формуле (2.2.4). Обозначим через aj внутреннюю меру некомпактности Куратовского, порожденную этим расстоянием. Понятно, что, используя норму (2.2.2) вместо (2.2.1), можно так же определить длины кривых и функцию расстояния. Соответствующую этому расстоянию меру некомпактности Куратовского обозначим через ОСЕ Мы покажем, что иш уплотняет относительно Q/ И Й с одной и той же константой е и 1. Очевидно, что применив после этого конструкции 1.2, в которых (1.2.1) и (1.2.3) заменяются на (2.2.1) и (2.2.2), соответственно, мы получим, что индекс и число Лефшеца для и корректно определены. Затем мы вычислим число Лефшеца для иш.
Рассуждения мы проведем на примере а/, для 6ІЕ ОНИ В точности аналогичны. Рассмотрим сначала случай со h. Лемма 2.2.1.Если со h, то для ограниченного множества Q, в Сг([—h,0],M) множество иш(1) компактно в С1([—h, 0], М). Доказательство. Так как М - компактно, то все кривые из D, лежат в компактном множестве, т.е. они равномерно ограничены. Более того, из ограниченности П в С1([—/г, 0], М) получаем, что для всех ср(-) П производные j4 {t) равномерно ограничены и, следовательно, кривые в П равностепенно непрерывны. Напомним, что по определению, для t Є [0, си], имеем jfiX b) = /(t, xf, jjjXt)- Тогда из Условия (і) следует, что кривые {xv(t)\cp Є О} будут иметь равномерно ограниченные производные на всем интервале [—/і,со]. Таким образом, из равномерной ограниченности и равностепенной непрерывности получаем, что кривые образуют компактное множество в С([—h, 0], М). Из Условия (iv) получаем, что кривые ж () = f(t,xf,jjj.xf), t G [0,со] образуют компактное множество в С([0,со],ТМ). Следовательно, множество иш(П) компактно в С1{\—/г,0],М, так как производные этих кривых образуют компактное множество в С([—/і, 0],ТМ). Теперь рассмотрим случай, когда со h. Введем меру некомпактности Куратовского а/ в Cl{[—h, 0],М) с отношением расстояния функций, определенного как inf длин кривых в C1([—h,0],M) с отношением нормы (2.2.1). Для точки —h + со Є [—/і, 0] рассмотрим сужение кривых из C1([—h,0],M) на интервалы [—/г, —h + со] и \—h + со, 0]. На многообразиях кривых, определенных на этих интервалах, можно определить финслерову метрику, расстояние и меры некомпактности Куратовского, как это было сделано выше. Обозначим эти меры некомпактности через a[-h-h+u](ft) и а[_Л+Ші0](П), соответственно. Лемма 2.2.2. Для ограниченного множества О С C1([—h,0],M) выполнено равенство: Доказательство. Выполнение неравенства очевидно. Докажем неравенство Пусть Aj(i = 1, ...,q) и Bj(j = 1,..., р) - шары, покрывающие множества fl[-h,-h+u] и Щ-h+ufi] СООТВЄТСТВЄННО. Выберем ШарЫ C{j Лемма 2.2.3. Пусть ш h и 1 - ограниченное мнооюество в Cl{[-h,ti\,М). Тогда й/іЦП) е"ша7(П).
Доказательство. По лемме 2.2.2 имеем: Точно так же, как в Лемме 2.2.1, доказывается, что а и ЄІ) = 0, то есть, что на [—а;,0] кривые иш(0,) образуют компактное множество. Тогда cti(uw(l)) = «[- - ( (П)). По построению нормы (2.2.1), длины (2.2.4) и соответствующих расстояний, получаем й[_л -и](иш{0,)) = e wa[_ft+W)0](n). Следовательно, Теорема 2.2.1 Оператор uw уплотняет относительно аі с константой меньше 1 и, следовательно, для этого оператора индекс и число Лефшеца, построенные в Главе 1, корректно определены. Доказательство. Уплотняемость следует из лемм 2.2.1. и 2.2.3. Отсюда сразу вытекает корректность определения индекса. Зададим є 0. Заметим, что из Условия (і) следует, что неподвижные точки оператора иш принадлежат области Вс+Є С C1([—h,0],M) такой, что для любого x(t) Вс+, имеем: ж ( ) С + є. По построению иш получаем, что на границе области Вс+Є нет неподвижных точек и Вс+є имеет конечный диаметр. Поэтому число Лефшеца корректно определено. Теорема 2.2.2. Число Лефшеца AUui равно Эйлеровой характеристике х(М). Доказательство. Пусть s Є [0,1]. Введем кривую ks(x(-)) Є Cl([-h,%M) по формуле: ks(x{t) = x(st). (2.2.6) Рассмотрим гомотопию u s(x(-)) = иSUJ(ks(x())) Эта гомотопия проходит в классе уплотняющих операторов. По построению, ишз при 5 = 1 совпадает с uw, и при 5 = 0 оператор щ переводит кривую
Оператор с ненулевым числом Нильсена, имеющий нулевое число Лефшеца
Рассмотрим модельный пример, иллюстрирующий конструкцию 2.2, для которого число Лефшеца равное нулю, а число Нильсена отлично от нуля. Этот пример показывает, что число Нильсена, вообще говоря, является более точной характеристикой для доказательства существования неподвижных точек, чем число Лефшеца. Опишем специальное многообразие М и непрерывное отображе-ние h : М —» М, рассмотренные в [25] и [26]. Введем в R отношение эквивалентности следующим образом: где а, 6, с - целые. Пусть М многообразие, полученное из і?3 фак торизациеи с отношением эквивалентности. В R? рассмотрим отображение h : В? — Л3, заданное следующей Это отображение индуцирует непрерывное отображение h : М — М, имеющее две неподвижные точки: Как было показано в [25] и [26], indXl = — 1 и indX2 = 1 и поэтому число Лефшеца отображения h равно нулю: Л(/г, М) = 0. Однако, неподвижные точки х\ и Х2 принадлежат разным существенным классам эквивалентности Нильсена и, следовательно, для отображения h число Нильсена равно двум: Рассмотрим оператор сдвига иш по траекториям ФДУН, определенный в 2.2, то есть и введем оператор hu . Из того, что иш уплотняет следует, что hiiu также уплотняет относительно той же меры некомпактности и что числа Лефшеца и Нильсена корректно определены. Теорема 3.2.1. Ahba = 0 и Nhuu = 2
Доказательство. Воспользуемся доказательством Теоремы 2.2.2. Введем гомотопию us = /ш5, где us было введено в доказательстве Теоремы 2.2.2. По построению щ = /шш, и гомотопия us лежит в классе уплотняющих отображений. Оператор щ может быть сужен на многообразие непрерывных кривых, гомеоморфное М, и совпадает с к. Тогда Л = 0 и N h = 2. В современной литературе известны приложения теории числа Нильсена вполне непрерывных операторов к исследованию решений интегральных уравнений в конечномерных линейных пространствах с ограничениями. Например, в [14] исследовались интегральные уравнения в R2\0. Число Нильсена для отображений бесконечномерных многообразий является естественным развитием этой теории, позволяющим рассмотреть аналогичные уравнения на не-односвязных конечномерных многообразиях. В данном параграфе объединяются и модифицируются идеи работ [14], [23], а также главы 2 и на этой основе вычисляется число Нильсена для одного интегрального оператора в пространстве непрерывных кривых на двумерном торе. Пусть Т2 - тор. Рассмотрим оператор д : Т2 — Т2, действующий по следующей формуле: д(а,(3) — (3/3, 5а), где а и (3 - углы. Оператор д - непрерывный, имеет две неподвижные точки: (0,0) и (7г,7г), обозначим их Х\ и Х2 соответственно. Пусть UJ - путь, соединяющий точки х\ и Х2, имеем ш о /(о;)-1 -ф О, следовательно точки принадлежат разным классам эквивалентности. Эти классы являются существенными, для них ind =—1 0. Таким образом, для отображения д корректно определено число Нильсена (см.главу l)nN(g,T2) = 2. Обозначим через М - многообразие непрерывных кривых на торе Т2. Теорема 3.3.1 Многообразие М вкладывается как окрестност-ный ретракт в банахово пространство С([0,1], R3). Доказательство. Вложим тор Т2 в R3. Существует трубчатая окрестность 0 многообразия Г2 в й3 с ретракцией R : О — М. Тогда С([0,1],6) окрестность многообразия С([0,1],Г2) = М в С([0,1],Д3) и при этом R : С([0,1],Є) -+ С([0,1],Т2) - ретракция.
Следовательно, многообразие М вкладывается как окрест-ностный ретракт в банахово пространство С([0,1], R3). Из теоремы 3.3.1 вытекает, что для вполне непрерывного отображения М корректна конструкция числа Нильсена. Далее рассмотрим следующую систему интегральных уравнений на Т2: где Ki(t,s,u,v) Є C1({0,1}2 x T2), і = 1,2. Система (3.3.1) эквивалентна операторному уравнению (u,v) = G(u,v), где G : M — M вполне непрерывный оператор, определенный формулой: Теорема 3.3.2 Если для системы (3.3.1) выполнено условие: где 0 К_ 1 К. Тогда множество неподвижных точек отображения G : М — М компактно, корректно определено число Нильсена N(G, М) и дическими. Для доказательства теоремы 3.3.2 нам потребуется следующее утверждение, вытекающее из свойств числа Нильсена. Лемма 3.3.1 Пусть выполнены следующие условия: 1) G : М х [0,1] - М х [0,1], G(x,\) = (Gx(x),\), G — вполне непрерывно; 2) Множество неподвижных точек, т.е. Fix(G,Mx [0,1]) —компактно. Если при этом число Нильсена отображения GQ = п, то для лю бого А Є [0,1] уравнение х = G\(x) имеет п решений, которые принадлежат разным классам Нильсена отображения G\. Доказательство леммы 3.3.1 является известным фактом (например, см. [14]). Обозначим через 5г- = signKi,i = 1,2. Рассмотрим следующую систему (3.3.5) і эквивалентную операторному уравнению х = GQ{X), где Ha T2 построим гомотопию x = G\(x), А Є [0,1], которая связывает G = G\ с GQ. Рассмотрим (и(),г ()) как кривую на плоскости. Гомотопия G\ = XGi + (1- A)Go в пространстве кривых на R2 преобразуется в гомотопию в пространстве кривых на Г2. Получим следующую систему уравнений:
Вычисление топологических характеристик одного интегрального оператора на многообразии
В этом параграфе мы модифицируем конструкцию 3.2 и вычисляем число Нильсена одного оператора интегрального типа с ри-мановым параллельным переносом, построенном на основе конструкции Ю.Е. Гликлиха (см., например, [10,16,17]). Этот оператор действует на многообразии непрерывных кривых в многообразии М, рассмотренном в 3.2. По построению М - плоское многообразие. Следовательно, на нем задан глобальный параллельный перенос, не зависящий от кривой. Пусть X(t,m) - непрерывное векторное поле на М, периодическое по і с периодом ш. Обозначим / = [0,а;]. Зафиксируем произвольную точку то Є М. В [17] построен интегральный оператор с римановым параллельным переносом где С о(/, М) - многообразие непрерывных кривых { {t)} в М таких, что 7(0) = то- Для v(t) C(/,TmoM) кривая Sv(t) Є С о(/, М) такова, что для каждого t Є I вектор jjjSv(t) параллелен вектору v(t). Пусть ттг(-) - непрерывная кривая в М. Обозначим через Гш не прерывную кривую в Tm(w)M, полученную параллельным переносом векторов X(m(t)) в т(ш). Следуя [17], рассмотрим непрерывный оператор Оператор (3.4.2) является вполне непрерывным. Действительно, так как М - компактно, то ( , )Со(/Т\/) — Для нек0 торого С 0. Так как параллельный перенос не меняет нормы вектора, то образ Su состоит из кривых, для которых в каждой точке t норма га(0) С, то есть является множеством равномерно ограниченных и равностепенно непрерывных кривых. Значит, для оператора Su корректно определено понятие индекса неподвижной точки и, следовательно, числа Лефшеца и Нильсена. Рассмотрим в C(I, М) вполне непрерывный оператор h о 5W и уравнение интегрального типа на М Неподвижные точки оператора h о S являются решениями уравнения (3.4.3).
Подчеркнем, что кривые, являющиеся решениями уравнения (3.4.3), вообще говоря, не проходят через неподвижные точки оператора к. Теорема 3.4.1 Число Лефшеца оператора hoS равно нулю, число Нильсена оператора h о Sw равно 2. Доказательство. Аппроксимируем непрерывное векторное поле X(t,m) гладким векторным полем X(t,m). где s Є [0,1], g(t) - интегральная кривая поля X(, то) с начальным условием g(sco) = m(suj). Введем следующее отображение: Определим оператор As : С(/, М) — C(I, М) равенством При s = 1 имеем А\ = h о 5Ш, при s = 0 очевидным образом Д)(то(-))(0) = #() и hqoBo о Su(m(-)) - постоянная кривая, равная h(m(cu)). Видно, что до переводит С(/, М) в подмногообразие, состоящее из постоянных кривых, которое гомеоморфно М. И на этом подмногообразии hq B oS совпадает с h. Так как гомотопии Bs и 7S - вполне непрерывны, при них сохраняются значения индексов. По лемме 1.1.3 индексы сохраняются и при сужении на подмногообразие, состоящее из постоянных кривых. Получаем, что значения числа Лефшеца и числа Нильсена оператора 5W на С[/, М] и оператора h на М совпадают. Следствие 3.4.1 Уравнение (3.4-3) имеет на М по крайней мере два решения. Отметим, что так как число Лефшеца в данном случае равно нулю, утверждение Следствия 3.4.1 вытекает из отличия от нуля числа Нильсена оператора /ю5ш. [1] Аносов Д.В. О числах Нильсена отображений нильмногообра-зий / Д.В. Аносов // Успехи мат.наук. 1985. - Т. 40. - Вып. 4(244). - С. 133-134. [2] Ахмеров P.P. Меры некомпактности и уплотняющие операторы / P.P. Ахмеров, М.И. Каменский, А.С. Потапов и др; Новосибирск, - Наука, 1986.- 340 с. [3] Бишоп Р. Геометрия многообразий / Р. Бишоп, Р. Криттен-ден; Москва: Наука, 1967. - 335 с. [4] Богачева Е.В. Вычисление числа Нильсена для одного интегрального оператора на торе / Е.В. Богачева // Труды математического факультета. - Воронеж, ВГУ, 2001. - N 6. - С. 3-7. [5] Богачева Е.В. Вычисление топологических характеристик одного интегрального оператора на многообразии / Е.В.Богачева // Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу: Тез. докл. - Ростов-на-Дону, 2002. - С. 176-177. [6] Богачева Е.В. Вычисление топологических характеристик одного интегрального оператора на многообразии / Е.В.Богачева // Труды математического факультета. - Воронеж, ВГУ, 2002. - N 7. - С. 13-15. [7] Богачева Е.В. О числе Нильсена для уплотняющих отображений финслеровых многообразий / Е.В. Богачева, Ю.Е. Гликлих // Известия РАЕН. Сер. МММИУ. - 2000. - Т. 4. - N 3. - С. 32-39. [8] Богачева Е.В. О числе Нильсена для уплотняющих отображений финслеровых многообразий / Е.В. Богачева, Ю.Е. Гликлих // Международная школа-семинар по геометрии и анализу: Тез. докл. - Ростов-на-Дону, 2000. - С. 93-95. [9] Богачева Е.В. Топологические характеристики уплотняющих отображений финслеровых многообразий и их приложения в теории уравнений нейтрального типа / Е.В. Богачева, Ю.Е. Гликлих; НИИ Математики при ВГУ. - Воронеж 2002. - Препринт N6.-17 с. [10] Гликлих Ю.Е. Анализ на римановых многообразиях и задачи математической физики / Ю.Е. Гликлих; Воронеж, ВГУ, 1987. - 188 с. [11] Каменский М.И. Об операторе сдвига по траекториям уравнений нейтрального типа / М.И. Каменский // Сборник работ аспирантов по теории функций и дифференциальным уравнениям. - Воронеж, ВГУ, 1974. - С. 19-22. [12] Красносельский М.А. Геометрические методы нелинейного анализа./М.А. Красносельский, П.П. Забрейко; Москва: Наука, 1975. - 510 с. [13] Фоменко Т.Н. О наименьшем числе неподвижных точек эквивариантного отображения / Т.Н. Фоменко // Матем. заметки, 2001. - Т.69. - Вып.1. - С. 100-112. [14] Borisovich A.Yu. A multiplicity result for a system of real integral equations by use of the Nielsen number / A.Yu. Borisovich, Z. Kucharski, W. Marzantovicz // Nielsen theory and Reidemeister torsion. Banachcenter publications. - 1999. - V. 49. - P. 9-18. [15] Borisovich A.Yu. Positive oriented periodic solutions of the first order complex ode with polynomial nonlinear part / A.Yu. Borisovich, W. Marzantovicz; Poland, Inst, of Math. University of Gdansk, preprint No. 134. - December 1999. - 21 p. [16] Borisovich Yu.G. Fixed points of mappings of banach manifolds and some applications / Yu.G. Borisovich, Yu.E. Gliklikh // Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications. - 1980.- Vol. 4.-No. 1. - P. 165-192. [17] Borisovich Yu.G. Topological theory of fixed points on infinite-dimensional manifolds / Yu.G. Borisovich, Yu.E. Gliklikh // Lecture Notes Math. - 1984. - Vol. 1108, - P. 1-23. [18] Browder F.E. Fixed Point Theorems on Infinite-Dimensional Manifolds J F.E. Browder // Trans. AMS. - 1965. - Vol. 119. -No. 2. - P. 124-131.
