Введение к работе
Актуальность темы. Важнейшей областью современного комплексного анализа является теория краевых (граничных) задач для аналитических функций и различных их обобщений.
Как известно1,2, в классе аналитических функций основными являются две задачи: задача Гильберта и задача Рішана (по терминологии, принятой в монографии 1} ).
В настоящее время, благодаря фундаментальным работам Б.В.Боярского, Й.Н.Векуа, Н.Б.Векуа, Ф.Д.Гахова, З.И.Зверовича, В.А.Какичева, Г.С.Литвинчука, С.Г.Михлина, Н.И.мусхелишвили, И.И.Привалова, Б.В.Хведелидзе, Л.И.ЧиОриковой и многих других известных математиков, теория линейных краевых задач для аналитических функций приняла завершенный вид.
Одним из естественных обобщений аналитических функций комплексного переменного z *х + іу являются полианалитические (или л-аяалшшеские) функции в области ТЄС, т.е. репения в 7 обобщенного уравнения Коши-Римана
anF(2)/a2n - о , (і)
где a/9z * ( а/Эх + ia/эу )/г, г. є м, п > 2.
Известно 1'3, что всякую однозначную п-аналитическую в
области Т функцию F(z) можно представить в виде
п-1
F(z) - zk *k(z). t2)
k-0
где z - x-iy, a ?k(z) (k-0,1,...,n-l ) - однозначные аналитические ФУНКЦИИ В Т. ПрИ ЭТОМ ФУНКЦИИ
называются аналитическими компонентами полианалитической функции F(z) - соответственно нулевой, первой. ...,( п-1 )-й.
За последние годы как в СНГ, так и за его пределами (КНДР,
гГахов Ф.Д. Краевые задачи.- М.:Наука, 1977.
2Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения.-М. -.Наука, 1968.
Эвалк М.Б. Полианалитические функции и их обобщения // Итоги науки и техники ВИНИТИ / Сер. Совр. пробл. матем. Фунд. напр.- Т.85. - М. :ВИТ1ТИ. 1991. - С. 187-246.
.
ФРГ, Югославия и др.) интенсивно изучаются различные краевые
задачи для полианалитических функций и некоторых их обобщений
(для решений уравнений более общего вида, чем (1) ). Интерес к
этим задачам объясняется связями с другими математическими
теориями (например, теорией дифференциальных уравнений с част
ными производными, теориеіПіриближения-функций-)—а-также-мно=
гообраэными приложениями в математической физике и механике.
В дальнейшем краевую задачу для п-аналитических функций будем называть классической, если в ней требуется найти решения уравнения (1) по п независимым краевым условиям; в противном случае назовем ее неклассической.
Систематическое исследование классических и неклассиче-ских краевых задач для полианалитических функций началось с работ - А.В.Бицадзе4-5, М.П.Ганина6-7 и В.С.Рогожинав. Однако" основной цикл работ, посвященных изучению краевых задач для полианалитических функций и их обобщений, был выполнен в течение последних двух десятилетий математиками различных стран (СССР, ФРГ, Югославии и др.). Большой вклад в развитие теории краевых задач для иолианалитических функций и их обобщений внесли Ф.Д.Гахов, А.В.Бицадзе, И.А.Бикчантаев, В.А.Габршювич, М.П.Ганин, В.И.Жегалов, С.В.Левинский,В.И.Показеев,И.А.Соколов, B.C.Рогожин, Н.Т.Хоп, Б.Дамянович и др.
Пусть гладкий контур L делит полную комплексную плоскость С на конечлую область Т+ и область Т-, содержащую точку z = .
Среди классических краевых задач дляfполианалитических функций наиболее часто встречающимися в математической литературе и важными в приложениях являются следующие три задачи
Бицадзе А.В. О единственности решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений с частными производными // УМН. - 1948. - Т.3,Вып.б,- С.211-212.
5Бицадзе А.В. Нормально разрешимые эллиптические краевые задачи // Докл.АН ССР,- 1965.- T.164.N 6.- С.1218-1220.
^анин М.П. Краевые задачи теории полигармонических функций// Учен.зап. Казанск. ун-та.-1950.-Т.111,кн.Ю.- С.9-13.
7Ганин М.П. Краевые задачи для полианалитических функций// Докл. АН СССР. - 1551. - T.80.N 3. - С.313-316.
8Рогозшн B.C. Некоторые краевые задачи для полигармонического уравнения // Учен.зап. Казанск. ун-та.- 1950.- Т. 110, кн. 3. - С. 71-93.
шла Гильберта: требуется найти п-аналитическую в области Т+ (или Т" ) функцию F(z) « U(x,y)+iV(x,y), удовлетворяющую следующим условиям на контуре L :
Задача Гя,п-
ReiGk(t)AkF(t)> - qk(t). k-O.i.....n-І; (3)
Задача Гі,п-
Re Gk(t) |-qk * 3xn-kayk_1 J Задача Гг.п- і 5kF(t) ч ^ Эп* ) где Л = Э2/Эх2 + Э2/Эу2 - оператор Лапласа, Э/Эп - производная по внутренней (внешней) нормали к L. a Gk(t), qis(t) - заданные функции точек контура L, удовлетворяющие условию Гельдера вместе со своши производными до (2п-к-2)-го порядка,причем LeC2""1 (т.е. контур L задается уравнением t - x(s)+ ly(s), где x(s) и y(s) - функции дуги s, удовлетворяющие условию Гельдера вместе СО СВОИМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ДО Порядка 2П-1 ВОЮЧИТеЛЬНО) И Gk(t)''0. Впервые задачи Гц, П-Гг. п были рассмотрены в начале 50-х годов в работах B.C.Рогожина8 и М.П.Ганина6*7 . Следует отметить, что в частном случае, когда Gk(t) * 1 задачи Гй.п> Г\. п и Гг.п представляют собой основные классические задачи теории полигармонических функций, называемые соответственно задачей Рикье, первой основной задачей и второй основной задачей, которым посвящены многочисленные оригинальные работы. Интерес к этим задачам в основном вызван тем, что они находят различные приложения при решении многих проблей математической физики и механики сплошной среды. Известны также три классические задато тта Римана, находящиеся к задачам Tr, п. Г\,п и Гг.п в таком асе отношении, как задача Римана для аналитических функций к задаче Гильберта, и состоящие в отыскании двух функций: F+(z) - полианалитической порядка п в области Г+, и F"(z) - полианалитической порядка п в области Т, граничные значения которых F+(t) и F~(t) удовлетворяют на L следующим п условиям: 4 Задача Рц.п. afcF+(tb Gk(t)AkF"(t) + gk(t), к=0,1 n-1; (6) Задача Pi.n- ar^Fla^ an^1r(t)_____ axn-kgyk-i ахп-каук-і Задача Рг.п- 3kF+(t) 9kF_(t) -GkCt) + 8k(t). k-0,l,...,n-l; (8) 9n+k an-k ' где Э/йп+ (Э/Эп-) - производная по внутренней (внешней) нормали к L, a Gk(t), gk(t) - заданные на L компдекснозначные функции,-удовлетворяющие усювюо Гедьдера вместе со своими производными до (2n-k-2)-ro порядка, причем L Є сп~2 и Gk(t) * 0. Отметим также, что впервые задачи типа Римана для полианалитических функции ставились и изучались в работах И.А.Соколова9, 10 . Достаточно обстоятельное изложение результатов М.П.Ганина6*7. B.C.Рогожина8 и И.А.Соколова9'10 можно найти в цитированной на стр. 1 монографии Ф.Д.Гахова1'. В дальнейшем будет установлено, что задачи Гі.п и Гг. п (соответственно Pi.n и P-z.n ) близки как по степени их сложности, так и по методам их решения. Однако задача Fr. п (PR.n ) су- щественно отличается от вадач Гі,п, Т%.п ( соответственно Pi.n. Рг. п ) своей лросдагюй уже по самой постановке. Это отличие заключается в том, что для дифференциальных операторов дк „ ^qZK / 92^ -, определяющих краевые условия задачи Гй,п (Рк.п ) в соответствии с формулой (2) выполняются равенства: п-1 РІ д(2) - 4к Е zp"k Фр,ю(г), к=0,1,...,п-1; (9) р"к (р-к)! (здесь AF - F ). В силу этих равенств краевые условия (3) при уСоколов И.А. О краевой задаче типа Римана для подиана-литических функций на окружности // Изв. АН БССР. Сер.физ. мат. наук. --1969.- Н 5. - С. 64-71. 10Соколов И.А. Первая краевая задача типа Римана для полианалитических функций в случае произвольного контура // Вестник Белорусского ун-та.Серй 1 .- 1970. - N 2.- С.20-23. 5 к - n-l, n-2,..., О соответственно можно записать в виде Re<4n-1(n-i)l Gn-i(t) v^'ttn - qn-i(t). (10i) (n-l)I _ Rean-2Gn-2(t)[(n-2)! - Re<6o(t)[(p0(t) + t Теперь заметим, что краевые условия (Юі) - (10п) в совокупности имеет "треугольный" вид в том смысле, что краевое условие (Юі) содержит граничное значение лишь одной (п-І)-ой аналитической компоненты q>n_i(z) искомой полианалитической функции, а (Юг) - граничные значения лишь двух'аналитических компонентов п-1 чит и искомую полианалитическую функцию F(z)- L zkq>k(z). Таким I k-0 образом, задача Tr. п фактически сводится к совокупности п В то же время особенности дифференциальных операторов Ок1*оп~1/ахп_кЭук~1 и 0к2«Эк/Зпк , определяющих краевые условия задач Гі.п и Гг.п ( Рі.п и Pz.n). таковы, что условия (4) и (5) ( (7) и (8)) не имеют треугольного вида в указанном выше смысле. Поэтому, вообще говоря, задачи Г\,п, Гг.п Сі.п. Рг.п ) не сводятся к совокупности п обычных краевых задач Гильберта (Римана) для аналитических функций. Таким образом, задачи Гя.п и Pr. п относятся к классическим задачам треугольного вида, а Гі.п. Гг.п и Рі,п. Рг.п -к задачам общего (прямоугольного) вида. В течение последних двух-трех десятилетий опубликовано значительное число оригинальных работ, в которых исследуются те или иные линейные классические краевые задачи для полианалитических функций и их обобщений (см., например, обзорную ра- боту11' и указанную гам библиографию). Подавляющее большинство из этих работ посвящены исследованию лишь краевых задач треугольного вида, а задачи общего вида изучаются только для областей типа круга Кг - -(z: |z| В случае простейших-однссвязныхвластей с-аяалшшуескиш границами (типа круга Кг и полуплоскости С+ ) существует достаточно простой метод сведения любой классической краевой задачи относительно полианалитической функции F(z) вида (2) к системе из п скалярных краевых задач (Гильберта или Римана) для аналитических функций.В основном это удается сделать из-ва того, что в случае круга Кг и полуплоскости С+ на границе L выполняются следующие соотношения z » г2 / z и z - z соответственно. В силу этих соотношений граничные значения полианалитическои функции F(z) вида (2) совпадают с граничными значениями следующих аналитических функций соответственно: п-1 Ф (z) » Е rzk z"k Тк.(2) , если L - окружность |z| - г, k-0 n-1 (z) « L zk ?k(z) , если L - вещественная ось In z - 0. k-o Сказанное остается справедливым и в случае областей, отобра Однако ситуация сущеспвенно усложняется в случае произвольных (односвязаых или ыногосвязных) областей, так как полианадшшческив функции порядка л (п ) 2), вообще говоря, не инварианты относительно конформных преобразований. Резюмируя сказанное выше, можно утверждать, что разработка методов исследования классических краевых задач общего (а не только треугольного) вида для полианалитических функций и их обобщений в произвольных конечносвязных областях является актуальной задачей. Табринович В. А. .Соколов И. А. Об исследованиях по краевым задачам для полианалитических функций // Научные труды юбилейного семинара по краевым задачам, посвященного 75-летию со дня рождения академика АН БССР Ф.Д.Гахова. - Минск.:Изд-во "Университетское", 1935. - С. 43-47. В частности, отсутствием указанных методов объясняется тот факт, что наиболее важные и широко известные задачи Гі.п Гг. п и Pi.п. Рг.г» рассмотренные уже в первых работах по краевым задачам для полианалитических функций, а также в монографии1 2), до сих пор оставались не исследованными в случае произвольных (односвязяьк и тогосвяэкых) областей. Как справедливо отмечал Ф.Д.Гахов, "решение таких краевых задач представляет вопрос весьма сложный" (см. 12), с. Э05 ). Лишь недавно, с помощью принципиально нового подхода к решению классических краевых задач общего вида для полианалитических функций и их обобщений, разработанного автором, удалось решить сформулированные выше задачи (см. [13, [2], [5-7], [11-13], [15], [17], [19] ). Подробному изложению этих результатов посвящены главы 2-4 настоящей диссертации. В 1948 году А.В.Бицадзе13 впервые обнаружил одно важное обстоятельство, состоящее по существу в том, что задача отыскания бианалитической функции Р(г) (т.е. решения эллиптической системы 32F(z)/3z2 = О ) в круге КТ - < 2: |z| < г, г>0> по следующему краевому условию F(t) - 0, t Є г, (И) где т - множество линейно независимых решений. Следовательно, задача (11) в круге Кг не является ни фредголъиовои, ни нетеровой. В то же время оказалось, что соответствующая (И) неоднородная задача Дирихле F(t) - f(t), t Є ї, (12) где f(t) заданная на окружности т непрерывная функция, является нормально разрешимой по Хаусдорру, т.е. необходимые условия разрешимости являются также и достаточными. Позже в работе Н.Т.Хопа14 было установлено,что существуют такие односвязнье области, в которых однородная задача (11) 12См. цитированную на стр. 1 монографию Ф.Д.Гахова1'. 1ЭСм. цитированную на стр. 2 работу 45. 14Хоп Н.Т. О нормальной разрешимости задачи Дирихле для одной эллиптической системы //Дифференц. уравнения.-1966.- Т.2, N 2.- С. 214-225. 8 для одного класса бианалитических функций имеет лишь нулевые решения, причем не для всякой области ТЄС' неоднородная задача Дирихле (12) является нормально разрешимой по Хаусдорфу.' В связи со сказанным возникает следующий основной вопрос: какова должна быть односвязная"област~1-гчтобы-в-ней-однород- ная задача (11) для полианалшшческих функций порядка n (n>2 ) имела лишь нулевое решение ? Полный ответ на ,этот вопрос в классе л-аналитических функций произвольного порядка и областей с аналитическими границами получен недавно в Ш, 181, [10], (23). Вообще для правильное (корректной') постановки граничных еадач типа задачи Дирихле важное значение имеет так называемое множество единственности решений, т.е. такое множество В с ЭТ, что из Пв - О следует F О в Т. Выявлению множеств единственности решений краевых задач типа Дирихле для полианалитических функций м разработке методов решения названных задач посвящена пятая глава диссертации. Таким образом, настоящая диссертация посвящена исследованию основных классических и неклассических линейных краевых еадач для полианалитических функций и их обобщений (решений уравнений более обяего вида, чем (1) ) в произвольных конечно-связных областях. При этом в данной диссертации особое внимание уделяется алгоритмичности при решении задач, а также отысканию случаев (достаточно общей природы), для которых исследуемые задачи допускают решения в замкнутой форме (в квадратурах). Для единообразия изложения все задачи в оенрвном изучаются в классах Нд(Ь) (Гельдера). Связь работы с крупными научными темами, диссертационная работа выполнена на кафедре теории функций Белгосуниверситета и кафедре математического анализа Смоленского госпединститута в рамках научно-исследовательских тем Министерства Образования и Науки Республики Беларусь и Министерства Образования Российской Федерации "Краевые задачи комплексного анализа и связанные с ними интегральные уравнения"» "Граничные свойства аналитических и полианалитических функций". Цель работы. Разработка общих методов решения основных классических краевых задач типа Римана и типа Гильберта для лолианалитических функций и некоторых их обобщений в произволь- ных конечносвязных областях. Установление необходимых и достаточных условий разрешимости рассматриваемых задач. Выявление случаев (достаточно общей природы), при которых исследуемые задачи допускают решения в замкнутой форме (в квадратурах). Решение неклассической задачи типа Дирихле для полианалитических функций в областях с аналитическими границами. Научная новизна. В диссертации предложен и развит новый подход к исследованию линейных краевых задач типа Римана и типа Гильберта для полианалитических функций, базирующийся на теории так называемых обобщенных задач Римана и Гильберта для аналитических функций: на основе этого подхода впервые получены решения основных краевых задач Pi.n , Р2. п . Гі.п и г2.п для полианалитических функций и некоторых их обобщений в случае произвольных конечносвязных областей; выявлены новые классы рассматриваемых задач, допускающих полное исследование. Получено решение неклассической задачи Дирихле для полианалитических функций произвольного порядка п (п)2 ) в областях с аналитическими границами. Установлены новые граничные теоремы единственности для полианалитических функций. Практическая значимость. Изложенные в диссертации результаты в основном имеют теоретическую направленность. Разработанные в ней методы являются общими для всего класса линейных краевых задач типа Римана и типа Гильберта для полианалитических функций. Кроме того, результаты диссертации могут найти применение при изучении свойств полианалитических функций и их обобщений, при исследовании задач типа Римана и типа Гильберта для аналитических векторов и реиений систем эллиптических дифференциальных уравнений, порожденных оператором Коши-Римана. Исследованные в диссертации задачи и предложенные в ней методы могут найти приложения в задачах математической фиэикн и механики сплошной среды. Результаты диссертации могут быть использованы в научных коллективах, занимающихся исследованиями краевых задач комплексного анализа, теорией приближения функций, интегральных и дифференциальных уравнений и их приложений: в Белорусском, Казанском, Московском, Новгородском, Новосибирском, Одесском, Ростовском университетах, в Смоленском педагогическом институте. 10 Основные положения диссертации, выносимые на защиту: Методы решения краевых задач типа Римана Pi.n и Pz.z для полианалитических функции и их обобщении в случае произвольных конечносвязных-обдастей; Выявление частных случаев задач Pi,n и Рг. г, допускающих решения в замкнутой форме (в квадратурах); Методы решения задач типа Гильберта Гі. п и Гг. 2 Для полианалитических функций и их обобщений в случае произвольных конечносвязных областей; Анализ частных случаев вадач 1\. п и Г2, г, сводящихся к последовательному решению обычных задач Гильберта для аналитических функций; Необходимые и достаточные условия существования ненуде-* бых решений у однородной задачи Дирихле для полианалитических функций в областях с аналитическими границами; Решение неоднородной задачи Дирихле для полианалитических функций в одно^вязных областях, границы которых являются алгебраическими кривыми; Решение векторно-матричной задачи Римана для аналитических функций в случае, когда G(t) є Мн<и*. Решение векторно-матричной задачи Гильберта для аналитических функций в случае, когда G(t) є Aftf(L). Вклад автора в разработку проблемы. Диссертация является самостоятельным исследованием автора. Все результаты диссертации, выносимые на защиту, получены лично автором. Опубликованные научные работы по теме диссертации выполнены без соавторов. Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Всесоюзной конференции по геометрической теории функций (Новосибирск - 1988 ), на V Конференции по комплексному анализу (Галле -1988), на XV Национальной летней школе по приложениям математики (Варна -1989), на V Всесоюзном симпозиуме "Метод дискретных особенностей в задачах математической физики" (Одесса -1991), на VI Конференции математиков Беларуси (Гродно -1992), на Мевдународной математической конференции, посвященной 200-летию со дня рождения Н.И.Лобачевского (Минск-1992 ),на Международной конференции "Алгебра и Анализ", посвя- ценной 100-летию со дня рождения Н.Г.Чеботарева (Казань-1994). на школе-конференции по теории функций и её приложениям (Казань-1995), на Международной конференции "Краевые задачи, специальные функции и дробное исчисление" (Минск - 1996), на семинарах механико-математического факультета МГУ по обратным задачам анализа и математической физики (руководители- чл.-корр. РАН В.А.Садовничий и профессор А.И.Прилепко), по теории функций (руководитель - чл.-корр. РАН П.Л.Ульянов), по граничным свойствам функций (руководитель - профессор Е.П.Долженко), по предельным множествам (руководитель - профессор В.И.Гаврилов), по геометрии в целом (руководители- И.Х.Сабитов, Э.Р.Розендорн, Е.В.Шикин), на семинаре по краевым задачам при Казанском университете (руководитель - профессор В.И.Жегалов), на научном семинаре кафедры теоретической и специальной физики Новгородского университета (руководитель - профессор Радциг Ю.Ю.), на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений Ростовского университета (руководитель - профессор Н.К.Карапетянц), на семинаре "Функциональный анализ и дифференциальные уравнения" при БГУ (руководители - профессора А.Б.Антоневич, П.П.Забрейко, Я.В.Радыно), на семинаре Белорусского математического общества (руководитель- академик И.В.Гайгаун), на семинаре кафедры высшей математики БГУ (руководитель - профессор В.Н. Русак ) и неоднократно на Минском городском семинаре по краевым задачам имени Ф.Д.Гахова (руководитель - профессор Э.И.Зверович), а также на Смоленском городском семинаре по комплексному анализу (руководитель - профессор М.Б.Балк). Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора (1 - 24]. Структура и объем диссертации. Диссертация' состоит из введения, общей характеристики, пяти глав, выводов, списка использованных источников, содержащего 159 наименований, и двух приложений. Нумерация формул (теорем) сквозная в каждой главе. Например,(4.7) (или теорема 4.7) означает 7-й формулу (теорему) 4-й главы. Общий объем работы составляет 241 страницу машинописного текста.
Re{Gk(t) > = qic(t), k-0.1 n-1; (5)
краевых задач Гильберта относительно аналитических функций
Фк(г) = Фк(Ю(г), к-0,1 п-1.
жающихся на круг (или полуплоскость ) с помощью рациональных
функций. _ {.Похожие диссертации на Краевые задачи для полианалитических функций и некоторых их обобщений
