Введение к работе
Актуальность гєш. Теорій цолах. Зункцпй едкой и многих переменных - одип из сйглнх юпулирзнх разделов ког.-.№^сного аікіликз, ззмемпшй миогочлслеяше щвіг.?енея2я-і:с только в сметных с еж областях комплексного анальгії но'и g друглх разиелах теоретітчеотсй я ирикладпой матамзтясш. Например, матамакгозскоз могедироздянэ жо-гпх процессов, ьстретатаяхоя-ц природе к ингензрной .практике, осуществляется С ПОМОЩЬЮ ЗЕЛОЙКНХ ,ДйффЄр0йЦЯаЛЬПЕХ.ур5ЬИЄНЙП KCRS4KO-
го порядка.с яооїОЕннши тоэ^цшмгма.Д'бЯ'емнш эотих ураЕйєнїій . являются целые функция, называемые 'кзазясоагжмзии.
Звдглгм двз (ЦгЕда&»лнталънкх полчке», скоторыми саязгяо moo-
кое направление асследовзяка в теорій целгк ф/нщяй и в ов яридо- гениях вМэтекзг*жо, различных областях:есягесиногшаякя, 'техники.'
Это ареебрэзованяз Ворзлк F (} = '' --^- дудой функции :Ы*) =
ОО (1 . к - ,
-^ "<Т"" айояоввяцжшиого "зяа я ее гщцзкаторнэя диаграмма
\ - . внпумый коїйлгї » у- г опорке!! .дуюадіеіі scicporo является ивдпйзтотг кх(^- &т.^^^іЯгсЛг/иі7ККЦЕй'^, ..
Понятхо-'етдакагсфЕОії SE.arps:atu -егоя зчнгергіжіігмзтьш^ісг ДЛїойа и доказал о ого пегтодао слодазг^"таорзглу. ч 1929 г.
ЇЕОРША Ат. Пудзяь в нрэдщеупзхобоекзееннях ^ - сегрягадкая дизгрдкма. ф^ткцаа І »'ї«е,.яз'шетшзаЯ 'зщіуялий компакт . '_, вне которого бяал^жгееж ігоо&оякаеїск S/iffitras P; їогда К =-(.sС '
ieU; :; ^--r "v-:^4 ' А:Л--:-^"-;--./':'-'
Д.Пойа взвод pim перяояйтсекйх ярилоазнпй этой.георзън з os~
.Да^Х. ЙНЗЕї'КПесїіОТО ' ІфОДоЛСйК&ї, О ''ЧОМ ЯРКО ІЇОВЗОТЗУоїСЯ з" язье-
cract монографии І.Еабербзхй,,Ссзргас'кпяяїрактоакз, теория А-восхояиз кА.М&ртано-ь S.Spssnpafiojr.- '
ПУСТЬ К -- В5.ШУКАКЙ . ЯС«!К>КТ. 3 С ; }(($)--* 5ир'{Г?іЄ<'0: 5
єк}.Р"в!й'; [<,,Ь(оЦг|4|. - задо.яешоа огадпЕртной гопелотагй про-активного предела проотраясаао целк: ^-нкцй? оксаонешщального типа таких,что bj'(9)'$ h(0). V'9<=-!R Н0 (С \ К}.' -^пространство, функций,голоморфах в.С л К :-й р'эгшх О в .точке <« С ЇСНОЛО-тиой равномерной еяедаиоста. sa. комизктзх в С v.к . Тогда пъеобря-
разовояїш Бсреля задает тояологучзскеЙ пзшорЦ&язм пространств [і, НЮ)] .-а. Н0<>К).
Другая форма теоремы Дт, доцуохаюиэя многомерное обобшенге,
связана о реализацией аопрякзянсго пространства Н*(К) к прост
ранству Н (К./ функций, голоморфных в окрестности выпуклого ясм-
какта К С С-., нзделейному стандартной топологией пдщгкїивного . пре
дай), -.///
'ТЕ0ГЕІ.1А Ао.-Пусть цроотравсїьо'Н*СЮ .наделено .сальной топологией., Тогда б ' цреддцупдах обозначениях отображение Я '-\-\*t)l)~*
.^(j«);=>a.(.eAZ)=::iu)i -'лес,'/* є Н*(Ю, M<;h(0)3;
задает гопологгг»еский;.25оморфизм'Н*(К) и Cd7h(9)].
Аналогичные теореин оправедлчвн и для; пространств С^» Ь{0» .4<>(
\ Теорема ДЛЇойа-нослуяила своеобразным мостом для цронкхнове-Н2я методов теорид целых функций экспоненциального типа в такие, например, раздала комплексного анализа, как сдеетрсванме степенных рядов,- комплексный анализ в выпуклых областях (полнота системы руопонент, разложение голоморфных функций в ряды экспонент и др.)» интерполяция делах фуькциіі, диффорегспязльныз уравнения бесконечного порядка, уравнения в свертках и дір.
Эти зэдачп ганг I рассматривались А.0.Гельфондом, Б.Я.ІЄ-ьинш,'.Л.Шварцви, А.И.Каркушзв2>юм, А.й.Леонтьевым, М«А„Евграфовіж, И.5>.Красичі:ознм-ТерноБскЕМ, Ю..Коробейником,ЮД.Фроловш, ОЛЗ.Епи-йэневш и др., а при к>1- Б.Мальграниеи, Л.Уренпрэйсом, А.Ь1зрти-но, В.В.Иападковш, Л.Грумэном, В.П.Громовым, В .Б .Морааковш и др. .
Преобразование Бореля-Лапласа, теорема Aj активно используется и в прикладных-исследованиях, например,-радиофизике, оптике, теории сБязи.(Я.И.Хургяв, В.П.Яковлев), в биофизических исследованиях (работы автора,' связанные с рэвзятием алгоритма Прони).
Значительное расширение сферы подобных приложений целых функций вочможно при условхк привлечения леей богатой результатами и хорошо развитой теории роста целых фузшпій конечного порядка. Поэтому с поязлекиш в литературе теорема Ат актуальной стала за-
дячз о построанли йналсх-з теоремы Д.Пойа для целых (йункццй гоночного порядка f-f і. Вта задача вривала к.проблеме построения геометрического образа в С. ккдикзторз целой функция порядка р ^ і -аддЕкаторной диаграммы-и такого преобразования этой функцш*(аналога преобразования Боредл), чтобы соответствующая "аопряяенпая диаграмма" совпадала синдикаторной (см. монографию "История отечественной математики". Т.4. ХяЛ,- &їез:НауЕ.думка'7і.970,-С.ї7~І0).
Усилиями М.Ф.Субботгпа, В.БерЕііітвйна, А.Маїгкитейра, A.VLMap-куиевкча, Н.М.Дарса5Шка, М.Л.Евх'рафоЕа, Ю-Л.Казшива и др. введено и изучено обобщенное преобразование Борзля для ойзлрянх классов целых ф7ккцв*.'А.И.МзряуіЕЄЗия, "иэцркмор, рассматривал "обрат- hog преобразование Боролл", соб-гвзтетвуящее произвольно флксаро-занней целой функции двух пврецгшіах К-Это оператор, .сійзяіиій н соответствие йаадой ф/кьции , і'онет/орфаой в открытой окрестности
\/^ \/(Пточт ес--'в С. л такой, что Г(«>) -О, целую фтнещга
Здесь R><3 - чясло со свойством {г'' " .'2i>.R?cV. Наиболее «м-елздован 'случаи К (^2) = /1^2), где /I - специального вида цалая .функция с колозитеЛьнают ;:тойлоровс:ййчй койффшнеятами,. при зтоу обобщенное преобразование, Еорвля; шмо "наибольшая прженеіозе в тех частных случаях, когда существует обратное интегральное представ--' ленке - функции F через f '(см.{І)),::'ч-о.'внлоліілеїср,н/іпршер,оола
J{u) = f «fa ;j* )-=--2. -^~~- ",'иєС ; l?,?,* >>о
р: к,0г(|^); :... J ,у
-'функция *іяттаг-Іє#флерз. Таї:, в 30-60-е годи XX веха в исследованиях М.Ф.Оубботшэ З/Бсрштейнз, К.Ф.лохинэ, Л.Е.Авотеояка, Н.М.Длрбгіііаи. бил ..получен аналог .теорема Ат -для класса целых функцій порядка ^-^1 и'нормального типа 'с гботрвдатзльніи ичдикатором, . прл«ем ицдикгторная-дизграк'лз н 'этом '. случае - так наг;;вззмвй р ~вн-пуклкй компакт. С иомоэдьэ отах результатов усилиями советских л:а-томэтгков к настоящему .промочи достигнут- значительней-прогресс в задачах комплексного англкгэ .в <р -зыцукль'л областях. (М.М.Дарбэшял!, А.Ф.Леоятьеь, Ю.о.Коробейник к др.).". Ь 70-е годі; М.А.Ївграфсв" я гжтср независимо друг от друга лолучиля аналог теорема Aj для до-лих функций уточненного '-лорндкз с иеотрщателкдал индикатором.
"Пщрокоэ -«їсйкаїшс прзі!бра50.їжгйї, ftjpsa» Есраза, Iemc#. їгр&д.к>Ц5>
ко недавно Й.й.Коро<59йгак'ом. , . .
Многомерным япэлогаа теорс?й» Д.їїойв псовятшш свои кссладовз-нйв'. Б.К.ИазЕСЕ, А.Ызркшо, Л.Эрешфайо, С.Г.Гивднкии, Л.И.Рош;ки,
ХЛиоолшан's; -др. С госметрйческзм образом в саязэнн лишь рэ-йулътатн А.Кертинс'-и Я.Эренярайсз (ок. їеореиу А2), рассмотревших'' по существу случай выпуклого рагударизоваквого радЕэлького явдцкэ-їрра' целой фУЕЯвда. экрзоваягцгальногб тиаа'.
3 обцен случае, как известно, этот индикатор может бктъ не
только зьшуклнм, но и-разрывным; Хрсш того, побятиэ радиального
шодпсатора. ' ., -
ьле) г:-ecZilm t3].entity ш)і
к яоторшу црЕ'йокзао знкмзнкь ккогкх' математиков, базируется ш 'дзкеск Э.Бсрелем на рубеле -ХЕ вона оцредзлйнші: порядка целой функции fu)~ jpz:,,..,._гл).'по еовекуаноста пєреманякх.^..^,2^--. :
iv;u'Mj(-t)- каксйьда. модуля., f в иодадакже {геС": {Zjl^t. j=i,„,,n},'
Порядок Р ^ а.і совпадает с порядком следа функция .
Ф^.-ti = -erx-^M^-г) ., гбК"'--{г-ьК-": г, >о1...-;гп >о)
ка' "радиальном лучо" Г!= {xeR ,,:^^ = ...=7:^}. Естественно рас» с:;,:оуреїь .е-другие направления роста ш » Щункцки Ф^ - С этой точки срїіквя, если исходить из -'гадая' общей :тёорай целых функций, о не ее отдельных .прикладних вопросов, персональное внимание к ра-діяльному икддкатору 'представляется данью традиции» В связа с отим встает ьадача об исследовании "нетрадиционных" направленна роста їклсі фикции многих переменных, определения" показателей асямзтсггчзского поведения целой функция ішоглх переменных, УЧЕТЫ-дагихх ней ссвоіслгность іакравлзнЕй ае. роста. Начало здесь положено работами Л.Ваукгартнера, 2.Валярона, М.М.Джрбашяна, Л.И.Ронки-- г.й, А.А-.Голъдберга..
Осноедёя жілг, расЬт;'- . гостент в разработке нових характермс-ї-і'к-іс.:'тз і;е.'і!х уетш;й. одной л іііїогих переменных (.индикаторная
диаграмма целой фуикщк одной псрэкешюй зср>тдка р* ; иногоучр--пый аналог порядка, типа, .иадіигатора,'кэдкк^торнсй'-диаграили. учитывающий есй совокупность язпрйвлиглй роста целой сйткш'Л многих переменных) и их рзаллчних приложений 'в комплексном аналоге (в -гол: числе и к аналитической-реализации пространств иолкх функций с заданными огракичепл^ж 'да. шщшитор в духа -теорем /w, А^).
Научная «оадзна.зеследевзьгя заключна в сльху'&ъо: основных результатах Диссертант.
' I. Разработано конструкций длоскоіі иддіїхаторіюй диаграмм.' це
лой функггдо порядка f^i , $>о с индикатором общего вида о не
мощью лркмеиеняа ноньїх кєтсдорг- деслодоазк'ая структуры мчкгаіадь--
них тригономотрачаопм -аїлгуклпх: фуітцяй и построения йсооцидро-
занішх с -ними рйыани^х псьгрхлестаі специального згда. йау-ієкн
геометрические свойства плоских,Чак нзоішазшх (.(>,')-сшіуддих
множеств,', которш а'ри::адло,т.;т зтз диаграмма. Нйкдд-но сообщенное
орбойрапоззяяе'Борь.щ пелеі функцій, порядка f-fL-, сказанное с
удо;,-х.щгткгл понятием юд^зторнон дкагрьмяк этой гіункдаи, С дсиощьу)
этих понята;: додучэнв р^:ьж>аши. пространств цолых функцій с зедал-
ш,~;и ограничения.";; на индикатор как пространств аналитических фун
кционалов на { ^.оЛ-знпуклнх :дкожотдг!х (аналоги тзорем'Лт, /-2'''
т.о. решекз известная уікллянутая знк& задача -теории .роста целых
йункций одной пер-:-\:«їїкой. Поручен рад клласа-рапдй прімононйя атс-
го результатів комплбкцаск аналдчі чрззложвняь хголоксрфщ>:' фуніс- -
цлЛ.в радь:-з':{$>',л/-аїліукдшссе^аедях д др.), ; с
с. Введенії ц песдедодэид ноеід; . ідсадя роси Чд.оріїоус*гор».існкчс~ ск:;х л цодых ^нкід;/ мни?:,:;: пе резонних-.й ездпанкыз с еяя повне характеристик: роста отю;' функций (псргдок-фгакщ-ія, скстегла тял-Ф,'н;Під:іг систола рягудчркзо.ьакпкл яндйкатосоз), явднжкея ілкого-мерн^: аналоге:.: кзпосткоіі. триоды :юз:а:зптадей роста целой фуяк'щд одной порег.:еі;:іоі* (порезка, т;.та,' хіід;;ко?орг* Эти ічкздн peers ной-д"к.;; г ::зуч«;ш с ноуспьо гоаптрйчаох; до пкаянзз асглптотяди класса - :и:оріісу5гарл'о:;дчосчих в С /кгада, зависящих дшь от модуле?": "- комплексних ґіьрегд:Иіад, ді ^еі'сд'оз чыпуклего анализа.
3, доказано сущостиоважо цел:.!;-: фугшххй' шюїчіх ка-ділокснлгх ! гшрс:.-;«н.".ь"х с зздакнн;-;: нгащок-пуккндой к екстекоґ: тий-її^нкгді-» удот-лет^оряйией усдосью ''отухол'ш'', харехгернс:..у для. тлі-йу^кддй нєстглпійтєлілісй логар;:й,:;''"Оук:: п.тамсубХ'ар:,:од::чсСНоіі функціи-т клас-
сргііактельноі'О; роегг-155 .аееодїагреззклшс с цзлой фущодцєіі: иаксшума-мсдула в полидаске-,. кпгсклальнсго 'дена,. характеристики Л&ранллннн.
4. Разработано по шітие'квдккаторной диаграмма для целой функции многих переменных, с заданной системой полоаательных сонряхек--ш.х сорядкоЕ и с кеотрицатєлькш индикатором, соотвэтетвущвы это! системе. Изучены гескегрзчєскде свойства ынокеств,. которым, принадлежит'эта двагра.іаи.Дла'рассмотренного класса цалше функций доказывается аналог теореж* По&а-Мартшю-Зреінграйса, находятся его приложения к доказательству..существования целых функцій!
о положительным в v{o| зшдинатороїл, соотьетствуащш заданной система положительно сонрякештх порядков; к сшеаниэ обобщенного многоугольника Бореля заданной системы штегрзлъных не" адов суглми-рсвания п.-краткого стеленного ряда при mi..'.
Основная методика исследований -синтез .аппарата кошлексио-го анализа, асимптотического анализа, выпуклого анализа' (а том числе гэомстрш: зылузлкх їлесжєств) , (Іутшщюналького анализа.
апробация. Оскозше результати диссертации докладывались на Всесоюзных конференциях по seopru ш/шецнй (ІарьксзДЗ?!;, Черноголовка, I977-ISS9 - по іієчєтбю;; годсм; Новосибирск,IS88), Международной кокФэрзнщш но комплексної Ена.янзу в Болгария (Варна,1585), ШлОле-семЕнаро "Ксглялекскый анализ и гга тематическая физика" (Дев-вогорокД87)8 а тзкг.е нэ семинарах Бахкгфского, Красноярского, Львовсного, Московского. Ростовского, Уральского, Харьковского университетовs Института матешшші СО АН СССР, Института г.:ате:ла-ткки Аїї УССРf из еемлнзро акад. В.0.Злздзашроьа в МШШ СССР.
Отдельные понкткя и результати диосертаїцк.использовались в работах немецкого математика Г.Шонйз по асимптотике целых еушшдЕ кногих переменных, в работах автора и В.Н.Яковлева по асимптотике целых функций'бесконечного порядка .по совокупности неремешшх, асимптотике гюломор^нкх функций, задэнша в неограниченных областях Рейнхарта в Сч „
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в .работах {J] ~ [23]; в тем чи ле б ыгчографик [23].
Дкссертацил выполнена в Красноярской инаенарнс-стрслітолькс*!.
КНСТЯТуТЗ,
Структура и объем диссертации. Диссертация включает вводе-низ, раздел. "Зспсмогательнио сведения", шесть глав к '.приложение. Внутри параграфа .«егкерацяя различных утверждений (теорем, леым, свойств я т.д.) - сквозная и сплошная по созокуігаослт. Во избегание громоздкос-ч внуп_я главы нумерация двойная; лри ссылке 313 другую главу впереди добавляется ее номер, т.е. нумерация становится тройной, а при ссылке ка раздел "Бсп(.'Когп?&лыше сведения" впереди ставится 0. Параграфы разбиты на пункты с самостоятельными названиями, пункты амевт двойную нумерация.
