Введение к работе
—-f
Актуальность темы. Положительно определенные обобщенные тепли-цевокие ядра встречаются при последовании различите задач, К таким задачам относятся, например, следующие:
-
классические интерполяционные задачи!
-
задачи теории операторов (теория далатаций, теорема о листинге и пр.);
-
задачи теории рассеяния!
-
задачи корреляционной теории стационарных случайных процессов; >
-
задачи гармонического анализа.
Решение задачи продолжения положительно определенных (п.о.) обобщенных теплицевских ядер (дискретных и континуальных) содержит, как частный случай, решения классических задач Каратеодори и 3. Нехари (в случаях дискретных ядер); в олучае же континуальных ядер получаются решения задачи М.Г.Крейна о продолжении п. о.функции с отрезка и решение континуальной задачи 3.Нехари.
Исследованию обобщенных теплицевских ядер, в первую очередь в связи с перечисленными выше задачами, посвящен большой цикл работ М.Котляра, К.Садосіш, Р.Лроцеїш. Оце раньше специальный класс обоб- щешшх теплицевских ядер рассматривался в работах В.М. Лдамяна» Д.З.Арова, М.Г; Крейна. В работах М.Г.Крейна и Ф.Э.Малпк-Лдашша рассматривался специальный класс континуальных обобщенных теплицевских ядер.
Другой объект, который рассмотрен в работе - это класс радиальных п. о. функций. Такие функции пояатяюгея в задачах корреляционной теории стационарных случайных полей, а также в задачах гармонического анализа на ортогональной группе.
Проблема продолжения радиальных п.о. функций представляет собой обобщение задачи М.Г.Крейна; возможность продолжения тагах функций с шара была доказана в работах У.Рудина и Э.Нассбаума, однако описание всех возможных продолжений до настоящего времени отсутствовало.
Цель работы. Получение формул интегральных представлений и на их осново - доказательство теорем существование продолжений п.о. обобщенных теплицевских ядер и радиальных л.о.функций; доказательство критериев единственности продолжений и описание гнохестза продолхешЕЧ в случае ноедннсгзекаэсти для матричных коктинуатьных п.о.обобщенных тзпличевекпх ядер и радиальных п.о.іуякций.
Методика исследования. Для достижения поставленных целей в работе использованы методы теории операторов в гильбертовом пространстве, в частности, разработанный автором метод направляющих отображений для изометрических операторов.
Научная новизна и практическая ценность. В работе разработан метод направляющих отображений для изометрических операторов; показано, что преобразование устанавливает взаимно однозначное соответствие между, множеством всех изометрических операторов с направляющими отображениями к множеством всех симметрических линейных отношении с направляющими отображениями; доказана теорема о необходимом условии существования направляющего отображения. Новым утверздошіем является теорема об интегральном представлении одного класса континуальных п. о.ядер через решения канонического дифференциального уравнения. Частный случаем этой теореми является теорема об интегральном представлении континуальных п.о.обобщенных теплицевских ядер.
Во второй главе диссертации получены формулы, параметризующие множества решений соответствующих задач продолжения во вполне неопределенных случаях при некоторых естественных дополнительных предполоаениях. Эти формулы имеют вид дробно линейных преобразований. Автором впервые получены соотношения между коэффициентами этих дробно линейных преобразований и соответствующими ядрами.
Результаты диссертации несомненно будут полезны при изучении перечисленных віие задач математического анализ^ и теории стационарных случайных процессов и полей. Полученные в диссертации формулы могут оказаться полезными при изучении некоторых моделей статистической механики.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах по п.^ранним проблемам функционального анализа и математической физики (руководители чл.-корр. АН Украины М.Г.Крейн, проф. Д.3.Аров)j на УШ Всесоюзной конференции "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения" (Черноголовка, 1989 г.), на республиканской конференции "Функциональный анализ и его приложения" (Одесса, 1990 г.).
По материалам диссертации автором опубликованы три статьи.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и двух глав, которые распадаются на 9 параграфов, и занимают 126 страниц машинописного текста. Библиография содержит 35 назва-
