Содержание к диссертации
Введение
1 Абстрактные результаты 13
1.1 Предварительные сведения 13
1.1.1 Двойственность 13
1.1.2 Интеграл Бохнера, обобщенные производные и пространства LP(Q,T;X) 14
1.1.3 Теория интерполяции банаховых пространств 15
1.1.4 Пространства Крейна 21
1.2 Основные условия данной главы 21
1.3 Достаточные условия 22
1.4 Погружение и пространство-образ 25
1.5 Переформулировка интерполяционных условий без помощи теории интерполяции 26
1.5.1 Две леммы 26
1.5.2 Существование сжимающего оператора 27
1.5.3 О перестановочности R и S 29
1.6 Мотивация изучения условия (1.11) 31
1.6.1 Оператор В 31
1.6.2 Построение оператора L 32
1.7 Спектральные задачи 35
1.7.1 Одно спектральное свойство равномерно «/-положительных операторов 35
1.7.2 Соответствие А Нг(А) 38
1.7.3 Одна специальная спектральная задача 39
2 Одномерный случай 41
2.1 Конкретизация погружения Я 41
2.1.1 О пространствах Соболева 41
2.1.2 Меры 42
2.1.3 Конкретизация погружения R 42
2.1.4 О задачах, соответствующих нашему выбору R 43
2.2 Двусторонние результаты 45
2.2.1 Некоторые пространства и операторы R и J 46
2.2.2 Характеризация интерполяционного условия 47
2.2.3 Переформулировка условия типа Чургуса 49
2.2.4 Пример дискретной меры со свойством (1.11) 51
2.2.5 Критерий существования S со свойствами (і)1 и (іі)' . 58
2.3 Односторонние результаты 65
2.3.1 Одностороннее условие 65
2.3.2 Одно условие на функции 66
2.3.3 Применение сжимающего оператора 67
2.3.4 Применение условия типа Чургуса 69
2.4 Различные замечания 71
2.5 Случай произвольной картины перемен знака 74
2.5.1 Редукция к вычислению l(t, Q) 76
2.5.2 Вычисление l(t, Q) 81
3 Многомерный случай 85
3.1 Необходимое условие и контрпримеры 87
3.2 Конструкция ^-покрытия 90
3.3 Основная теорема 92
3.4 Полиномиальная аппроксимация 95
3.5 Доказательство леммы 22 98
3.6 Три теоремы 107
Литература 110
- Интеграл Бохнера, обобщенные производные и пространства LP(Q,T;X)
- Мотивация изучения условия (1.11)
- Переформулировка условия типа Чургуса
- Полиномиальная аппроксимация
Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ
В настоящей диссертации при исследовании базисности по Риссу в индефинитных спектральных задачах автор акцентировал своё внимание на весовой функции или мере из правой части рассматриваемых задач и при этом игнорировал интересы приложений: возможность постановки более общих задач при помощи более общих дифференциальных операторов в левой части и более общих граничных условий, а также вопрос о том, какие классы весовых функций (мер) возникают в приложениях. По мнению автора, изучаемый аспект проблемы базисности имеет прежде всего теоретическое значение. Теоретическую важность исследуемой проблеме придают её нетривиальность, простота постановки и тот интерес, который она уже к себе привлекла.
Если же ограничиться простейшими весовыми функциями, то можно сказать следующее. Индефинитные спектральные задачи с такими функциями часто встречаются в приложениях; см., например, примеры в [31] и ссылки на литературу в [32], [8]. Из недавних работ укажем на [48]. Базисность по Риссу важна потому, что она влечет, см. раздел 1.7.1, так называемую half-range базисность (базисность половин), позволяющую решать приведшее к спектральной задаче уравнение методом Фурье.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Пусть д Є L\{—1,1) — такая вещественнозначная интегрируемая функция, что хд(х) О для почти всех х Є (—1,1). Рассмотрим спектральную задачу -и"{х) = \д(х)и(х), -К х 1; и(-1) = и(1) = 0, (0.1) где А — спектральный параметр, а уравнение выполняется в обобщенном смысле. Для этой задачи рассматривается вопрос о базисности по Риссу собственных функций в весовом пространстве L2,3(—1,1) с нормой IML2I9(-I,I) = II \д(х)\\и(х)\2 dx Данный вопрос в целях краткости называется базисностью. Основной проблемой, стоявшей перед автором, было получение критерия базисности в терминах ВВЕДЕНИЕ весовой функции д, а также исследование аналогичной проблемы для многомерных спектральных задач. Заметим, что критерий базисности для нечетной функции д был впервые установлен автором в 2002 г. в магистерской диссертации (опубликовано в [14]). Оказалось, что при нечетной функции д базисность равносильна тому, что гиіє -і re Эы Є (0,1) Ve Є (0,1) / д{х) dx - д(х) dx. (0.2) Jo 2 J0 В этом критерии возникла величина 1+ = JQ д(х) dx, поэтому представилось естественным изучать обобщение задачи (0.1) — задачу -и"(х) dx = Хи(х) dn(x), -1 х 1; и(-1) = и(1) = 0, (0.3) где \х — знакопеременная мера на (—1,1) с разложением Хана (0,1) U (—1,0]; нечетность функции д при этом переходит в нечетность меры ц, а критерий (0.2) — в критерий Зо; Є (0,1) УєЄ(0,1) /+ Іі+ где /е+ = //((0,є)). (0.4) Так к основным проблемам добавилась проблема рассмотрения обобщения (0.3) задачи (0.1) и аналогичного обобщения многомерных задач. При исследовании многомерных задач возникли некоторые условия, которые естественно рассматривать в пространствах Соболева W™ не только при р = 2, но для всех р € (1,оо). Автору показалось желательным как-нибудь связать эти условия с дифференциальными уравнениями.
ИСТОРИОГРАФИЯ ВОПРОСА
Проблема базисности по Риссу в индефинитных спектральных задачах систематически изучалась С.Г. Пятковым, Б. Чургусом, А. Фляйге, X. Лангером и Б. Найманом; отдельные работы есть у Р. Билса, М. Файермана, П. Биндинга, X. Волкмера, Н.Л. Абашеевой и других авторов. Первые существенные результаты были получены в 1984-1985 годах; отметим, что в этих работах нередко использование слова полнота (completeness) для обозначения базисности по Риссу (full-range &: half-range completeness). Базисность была установлена: в работе [53] Капера, Квонга, Леккеркеркера и Зеттла для одномерной задачи с весовой функцией д(х) = х при помощи асимптотики собственных значений и собственных функций, в ставшей сейчас классической работе [32] Р. Билса для одномерной задачи и весовой функции д(х) = a;a/i(x)sign х, где a —1/2, h(0) ф 0 и h Є С1 в окрестности нуля, и в работе [20] С.Г. Пяткова для многомерной задачи и весовой функции д такой, что 7 и -1 существенно ограничены. Б. Чургус привёл в [36] удобный критерий регулярности критической точки оо дефинизируемого оператора в пространстве Крейна, называемый в дальнейшем ВВЕДЕНИЕ условием Чургуса; базисность равносильна регулярности критической точки оо оператора, который можно сопоставить рассматриваемым спектральным задачам. Чургус пользовался понятиями спектральной функции (оператора в пространстве Крейна) и регулярности её критических точек, приведёнными в [56]. К тому же периоду времени относятся работы П. Гривара [50] и А. Макинтоша [58], связь которых с исследуемой тематикой обнаружилась впоследствии.
Проблеме базисности посвящена серия работ С.Г. Пяткова 1984-2001 годов. Содержание этих исследований отражено в монографиях [8] и [62]. Опишем некоторые работы серии. В [21] приведены критерий базисности на языке теории интерполяции банаховых пространств и достаточное интерполяционное условие, а также в многомерном случае рассмотрены весовые функции степенного вида. В [22] приведён пример бесконечное число раз меняющей знак весовой функции, для которой нет базисности. В [60] рассмотрена проблема базисности для самосопряженного операторного пучка Lu = ХВи; похожие результаты изложены в [23]. В совместной с Н.Л. Абашеевой статье [27] приведены достаточные условия небазисности в случае одной точки перемены знака у весовой функции. Работы [61] и [24] посвящены интерполяции весовых пространств Соболева.
Опишем теперь работы по небазисности, то есть по необходимым условиям базисности. Кроме уже упоминавшихся [22] и [27] это работы Волкмера [63], Абашеевой [1], Фляйге [46] и Биндинга и Чургуса [33]. В [1] рассмотрения из [27] обобщены на случай многомерных задач высокого порядка. В [63] теорема Бэра о категориях использовалась, чтобы доказать существование весовой функции с одной точкой перемены знака и свойством небазисности. В [46], как и в [27], [1], приведены конструктивные примеры. В [33] показано, что антипериодические краевые условия /(1) + /(-1) = / (1) + / (—1) = 0 (для спектральной задачи — /" = Xgf) превращают концы интервала (—1,1) в аналог точки перемены знака, так что можно получить небазисность, определяя функцию g на (—1,-1 + є) U (1 — є, 1) подходящим образом. [В других работах были взяты условия Дирихле.]
Но в основном исследования были посвящены поиску достаточных условий базисности. Есть два абстрактных достаточных условия — достаточное интерполяционное условие и условие Чургуса. Достаточное интерполяционное условие использовалось Пятковым, а также в работе [38] Чургуса и Наймана, где даны обобщения условия Чургуса и достаточного интерполяционного условия, а также разобрана многомерная спектральная задача в неограниченной области, когда \д\ и 7І-1 существенно ограничены. В остальных работах применялось условие Чургуса, которое требует существования некоторого оператора. Этот оператор обычно строился построениями, близкими методу Хестенса продолжения функций. Это относится, например, к работе [37] Чургуса и Лангера, где рассматривалась индефинитная спектральная задача для обыкновенного дифференциального оператора высокого порядка с локально интегрируемыми коэффициентами. Базисность была установлена при степенном поведении весо ВВЕДЕНИЕ вой функции справа и слева от любой из точек перемены знака; предполагается, что их конечное число, а показатели степени для правой и левой полуокрестностей точки перемены знака могут быть различными. В работе [42] Фляйге показал достаточность для базисности степенного поведения весовой функции с одной только стороны от точки перемены знака, и назвал это односторонним условием Билса. В работах [39] Чургуса и Наймана и [44] Фляйге и Наймана доказана регулярность критических точек 0 и со не имеющего собственных значений оператора -щ 7 при д(х) = a:ssign х, s —1. В [45] Фляйге и Найман получили на основе абстрактных рассмотрений некоторые не очень удобные достаточные условия базисности для многомерных задач; вообще, условия для многомерных задач обычно громоздки, см. работы [60, 23, 24] Пяткова и [41] Файермана и Лангера.
Приведём ещё несколько работ по тематике диссертации. В [9] с помощью формул для собственных функций А.А. Зябловым установлена базисность в одномерной задаче с весовой функцией степенного типа. В монографии [43] Фляйге обсуждалась постановка одномерных индефинитных спектральных задач, задаваемых мерой вместо весовой функции; для дискретной меры получаются разностные уравнения, рассматривавшиеся также в [44] и [45]. В работе [47] Фляйге индефинитность возникала в левой (дифференциальной) части операторного пучка Lu = \Ви, а не в правой. В работе [34] Биндинга и Р. Хринива рассматриваются full-range &; half-range типы базисности в абстрактной постановке; в частности, приведен пример оператора, для которого есть half-range базисность, но нет full-range базисности. В [35] Биндинг и Чургус рассмотрели задачу с зависящими от спектрального параметра краевыми условиями.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
Диссертация состоит из титульного листа, оглавления, соглашений об обозначениях, введения, трёх глав и списка литературы. Главы разбиты на разделы, разделы иногда разбиты на подразделы, тоже именуемые разделами. Нумерация разделов, теорем и лемм сквозная, номер формулы состоит из номера главы и номера формулы в главе.
Глава 1 "Абстрактные результаты" является смесью предварительных сведений, оригинальных результатов и обобщений ранее известного. Обобщения ведутся в двух направлениях. Одно направление связано с переходом от спектральной задачи (0.1) к задаче (0.3) способом, отличающимся от применённого в [43] и использующим перенос нормы гильбертова пространства X в образ Xd = RX линейного оператора R. Этим рассуждениям можно придать абстрактную форму, рассматривая спектральную задачу, определяемую плотным компактным вложением гильбертова пространства Х в пространство Крейна К. Аналогичные обобщение и абстрактную трактовку можно совершить с нелинейным дифференциальным уравнением, меняющим тип и рассмотренным Ж.-Л. Лионсом в [11]. Оказывается, что проблему базисности и проблему разрешимости обобщения уравнения Лионса можно изучать одновременно, ВВЕДЕНИЕ сводя их к интерполяционному условию (0.5), см. ниже. Второе направление обобщений состоит в переносе условия Чургуса и достаточного интерполяционного условия с гильбертова пространства на банахово, что приводит к условиям, достаточным для справедливости основного условия (0.5). Главный же оригинальный результат — это возможность выразить достаточное интерполяционное условие без помощи теории интерполяции и, в случае интерполяции замкнутых подпространств, придать ему форму условия существования сжимающего оператора, сохраняющего класс эквивалентности по подпространству; этот вопрос рассмотрен и для пространств Xd с банаховым X. Опишем главу 1 по разделам.
Глава 1 начинается с изложения в разделе 1.1 предварительных сведений из теории двойственности банаховых пространств, теории 1/р-пространств век-торнозначных функций, теории интерполяции банаховых пространств и теории пространств Крейна. В теории двойственности автор различает сопряженные и негативные пространства, поскольку обычное их отождествление кажется ему недостаточно строгим. В разделе 1.2 собраны основные предположения и условия главы 1. В разделе 1.3 условие Чургуса и достаточное интерполяционное условие переносятся со случая гильбертовых на случай банаховых пространств; условие Чургуса при этом превращается в условие типа Чургуса. В разделе 1.4 для банаховых пространств Л", У и оператора R Є L(X,Y) определяется банахово пространство Xd = RX (с Y) и изучаются его свойства. В разделе 1.5 показано, как в достаточном интерполяционном условии можно избавиться от терминов теории интерполяции. Кроме основных двух лемм (раздел 1.5.1) разбирается частный случай интерполяции замкнутых подпространств совместно с модификацией на случай интерполяции пространств Х -типа (разделы 1.5.2 и 1.5.3). В разделе 1.6 модифицируются рассуждения Лионса [11], опирающиеся на работу [30] Бауэнди и Гривара. Пусть V — рефлексивное банахово пространство, К — пространство Крейна, R Є L(V, К) и пространство Vd = RV плотно в К. В разделе 1.6.1 исследуется некоторый оператор В Є L(V, V ), а в разделе 1.6.2 в предположении справедливости условия (Vd,Vdc)1/2,2 = K (0.5) где круглые скобки обозначают метод вещественной интерполяции, строится максимальный монотонный оператор L, Lu = j Bu, который можно использовать для постановки нелинейного дифференциально-операторного уравнения Lu + A{u) = /. В разделах 1.7.1, 1.7.2, 1.7.3 приведены не требовавшиеся раньше сведения про пространства Крейна и описана связь между одним спектральным свойством равномерно «/-положительных операторов в пространстве Крейна, базисностью по Риссу, теорией голоморфного функционального исчисления операторов, условием Чургуса и условием (0.5) с гильбертовым V и компактным R Є L{V, К).
Главы 2 и 3 нацелены на установление равенства (0.5) для конкретного выбора оператора R Є L(V, К), когда V — пространство Соболева W™ в области ВВЕДЕНИЕ n-мерного евклидова пространства, К — пространство Крейна Li в этой области, определяемое знакопеременной мерой ц, а оператор R погружает V в К, считая V = W™ состоящим из непрерывных функций, а не классов эквивалентности относительно меры Лебега. В этих главах часто используются гёль-деровость функций из пространств Соболева и следующие две идеи: дискретизация в духе разбиения Уитни и хорошо известных лемм о покрытии; внесение множителя /7/ 7 или fj fj1 в оцениваемый интеграл или сумму и применение неравенства Гёльдера с последующим изменением порядка интегрирования или суммирования.
Глава 2 "Одномерный случай" посвящена изучению одномерного, п = 1, случая вышеописанной ситуации, которая определяется в разделе 2.1.3 после сообщения в разделах 2.1.1 и 2.1.2 сведений о пространствах Соболева и знакопеременных мерах. Таким образом, раздел 2.1.3 очерчивает круг исследования также для главы 3, в которой изучается многомерный случай п 1. В разделе 2.1.4 обсуждается, во что переходят абстрактные задачи из разделов 1.6 и 1.7.3 при указанном выборе оператора R. Так, при п = га = 1ир=2 приходим к задаче (0.3), базисность по Риссу в которой эквивалентна условию (0.5).
В разделах 2.2, 2.3 и 2.4 рассматривается ситуация, когда заданная на интервале (—1,1) мера [А меняет знак только в нуле; снова некоторые результаты сформулированы так, чтобы в главе 3 не пришлось повторяться. Раздел 2.2 посвящен рассмотрениям, учитывающим поведение /г как справа, так и слева от нуля, в разделе 2.3 учитывается поведение ц только справа от нуля, а раздел 2.4 содержит замечания, во многом обязанные своим существованием тому, что критерий базисности в задачах (0.1), (0.3) пока неизвестен. Разберём содержание разделов 2.2, 2.3 и 2.4 подробнее.
В разделе 2.2.1 вводятся пространства разрывных в нуле функций и применительно к рассматриваемой ситуации формулируется итог разобранных в главе 1 переформулировок достаточного интерполяционного условия — условие ЗЪ 0 Vu € V ШЄ (0, оо) 3V Є V \\JRu - Rv\\K + t\\v\\v bt?\\Ru\\i \\u\fi, (0.6) где 0 /3 1, a J — оператор умножения функции на X(o,i) — Х(-і,о]- В разделе 2.2.2 даётся характеризация этого условия в терминах меры \ь при т = 1. На этом исследование достаточного интерполяционного условия при п = т = 1 и одной точке перемены знака можно считать завершенным. В разделах 2.2.3, 2.2.4 и 2.2.5 сделана попытка приблизиться к критерию базисности в терминах /z в задаче (0.3) для произвольной меры ц с помощью условия Чургуса, которое равносильно базисности. В разделе 2.2.3 условие Чургуса адаптируется к изучаемой ситуации. В разделе 2.2.4 базисность доказана для одной дискретной меры, не удовлетворяющей достаточному интерполяционному условию. В разделе 2.2.5 рассматривается ослабленное условие Чургуса, получаемое из условия ВВЕДЕНИЕ Чургуса делением его на три подусловия и отбрасыванием одного из них. Ослабленное условие Чургуса оказывается возможным охарактеризовать в терминах меры /І. В частности, это даёт новое необходимое условие базисности.
В разделе 2.3.1 с помощью формы (0.6) достаточного интерполяционного условия и с прицелом на главу 3 доказан результат, который в одномерном случае звучит так: основное условие (0.5) выполняется, если существует такое, возможно нелинейное, ограниченное отображение пространства Соболева над интервалом (0,1) в себя, что оно сохраняет граничные значения функций в нуле и является сжимающим в норме пространства /,2,/ (0, 1)- В разделе 2.3.2 приводятся эквивалентные формы условия на функцию / : (0,1) —» [0, оо), одна из которых есть (0.4) с /(є) вместо /+. В разделе 2.3.3 показано, что отображение из раздела 2.3.1 существует тогда и только тогда, когда выполняется (0.4), то есть когда функция /(e) = /+ такая, как в разделе 2.3.2. Это значит, что (0.4) достаточно для выполнения (0.5) при любых параметрах тир. В разделе 2.3.4 показано, как установить эту же импликацию (0.4) = (0.5) при га = 1 с помощью условия типа Чургуса.
Раздел 2.4 разбит на три пункта и содержит обсуждение рассмотрений разделов 2.2 и 2.3. В пункте 1 приведено необходимое условие базисности в задаче (0.3) и показано, что (0.4) не только достаточно, но и необходимо для базисности в случае нечетности и. В пункте 2 указана связь ослабленного условия Чургуса с проблемой квадратного корня Като, тесно связанной с теорией голоморфного функционального исчисления операторов. В пункте 3 указана связь базисности с устойчивостью в интерполяционных шкалах; в частности, из разделов 2.2.1 и 2.2.4 вытекает, что устойчивость не всегда имеет место.
В разделе 2.5 с помощью достаточного интерполяционного условия в форме (0.6) изучается ситуация, когда п — т = 1ир = 2, но мера ц произвольна — не обязана менять знак только в нуле. [По условию Чургуса никаких результатов в данном контексте не получено; вообще, условие (типа) Чургуса изучалось автором только при п = т = 1 и одной точке перемены знака.] В разделе 2.5.1 показано, что (0.6) достаточно проверять не для всех функций и, а только для тех, которые имеют трапецеидальный график, что приводит к величине l(t,Q), где Q — интервал. В разделе 2.5.2 показано, что l(t, Q) можно с точностью до мультипликативной константы вычислить, разбивая Q на подходящие подынтервалы.
В главе 3 "Многомерный случай" изучается, как уже говорилось, случай п 1 ситуации, описанной в разделе 2.1.3. Рассматривается простейший случай, когда мера \i меняет знак при переходе через гиперплоскость. Все результаты отнесены к условию существования сжимающего оператора, сохраняющего граничные значения — условию, выведенному в разделе 2.3.1 из достаточного (для выполнения (0.5)) интерполяционного условия. Получающиеся условия на меру /х похожи на (0.4), но для всех троек п, га, р параметров есть разрыв между необходимыми (для существования сжимающего оператора) и достаточными условиями. В разделе 3.1 получено, среди прочего, одно такое необ ВВЕДЕНИЕ ходимое условие. В разделе 3.2 строится вспомогательная конструкция типа Уитни. В разделе 3.3 доказано, что при т = 2ир 2 похожее на (0.4) условие (3.4) достаточно для существования сжимающего оператора и, следовательно, достаточно для выполнения (0.5). Доказательство проводится путём срезания функции на тех множествах Уитни, которые дают существенный вклад в норму пространства L , , остаётся установить, что срезание увеличивает Соболевскую норму не более чем в конечное число раз. Для установления этого строится возрастающее семейство множеств, и возникает альтернатива — либо Соболевская норма функции на всех множествах мала, что даёт контроль поведения функции и приводит на наибольшем множестве семейства к противоречию с граничными условиями, либо она велика на одном из множеств семейства, а тогда это множество можно использовать для оценки сверху "стоимости срезания в пространстве Соболева". Основная в разделе 3.3 лемма 22, где всё это сформулировано количественно, доказана в разделе 3.5 на основе сведений о полиномиальной аппроксимации из раздела 3.4. [Ясно, что если Соболевская норма мала, то функция в каком-то смысле должна быть близка к многочлену.] В разделе 3.6, в частности, доказано, что условие (3.4) достаточно для существования сжимающего оператора при т = 1, что вместе с результатом раздела 3.3 даёт импликации (3.4) & р(т — 1) 2 = • существование сжимающего оператора = (0.5). Однако (3.4) не влечет существование сжимающего оператора при р(т — 1) 2, как показано в разделе 3.1.
АПРОБАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ
Результаты диссертации докладывались на семинаре под руководством профессоров B.C. Белоносова и М.В. Фокина в ИМ СО РАН (г. Новосибирск); на семинаре под руководством профессора А.И. Кожанова в ИМ СО РАН (г. Новосибирск); на семинаре под руководством академика Ю.Г. Решетняка в ИМ СО РАН (г. Новосибирск); на международной конференции "Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы" (г. Стерлитамак, 2003 г.);
на международной школе-конференции по анализу и геометрии, посвященной 75-летию академика Ю.Г. Решетняка (г. Новосибирск, 2004 г.);
на Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения - XVI" (2005 г.).
Интеграл Бохнера, обобщенные производные и пространства LP(Q,T;X)
Пусть X — вещественное или комплексное банахово пространство. Сопряженное к нему X можно определить двумя способами: (1.1а) (1.1b) X — множество всех линейных функционалов на X с линейными операциями (Д 4- /г)(я) = /і0 0 + /г(я), (af)(x)=a(f(x)); X — множество всех сопряженно-линейных функционалов на X с линейными операциями (/i + h){x) = Мх) + f2(x), ( /)( ) = (/( )). В вещественном случае они дают одно и то же. После наделения X нормой И/Их = suPxx=i \f(x)\ инволюция / «- / устанавливает линейную изометрию между первым и вторым вариантами сопряженного пространства. Если есть плотное вложение X С Y банаховых пространств и / Є Y , то f\x Є X , причём / однозначно восстанавливается по своим значениям на X. Поэтому Y можно считать вложенным в X : Y С X . Если X рефлексивно, то Y плотно в X , см. [4], с. 24. Если же X или Y гильбертово, то можно говорить о негативных пространствах вместо сопряженных. Глава 1. Абстрактные результаты Пусть до конца раздела Н обозначает гильбертово пространство со скалярным произведением (, ), X и У — произвольные рефлексивные банаховы пространства такие, что выполняются плотные вложения X С Н С У, влекущие плотные вложения У С Н С X . Определим линейную сюръективную изо-метрию г : Н — Н формулой т(х) — {-,х) в случае (1.1а) и т(х) = (х,-) в случае (1.1b). Пусть X — пополнение Н по негативной норме хх = г( )х - Ввиду плотности Н в X функция г продолжается до изометрии X на X . Для банахова пространства А и взаимно однозначного линейного оператора Л с Л С D(A) пусть Положим У = T 1(Y ). Тогда г одновременно является изометрией Y на Y , Н на Н и X на X . Отсюда, в частности, X и Y рефлексивны. Пространство X удовлетворяет требованиям, предъявляемым к У, a Y — требованиям, предъявляемым к X, поэтому можно образовать пространства X" = (Х У и Y" = (YJ. Покажем, что X" = X, Y" = Y. Из Я С X следует, что {Х У С Н , где {Х У состоит из всех функционалов на Н, непрерывных в норме пространства Xі. Поэтому для х X имеем где использовали замену / = т( ?) и равенство т( 7)(:г) = ( 7,х)\ = \т(х)(д)\. Теперь из рефлексивности X легко выводится, что X = X". Аналогично для у Є Н имеем Множество Н плотно в Y по условию и в Y" по определению, откуда У = У". Будем считать известными простейшие свойства интеграла
Бохнера и производных (классических и обобщенных) векторных функций. Большинство необходимых ниже сведений собраны в [4] на с. 145-179. Пусть Т Є (0, оо], S — (0,Т) и X — банахово пространство. Напомним, что локально интегрируемая по Бох-неру функция / : S X имеет в X обобщенную производную g = / , если g : S — X локально интегрируема и Пусть Через LP(S; X) = Lp(0, Т; X) обозначается банахово пространство, состоящее из классов эквивалентности сильно измеримых функций v : S — X, для которых Is второе можно считать сопряженным к первому в том смысле, что любой / Є V представим единственным образом в виде с некоторым и Є V», причём соответствие / —и устанавливает линейную изо-метрию V на V , см. [4], с. 159-163. Угловыми скобками ради удобства обозначено значение а Є V на Ь Є V, то есть a(b) = (а, Ъ). Таким образом, формы и (-, -)g полуторалинейны в случае (1.1b), а в случае (1.1а) полуторалинейны формы и -)s. 1. Интерполяционной парой называется пара {Л0, А\} банаховых пространств, непрерывно вложенных в некоторое отделимое линейное топологическое пространство. В качестве наименьшего такого пространства можно взять линейное пространство Л0 + А\, банахово относительно нормы В теории интерполяции банаховых пространств изучают интерполяционные функторы — способы построения по интерполяционной паре {Л0, Аі} пространства A, AQHAI СІЄ AQ + AI, которое обладало бы, в некотором смысле, свойствами промежуточными между свойствами пространств А0 и А\. Наибольшее значение имеют функторы вещественной и комплексной интерполяции. Рассмотрим первый функтор. Ниже {А0,Лі} обозначает интерполяционную пару. 2. Вещественная интерполяция. Пусть О 0 1и1 д оо. Интерполяционное пространство (А0,Аі)е„ {вещественный метод) можно определить несколькими способами, дающими одно и то же, с точностью до эквивалентной нормы, банахово пространство. Одним из способов является метод следов. Возьмём целые т lnj,Q j m — 1, вещественные щ — j, щ т — j и "расширенно-вещественные" 1 qo,qi со свойством Такие значения параметров найдутся (можно положить т = 1, j = 0, щ = г)\ = 9 и 0 = q\ = я)- Рассмотрим пространство = ((Л0, Лі) всех регулярных (Л0 + Лі)-значньіх обобщенных функций v на (0, оо) таких, что с нормой Любая « Є непрерывна на [0, оо) в пространстве Ао + А\. Пространство (Ао, Аг)0Л определяется как множество всех а Є Л0 + Аг, представимых в виде а = v(0) с некоторым v Є , причём это множество не зависит от выбора параметров га, j, q0, q\, Щ и 771 Нормы для разных значений параметров попарно эквивалентны и превращают (А0, Ai)e q в банахово пространство, см. [25, с. 46 и 51]. Пусть 1 р оо. В частном случае т = 1, j = О, д0 = Р, qi=Pr = Р/(Р - 1), Vo = Vtfo и Tft = 1/gi (1.4) получаем, что в = 1/2, q = 2, и (А0, Лі)і/2,2 есть множество всех а Є Л0 + Лі, представимых в виде a = f(0), с нормой a = inf ug, где Сформулируем дискретный метод следов для этого случая. Для 1 г оо через 1Г обозначается пространство всех двусторонних скалярных последовательностей {xk}, для которых конечно выражение являющееся нормой в 1Г. Пусть пространство с = с(Л0, Лх) состоит из всех Ло-значных двусторонних последовательностей {vk} таких, что Глава 1. Абстрактные результаты с нормой Лемма 1 Если {vk} Є с, то кусочно линейная функция v, равная v{2 k) = vk на концах отрезков Gk = [2_fc,21_fc] линейности, принадлежит к и Доказательство. При Gk Э t = 2 k(l + ), 0 1, имеем v(t) = (1 — )vk + _г Є Ло и \\v(t)\\Ao J(0 = (1-0 х + Р, где a = \\vk\\Ao и j3 = fc_iUo- С участием неравенства Йенсена (функция /р выпуклая) выводим откуда следует (1.5). Неравенство (1.6) вытекает из того, что обобщенная производная v равна 2fc(i fc_i — vk) Є Аі на Gk и \\А\ьАск;А.) = 2k(meSGk)1/p \\vk-l - vk\\M = 2 11 ! - VfcAl. Дискретный метод следов для значений параметров (1.4) — это следующая Теорема 1 Пространство ( 0,- 1)1/2,2 состоит в точности из а Є А0 + Аг, представимых в виде a = \imk ,+00vk, где предел вычисляется в AQ + А± и {vk} Є с. Норма в (А0,Аі)і/2,2 эквивалентна норме Доказательство. Пусть a = v(0) Є (А0, Аі)і/2 , где функция v Є . Для целого к положим vk = 2 fG vdt (є Л0). Из неравенства Гёльдера 2-k \\vk\\Ao 2- 2k(mesGky- JG 1 11 ) =( ІМЦ, ) ,
Мотивация изучения условия (1.11)
Пусть у Є К. Отображение является элементом сопряженного пространства V при договоренности (1.1а), соответственно (l.lb), ввиду [Rv,y] \\Rv\\K\\y\\K .Кг уг/д:. Обозначая этот функционал через Ry, получаем Rc Є L(K, V ). Оператор характеризуется в терминологии раздела 1.1.2 условием (Bu,v) = [Ru, Rv] для всех u,v Є V в случае (1.1а) и условием (Bu,v) = [Ru, Rv] в случае (l.lb). Лемма 9 Пусть выполнено (1.12). Тогда пространство Vj рефлексивно и плотно вложено в К, так что имеет смысл пространство V, см. раздел 1.2. Кроме того, (И) Пусть v : S — V — функция, заданная на интервале вещественной оси. Если в V существует обобщенная производная (Bv) , то существует и производная (ii) Пусть (Bv) существует в V . Обозначим через Y замкнутое подпространство R(-B) в V . Если / = Bv, g = / , то левая часть формулы (1.3) принадлежит Y для всех /?. Заставляя у? пробегать дельтаобразную последовательность в точке Лебега функции д, то есть в такой t Є S, что 1ітє_,о Jt \\э(0 7()у d/e = 0, получим в правой части —g(t), что должно принадлежать к Y. Поскольку почти все t Є S являются точками Лебега [6, с. 237], (By) Є Y почти всюду. Ввиду (і) корректно определение изометричного оператора U : R(-B) —» R(J?) формулой U(Bx) = Rx для всех х Є V. Продолжение по непрерывности даёт изометрию U : Y — R(i?). Применяя оператор U к равенству (1.3), где интегралы берутся в Y, получим, что в V существует обобщенная производная (Яг/) = U(Bv) . Пусть х Є V. Применение операторов (-,х) и [-,Да;], которые ограничены в V и К соответственно, к определению (1.3) обобщенной производной, даёт равенства (Bv,x) = ((Bv) ,x) и [Rv, Rx]f = [(Rv) , Rx] скалярных функций. Теперь аналогично (і) почти всюду в S имеем \\(Bv) \\v =sup xeV = sup x&V ((Bv) ,x) \\ \\v [Rv, Rx] WW sup xeV = sup xeV (Bv,x) [(Rv) , Rx] \4v = \\(Rv) \\vs. U Замечание. Если v(t) Є N(i?) для всех t, то Bv = 0 и Rv = 0, хотя обобщенная производная v в V может не существовать. 1.6.2 Построение оператора L Пусть оператор В Є L(V, V ) взят из предыдущего раздела, а Т, S, р, V, V, V», () ) и ( )s такие, как в разделе 1.1.2. Напомним, что V = LP(5;V)HV. = V(5-;K ), где р = В теореме 8 будет показано, что справедливость условия (1.11) позволяет представить соответствие г; — (Bv) — Bv как такой линейный оператор L : V — V», что L и L : V — V монотонны, то есть L и L замкнуты, плотно определены и Ke(Lv,v)s 0, Ke(L v,v)s 0 для всех v из D(L), D(L ). (Сопряженный оператор L определяется как максимальный оператор со свойством (Lu,v)s = (L v,u)s для всех и Є D(L), v Є D(L ).) Это обстоятельство позволяет, в частности, решать уравнение вида 329. (Заметим, что в [4] и [11] не различают V и V и рассматривают только вещественные пространства.) Доказательство теорем 7 и 8 следует пункту 3.2.6 из [11]. !f Доказательство. Воспользуемся методом следов и его дискретным вариантом, который был развит для значений параметров (1.4); отметим, что Vd С VJ. Если v Є W, то ввиду неравенства iuvd IMIv и леммы 9(ii) вектор-функция у = Rv принадлежит к пространству s(Vd, VJ) в терминологии раздела 1.1.3. Поэтому она -непрерывна, Rv\t=Q = у(0) Є X и \\у(0)\\х Ci\\v\\w. Взятие нижней грани даёт \\а\\х C\Na. Обратно, пусть а Є X. Выберем целое ко со свойством 2 ко Є S.
По замечанию после теоремы 1 существует {г/fc} Є tk0{Vd, V) такая, что ук — а в VJ при fc —» +оо и {уА:}е СгЦвЦх» где С2 не зависит от а. Найдём Vk Є V такие, что г = 0 при к к0 и Л = 2Ль, IKIv (4/3)1/рІІУ Ік,і при к к0. Пусть v — кусочно линейная К-значная функция, построенная по {г/ } как в лемме 1. Из (1.5) получаем Поскольку функция у = Rv соответствует двусторонней последовательности {ук} в смысле леммы 1, то лемма 9(ii) и (1.6) влекут IKBtO Hv. = (Mllv№ ) = \\У К(о,оо ) \\{2к/рЫ -Vk-iWvs) что вместе с предыдущей оценкой даёт uw {yfc}e СгЦаЦх- Осталось заметить, что Rv(t) = y(t) — а в V при t — О (откуда Na С2І\а\\х) и что случай правого конца интервала S полностью аналогичен. Лемма 10 Пусть выполнены условия (1.12) и (1.11). Если сопряженные пространства понимаются в смысле (1.1b), то для всех u,v Є W верна формула (1.26) Доказательство проводится аналогично доказательству теоремы IV.1.17 из [4]. Предположим сначала, что и,v Є C SjV). Тогда Bu,Bv Є (S- V ) и [Ru,Rv] = (Bu,v) = ((Bu) ,v)+(Bu,v ) = ((Bu) ,v)+((Bv) ,u), что доказывает (1.26) ввиду формулы Ньютона-Лейбница и определения (, -)s- Пусть и, v Є W. Усреднение по Соболеву, как в лемме IV.1.12 из [4], показывает, что существуют un,vn Є Сг(3; V) такие, что «„-+ііиі)п- ивУи {Вип) — (Ви) , (Bvn) — (Bv) в V» при п — оо, так что если записать равенство (1.26) для ип и vn, то можно перейти к пределу в левой его части. Но ип — и и vn — v в W, откуда граничные значения /?мп(0) — Ru(0), Run(T) — Ru(T), Rvn(0) — Rv(Q) и Rvn(T) — Rv(T) в пространстве X из теоремы 7, равном К по условию. Учитывая непрерывную зависимость индефинитной метрики от аргументов, можем перейти к пределу и в правой части и получить (1.26) для и и v. Замечание. В случае (1.1а) надо в левой части (1.26) перенести комплексное сопряжение со второго слагаемого на первое. Теорема 8 Пусть выполнены условия (1.12), (1.11) и дано каноническое разложение К = К+[0)]К пространства Крейна К. Определим оператор L : V — V равенствами Тогда L монотонен, сопряженный оператор L : V — V характеризуется равенствами и также монотонен. Доказательство. Плотность CQ(S; V) в V показывает, что L плотно определён. Теорема 7 и (1.11) показывают, что L замкнут. Положив и = v Є D(L) в (1.26), получим Таким образом, L монотонен. Пусть теперь v Є D(L ), то есть г; Є V и (Lu, v)s = (w, u)s для некоторого w Є V и всех и Є D(L). Зафиксируем х Є V и для р Є Cg(5;R) рассмотрим и = ух Є C (S;V). Получим u = ірВх Є C (S;V ), и Є D(L) и Lu = (f Bx. Имеем Глава 1. Абстрактные результаты то есть fs(pwdt — fs p Bvdt в V для всех р. Это значит, что Bv имеет в V обобщенную производную (Bv) = —w = —L v Є V», откуда v Є W и L v = —(Bv) . Знание последнего равенства позволяет для теперь произвольного и Є T)(L) переписать условие (Lu,v)s = (L v,u)s в виде {(Bu) ,v)s + {(Bv) ,u)s = 0. Равенство (1.26) даёт [Ru(T), Rv(T)} - [Ru(0), Rv(0)} = 0, Vu Є D(L). Из теоремы 7 и определения D(L) вытекает, что [a, Rv(0)] = 0, [b, Rv(T)] = 0 для
Переформулировка условия типа Чургуса
Соединим в следующей теореме применительно к выбору погружения из раздела 2.1.3 условие типа Чургуса из теоремы 2 и условие Чургуса из теоремы 9. Теорема 12 Пусть п = т = 1 и 1 р оо. Еслир = 2, то условие существует ограниченный симметричный положительно определённый в К оператор U, (2-13) сужение которого на Vd принадлежит L(Vd, JV ) эквивалентно как базисности по Риссу в пространстве К R-образов обобщенных собственных функций задачи (2.6), так и равенству (1.11). Для произвольного р условие (2.13) достаточно для справедливости равенства (1.11). Доказательство. Первое утверждение теоремы непосредственно следует из теоремы 9. Второе вытекает из теоремы 2 при U = U . В целях переформулировки условия (2.13) скажем несколько слов о пространствах V и V из раздела 2.2.1 в случае справедливости условия (2.3). Пространство V состоит из таких кусочно абсолютно непрерывных на отрезке [—1,1] функций и(х) с единственной возможной точкой разрыва первого рода в нуле, что м(—1) = и(1) = 0, и(—0) = и(0) и конечна норма и = Ци Ці, (-ід), где и обозначает обычную (не обобщенную) первую производную и. Эта производная существует п.в. и совпадает с обобщенной на (—1,1) \ {0}. Если то выполняется (1.20) с XQ = V С X = V, откуда Vd является собственным замкнутым подпространством в V. В этом можно убедиться и другим способом: если справедливо (2.14), то и(0) = г (+0) = 0 для всех и Є N(i?), так что можно определить граничные значения элементов / = Ru Є V формулами /- = it(0), /+ = «(+0); теперь Vd = ker ф, где 0 ф ф Є (V) , ф(/) = /+ - /". Теорема 13 Пусть п = т = 1 в условиях раздела 2.1.3 и верно (2.3). Тогда (a) Если (2.14) не выполнено, то Vd — JVd = V, и имеет место (2.13). (b) Если (2.14) выполнено, то (2.13) имеет место тогда и только тогда, когда существует оператор Р, удовлетворяющий условиям Если р = 2, то существование оператора Р со свойствами (і)-(ііі) эквивалентно существованию оператора S со свойствами Доказательство, (а) Пусть, например, 1+ = 0. Вложение Vd С V вытекает из V С V в силу результатов раздела 1.5.2. Пусть / = Ru Є V e, и Є V. Существует й Є V, отличающаяся от и только на (0,є). Поскольку Ru = Ru, пространства Vd и V совпадают как множества и нормы в этих пространствах эквивалентны.
Отсюда JVd = JV = V. Теперь выбор U = I даёт (2.13). (Ь) Пусть имеют место (2.14) и (2.13). Без ограничения общности можно считать, что yil U 72 в К, где 0 7і 5: 72 2. Положим Р — I — U. Оператор Р симметричен и имеет норму меньше 1 ввиду (1 — 72К : Р 5: (1 -7іК- По причине Vd С V и JVd С JVf = Vf он принадлежит L{yd,Vf) и (Ри) + [Ри)+ = и + и+ - ((Uu) + (Uu)+) = 2и = 2и+ при и Є Vd. Таким образом, Р обладает свойствами (i)-(iii). Обратно, если Р обладает свойствами (i)-(iii), то оператор U = I — Р, очевидно, ограничен и положительно определён в К и принадлежит L{Vd, V). Для принадлежности его к L(Vd, JVd) необходимо и достаточно, чтобы {Uu) + (Uu)+ = 0 для всех и. Но это так ввиду (і). Это значит, что выполняется (2.13). Пусть р = 2 и оператор Р обладает свойствами (і)-(ііі). Положим М = VQ N(R) и R-i = (Ям)-1- Оператор Л_і является изометрией V на М С V, поэтому оператор S = R \PR Є L(V, Vе). По определению граничных значений для элементов V операторы R и Я_і сохраняют граничные значения, откуда следует (і) . Условие (іі) следует из і?5ид: = ИРійхЦд- ЦРЦЦДмЦ -. Условие (Ш) следует из (Ш) при помощи RR-i = I. Пусть, обратно, р = 2 и оператор S обладает свойствами (і) -(ііі) . Обозначим через R-i оператор обратный к сужению R на М. Как и раньше, Р — RSR-\ Є L(Vd, V). Условия (i)-(iii) легко выводятся из соответствующих им условий при помощи соотношения RR-i = /. Заметим, что в (іі) и (ііі) не различаются Р и его продолжение по непрерывности. Замечание. В статье [15] автор не заметил различие случаев р = 2ир 2 при переходе от Р к S и обратно. 2.2.4 Пример дискретной меры со свойством (1.11) В теоремах 12 и 13 обсуждалось условие (2.13) типа Чургуса, достаточное, а при р — 2 и необходимое, для справедливости (1.11). Приведём в настоящем разделе пример дискретной меры /І СО свойством (2.14), для которой возможно доказать (1.11), строя в явном виде оператор Р из теоремы 13, используя, в частности, явное описание пространств Vd и V. Пусть Se обозначает меру Дирака массы 1, сосредоточенную в точке 9. Рассмотрим для некоторого І Є (0,1) меру Она является частным случаем меры, рассмотренной в примерах 2.5, 2.16 и 2.40 из [43]. Заметим, что // = Y1T w &k- ДДР N(P) состоит из всех и Є V, обращающихся в нуль на в = {#1,02,...}, а нижняя грань в выражениях для норм пространств Va и V достигается на функциях, линейных на интервалах между соседними точками множества О U {—1,1}. Отсюда следует, что (совпадающие на Vd) нормы пространств Vd и V равны где [и]к = и{вк). Замена r)s—r)s+2 в знаменателе на г)„ даёт эквивалентную норму. Допустим, что существует оператор Р, обладающий свойствами (i)-(iii) из теоремы 13. Введём в К канонический ортогональный базис {Ек}: [Ek]s = 5ks и ортонормированный базис {е }, ек = w Ек- Оператор Р задаётся бесконечной симметричной матрицей с элементами Рка = (Рек,еа)К. Отметим, что Ек Є Vd и (Efc) = (Ek)+ = 0, откуда по условию (І) (РЕк) + (РЕк)+ = 0. Ввиду \\f\\vm = a іпі/=ягі H ili/ элементы пространства V удовлетворяют условию Гёльдера с показателем 1/р = 1 — 1/р слева и справа от нуля. Отсюда и из Ц Ціа г}7 /р следует, что для, например, четного к малость щ+і/щ по сравнению с PL,P „ влечет малость разностей по сравнению с 1. Иначе говоря, "в первом приближении" коэффициенты Ркз = Psk, s к, определяются одним числом к = (РЕк)+ = — {РЕк) -, а вся матрица (Ркз) —
Двумя последовательностями { ;} и {Ркк}- При щ+х/щ — 0 естественно искать матрицы (Pks), для которых разности (2.17) равны нулю. Теорема 14 Пусть п = 1, а\, а2 0, О q 1, а,\ ф qa2, а2 ф qa\, и в определении (2.15) меры и пусть wk = axqk для нечётных к и wk = a2qk для чётных к; ясно, что и удовлетворяет (2.3) и (2.14). Тогда при т = 1 существует оператор Р, удовлетворяющий условиям (і)-(гіі) теоремы 13. Таким образом, для указанной р по теоремам 12 и 13 верно (1.11); в частности, при р — 2 собственные функции задачи (2.6) образуют базис Рисса в К. Доказательство. Введём меру р(Х) = — р(—Х\{в\}) на (—1,1). Она имеет тот же вид, что и р, если положить Пусть P\ Є L(K,K) определён условием (Ріи)(вк) = [w]fc+i. Сопряженный к нему Pj Є L(K,K) характеризуется условиями [Pi"v]i = 0 и [Pfi +i = v(9k)-Нетрудно видеть, что при v Є Hfd в очевидных обозначениях. Если Р удовлетворяет условиям (і)-(ііі) по отношению к /Ї, то Р = PfPPx удовлетворяет этим же условиям по отношению к р.. Поэтому в дальнейшем предположение а\ а2 не ограничивает общности. Положим Рка = (-l)k+s+1[wmax{k,s)/wmin{k,a)]1/2 при к ф s и Ркк = т, где вещественные и о подлежат определению. Заметим, что (ііі) выполняется автоматически. К-оценка. Для не более чем счетного множества индексов X обозначим через 12{Х) гильбертово пространство семейств а = {ак}кех скаляров с (а, а) со и поэлементными (покомпонентными) линейными операциями, где скалярное произведение равно (a, b) = Ylkex акН- Изометрично отождествим К с /г(№) с помощью (и)к = {и,ек)к; тогда [u]k = w (u)k. Представим Р в виде Ри = YlT(u)kVk, где vk = Pek, (vk)a = Pks. Чтобы оценить P/f—ІС, разложим vk = xk + yk + zk. Этому разложению соответствует разложение Р = Р(х) + Р(у) + P(z), где, например, P(y)U = YlT(u)kyk- Вектора хк Є l2(N) равны Векторы (pi и fi2 взаимно ортогональны, ортогональны к Ъ и имеют равные нормы тогда и только тогда, когда где 0 Є С, 0 = 1, Е = fcex ЇМ2 w Е» = Х лєх IM2- Дополнительно имеем ll lll = ІІУ2ІІ = [SS,(Cl2 H- C22)//?]V2.
Полиномиальная аппроксимация
В данном разделе не обязательно п 1, и можно считать, что даны параметры (2.2). Зафиксируем постоянную в Є (0,1/2]. Пусть 9 — множество всех таких непустых ограниченных множеств X в W1, что X звёздно относительно какого-либо шара радиуса не менее Qlx- В следующей лемме расс что G звёздно относительно шара {\у\ G}. Из 0 G и la — 1 следует, что G С {\у\ у/п). Эквивалентность любых двух норм на конечномерном пространстве даёт доказывает лемму с Ъ\ = С\С г и &2 = СгСз- П При G Є Ж и и Є W(G) положим _i-i i/p для и Ои NG(0) = 0. Если NG(U) мало, то и близка к многочлену в смысле приводимой ниже леммы. Другие варианты понятия "почти полиномиально-сти" рассматривались в статьях [49, 64]. Заметим, что (непрерывная) функция и Є W(G) продолжается по непрерывности на замыкание G множества G, если G Є УК. Лемма 24 ДЛЯ постоянных (2.2) и в существует такая постоянная &з 0, что для любых G Є 91 и и Є W(G) найдётся многочлен qdu) степени не выше т — 1 такой, что Глава 3. Многомерный случай Доказательство. Множество G звёздно относительно некоторого шара В радиуса не меньше QIQ- Согласно интегральному представлению Соболева [12, с. 24], применённому к шару В и области G, и оценке на входящие в представление функции, существует полином QG(U) степени не выше т — 1 такой, что \и(х) — qc(u)(x)\ при х Є G не превосходит где С зависит только от п, т и Э. Поскольку G содержится в шаре радиуса \fnlo с центром х, при помощи неравенства Гёльдера оцениваем (3.12) сверху через (crn_i — поверхностная мера (n — 1)-мерной единичной сферы). Переходя от G к G, получаем первое неравенство в (3.11). Второе следует из определения NG(U) (В ТОМ числе при и = 0) и того, что G содержится в кубе с ребром la- П В следующей лемме bi, b2, Ь3 — постоянные из лемм 23 и 24, причём &i и Ъч соответствуют полиномам q с degg т — 1. Лемма 25 Пусть даны постоянные (2.2), в, Тогда существуют постоянные 64,65 0 со следующим свойством. Если множества Qs Є JH таковы, что mo из выполнения для и Є W(QN), некоторого А 0 и всех 0 s N неравенства следуют справедливые при s = 0,..., N неравенства .
Многомерный матривается норма, аналогичная норме [/]є из теоремы 19. По поводу этой нормы см. также раздел 10.4 в [26]. Лемма 23 Для х Є Шп u d 0 введём норму Доказательство. Растяжением Шп сводим доказательство к случаю IQ = 1. Ввиду инвариантности относительно сдвигов можно считать, что G звёздно относительно шара {\у\ G}. Из 0 G и la — 1 следует, что G С {\у\ у/п). Эквивалентность любых двух норм на конечномерном пространстве даёт доказывает лемму с Ъ\ = С\С г и &2 = СгСз- П При G Є Ж и и Є W(G) положим _i-i i/p для и Ои NG(0) = 0. Если NG(U) мало, то и близка к многочлену в смысле приводимой ниже леммы. Другие варианты понятия "почти полиномиально-сти" рассматривались в статьях [49, 64]. Заметим, что (непрерывная) функция и Є W(G) продолжается по непрерывности на замыкание G множества G, если G Є УК. Лемма 24 ДЛЯ постоянных (2.2) и в существует такая постоянная &з 0, что для любых G Є 91 и и Є W(G) найдётся многочлен qdu) степени не выше т — 1 такой, что Глава 3. Многомерный случай Доказательство. Множество G звёздно относительно некоторого шара В радиуса не меньше QIQ- Согласно интегральному представлению Соболева [12, с. 24], применённому к шару В и области G, и оценке на входящие в представление функции, существует неравенства Гёльдера оцениваем (3.12) сверху через (crn_i — поверхностная мера (n — 1)-мерной единичной сферы). Переходя от G к G, получаем первое неравенство в (3.11). Второе следует из определения NG(U) (В ТОМ числе при и = 0) и того, что G содержится в кубе с ребром la- П В следующей лемме bi, b2, Ь3 — постоянные из лемм 23 и 24, причём &i и Ъч соответствуют полиномам q с degg т — 1. Лемма 25 Пусть даны постоянные (2.2), в, Тогда существуют постоянные 64,65 0 со следующим свойством. Если множества Qs Є JH таковы, что mo из выполнения для и Є W(QN), некоторого А 0 и всех 0 s N неравенства следуют справедливые при s = 0,..., N неравенства Глава 3. Многомерный случай
