Содержание к диссертации
Введение
Глава І. Выпуклые области 13
1. Прямые пути и выпуклые области 13
2. Разрезание ограниченной области цилиндрической поверхностью 15
3. Многочлены и результанты 17
4. Доказательство теоремы 8 21
Глава 2. Полиномиальные отображения 26
1. Окрестность регулярного уровня 26
2. Некоторые множества в пространствах многочленов .27
3. Доказательство теоремы 9 32
4. Образ алгебраической области при полиномиальном отображении 36
Глава 3. Некоторые сведения из линейной алгебры 39
1. Иглы между плоскостями в конечномерном пространстве 39
2. Якобианы отображений, действующих между пространствами разных размерностей 41
3. Некоторые свойства линейно независиьшх систем векторов в конечномерном эвклидовом пространстве 44
4. Некоторые оценки снизу значений линейных отображений 50
Глава 4. Доказательство основной теоремы 55
1. Три вспомогательных леммы 55
2. Доказательство теоремы 60
Глава 5. Другие результаты 67
1. Случай 67
2. Интегрирование площади сферического отображения уровня гладкой функции 71
3. Отображения из К 74
4. Пример 77
Литература 79
- Разрезание ограниченной области цилиндрической поверхностью
- Образ алгебраической области при полиномиальном отображении
- Некоторые свойства линейно независиьшх систем векторов в конечномерном эвклидовом пространстве
- Интегрирование площади сферического отображения уровня гладкой функции
Введение к работе
Индикатрисой Банаха числовой функции называется функция /v(?/) , значение которой в точке ч равняется числу корней уравнения Г(х)- ч . Известная теорема Банаха об индикатрисе утверждает, что если - непрерывная функция, то
где VЦ) - вариация функции у . В частности, если \ - непрерывно дифференцируема на И и имеет компактный носитель, то
Ш>$^
< * (I)
Легко доказать, что для любого р>Д и для любой функции класса С/ с компактным носителем справедливо неравенство:
ШШ?^< (2)
Понятие индикатрисы можно обобщить. Именно, если отображение Г действует из Я в И. , то через Ц \$л) обозначим число компонент связности уровня Еии)г Iх' f С*) ~ МІ Заметим, что при rt= ft, и регулярном значении 4 число компонент связности уровня Н((,1() совпадает с числом решений уравнения }(х)~і/ Возникает вопрос о том, можно ли обеспечить выполнение неравенств (I) и (2) требованием С на отображение С с компактныгл носителем. Введём в связи с этим следующее обозначение. Пусть <| -натуральное число, ^(^0,13 » М и Р -положительные числа. Д7Дем говорить, что отображение -f принадлежит классу
C0 (і, ft, /4, f) , C-
Я , имеет частные производные порядка (f , удовлетворяющие условию Гёльдера порядка с константой М , и, наконец, если носитель отображения f содержится в шаре радиуса f . Если точные значения констант М и f для нас несущественны, то ш будем писать С0 ( *> ^У вместо Ср (^^ ^/^
Интерес к вопросу о сходимости интеграла (2) возник в 50х годах в связи с введением А. С. Кронродом и А. Г. Витушкиным понятия вариаций функции нескольких переменных. Так, Витушкин доказал, что при K = i и Съп интеграл (I) сходится ( см. C2J). Л. Д. Ивановым было доказано, что при #-= 4 и произвольном Р>/ 4 требование 1ъ> яь является достаточным для сходимости интеграла (2)(cm.5J).
В работе [Є] А. Б. Мерковым было доказано, что интеграл (2) сходится при К = к , ръ і и i>Zn(p-l) . В работе f3j был получен более точный результат, обеспечивающий сходшлость интегра-
ла (2) при fi=n и С ' 1 . Там же была доказана
і р, **/><*
сходимость интеграла (I) при произвольном ti п~ и 1>п-г-п+.. В работе [15] И. Иомдину удалось доказать сходшлость интеграла (2) при произвольных п , Піп. и f»/l при условии 1> (/>> і)п - к. + і . Он вывел этот результат из оценки -энтро-пии множества критических значений отображения / (см. С14]). Тот факт, что требование на гладкость у Иомдина не является оптимальным, в то время как оценка энтропии у него наилучшая, показывает, что связь между энтропией множества критических значений отображения / и сходимостью интеграла (2) носит довольно сложный характер.
Интересным является вопрос о минимальном требовании на глад
кость, обеспечивающем сходимость интеграла (2). Определим
1(^)^-) р) как точную нижнюю грань множества тех чисел t ,
для которых условие С0 (к> 1) является достаточ-
ным для сходимости интеграла (2). Простой пример (см. 4 гл. 5) позволяет оценить величину tfa^p) снизу ( р>, і ):
(rLt X; р) і (п - к+ і)р (3)
Перечисленные выше результаты позволяют оценить константу l(^j^p) сверху, что в сочетании с неравенством (3) даёт: (^ *,р) s *-Р ( Витушкин, Иванов). р < С(іь, плр) < z л(р- і) ( Мерков).
1{>Ьп,р)=р ярш.1<р* и р* (п,^/>)4пр-п+ 4 при />> Z ( іулевич).
(п~-х+1)р <: С(п,а ър) ^ (p+*J/i-*:+/ ( Иомдин). Основным результатом настоящей диссертации является доказательство следующей теоремы.
Теорема I. Пусть /б Се (*-,") , t>р >'і .
Тогда $W(fy)]''ij
Доказательство этой теоремы опубликовано в работе [4]. Теорема I позволяет установить точное значение константы Ц^ к, р) в случае ri - и, : t(^jrtjpJ ~ р . Таким образом, для этого случая остаётся пока открытым вопрос о достаточности условия
t- р для сходимости интеграла (2). Однако, если р < Z , то положительный ответ на этот вопрос даёт уже упоминавшийся результат из работы 37:
Теорема 2. Пусть fC Cf (Ч "-) , J 4 р* 2, .
Тогда j/Vf/^;7 % * *
Приведём некоторые соображения, поясняющие интерес к исследуемому вопросу. Так как величина N((,u) может стремиться к бесконечности лишь при приближении ц ко множеству &j критических значении отображения -f , то ^((л) можно трактовать как некоторую характеристику регулярности уровня EQtjf) . Определим некоторые другие величины, которые также характеризуют регулярность уровня Е(ч) :
Ж(,Ч)= р(ч, &/) - расстояние от точки и, до множества критических значений отображения -f
т.^,4) - минимальное значение Якобиана отображения / в точках уровня E(-frf)
3) ?(-f,j) = Нл-к (({>)) - (п-#) -мерная мера Хаусдор-
фа уровня Е(4>3) -
Какова связь между этими величинами?
В работе 157 доказывается оценка М($,ч)^с[<(4>У)]
Если ґі = tt и Ч, - регулярное значение отображения f , то Щ)--Щ).
Следующая теорема устанавливает связь между M-(f,4.) и М(при /г- /С .
Теорема 3. Пусть РЪ1 - произвольное число, ь> Р , f С0 (Л/ЛУ Пусть oc±j.... х^ - произвольный набор решений уравнения (*)~Ч - Тогда среди точек х^... vc ^/ найдётся
точка х такая что JltdJ"(x) rjjii .
^_
Следствие.
Теорема 3 допускает следующую интерпретацию.
Теорема 3*. В условиях теоремы 3 справедлива оценка:
При рассмотрении величины 5(-(,4) встаёт вопрос о том, какое требование на гладкость отображения -f обеспечивает выполне-
ние неравенства:
^()] < ~а (4)
К этому вопросу впервые обратились А. С. Кронрод и Е. М. Ландис.
Кронрод дал его решение при п- I , \с= р = 1 (см. б]), ^ан-
дис - при Yi- Z , \С~ 1 , f > 1 - произвольном (см. [7]).
Впоследстви выяснилось, что используя понятие вариаций ( а
именно то обстоятельство, что т.-мерный объём с^чмерной
поверхности совпадает с её wi-й вариацией), задачу о сходимости
интеграла (4) легко свести к частному случаю отображения, дей-
ствующего из И в t . Впервые такого рода доказательство
дал Витушкин в работе І2]. Но так как в случае yl-\L функция
щ,у) совпадает с функцией /v(-m) , то простым следствием
теоремы I является следующий результат:
Теорема 4. Цусть С0 ('S *0 к і і ъ < Ь
Тогда J 1Щ>$У^ + <*>
Простые примеры показывают, что при j> > I эта теорема неверна.
Ещё одно соображение, быть может самое главное, которое стимулирует интерес к случаю yl~ К, .А именно, хорошо известна
формула J М4(хП#(*))о1* = ? 3)^)
являющаяся обобщением формулы замены переменных для случая не-
взаимнооднозначного отображения (см. [13], теорема 3.2.5). В связи с использованием этой формулы иногда возникает вопрос об интегрируемости функции М\[,я) со степенью р . Следствия, приведённые в главе 5 настоящей работы, могут дать некоторое представление о возможных применениях основного результата. Перечислим эти следствия.
Теорема 5. Пусть -f С0 (*->!) , 1> и-Определим ^rCjj) как площадь сферического отображения поверхности E(-f,*() ( Ч, - регулярное значение ).
Тогда 1) ^ С7
Теорема 6. Пусть С0 (к, 1) , l> ^
Тогда ^{$>%)1ч <
Заметим, что теорема 6 - это несколько ослабленный результат Витушкина, упоминавшийся выше.
Теорему 5 удаётся обобщить на случай отображения , действующего из R, в R, (см. теорему 5.3 ). Следствием этой теоремы является следующий результат.
Теорема 7. Пусть Є С0 С1*-» *0 , t> ^+*
Тогда JV(4>#) ^
Завершая разговор о применении понятия индикатрисы Банаха, укажем на работу [9], в которой изучается классический случай функции одного переменного. Там же можно обнаружить ссылки и на другие работы, касающиеся этого случая.
Основным техническим средством, используемым для доказатель-
ства теоремы I, являются следующие две теоремы, которые, на наш взгляд, интересны и сами по себе.
Теорема 8. Пусть О- - многочлен от и- переменных с действительными коэффициентами,
1. Степень CL зависит только от \п~ , и степени мно
гочлена Q,
2. 5^0 .
3. Для каждой ограниченной компоненты асі множества R, NE"
каждая из компонент множества ьі ^ {х' Q.(x) = 0 оказывается
-выпуклой в С2 , т. е. любые две её точки можно соединить -путём, лежащим в 2, и обладающим тем свойством, что множество касательных направлений к этому пути образует в единичной сфере множество диаметром не больше It .
Теорема 9. Пусть Q, - многочлен от п. переменных с действительными коэффициентами, Ц - ограниченная компонента множества Jx: Q60$*oj[ , А - Iх ч--- х»/} с ^ -
Тогда для почти всех полиномиальных отображений ^-(Т, . ..Tn), не имеющих на ь2 критических точек, найдётся многочлен Q. , степень которого зависит лишь от кг и степеней глногочленов Ф, ^ ... Т^ и для которого выполнены следующие условия:
1. ДО (х: (х)-о} = 0 .
й-т[{х: to*0},3Cj] сь»2 для всех j = d,... л/
Отображение Т однолистно на каждой компоненте множества |х Ф (х) ^ 0 ^r , содержащейся в
В настоящее время за рубежом появилось довольно много работ, посвященных изучению свойств полуалгебраических множеств (см.
[123). Интересно взглянуть на теоремы 8 и 9 в свете этих работ.
Приведём теперь расположение материала по главам. В главе I доказывается теорема 8. В главе 2 доказывается теорема 9.
В главе 3 строится некоторая техническая конструкция, используемая при доказательстве основной теоремы. В главе 4 доказываются теоремы I, 3, 3*. В главе 5 доказываются теоремы 2, 4 - 7 и строится пример.
Подводя итог вышесказанному, хочется отметить, что результаты диссертации могут быть использованы в различных областях теории функций нескольких действительных переменных а также при изучении полу алгебраических множеств и полиномиальных отображений.
Результаты диссертации неоднократно докладывались на научных семинарах в Калининском, Московском и Ленинградском Университетах, а также на конференциях в Калининском государственном университете.
В заключение автор хочет выразить благодарность своему научному руководителю Л. Д. Иванову и всем, кто принимал участие в обсуждении результатов диссертации.
ПЕВДВАЕЙТЕЛЬНЫЕ ОБЩЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
В диссертации без дальнейших ссылок используются следующие факты.
1. Теорема Сарда, утверждающая, что множество критических
значении отображения ft С (^ »0 , 1>мятс(1,ги-к--<-1) ,
имеет меру нуль (см. [10]).
2. Следствие из теоремы Петровского - Олейник, утверждающее
что разность двух алгебраических множеств в R, не может иметь
число компонент связности, превосходящее некоторую константу, зависящую лишь от к, и степеней многочленов, задающих это множество.(см. [12]).
3. Некоторые сведения из алгебраической геометрии (см. [I],
[II]) и полилинейной алгебры (см. [ІЗ]) в минимальном объёме.
Перечислим обозначения, используемые наиболее часто. %<И(х) означает модуль определителя матрицы Якоби отображения
LJ3v...K^ -подпространство, натянутое на векторы zt)... zK .
И^ - vyv -мерная мера Хаусдорфа.
{\^ -сужение отображения на множество А
Р, - ортогональная проекция на подпространство U . КмпА;В] - компонента связности множества А , содержащая связное множество о .
L - ортогональное дополнение к множеству L , при этом вместо \уї\х будем писать U
$п" - единичная сфера в ft с центром в начале координат.
Разрезание ограниченной области цилиндрической поверхностью
Лемма I.2.I. Пусть f; К, - R, - гладкая функция, Е= у () , ЧС - пространство переменных oat .... oc L , Р = Ц , Pi замкнутое подмножество 5Ґ , Р=Р"1(ГІ , К -ограниченная компонента множества Е\ Р .
Пусть, кроме того, хФ К , Kd = Кмп[ІЇ\Р4 РХф"] и в каждой точке х К выполнено условие: Тогда г\к является диффеоморфизмом К на К4 . Доказательство: Р(К) К так как Р(К) связно, содержит точку Рх0 и не пересекается с г . . Р(К) открыто в К . Действительно, из условия (I) вытекает, что К - гладкое многообразие и Рік - локальный диффеоморфизм. P(lK) замкнуто в Кі . Действительно, пусть хч К и liV Рх?= -u Ki . В силу ограниченности К можно считать, что существует um л- эс . При этом w- vim Рос - Рх . Так как ч КІ , то Х Р , поэтому х К И V . Р(К) . Так как открыто, замкнуто, связно и непусто, то Р(К) = - \(1 . Пусть теперь w в К І . Так как Р\ регулярно в каждой точке, а К ограничено, то множество КОР [fi конечно. Так как , то оно непусто. Положим yU)-Yfiinfa ($/К К} . Через Ц обозначим графита функции 4 . Из определения видно, что Докажем теперь, что К\ Гу открыто в К . Пусть Ы, ) \(\ГГ Положим М -\ фх {( ) 4) У ±"{ :х і(Прі )} Множества ЪС и Щ являются окрестностями точек (Y ) и (у ((ц)) соответственно. Так как /у/ - открытое отображение, то множество V= P(V) fiPfai) - окрестность ТОЧКИ V в И± .Из построения видно, что для всех 4t & V выполнено неравенство ЩІ) і(Ч($)+ ) » поэтому P (v)OZi -окрестность точки ( у d) , содержащаяся во множестве К \ Гу Докажем, что /(\/Z замкнуто в К - Действительно, пусть х?6 K\rf , hi,zy.. и ъ йтх?ь К . Положим(р 1 f(P J. В силу ограниченности К можно считать, что последовательность 2? шлеет предел Z . Ясно, что / = Рх. и z К, . Так как х у /J , то %п хп , поэтому „ эс/u- Если «. - хп. » т0 = и - - (icj = С » что противоречит условию (I). Поэтому -п хп и х / . Мы доказали, что К\Г открыто и замкнуто в . Так как Гу непусто, то К=Гу и поэтому Р/# - биеіщия на AJ . Так как г \\{ - локальный диффеоморфизм, то лемма доказана. Замечание. Нетрудно видеть, что функция р непрерывна. Лемма 1.2.2. В обозначениях леммы 1.2.I пусть - ограниченная компонента множества RT"\E , х0 ъ2\Р, G--= Knn\Q\F, ;] И Crt -- Кип [чг\г j р ;} . Пусть условие (I) выполнено для всех ос ЬсЛР . Для UeGL ПОЛОЖИМ Щ)г УЛІП [и: (ии) С k И Y(u) - max{ : (IJJ0I) G\ . Положим =[ бР"ЧЫ: р К « (Ц5- ТогДа k" S Доказательство: Р(&)С&1 , так как Р(О) связно, содержит точку Рх0 и не пересекается с Pi Докажем, что G-cG- . Пусть Z с G , w- Pfc . Так как (г ограничено, то найдутся числа i и UL такие, что (JJ, , (. и M . Отсюда следует, что ря г ч Рг), то есть G Предположим теперь, что vf G- # Тогда найдётся точка 2: е Э & П .Так как & П F - 0 , то й Е\Р . Положим По лемме 1.2.1 гу -диффеоморфизм К на lyd и К - график некоторой непрерывной функции ч\- (у . Я Положим U= { І Р"Т : п Ч»,(Рх З и V-" (х t Р (( : хи (pxfy Тогда (P (P 6V и (Рг,ч(р4 U , то есть 2Сг(\УФ0 H GrHV o , а значит, 011 0 и G- П V t 0 .Но очевидно, что Qr с \1 U V , поэтому мы пришли к противоречию со связностью G- . Лемма доказана. Говоря о многочленах, мы будем, если не оговорено обратное иметь в виду многочлены над полем действительных чисел. Если Z - конечномерное пространство, то через 3{(l) будем обозна чать кольцо многочленов . Если то положим V(Pt ... Рк)гіхt- P,( )-...- W=o}. Заданные таким об разом множества мы будем называть алгебраическими. Про алге браические множества мы будем предполагать известными ряд эле ментарных фактов, в частности то, что алгебраическое множество размерности является, за вычетом подмножества меньшей раз мерности, аналитическим многообразием размерности К (смДі]). Приведём также некоторые сведения из теории результантов (см. til]). 1. Пусть Pi .. Pm - многочлены относительно переменных ос()... х и... и , однородные по переменным ().-- «w. Тогда найдутся многочлены ЛЫ;---- Р-л/Ы» обладащие следующим свойством: R Uj—-- - R.wU)=0 тогда и только тогда, когда Существует НенуЛеВОЙ ВеКТОр Х С , ТаКОЙ ЧТО ±{оС}tj)r... = Рм(х,ы)г = 0 . Если при этом ъ = т. , то =i 2. Пусть Р4 ... Р, - многочлены относительно переменных х,г.. х„ и ...ч - Обозначим через [р.] однородную компоненту старшей степени многочлена Р , рассматриваемого как много член относительно х . Тогда найдутся многочлены 1 Ц)г-- л/Ы обладающие следующим свойством: R (4)-- R N)- 0 тогда и только тогда, когда выполнено одно из условий:
Образ алгебраической области при полиномиальном отображении
Напомним, что топология Зарисского в конечномерном пространстве Z определяется как совокупность множеств, являющихся дополнениями к алгебраическим множествам. Целью настоящего параграфа является доказательство непустоты некоторых открытых в топологии Зарисского множеств, лежащих в пространствах многочленов.
Введём следующие обозначения. Обозначим через 0($) множество однородных многочленов от л- переменных степени S , дополненное нулевым многочленом. 0($ ) мы будем отождествлять с аффинным пространством, точками которого являются наборы коэффициентов этих многочленов. Обозначим 0 (к раз).
Лемма 2.2.1. Д\яя любого набора натуральных чисел lfj... s множество таких наборов (Q,r.. QK) 0(s0... s J , для которых система уравнений не имеет ненулевого комплексного решения, непусто и открыто в топологии Зарисского.
Доказательство: рассматривая систему (I) как систему уравнений относительно переменных Q ... Qfe set, - л и исключая переменные х,,.-- . при помощи результантов, мы получим некоторую систему уравнении относительно переменных Q-i ... ... Q . . Так как многочлены, входящие в систему (I) однородны по ос , то для доказательства леммы достаточно убедиться, что эта система нетривиальна, то есть существуют однородные многочлены 0.І .... &к степеней si,.-. $ к. , для которых система (I) не имеет решения. Коэффициенты многочленов Q,,.- Q . могут быть при этом, вообще говоря, комплексными. Докажем существование таких многочленов индукцией по .
При rt «. это очевидно. Пусть однородные многочяены степеней s.»,— &к соответственно, для которых система (I) не имеет решения. Рассмотрим отображение, действующее по формуле Q.(x,j... л) " = (Q,(3Ci,--3en-iV W »)- "-)). По теореме Сарда найдётся регулярное значение этого отображения (««,.... at J . ПОЛОЖЕНІ GL oc, ... ocn =QiC)Ci,-"3c»i-,) a-lx„L и докажем, что многочлены О ... к: -искомые. Предположим обратное. Бусть ot,r.. Ху,. -ненулевое решение системы (I). Рассмотрим два случая. I. хл о . Тогда можно считать = 1 , а поэтому имеет решение система VQ ,- -». ) A... A V ,,.-. -,,4) = 0 1% - ISc Но хз -bccj при і vu , поэтому VQ, (хм... л-,) д... AvGU(x»,... хи-. о и точка ( и...хи.,)является критической точкой отображения Q. , что противоречит выбору (ам... С\к) . 2. ос о . Тогда система (I) для &,,-- & . превращается в систему (I) для &»,-- О-к » которая не имеет решения в силу индукционного предположения. Лемма доказана. Лемма 2.2.2. Пусть К и . множество Tex(Q))...QK) 0(sl)...9K), для которых при всех 1 1Г.. vc , і=і,.-.іг многочлен і:і не равен тождественно нулю и для которых ни один из їлиноров раз-мерности к матрицы \ .) не равен тождественно нулю, открыто в топологии Зарисского и непусто. Доказательство очевидно. Обозначим множество тех (u,..лк) , для которых система (I) не имеет решения и которые удовлетворяют условиям лемма 2.2.2, через V($4-- $ } . По леммам 2.2.1 и 2.2.2 это множество открыто в топологии Зарисского и не пусто. Обозначим через Зі5(Яп) множество многочленов степени не выше S , а через %$($,") множество тех многочленов из 5($Л), для которых не имеет комплексного решения следующая система:
Некоторые свойства линейно независиьшх систем векторов в конечномерном эвклидовом пространстве
Хорошо известно, что образ алгебраического множества в & при полиномиальном отображении может не быть алгебраическим множеством. Следующая лемма позволит нам устранить неудобства, воз никающие в связи с этим.
Лемма 2.4.1. Пусть - такие многочлены от п. переменных степени не выше т. , что 4 , результант многочленов / ?,7 .... CGnJ не равен нулю, и якобиан отображения Q & - /л , действующего по формуле Q(X)-(Q,( )J:. ОЬ(Х)) , отличен от нуля хотя бы в одной точке.
Определим как результант системы многочленов относительно переменных ocfJ... х . . Положим Q0-KQ. . Тогда 1. Q0 и R- не равны тождественно нулю. 2. V(Q,) V(&0) . 3. Если -?с - ограниченная компонента глножества 0.h\\J(Qo) и Якъ (%( ) t о для всех ас -компонента множества / N \/С/Су) . Доказательство: рассмотрим ч как отображение из С- в С . Так как результант многочленов /... CQnl отличен от нуля, то для каждого у 6 С п найдётся такой хеС , что Qo{x.)-0 , 0,[&)-Ч(, , (.= 1,.-- л- . Это означает, что образ глножества і 4 Сл; Q0Ga)-o при отображении Q, совпадает с С"" , что возможно лишь при Q0 - О . Получили противоречие с условием леммы, доказав тем самым, что df1 О Qo 0 , так как образ С" " при отображении GL содержит внутренние точки, тогда как множество {геС : Rfe)-0 внутренних точек не содержит. Включение V(Qo)cV(So) сразу следует из свойств результанта. Докажем третью часть леммы. Пусть 5с Из определения ЬЦ следует, что . Множество открыто в Q- , так как отображение ? регулярно в . Докажем, что Q(Q) замкнуто в G" . Пусть с"хь и . В силу ограниченности можно считать, что существует Сі =дг . Если осе уо , то Qo(x)-0 и ZQM o , то есть GCy е l/t/Є; .но #&; Полученное противоречие доказывает, что QCQ) замкнуто в о . Таким образом и лемма доказана. Замечание. Смысл леммы состоит в том, что мы разрезаем мно жество ft W(Q0) на части уровнем многочлена 00 таким об разом, что каждая ограниченная компонента, на которой отображе ние d регулярно, переводится этим отображением в множество, ограниченное алгебраической поверхностью V(H) . Утверждение леммы справедливо для почти всех полиномиальных отображений Q Введём некоторые обозначения, которые нам понадобятся в тот мо мент, когда мы будем использовать лемму 2 АЛ. Пусть многочлены Х- Зс ( ЯЛ) определены по формуле Х,;(0 = cct- , Через PCv», s) обозначим множество таких наборов ... С.)ll)(V), что при любом 1=\,.-. к- результант многочленов М [Qi \ /-+1 ...Х„ отличен от нуля. Нетрудно видеть, что T(",S) является непустым открытым в топологии Зарисского множеством.
Интегрирование площади сферического отображения уровня гладкой функции
Введём некоторые обозначения. Через Е будем обозначать совокупность всевозможных линейно независтшх систем из п векторов п -мерного эвклидова пространства, по норме не превышающих единицу. Для каждой такой системы Д= { и- .=!,... } и для любого набора индексов о с ,.. гъ\ положим d(y &) = = ІЛ Ц;/ , если 0 0 И oi(0 A) . Определим /з №/о A J как объём максимальной К- -мерной грани параллелепипеда, натянутого на вектора Hi , С & : р(К, ь)= тлх ы(Ъ,Д): ic o Ithidj . Здесь и в дальнейшем 11, означает число элементов множества t . . Положим, кроме того, H J д)= [ ( Д)/]І(К, Д)1 \- при 0,1,... -4 и У(к, л)=1 при »с- \\ . Пусть A 2 . Построим неубывающую цепочку множеств о0Р . . .. Р os+1 и выберем числа \С; = 1 . По ложим o0 6± \ir..Yi\ и предположим, что $г уже построено. Выберем icui t {0,-- -1 так, чтобы ]((к.гн &х д) = - nun. И(к. г &); аО, 1,... к, . Это всегда возможно, так как }((к,йг,д) 1 - ][( г Л) . Если кг+1 = о , то положим ёг+1 = и завершим процесс построения. В противном случае выберем \&г с ёч так, чтобы 1 ог-и\ +1 и Ради краткости будем писать о((г,д) вместо (б д) , (і(К,і,д) вместо (к, А} и {(к,г, А) вместо jf(it, А) . В том случае, когда необходимо подчеркнуть, что величины оъ , К.г , зависят от Л мы будем писать ог(д) , КгСА) и S(A) . Введённые сейчас характеристики можно понимать следующим образом. Если трактовать как строки в матричной записи некоторого линейного оператора /\ , то оЦч, - это якобиан композиции Г, (\ - При этом пространства L строїв ятся по индукции таким образом, что LeiLt =R, ив качестве иг+і выбирается такое натянутое на вектора стандартного репера собственное подпространство L L , на котором достигает максимума выражение ( р 0(\\ «u Lt- Li b По сути дела, именно в таком виде и будут использоваться результаты этого параграфа, однако по техническим причинам изложение удобней вести применительно к системам векторов, а не к линейным операторам. Следующая теорема устанавливает некоторые соотношения между введёнными выше характеристиками. Доказательство: для любых Ъ=о,... $ +1 , =0 ... К.ъ найдётся набор индексов о0 , такой что а( д)= otfc Л) . Учитывая, что векторы U ограничены по норме единицей, получим: Неравенство (I) доказано. Соотношения (2) и (3) следуют непосредственно из определения величин Я , JS и }( Чтобы доказать (4), заметим, что с(г+2, л) = p(. "i+itzH, )4р(Х\.+г,\ ) поэтому, выбирая в (3) К=і , получим неравенство: Это неравенство эквивалентно неравенству (4). Теорема доказана. Обозначим через Л совокупность всех убывающих цепочек подмножеств множества / ,--- ь\ . Если ) = t »,... s+ij » то через iHf ( А) обозначим совокупность всех систем Л / , для которых А / (ДУ, 4 (л)?
