Содержание к диссертации
Введение
1 Оценки интегральных средних конформных отображений общего типа 29
1.1 Спектр интегральных средних и его сравнение со спектром интегральных средних 29
1.2 Нижние оценки для спектра интегральных средних 45
1.3 Об однолистности функций вида f(z) = J Ф(п)си 56
1.4 Спектр интегральных средних и закон повторного логарифма 60
1.5 Закон повторного логарифма и граничные свойства конформных отображений 74
1.6 Оценки коэффициентов однолистных функций 84
1.7 Об аналитическом неравенстве Пуанкаре 102
2 Оценки интегральных средних в различных подклассах однолистных функций 107
2.1 Спектр интегральных средних и закон повторного логарифма для лакунарных рядов 107
2.2 Спектр интегральных средних для бассейнов притяжения бесконечности полиномов 115
2.3 Оценки интегральных средних полиномиальных произведений Рисса 118
2.4 Теорема искажения и гипотеза Бреннана для лакунарных рядов 130
2.5 Доказательство гипотезы Бреннана в случае, когда Цг/У/) »0 147
2.6 Точные оценки интегральных средних для трех классов областей 151
2.7 Оценки интегральных средних гиперболически выпуклых функций 159
3 Граничное поведение степенных рядов в единичном круге 171
4 Теоремы сравнения изопериметрического типа для моментов компактных множеств 187
- Нижние оценки для спектра интегральных средних
- Оценки коэффициентов однолистных функций
- Оценки интегральных средних полиномиальных произведений Рисса
- Точные оценки интегральных средних для трех классов областей
Введение к работе
В диссертации создан метод, позволяющий получать эффективные нижние оценки интегральных средних для производных конформных отображений круга на односвязные области, а также установлена связь между спектром интегральных средних и законом повторного логарифма.
Актуальность темы. Оценки интегральных средних конформных отображений занимают ведущее положение в геометрической теории функций комплексного переменного. В качестве примера укажем теорему площадей, доказанную Гронуоллом [2], позволившую получить ряд точных оценок различных функционалов в классе однолистных функций (см., например, [3]). Отметим также, что в силу интегральной формулы Копій проблемы коэффициентов однолистных функций являются по-существу проблемами интегральных средних. Начало бурного развития этого научного направления связано с работами Кебе, Бибербаха и Левнера.
Одной из центральных проблем геометрической теории функций в XX веке стала гипотеза Бибербаха о том, что \ап\ < п, где ап - коэффициенты Тейлора функций из класса S. Напомним, что класс S состоит из однолистных и голоморфных в круге D = {z : \z\ < 1} функций /, удовлетворяющих соотношениям /'(0) — 1 = /(0) = 0. Литтлвуд [4] получил точный порядок роста интегральных средних в классе S
— 7Г
с помощью которого он доказал оценку \ап\ < еп, что явилось первым нетривиальным результатом в этом направлении после хорошо известных результатов Бибербаха |аг| < 2 и Левнера |аз| < 3. Впоследствии оценка Литтлвуда неоднократно улучшалась. Здесь следует отметить работы советских математиков И.Е. Базилевича, И.М. Милина и Н.А. Лебедева. В 1985 году де Бранж, доказав гипотезу Лебедева-Милина (из которой следует гипотеза Бибербаха), завершил большой цикл исследований в этом направлении.
Проблема оценки интегральных средних для модуля однолистной функции (или для модуля ее производной) до доказательства гипотезы Бибербаха рассматривалась как вспомогательный инструмент для оценки коэффициентов в классе S.
После работ Н.Г. Макарова [7], Карлесона и Джонса [8] (в которых раскрыты нетривиальные связи между интегральными средними и граничным поведением конформных отображений) оценки интегральных средних начинают играть ведущую роль в работах по геометрической теории функций. Одним из основных результатов диссертации является получение лучших на сегодняшний день нижних оценок для интегральных средних
J \Ґ(ге»)\ЧЄ
—ж
производных однолистных функций в интервале і Є (0,1/3], а также для t = — 1. Эта задача сложна тем, что в отличие от проблемы интегральных средних для |/| (эта проблема была решена Бернстайном [1]) функция Кебе заведомо не является экстремальной в этой задаче.
Оценки интегральных средних существенно опираются на геометрические методы теории функций. Кроме упомянутых выше ученых важный вклад в развитие этих методов внесли зарубежные математики Аль-форс, Варшавский, Дженкинс, Дюрен, Поммеренке, Хейман и Шиффер. Значительный вклад в развитие геометрической теории функций принадлежит советским математикам Г.М. Голузину, М.В. Келдышу, М.А. Лаврентьеву, И.И. Привалову. Их плодотворные исследования были продолжены Ф.Г. Авхадиевым, Л.А. Аксентьевым, И.А. Александровым, А.Ю. Васильевым, В.В. Горяйновым, Е.П. Долженко, В.Н. Дубининым, Г.В. Кузьминой, С.Л. Крушкалем, СР. Насыровым, Д.В. Прохоровым, А.Ю. Солыниным, В.В. Старковым, Н.А. Широковым и другими российскими математиками.
Опишем кратко фундаментальные результаты, развитию и углублению которых посвящена настоящая диссертация.
Пусть П - односвязная область на плоскости, граница которой содержит не менее двух точек, / - конформное отображение круга D на П. В силу хорошо известных теорем искажения, имеет место соотношение
\f(re»)\ = o(j^) , г^1. Правиц [5], обобщая результат Литтлвуда [4], показал, что для любого
фиксированного р > 1/2 выполняется соотношение
2р-1
\f(rete)\pde = 0 '
Таким образом, при интегрировании по линиям уровня порядок роста модуля однолистной функции уменьшается на единицу. Поскольку
\!\тегв)\ = о{^-^ , г-1,
то естественно ожидать, что для любого фиксированного р > 1/3 выполняется соотношение
f \f\re^d9 = О (j^Y , r-1.
Это было подтверждено Фенгом и МакГрегором в работе [9], однако лишь для случая р > 2/5. Н.Г. Макаровым [10] показано, что этот результат не верен для р, близких к 1/3. В диссертации показано, что этот результат не верен при р < 0.341 (имеется гипотеза, что точная грань здесь равна 6-4^ = 0.343 ...). Итак, Н.Г. Макаровым установлено существенное различие между интегральными средними однолистной функции и ее производной. Причины этого различия не были ясны до середины 80-х годов XX века. Удачной идеей оказалось рассмотрение спектра интегральных средних
1п/|/'(ге*)|рс10
(3f (р) = lim sup —j— ,
r^i |ln(l-r)|
который фактически является порядком роста интегральных средних производной. Для "хороших" областей (например, для областей с ограниченным граничным вращением) /3f(p) является кусочно-линейной функцией от р.
Отметим три важнейших результата, касающихся спектра интегральных средних:
1) Карлесон и Джонс [8] показали, что
а (л\ у Щпап\
sup р/(1) = a = sup inn sup — ,
feS\ feS\ ra^oo ШГг
где 5*1 - класс функций, ограниченных и однолистных в круге D, ап - коэффициенты разложения Тейлора функции /. Заметим, что неравенство sup/3/(1) > а доказывается весьма просто (и основывается на том, что интеграл от модуля некоторой функции не меньше, чем модуль интеграла от той же функции), в то время, как обратное неравенство является глубоко нетривиальным фактом.
2) Н.Г. Макаровым [7] доказано, что если множество А С <9D измеримо по Борелю, то для любого q > 0 справедливо неравенство
dim ДА) > qdimA
Pf(-q) + q + 1 -dim A
где dim A - хаусдорфова размерность множества A.
3) Поммеренке ([11], [12], стр. 241) установил следующий факт. Если область /(D) является областью класса Джона (т. е. не имеет внутренних нулевых углов), то
mdim<9/(D) = р,
где р - единственное решение уравнения Pf(p) = р — 1, mdim - верхняя метрическая размерность Минковского.
Из этих результатов становится ясна причина сложного поведения Pf(p)- Классическая теорема Каратеодори утверждает, что конформное отображение друг на друга областей с жордановыми границами может быть продолжено до гомеоморфизма замкнутых областей, однако не дает информацию о том, каким образом искажаются линейные меры бо-релевских множеств на границе этих областей. Исследование поведения спектра интегральных средних позволяет пролить свет на этот вопрос.
Объект исследования. Объектом исследования в диссертации являются: конформные отображения круга на односвязные области на плоскости; различные интегральные характеристики таких отображений; граничные свойства аналитических функций в круге; неравенства изопери-метрического типа для моментов компактых множеств.
Цель исследования. Целью данной диссертации являются оценки различных интегральных средних конформных отображений и их применение для изучения граничных свойств таких отображений, в частности
для оценки метрических свойств гармонической меры на жордановых кривых через меры Хаусдорфа. Другой целью является изучение интегральных средних в более широких классах функций.
Методы исследования. Результаты диссертации получены с использованием стандартных методов геометрической теории функций комплексного переменного и теории рядов Фурье. Автором создан метод, позволяющий получать эффективные нижние оценки интегральных средних для производных конформных отображений круга на односвязные области. Кроме того, существенно использованы нетривиальные свойства модифицированной функции Бесселя нулевого порядка.
Научная новизна. На защиту выносятся следующие результаты:
Разработан метод, позволяющий получать эффективные нижние оценки интегральных средних производных конформных отображений круга на односвязные области;
Усилена константа в правой части закона повторного логарифма для конформных отображений, что позволило уточнить оценку гармонической меры на жордановых кривых;
Доказана гипотеза Мехии-Поммеренке для случая, когда вариация касательной к границе образа линий уровня круга ограничена абсолютной постоянной;
Получены точные оценки интегральных средних производных конформных отображений внешности круга в некоторых классах функций;
Доказана гипотеза Бреннана в случае, когда логарифм производной функции, отображающей круг на односвязную область на плоскости, представим в виде лакунарного ряда Адамара с показателем лакунрно-сти q > 15.
— Описан класс, содержащий функции, существенно отличные от
лакунарных, для которых верно следующее: если ^)(]2 = оо, то на
окружности найдется множество положительной меры, на котором не
существует радиальных пределов.
Все результаты выносимые на защиту являются новыми и получены автором самостоятельно.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты могут найти применение в дальнейших исследованиях граничного поведения конформных отображений, метрических свойств гармонической меры на жордановых кривых фрактального типа, а также могут быть использованы в учебном процессе и при чтении спецкурсов.
Связь работы с крупными научными программами. Работа была поддержана следующими грантами Российского Фонда Фундаментальных Исследований: 93-01-17552-а, 96-01-00110-а, 99-01-00173-а, 99-01-00366-а, 01-01-06073-мас, 02-01-00168-а, 03-01-00015-а, 03-01-06289-мас, 03-01-10539-зм, 05-01-00523-а
Апробация результатов диссертации.
Результаты диссертации по мере их получения докладывались на следующих конференциях:
6-я Саратовская зимняя школа по теории функций и приближений, 30 января - 4 февраля 1994, Саратов;
Международная конференция "Алгебра и Анализ", посвященная 100-летию со дня рождения Н.Г. Чеботарева, 6-11 июня 1994, Казань;
3-я Суслинская конференция, посвященная 100-летию со дня рождения М. Я. Суслина, 20 - 30 июля 1994, Саратов;
4-я международная конференция "Лаврентьевские чтения по Математике, Механике и Физике", 3-7 июля 1995, Казань;
Всероссийская конференция "Теория функций и ее приложения", 15 - 22 июня 1995, Казань;
7-я Саратовская зимняя школа по теории функций и приближений, 28 января - 7 февраля 1996, Саратов;
Международная конференция "Современные проблемы математики и механики", посвященная 175-летию со дня рождения П.Л. Чебышева, 13 - 19 мая 1996, Москва;
Всероссийская школа-конференция, посвященная 100-летию со дня рождения Б.М. Гагаева, 16 - 22 июня 1997, Казань;
Международный конгресс математиков, 18 - 27 августа 1998, Берлин;
Всероссийская конференция "Теория функций и смежные вопросы", 13 - 18 сентября 1999, Казань;
Европейский математический конгресс, 10 - 14 июля 2000, Барселона;
Международная конференция "Численные методы и теория функций", 24 июня - 3 июля 2001, Авейро, Португалия;
Воронежская зимняя школа "Современные методы теории функций и смежные проблемы", 26 января - 2 февраля 2003, Воронеж;;
6-я Казанская международная летняя школа-конференция "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы", 27 июня - 4 июля 2003, Казань;
Международная конференция " Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений", 4-9 сентября 2003, Минск;
12-я Саратовская зимняя школа "Современные проблемы теории функций и их приложения", 27 января - 2 февраля 2004, Саратов;
Волгоградская школа-конференция "Геометрический анализ и его приложения", 25 - 31 мая 2004, Волгоград;
Международная конференция, посвященная 200-летию Казанского государственного университета, 2-9 июля 2004, Казань;
Международная школа-конференция по анализу и геометрии, посвященная 75-летию Ю.Г. Решетняка, 23 августа - 2 сентября 2004, Новосибирск;
Международная конференция "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ", посвященная 100-летию Сергея Михайловича Никольского, 23 - 29 мая 2005, Москва;
Международная конференция "Численные методы и теория функций", 14 - 17 июня 2005, Яонсу, Финляндия;
Международная конференция "Метод рядов Фурье в комплексном анализе", 24 - 29 июля 2005, Мекриярве, Финляндия;
13-я Саратовская зимняя школа "Современные проблемы теории функций и их приложения", 27 января - 2 февраля 2006, Саратов;
Итоговые научные конференции Казанского университета, 1994 - 2005.
Результаты докладывались на семинаре по математическому анализу в Санкт-Петербургском отделении МИ РАН им. В.А. Стеклова (рук. -проф. В.П. Хавин), на семинаре по комплексному анализу в МИ РАН им. В.А. Стеклова (рук. - проф. А.И. Аптекарев, чл.-корр. РАН Е.М. Чирка), на семинаре по комплексному анализу в МГУ (рук. - проф. Е.П. Долженко), на семинаре по теории функций комплексного переменного в Саратовском государственном университете (рук. - проф. Д.В. Прохоров), на семинаре по комплексному анализу в Петрозаводском госу-дарственом университете (рук. - проф. В.В. Старков), на семинаре по вероятностным методам в теории конформных отображений в Институте им. Миттагг-Леффлера (Швеция) (рук. - проф. Л. Карлесон, проф. П. Джонс, проф. Н.Г. Макаров), на семинаре по теории потенциала в Технологическом Институте Стокгольма (рук. - проф. X. Шапиро) и на семинаре по комплексному анализу в Математическом институте (Вюрц-бург) (рук. - проф. С. Рушевай). В целом работа доложена на семинаре по комплексному анализу в НИИ математики и механики им. Н.Г. Чеботарева Казанского государственного университета (рук. - проф. Ф.Г. Авхадиев).
Публикация результатов. Результаты диссертации опубликованы
в 19 работах, из них 9 статей входят в список ВАК.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, первые две из которых разбиты на параграфы и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 220 страниц. Список литературы содержит 130 наименований.
Нижние оценки для спектра интегральных средних
Целью данного параграфа является получение нижних оценок для спектра интегральных средних /3f(t). для достаточно малых t, и кроме того, В(—1) 0.403. С другой стороны, Роде [ПО], [121] доказал, что существует огра,-ниченная однолистная аналитическая в единичном круге функция, такая, что /3/(t) 0.1Ш2 для малых t. Поммеренке [113] показал, что /3/(1) 0.17 для некоторой функции, ограниченной и однолистной в круге 3. Далее Крецер, методом, разработанным Карлесоном и Джонсом [65], [88], с использованием компьютера экспериментально установил для каждого — 2 t 2 существование ограниченной однолистной аналитической функции, для которой выполнено нера,-венство (3f(t) 2/4. Отметим, что вычислительный эксперимент, проведенный Крецером, математически не является строго обоснованным. В этом параграфе мы докажем существование аналитической, ограниченной и однолистной в D функции, такой, что Введем следующее обозначение: будем писать Пусть q - натуральное число, q 2. Справедлива Теорема 1.
Предположим, что функция / однолистна и ограничена в круге D, причем \n(zf (z)/f(z)) 0. Тогда существует ограниченная и однолистная в круге D функция д, такая, что где ак - коэффициенты Тейлора функции \n(zf (z)/f(z)), М = supz i /(г) = /(1). Доказательство. Сначала покажем, что для любого натурального q 2 существует ограниченная однолистная в D функция д, Поскольку 111(2:/(2)//(2:)) 0, то zf (z)/f(z) 0. Отсюда при помощи интегрирования следует, что \n(f(z)/z) 0. Значит, fm(z) 0. Заметим, что Покажем, что такой предел существует и является функцией, аналитической и ограниченной в единичном круге. Для этого достаточно показать, что 8 = 1 Ограниченность функции g следует из того, что все fqk ограничены. Аналитичность функции д следует из теоремы Вейерштрасса, поскольку последовательность /і о /, о /д2 о о fqn сходится равномерно внутри D. Итак, Но д 1 h 1 потому, что In / In h! и в силу того, что коэффициенты ех положительны. Следовательно, в силу равенства Парсеваля откуда (3g(t) (3h{t) Phi )- Теорема 1 доказана. Следствие 1. Существует ограниченная аналитическая однолистная в единичном круге функция д, такая, что Доказательство. Рассмотрим функцию о Покажем, что она будет однолистной в круге D при а = 1.906 и 6=1.24. Поскольку функция / симметрична относительно вещественной оси, то достаточно показать, что кривая L = {/(ег61),0 в -к} не имеет самопересечений и что она не пересекается с вещественной осью. Заметим, что Отсюда следует, что а 7г -ch(&cos#)sin(6sin#) = —.Используя пакет "Математика 4", нетрудно показать, что на интервале (0,27г) это уравнение имеет четыре корня в\ = 0.61469..., #2 = 1.98524..., #з = тг #2 и 9\ = 7г - 9\. Теперь ясно, что неравенства &/(еіЄі) 0, /(е 2) 0 влекут тот факт, что кривая L лежит в верхней полуплоскости. Вычисления с помощью "Математики 4" показывают, что 3/(ег ?1) = 0.00170... 0 и 3/(е 2) = 0.00726... 0. Итак, однолистность функции / доказана.
Доказательство Следствия 1 завершаем применением теоремы 1 к функции /. Положительность тейлоровских коэффициентов \n(zf (z)/f(z)) следует из ТОГО, что Положим q = 30. В силу теоремы 1 найдется однолистная функция д, такая, что где М — /(1) = 72.88848106. Вычисления показывают, что (3g(t) 0.200762 при 0 t 2/5. Замечание. Вместо функции f(z) можно было рассмотреть функцию отображающую круг Ш) на круг \w\ М с разрезом от точки Вероятно, композиция функций ip{zq Y q должна дать более хорошую оценку для спектра j3g{t). К сожалению, в этом случае метод доказательства теоремы не может быть использован, так как несложно показать, что второй коэффициент в тейлоровском разложении \n(zip (z)/(p(z)) является отрицательным для всех М 1. Следствие 2. Существует ограниченная аналитическая однолистная в круге О функция f, такая, что j3{t) 3t — 1 при 0 0.341. Доказательство. В силу следствия 1 найдется ограниченная аналитическая однолистная в круге Р функция /, такая, что /3(t) t2/5 при 0 t 2/5. Это значит, что /?( ) 3t—1 при t (15-v/205)/2 = 0.34108.... Отметим, что ранее Н.Г. Макаров [96] получил этот результат в случае 0 р 1/3 + для некоторого достаточно малого є 0. Перейдем теперь к рассмотрению случая t — — 1. Роде [ПО], [121] показал, что существует аналитическая ограниченная однолистная в круге Ш функция, такая, что /?(—1) 0.109. Мы докажем существование такой функции, для которой /3(—1) 0.127. Покажем, что / однолистна в круге D. Образ круга ражений этой функции приведен на рисунке 1.4. при отоб Поскольку функция / симметрична относительно вещественной оси, то достаточно проверить, что кривая L {/(ег61),0 в тт} не имеет самопересечений и что она не пересекается с вещественной осью. Полезно отметить, что Последнее неравенство показывает, что кривая L является несамопе-ресекающейся. Рассмотрим теперь В нашем случае уравнение d(arg/)/d# = 0 эквивалентно уравнению a sin в = 7г/2, которое имеет два корня в\ #2 на (0,7г). Теперь ясно, что условие /(е 1) 0 влечет тот факт, что кривая L лежит в верхней полуплоскости. Последнее условие легко проверяется численно.
Таким образом, функция / ограничена и однолистна в круге D. Следовательно, n-симметричные функции fn(z) — f{zn)lln также ограничены и однолистны в D. Заметим, что Применяя стандартные методы геометрической теории функций, легко показать, что предельная функция Ф корректно определена, ограничена и однолистна в круге D. Мы имеем В предыдущем параграфе мы ввели функцию, которая, связана с одной интересной задачей, рассмотренной В.Н. Гайдуком [15], а также поставленной Дюреном в монографии [71] (стр. 274): пусть п - натуральное число; при каких значениях Л функция будет однолистной в круге О? Во-первых, отметим, что без ограничения общности можно считать, что Л 0, поскольку общий случай сводится к данному путем вращения круга. Обозначим Лп = тах{Л 0 : функция (1) однолистна в В}. Итак, задача состоит в нахождении Лп. При п = 1 эта задача легко решается, поскольку функция (1) находится явно: Хорошо известно, что эта функция будет однолистной при Л Є (0,7г]. Поэтому Лі = 7г. К сожалению, при п 2 функция (1) явно не находится. Используя известные результаты, несложно показать, что 7г/2 Л„ 2 + 2/п. Современное состояние вычислительной техники позволяет без труда найти Лп с высокой степени точности для фиксированного п (не слишком большого, скажем, п 1000). В.Н. Гайдуком [15] найдены численно первые десять А„. В связи с этим возникает вопрос: что будет в пределе? Обозначим Ниже будет показано, что такой предел существует. Предположим, что функция Ф(г) аналитична в круге, а ее тейлоровские коэффициенты a,k удовлетворяют неравенству Имеет место Теорема. Для того чтобы существовало натуральное N, такое, что все функции о была однолистной в круге D, и достаточно, чтобы функция (4) отображала круг на область с квазиконформной границей. Доказательство. Поскольку функция /п является п-симметричной, то функция gn{z) = fn(zl n)n аналитична в круге В, причем /п однолистна тогда и только тогда, когда дп однолистна (см. [16] ). Покажем, что дп — /, п —» оо, равномерно в D. Мы имеем
Оценки коэффициентов однолистных функций
Тогда существует подпоследовательность щ —» оо при /с — оо, такая, что Іііщ-юо М(пк)/щ = а 1. Очевидно, существует невозрастающая последовательность 8п, такая, что lim oo n = 0 , 5п — 1/рп2 ДДЯ тех п, для которых О п Рп/у/п. Полагая 8 = Sj при 1 j п&, 5 = 0 при j щ и применяя неравенство (12), получаем что невозможно для достаточно больших к. Теорему 2 дополним следующим образом: для любого є 0 существует функция f ЄШ$, такая, что Пусть q - натуральное число, q 2. Положим kc(z) — z/(l — cz)2) где с = 1 — 2/(q + 1). Поскольку с 1, то функция кс однолистна в круге, что следует из однолистности функции Кебе k\(z). Простые выкладки показывают, что Поэтому можно применить конструкцию, использованную при доказательстве теоремы 1 параграфа 2 настоящей главы. Рассмотрим функции Обозначим Как уже было показано, функция g(z) корректно определена в круге D и однолистна в нем. Кроме того, имеет место соотношение Следовательно, Устремляя q к бесконечности, доказываем утверждение. Перейдем теперь к сравнению тейлоровских коэффициентов в различных классах однолистных функций. Пусть S\ — класс функций, однолистных и аналитических в круге D, нормированных следующим образом: Рассмотрим наряду с классом S\ класс Е — аналитических и однолистных в D- = {\z\ 1} функций, нормированных следующим образом: В дальнейшем нам также понадобится еще один хорошо известный класс S. Это класс функций, однолистных и аналитических в круге D, нормированный следующим образом: Введем еще разложение
Рассмотрим следующие величины: Как показали Карлесон и Джонс [65], для них выполнена цепочка неравенств в этой формуле С — абсолютная положительная константа. В этом параграфе мы покажем, что на самом деле верно более сильное неравенство Преимущество этого неравенства заключается в том, что во-первых, показатель степени логарифма уменьшается на порядок, во-вторых, вместо Вп берутся Вп\пп. Строго говоря, нужно взять целую часть числа п In п. Однако это необязательно, так как в [65] коэффициенты Ап и Вп определяются асимптотическими формулами для интегральных средних, и входящий в эти формулы параметр п может принимать и дробные значения. Аналогично мы докажем новое соотношение: Рассмотрим следующую величину Известно [65], что этот предел существует и 0.509 а 0.76. В этих неравенствах нижняя оценка принадлежит Поммеренке, а верхняя Карлесону и Джонсу [65]. По-видимому, из неравенств (20) и (21) должны следовать следующие неравенства для любого є 0 : Пользуясь результатами данной работы, можно легко доказать эти неравенства для некоторой бесконечной последовательности строго возрастающих положительных целых чисел. Однако справедливость этих неравенств для всех положительных целых чисел пока остается недоказанной. Кроме того, Карлесон и Джонс [65] установили качественную связь между проблемами коэффициентов и средними значениями модуля производной: Мы докажем аналогичное соотношение для логарифмических коэффициентов. Предварительно сформулируем лемму из [65]. Лемма 1 ([65], с. 177). Пусть CQ — произвольное положительное число, /о Є Si, p(z) — аналитическая в круге Dn = {\z\ 1 - Со/п} функция, \tp(z)\ 1. Тогда существует 50 0; такое, что функция f(z) = f0(z) + ip{z)f Q{z) однолистна в Dn, и f(Dn) С /о(Щ, как только \5\ 50. Здесь 5Q не зависит от п. Функция / почти однолистна, т. е. она однолистна в круге Dn.
Однако этот факт нам и нужен, поскольку n-е тейлоровские коэффициенты функций f(z) и /((1 - Co/n)z) эквивалентны в качественном смысле. Лемма 2. Пусть Со — произвольное положительное число, /о Є S\ , tp(z) — аналитическая в круге Dn — \\z\ 1 — CQ/П} функция, Тогда найдется положительное 5Q = 5Q(CO), такое, что функция WW YZ Это значит, что для любого о О справедливо неравенство Положим V(9) = ехр(-гЗ{я((1 - 6/(є0п))еів)}). Для V (0) имеем: V (0) EQU. Если to — модуль непрерывности V(9), то, как легко видеть, u(V, 1/п) Q. ИЗ неравенства Джексона (см. [29]) следует, что существует тригонометрический полином Уп(0) = и пСкегкв, такой, что где М — абсолютная константа Джексона. Теперь EQ полагаем равным 1/(2М). Далее находим (из Леммы 2) 50 = SQ(CQ) — 60(12М). Так как \V{9) - Vn{9)\ 1/2, то Легко видеть, что функция ф аналитична в Dn, 0(0) = 0, \ф\ 3/2 в Dn. Теперь к функции ф применяем лемму 2: функция /, определенная в Dn, будет однолистной. Запишем логарифмическое представление этой функции: (п-Ы)-й логарифмический коэффициент будет иметь следующий вид: Во всех неравенствах интегралы берутся по окружности \z\ = г 1 - 12М/п. Функция Для нее Этим и завершается доказательство теоремы. В формулировке данной теоремы при п 1 класс Si можно также заменить на S. Теорема 4. Верны следующие соотношения: Доказательство. Зафиксируем п 1. Пусть f(z) - такая функция, что 7n(/) = Гп/2, где Рассмотрим функцию Всюду в дальнейшем под Inn будем понимать целую часть Inn. Запишем логарифмическое представление функции g(z) : Введем функцию В силу (22) и определения Вп можем записать следующую цепочку где Q — абсолютная положительная константа. В самом деле, пусть \z\ — 1 - l/(nlnn). Тогда Здесь мы воспользовались известным неравенством для функций из класса S. Простые выкладки показывают, что предел выражения, стоящего справа, при п — со меньше бесконечности. Этим и завершается доказательство того, что Гп С\ппВп\пп. Для доказательства первого неравенства заметим, что из (31) и теоремы 3 легко следует, что существует абсолютная константа Р, такая, что Ап РТп. Справедливо Следствие. Имеют место соотношения Доказательство. Очевидно, достаточно показать, что существует положительная константа С, такая, что Вт СВп для любых натуральных чисел т, п, удовлетворяющих неравенству т п. Последний результат фактически является следствием конструкции, построенной Карлесоном и Джонсом [65]. Рассмотрим следующую проблему, поставленную Гамильтоном [54]: Для каких областей Q существует постоянная k(Q) +оо, такая, что для любой аналитической в Q функции f(z), /(0) = 0. Если такая константа существует, то область Q будем называть гамильтоновой. Это неравенство является аналогом неравенства Пуанкаре для функций с компактным носителем, которые обращаются в нуль на границе области. Ф.Г. Авхадиевым и Р.Г. Салахудиновым [51] выделены области, для которых оно верно. Этими областями являются области класса Джона, т. е. области без внутренних нулевых углов. В другом направлении Хуммелем [82] был построен пример спиралеобразной области, для которой аналитическое неравенство Пуанкаре не верно. Мы докажем следующий результат. Теорема Существует ограниченная звездная область О, со спрямляемой границей и существует аналитическая функция f(z), такая, что
Оценки интегральных средних полиномиальных произведений Рисса
В этом параграфе мы изучаем свойства интегральных средних полиномиальных произведений Рисса, которые тесно связаны с полиномиальной динамикой на плоскости. Будем рассматривать конформные отображения / круга (необязательно однолистные), имеющие вид Следует отметить, что единичный круг является естественной областью определения таких отображений. Литтлвуд [92] использовал такое отображение с функцией Ф(г) = (1 + z/3)/(1 - z/3)3 для построения ограниченной аналитической и однолистной в круге функции, коэффициенты которой не удовлетворяют соотношению a/j = 0(1/к),к — оо, что явилось первым нетривиальным результатом в проблеме коэффициентов для ограниченных однолистных функций. Пусть g, т — натуральные числа, q 2. Введем следующие обозначения: Здесь pm - произвольный полином степени та, такой, что pm(0) = 1. Мы докажем, что сГд(та) зависит аналитически от параметров та и q. Функция /?2(та,д), несмотря на схожесть с a2(m,q), имеет точку фазового перехода та = q— 1, т. е. эта функция меняет свое поведение в точке т = q — 1. По поводу фазового перехода в геометрической теории функций см. [98] Перейдем теперь к формулировке и доказательству основных результатов данного параграфа. Для начала сформулируем хорошо известный результат из теории лакунарных рядов [ПО]: Пусть последовательность целых чисел пк обладает свойством: Щ+і/пк q 1. Тогда существует положительная константа C(q) +00, такая, что k=0 Устремляя р к бесконечности убеждаемся, что что противоречит условию теоремы. Теорема 2. Предположим, что полином рт не имеет нулей на окружности \z\ = 1.
Тогда Доказательство. Основой доказательства является следующий факт, доказанный выше. Пусть Ing (z) = Y kLi akz1lki гДе ak ограниченная последовательность комплексных чисел, щ+\/пк р 1. Тогда Аппроксимируем функцию \npm(z) полиномом. Так как pm(z) не имеет нулей на единичной окружности, то для любого є найдется полином RN(Z) степени N, такой, что Положим где Покажем, что Мы имеем Легко видеть, что функция \пд является лакунарным рядом, причем р = 1 + 1/N. Применяя соотношение (2), получаем о Аналогично при помощи неравенства Гельдера показывается, что о Теорема 2 доказана, поскольку очевидно, что а2 — сг?, Следствием этой теоремы является тот факт, что если полином рт удовлетворяет условиям теоремы 1, то область /(О) имеет неспрям-ляемую границу, поскольку в противном случае мы имели бы /?/() /3/(1) = 0 при некотором малом t 0, что противоречит теоремам 1 и 2. Теорема 3. Имеет место следующее равенство Теперь легко видеть, что модули тейлоровских коэффициентов функции In /(г) будут максимальны для f(z) = Пь=о(1 z9 )т- в силу равенства Парсеваля это означает, что эта функция максимизирует интеграл j \nf(z)\2d9 при всех г Є [0,1). Итак, осталось вычислить значение функционала для этой функции. причем равенство достигается тогда и только тогда, когда тейлоровские коэффициенты при перемножении этих функций не перемешиваются, т. е. где a -F1) — тейлоровские коэффициенты F. Доказательство достаточно провести для случая п — 2. Из равенства
Парсеваля следует, что Доказательство. Рассуждая так же, как и в теореме 3, ириходем к выводу, что экстремальной функцией для 02(т, q) является \тгг Пусть т q — 1. Тогда в силу леммы Обозначим Ф(г) = (27т)"1 [\{l + z)\2md6 о и заметим, что ряд 1пФ(г) = Yl,ckrk сходится при г Є [0,1]. Таким образом, имеем Теперь прологарифмируем (5) и поделим на In 1/(1 — г): Переходя к пределу г — 1 с использованием (1), получаем, что этот предел равен Перейдем теперь к случаю m q — 1. В этом случае коэффициенты функции будут перемешиваться, и ответ будет отличаться от предыдущего случая. Покажем, что
Точные оценки интегральных средних для трех классов областей
Как обычно, обозначим через S класс аналитических и однолистных в круге В функций / с нормировкой /(0) = / (0) — 1 = 0, а через Е -класс аналитических и однолистных во внешности единичного круга D = {( 1} функций F с разложением в окрестности точки = со. Через К обозначим подкласс функций класса S, которые отображают круг на почти-выпуклую область в смысле Каплана [6]. Используя известные результаты Бернштейна [52], Ленг [90] доказал следующее утверждение, которое является обобщением результатов, полученных Клуни, Дюреном и МакГрегором [69], [93]. Пусть Ф - выпуклая неубывающая функция на (—со, +оо). Тогда для любой f Є К и любых 0 г 1 выполнено следующее неравенство: где k(z) — z/(l - zf - функция Кебе. В классе аналогичные вопросы оказались более сложными. А именно, не установлен даже точный порядок роста при R — 1 величины J F (Opd0, -2 р 2. 1С1=Д Как показали Н.Г. Макаров [98], Карлесон и Джонс [65], сложность этой проблемы связана с тем, что граница области F(D ) для экстремальной функции должна иметь фрактальную структуру. Лучшие верхние оценки этой величины принадлежали Поммерен-ке [ПО]. В 1999 году Бертильсону [62] удалось их слегка улучшить.
Лучшие нижние оценки при \р\ 1 получены в работах автора [85], [86] (в этих работах даны оценки снизу для ограниченных однолистных функций, что влечет нижние оценки для функций класса И). В этом параграфе мы докажем аналоги теоремы Ленга для трех подклассов однолистных функций. Пусть Г - выпуклая кривая на плоскости. Предположим, что размер кривой фиксирован условием на внешний конформный радиус: p(oo,Dr) — Pi где DY - внешность Г. Множество всех таких кривых обозначим через Ср = {Г}. В известной монографии Полна и Сеге ([108], стр. 38) была поставлена следующая проблема: найти точную оценку длины выпуклой кривой через внешний конформный радиус р. Полна и Шиффер [107] доказали следующее утверждение. Для любой Г Є Ср имеют место точные оценки Здесь /(Г) — длина кривой Г. Отметим, что оценка снизу /(Г) 2тгр доказывается просто, и равенство имеет место лишь для окружности. Доказательство правого неравенства из (1) было проведено в [107] с помощью вариационного метода для многоугольников. Случай произвольных выпуклых областей получался путем предельного перехода. В данной работе другим методом мы докажем более общий результат, который содержит в себе результат Полиа и Шиффера как частный случай. Через SQ обозначим класс, содержащий функции из Е, которые отображают внешность круга на внешность выпуклого множества. Теперь сформулируем наш основной результат. Теорема 1. Пусть F є Ео u4/(z) - произвольная функция, аналитическая в круге {\z —1 1}. Тогда для любого R 1 выполнено следующее неравенство: В частности, при р -1 для любой функции F Є Е0 имеет место точная оценка В обоих неравенствах равенство достигается, например, для функции Жуковского F(Q — ( — 1/(. Доказательство. В отличие от Ленга, мы не пользуемся симметризацией, а опираемся на следующий принцип мажорации для аналитических функций. А именно, рассмотрим функции f(z) и g(z), аналитичные в круге D, причем /(0) = д(0). Функция f(z) называется подчиненной функции g{z)) если f(z) = g(ip(z)), где tp(z) ана-литична в D, / 1 в D и /э(0) = 0 (см. [16], стр. 357). Справедливо следующее утверждение, принадлежащее Рогозинскому. Лемма 1 ([16], стр. 357). Пусть f подчинена g и /(0) = 0. Тогда для любого 0 г 1
Известно, что для функций класса Ео справедливо неравенство Г.М. Голузина(см., например, [6]): что влечет следующее представление: где функция ф обладает свойствами: \ф(()\ 1 для С Є О" и в окрестности точки ( = оо имеет разложение / () = 2/С2+ з/С3"1— Переходя к кругу D с помощью замены ( — І/z, получаем: F {l/z) — 1 + ф(г), где ip(z) = d z2 + h z3 + - аналитическая в круге Ш функция, область значений которой лежит также в Ш. Введем функцию g(z) — Ф(1 + ip{z/R)) — Ф(1), которая, очевидно, подчинена функции Ф(1 -f z/R2) — Ф(1) в силу леммы Шварца ([16], стр. 319). Без ограничения общности можно считать, что Ф(1) является вещественным числом. Применяя к д лемму 1 и переходя к пределу при г — 1, получаем что эквивалентно неравенству По теореме о среднем для гармонических функций вторые слагаемые в этих равенствах совпадают. Поэтому Отсюда следует доказываемое неравенство с учетом следующего соотношения, легко проверяемого на основании равенства Парсеваля: Заметим, что непосредственное применение леммы Литтлвуда к функции $(F (l/z)) дало бы лишь неточную оценку. Для доказательства второго утверждения теоремы 1 положим Фр(г) = 2р/2, где ветвь фиксирована условием Фр(1) = 1. Применяя первую часть теоремы 1 и переходя к пределу при R — 1 на основании теоремы Рисса ([16], стр. 390), получаем где В - бета-функция Эйлера. Доказательство легко завершается теперь применением известного соотношения между гамма- и бета,-функциями. Полагая р = 1, получаем результат Полна и Шиффера. При R у2 + 1 теорему 1 можно усилить следующим образом. Обозначим через С класс звездных функций, т. е. функций, которые отображают круг на внешность звездного множества. Ясно, что EQ С . Имеет место следующая Теорема 2. Пусть F — C + ]Cjfcli ак( к Є u {z) произвольная функция, аналитическая в круге {\z — 1 3 — 2\/2}. Тогда для любого R у/2 + 1 выполнено следующее неравенство: Доказательство такое же, как и у теоремы 1, поскольку для функций класса Е при ( \/2 + 1 выполнено неравенство ([16], стр. 514) Заметим также, что без дополнительных ограничений на функцию Ф или F число \/2 +1 не может быть заменено на меньшее.
Это следует из точности оценки Г.М. Голузина (см. [16], стр. 514). Теперь перейдем к рассмотрению аналогичных вопросов в более широких классах однолистных функций. Бертильсоп ([62], стр. 111) показал, что для достаточно малых г, зависящих от р, выполнено неравенство для всех f Є S при условии, что Сп ф 0 для каждого п 0, где Сп - коэффициенты ряда Тейлора для функции l/k (z)p. Мы рассмотрим более общий вопрос для функций класса SR, который состоит из функций класса S, тейлоровские коэффициенты которых вещественны. Имеет место Теорема 3. Пусть функция Ф аналитична в окрестности 1 и Ф(1) -ф 0. Тогда найдется положительное число Гф, такое, что для любого г Гф, где k±(z) = z/(l ± zf. Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что Ф(г) — Ф2(,г). Далее, вводя новую функцию F(z) — Ф(г) - Ф(1), имеем где функция F аналитична в окрестности 1 и F{\) = 0. Заметим, что последнее условие в силу известной леммы Шварца влечет существование абсолютных положительных констант С\ и г\, таких, что для любой функции f Є SR выполнено неравенство где п - наименьшее натуральное число, такое, что F n (l) ф 0. Пусть / Є SR. Тогда / представима в виде ([16], стр. 518) где if является аналитической в круге D функцией и \ip(z)\ \z\, г Є О. Без ограничения общности будем считать, что (0) = а 0. Известное неравенство Бибербаха влечет оценку для а: 0 а 1. Введем функцию ga{z) — z/(l — az)2 и рассмотрим разность
