Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. ОБРАТНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ФУНКЦИИ С ОСОБЕННОСТЯМИ В ЗАМКНУТОЙ ОБЛАСТИ 15
1. О граничном поведении функции, отображающей круг на область с гладкой границей 15
2. Поведение функции вблизи угловой точки границы области 23
3. ОКЗ для случая бесконечного искомого контура 33
4. Логарифмическая особенность на границе . 48
5. Полюс и логарифмическая особенность в бесконечно удаленной точке .... 54
6. Вопросы однолистности 63
ГЛАЗА 2. ОБРАТНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПРЯЖ РЕШЕТОК КОНТУРОВ 70
7. Решетка конечных контуров 70
8. Решетка бесконечных контуров .... 80
9. Обобщение результатов 5 на случай бесконечносвязных областей 90
10. Однолистная разрешимость 98
ЛИТЕРАТУРА 107
- О граничном поведении функции, отображающей круг на область с гладкой границей
- Поведение функции вблизи угловой точки границы области
- Решетка конечных контуров
Введение к работе
Диссертация посвящена решению обратных краевых задач /ОКЗ/ теории аналитических функций для односвязных и бесконечносвяз-ных областей, а также вопросам однолистной разрешимости этих задач.
Основные результаты в теории аналитических функций с многочисленными приложениями изложены в монографиях Г.Г.Тумашева и М.Т. Нужина /Т.З ,ТА /, М.Т.Нужина и Н.Б.Ильинского /Н.З /,Р.Б.Сали-мова 1С.4 /, обзорной статье Ф.Г.Авхадиева и Л.А.Аксентьева /А.б/, обзоре /А.ЇЗ/.
Начало развитию ОКЗ в нашей стране положила работа Г.Г.Тумашева /Т.2/, М.Т.Нужин в работе /Н.1 / дал общую постановку ОКЗ, сформулировав ее впервые как задачу для аналитических функций.
Приведем постановку основной ОКЗ, являющейся модельной в теории /А. 13/.
Определить область %)% в плоскости комплексного переменного Z-X+U и Функцию W(Z) , аналитическую в этой области,если на [_, -границе Z)% , известны значения функции W(Z) : VS/»44s) + i?(«) (0*$$Є), (0.1) где -дуговая абсцисса точки контура L^ , отсчитываемая от некоторой точки этого контура в положительном направлении, при котором область Z)2 остается слева; ^(0)=440 ,^(0) = f(t)
Различают внутреннюю и внешнюю задачу в зависимости от того, внутри или вне кривой L2 расположена область 2)2 .Предполагается, что соотношение (O.I) является уравнением замкнутой жордановой кривой L^ расположенной в плоскости w=4,+H/
В предположении гельдеровости производных ^'(s) и Tfc) М.Т. Нужиным было доказано существование и единственность решения внутренней задачи. Ф.Д.Гахов показал существование решения внешней задачи /Г. і , Г.2 / для случая, когда величина W()«w0 заранее не задается. Если производные S^Cs) и t'Cs) не удовлетворяют условию Гельдера в отдельных точках: или же имеют общие нули, то гладкость контуров L2 и Lw может нарушаться. Исследование особых точек контуров проведено оЗ.Д.Гаховым и И.М.Мельником / Г.З ,ГЛ I и рядом других авторов /Т.2 , Р.3 , А.10,К,1 /.
Ф.Д.Гахов /Г. і / и С.Н.Андрианов /АЛА/ исследовали ОКЗ для односвязных областей при наиболее широких предположениях относительно задаваемых функций 44s) и ЧТО Ими было доказано, что если заранее не требовать непрерывность функции W(%) вплоть до границы, то решение задачи существенно не единственно.
В силу физической сущности многих ОКЗ большое значение приобретают исследования однолистной разрешимости задач. Роль условий однолистности была подчеркнута С.Н.Андриановым /AAhl и Ф.Д.Гаховым /Г. і /. Первые достаточные условия однолистности решений ОКЗ были получены в работах И.С.Красновидовой и B.C. Рогожина /К.2 /,В.С.Рогожина /Р. 2 /,Л.А.Аксентьева /А.7 ,Д,#/, С.Н.Кудряшова /К.4 /. Обзор результатов по этой проблеме содержится в /АЛ / и /АЛЗ/.
Обратным краевым задачам по параметрам, отличным от S , посвящены работы М.Т.Нужина /ТА , Н.2 /, Р.Б.Салимова /С.і , f.2, С. А / и других авторов /А. 13/.
В случае, когда в качестве параметра выбрана декартова координата х точки контура %~ ,граничные значения задаются в виде: w> ^г(х)ш^2(х)^і\(х)) o*x*a> (0.2) причем Ч'і(х), Ц'Ах) »і=Ч,2 > -однозначные функции, относящиеся к различным сторонам отрезка [0, а] .При дополнительных условиях гладкости на функции Ч\(эс) и У\(Х) М.Т.Нужиным было доказано существование и единственность решения внутренней, а Р.Е.Салимо-вым- существование решения внешней ОКЗ. Вопрос однолистной разрешимости внутренней задачи по параметру х исследуется с по-мощью результатов У.Каплана /К. І /, Л.А.Аксентьева /А.И /,Ф.Г. Авхадиева /А.2 /,Е.А.Широковой /U.1/. В случае внешней задачи искомая отображающая функция Z() ,реализующая конформное преобразование круга E«f:||
Теория ОКЗ нашла широкие приложения в различных областях математической физики, в частности, гидромеханике. Одним из важнейших направлений такого приложения являются задачи построения гидродинамических решеток. Сформулируем постановку одной из этих задач /А. \Ъ /.
Определить форму конгруэнтных профилей, составляющих прямую однорядную решетку постоянного шага, если при обтекании этой решетки потенциальным установившемся потоком несжимаемой идеальной жидкости, распределение скорости на этих профилях выражалось бы заданной функцией дуговой абсциссы, отсчитываемой от точки разветвления потока.
Области течения Ъ% с разрезами, соединяющими точки схода потока с точкой = **=> вдоль линии тока, соответствует область
Х)у в плоскости W с периодическими полубесконечньши разрезами параллельными оси 9
Решение поставленной задачи различными методами впервые по-лучили Вейниг /W. 2 / и Г.Г.Тумашев /Т. 1 /. Решение задачи для случая круговой решетки получено в работах /9.1 , Б. 1 /.Обзор результатов содержится в /А. \Ъ /.
Целью диссертации является исследование ОКЗ в случаях: I/ особенностей либо искомого контура, либо искомой аналитической функции; 2/ решетки искомых контуров.
В настоящее время теория ОКЗ представляет собой интенсивно развивающуюся область исследований, представляющих важное теоретическое и прикладное значение. Ряд таких задач рассмотрен в данной диссертации.Этим объясняется ее актуальность.
Диссертация состоит из двух глав, разбитых на десять параграфов. Нумерация утверждений единая по всей работе, формулы пронумерованы по параграфам.
О граничном поведении функции, отображающей круг на область с гладкой границей
Пусть в плоскости комплексного переменного Z- эс+iy дана конечная односвязная область Ъ% ограниченная замкнутой спрямляемой кривой Жордана L% ,функция 2= о() реализует конформное однолистное отображение круга E = {t-\t\ П в плоскости пере-менного = Є на область 2)% .Обозначим через і точку кривой Ljj ,отвечающую точке т = 61 единичной окружности Е в плоскости "С при этом отображении. Тогда і = со (т) ,где СО-граничное значение функции Со (t)
Обозначим через s дуговую абсциссу точки t отсчиты ваемую от некоторой фиксированной точки кривой L% в положительном направлении, при котором область Ъ% остается слева. Уравнение L запишем в виде: (s) , 0$S I ,где I периметр L Пусть p = p(s) -угол, образованный с осью х касательной к кривой L3 ,проведенной в точке і і($) в положительном направлении. Пусть і -i(9t) (0 St ) -угловая точка контуравнутренний по отношению к Ljj угол в этой точке обозначим через.
Поведение функции вблизи угловой точки границы области
Эти функции в плоскости vV определяют некоторую разомкнутую Кривую L w » Уравнение КОТОРОЙ ИМееТ ВИД М/= W(S) Я (.Ч) + -u44s) .Возрастанию s отвечает положительное направление обхода L w .Пусть точки Л и Б соответственно начало и конец кривой Lyy . Проведем лучи AM и к ц , перпендикулярные отрезку А б/ и остающиеся слева при движении от точки 6 к точке А . Предположим, что Lw - простая кривая и лучи Д М и В М не имеют других общих точек с линией Lw , кроме А и В Отметим, что функции P(s) и 44S) выбраны так, чтобы хотя бы один из лучей удовлетворял последнему условию по построению. В дальнейшем задача решается так же как и выше.
3. Пусть в разложении (5.1) коэффициент С0 - О . Найдем функции (s) и Ч (S) и их приращения по формулам (б. j) и (5.3) . В плоскости W уравнение w- )s CO + t 0 , С5 «: 5 $ І , определяет некоторую разомкнутую кривую i,w Возрастанию S отвечает положительное направление обхода кривой Lvv .Проведем лучи AM и ВМ так же, как в п.2 (сохраняя обозначения) . Будем считать, что Lw простая кривая, и лучи AM и БА\ не имеют других общих точек с Lvy кроме Д и В в противном случае проводим дополнительные построения, аналогичные приведенным в п.2 . Обозначим через Z)w область, ограниченную кривой Lw и лучами В/4 и 4М , которая остается слева при обходе Lvv в положи тельном направлении и при движении по лучам от Ь к А1 и от М к А .
Решетка конечных контуров
Пусть 7)% - бесконечно связная область в плоскости комплексного переменного Z = X+lu границей которой служит совокупность конгруэнтных контуров LL (И, = 05 -1 » ) , составляющих пвямую решетку постоянного шага.
Требуется определить форму контуров L (к=0 1 , ) и шаг решетки plr 5 если на контурах № заданы гранич ные значения функции W(2) , аналитической в области 2) ,в видегде S - дуговая абсцисса точки контура L , отсчитываемая от некототэой фиксированной точки контура в положительном направлении, %{0)=%Ю %(0) = %{0.
Граничные значения (7.1) определяют в плоскости комплексного переменного М Фн-іФ конгруэнтные контуры Lw (h-0"jil ... ). функции 4 (5), ( ) удовлетворяют следующим условиям: а/ производные % U), % Ы Н([0,ЄІ), % г( ) + % г( ) Ф 0 ,. б/контуры L (н -0 j 4 і " ) не имеют точек самопересечения и не пересекают друг друга.
Производная функции liw) , обратной к функции W(Z)f при f-s. + oo , стремится к конечным и отличным от нуля пределам. 2, Для упрощения вычислений будем пока считать, что в (7.1) постоянная R=0 .Не умаляя общности задачи положим, что Т 0-Бесконечную область, ограниченную контурами Lw (Кя0 -І ,... ) обозначим через 7)\v . В плоскости W проведем семейство конгруэнтных линий Хк (к = 0)-i ) попарно отстоящих друг от друга по мнимой оси на расстоянии, равном Т , и не имеющих общих точек ни с контурами ни между собой. Допустим, не умаляя общности задачи, что кривая
