Введение к работе
і
^с!і; .
Актуальность темы. Современное состояние математических методов, используемых в таких разделах теоретической физики,как эвклидова квантовая теория поля и статистическая физика,характеризуется привлечением широкого круга результатов и понятий теперь уже классической математики. Источником тонких аналитических методов, к которым все чаще обращаются при исследовании задач математической физики, а также близкой к ней в определенном смысле в техническом и идеологическом планах теории вероятностей, является теория целых функций. В 1962 году будущими нобелевскими лауреатами Т.Д.Ли и Ч.Н.Янгом была опубликована теорема о распределении нулей статистической суммы ферромагнитной модели Изинга.про-должимой до целой функции некоторого физического параметра, принимающего значения на комплексной плоскости (С . С появлением этого результата связана разработка мощных методов исследования моделей эвклидовой квантовой теории поля и статистической физики, для которых аналоги упомянутой теоремы имеют место. О роли таких методов свидетельствует то, что их изложению уделяется внимание в большинстве монографий, посвященных данному кругу проблем. В качестве примера упомянем лишь две наиболее известные такие монографии: ГлиммДж.» Джаффе А. Математические методы квантовой физики. Подход с использованием функциональных интегралов. - Ц,: Мир, 1984. - 445 с; Саймон Б, Модель РС^)2 эвклидовой квантовой теории поля. - И.: Мир, 1976. - 357 с. Вместе с тем,применение упомянутых методов сдерживается рядом трудностей, связанных в основном с тем, что теоремы типа Ли-Янга были доказаны далеко не для всех представляющих интерес моделей, рассматриваемых в со-ответствующих разделах математической физики. Последнее, в свое очередь, связано с отсутствием общей методики доказательства таких теорем, неразработанностью подходов к возникающим при этом проблемам теоретико-функционального характера. Сказанное свидетельствует об актуальности разработки методологической основы анализа возникающих в данном направлении теоретико-функциональных проблем, включая проблемы доказательства теорем типа Ли-Янга. Актуальной задачей также является усовершенствование упомянутых выше методов, а также построение нетривиальных моделей математической физики, для которых такие методы дают наиболее полное описание.
Цель работы. Предлагаемая диссертационная работа в основной своей части посвящена: созданию единой методологической основы анализа теоретико-функциональных проблем, возникающих при построении и Применении методов, аналогичных упомянутым выше методам, связанным с теоремой Ли-Янга; построению нетривиальных моделей математической физики, для которых такие методы дают наиболее полное описание.
В основе достижения цели работы лежит привлечение целых функций определенного вида, называемых в современной теории функций целыми функциями Лагерра. Эти функции были введены в математику самим Ф.Лагерром в конце прошлого столетия. Их активному изучению посвящали свои работы И.Щур, Д.Пойя, Й.Йенсен и другие известные математики первой половины нашего столетия. Современное состояние теории таких функций изложено в монографиях: Л.Или-ев. Нули на цели функции. - София: Издателство на Бьлгарската академия на науките, 1979. - 132 с; L.lliev. Laguerre entire functions. - Sofia: Publiahing Houae of the Bulgarian Acadorcy of Sciences, 1987. - 187 p. В связи с отим целью диссертационной работы является также развитие ряда аспектов теории целых функций Лагерра.
Научная новизна и практическая ценность. В диссертационной работе с помощью использования целых функций Лагерра впервые создана единая методологическая основа анализа теоретико-функциональных проблем, возникающих при построении и применении методов исследования моделей статистической физики и эвклидовой квантовой теории поли, связанных с аналогами теоремы Ли-Янга. Такие методы могут Найти широкое применение в соответствующих разделах математической физики. При этом решены некоторые известные проблемы, существовавшие в данном направлении. К таковым откосится построение критерия наличия свойства Ли-Янга у мер типа P(4>J , сформулированное В упомянутой выше монографии Дж.Глимма и А.Джаф-фе (стр. 88). В работе вводится ряд новых понятий, а также так називавше обобщенные иерархические модели, которые могут быть испольэоваии в дальнейших исследованиях. Кроме того, получен ряд новых результатов в теории целых функций Лагерра, которые могут найти различные приложения как в самой теории целых функций, так и в ее многочисленных приложениях. Упомянутые результаты значительно усиливают и обобщают шшлогичныо результаты, полученные ранее другими авторами. Ряд из них но имеют аналогов.
Методика исследования. Для получения результатов, относящихся к теории целых функций Лагерра, вводятся локально-выпуклые пространства целых функций (функции Лагерра при этом оказываются элементами таких пространств), общая теория которых построена в работе Б.А.Тейлора ( Taylor В.A. Some locally convex apaceo of entire functions II Proceedings of Зугорозіа of Pure Mathematics. - Providence і American Mathematical Society, 1968. - V.XI. - P. IV-D-1 - ІУ-Д-24). При доказательстве теорем о сохранении принадлежности к классам целых функций Лагерра для дифференциальных операторов определенного вида используется методика, основанная на предложении 2.2 работы Э.Либа и А.Сокала ( Ueb Е.Н., Sokal A.D. A general Lee-Yang theorem for one-componont and multicomponent forromagnets // Commun. Math. Phys. - 1931. - V. 80. - P. 153-179 ). Кроме того, в работе применяется ряд стандартных методов теории целых функции, функционального анализа, теории инвариантов ортогональ ной группы О (А/) , D основе методики построения обобщенных иерархических моделей лежит математическая формализация физических соображений, используемых в методе И.Р.Юхновского послойного интегрирования статистической суммы трехмерной модели Изинга в пространстве коллективных переменных - (Юхновский И.Р. Фазовые переходы второго рода. Метод коллективных переменных. - Киев: Наук.думка, 1965. - 224 е.). В работе используется также ряд фактов и понятий, относящихся к Гиббсовсним случайным полям, на основе монографии: Малышев В.А., Минлос Р.А. Гиббсовские случайные поля, - М.: Наука, 1985,-- 288 с, а также к иерархическим моделям, автомодельным случайным полям, ренормалиэационной группе, информацию о которых можно найти в монографии: Синай Я.Г. Теория фазовых переходов. Строгие результаты. - Н.: Наука, 1980. - 207 с. В качестве отправного пункта в теории, относящейся к обобщениям тесремы Ли-Янга, используется содержание упомянутой выше работы Э.Либа и А.Сокала.
Основные положения, выносимые на защиту. К таковым относятся: общая концепция использования аппарата теории целых функций Лагерра для решения теоретико-функциональных проблем, возникающих при построении и применении методов исследования моделей статистической физики и эвклидовой квантовой теории поля, связанных с аналогами теоремі Ли-Янга; концепция еес-дй-
ния и использования обобщенных иерархических моделей; результаты, относящиеся к теории целых функций Лагерра. В частности, к основным предложениям, выносимым на защиту,относятся:
методика доказательства сохранения принадлежности к классам целых функций Лагерра при действии дифференциальных операто ров определенного вида (лемма 1.4.3; лемма 1.4.4); теоремы о сохранении принадлежности к классам целых функций Лагерра для оемейств операторов, включая дифференциальные операторы бесконечного порядка (теорема 1,4.1 - теорема 1.4.6);
теоремы о решении в классах целых функций Лагерра некоторых типов дифференциальных уравнений, включая уравнения бесконечного порядка (теорема I.5.I; теорема 1.5.2);
теоремы об интегральных представлениях целых функций Лагерра (теорема I.6.1і теорема 1.6.2); теоремы о представлении целых функций Лагерра в виде рядов по ортогональным полиномам (теорема 1.6.3; теорема 1.6,4);
концепция применения целых функций Лагерра для определения понятия "свойство Ли-Янга" в применении к изотропным конечным борелевским Мерам На JR." , we IbJ (определение 2.2.2); введение понятия "усиленная изотропность" (определение 2.3.2) в отношении класса изотропных мер наИы , для которых удается описать зависимость от N явным образом;
теоремы о наличии свойства Ли-Янга для класса мер, используемых в эвклидовой квантовой теории поля и статистической физике,- устанавливающие упомянутый в книге Дж.Глимма и А.Джа-ффе критерий наличия такого свойства (теорема 2.3.1; теорема 2.3.2);
концепция введения и использования обобщенных иерархических моделей (глава 3);
теоремы о наличии свойства Ли-Янга у обобщенных иерархических моделей (теорема 4.I.I) и у модели спинов со взаимодействием ближайших соседей (теорема 4.2.1);
предельные теоремы для моделей, обладающих свойством Ли-Янга (глава 5).
Апробация работы. Основные результаты диссертационной ра-'оты докладывались на:
II советско-итальянском симпозиуме по математическим проблемам статистической физики (Львов, 30 сентября - II октября 1985 г.);
Всесоюзной конференции "Современные проблемы статистической физики" (Львов, 3-5 февраля 1967 г.);
семинаре "Математические проблемы статистической физики" (ОИЯИ, Дубна, 30 мая - I нюня 1989 г.);
школе-семинаре "Математические методы анализа сложных систем со случайными компонентами" (Миасс, 29 сентября -
б октября ІШ9 г.);
семинаре "Ordor, Disorder and Ghaoa in Quantum Mechanics" (0ИНИ, Дубна, 17-21 октября 1989 г.);
I советско-польском симпозиуме по физике сегнетоэлектриков и родственных материалов (Львов, 4-8 июня 1990 г.);
Всесоюзной школе "Методы функционального анализа в задачах математической физики" (Виноградов, 17-23 сентября 1990 г.);
I республиканском семинаре по теории аналитических и суб-
гармонических функций и их применений (Старый Салтов, 14-
18 октября 1990 г.).
Кроме того, результаты диссертации неоднократно докладывались на семинарах отдела функционального анализа Института математики АН УССР (руководитель - академик АН УССР Ю.М.Еереэан-ский); на заседаниях Львовского межвузовского семинара по теории аналитических функций (руководитель - профессор А.А.Гольд-берг); на семинарах отделения "Статистическая физика" Института теоретической физики All УССР (руководитель-академик Ail УССР И.Р. Юхновскиіі).
Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в работах ["І-І7-] .
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав основного текста, содержащих 22 параграфа, двух приложений и списка литературы из 94 наименований. Общий обьем диссертации 166 страниц машинописного текста.
