Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. НАХОЖДЕНИЕ МИНИМАЛЬНОГО ВЫПУКЛОГО ТЕПА ПО ВНЕШНЕМУ ПОЛЮ 13
I. Некоторые определения 14
2. Основная лемма и ее следствия 16
3. О минимальном выпуклом гравитирующемтеле 20
4. Определение центра тяжести гравитирущихмасс 25
5. Определение максимальной глубины залегания аномального тела 30
6. Оценка снизу минимальных размеров гравитирущих тел 31
7. Замечание к вычислению полного вектора напряженности- 37
ГЛАВА II. АПОСТЕРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ И ЗАДАЧА АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ 41
I. Постановка задачи аналитического продолжения 41
2. Асимптотическое поведение апостериорных оценок погрешности 43
3. Решение задачи аналитического продолжения с апостериорной оценкой погрешности 51
ГЛАВА III. ЧИСЛЕННАЯ РЕАЖЗАЦИЯ 55
І. Нахождение минимального шара 55
2. Минимальный крут для некоторых модельныхтел 57
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 63
ЛИТЕРАТУРА 64
Введение к работе
Общеизвестно, что гравитационный потенциал и(Ю в произвольной точке с радиус-вектором ={хи,г}г связан с неотрицательной плотностью масс рС^Є L*.(T) в области Т .0 точностью до нормировки, следующим соотношением ит = М?ю0\- (од) где^'^Т, о/г = сік'-сіу'.оіг/.
Решение уравнения (0.1) в общем случае существенно не единственно, в частности, потенциал поля точечной массы, помещенной в точку t0 і эквивалентен потенциалу внешнего поля однородного шара той же массы с центром в точке z0 .
Первая теорема единственности для внешней обратной задачи была получена Новиковым П.С. [i] . При различных предположениях о плотности и области, вопрос о единственности внешней обратной задачи изучали Сретенский J1.H. [2,3] , Иванов В.К. [4,5 J , Раппопорт И.М. [6,7] , Заморев А.А. [8-I0J , Шашкин Ю.А. [її] , Тодоров И.Т. [12] , Зидаров Д. [13] , Прилепко А.И. [ 14-16] , Цирульский А.В. [17] , Остромогильский А.Х. [18] . Последние работы в этой области принадлежат Страхову В.Н. [19-23] и Бродскому М.А. [24-26] , которые приводят примеры не единственности решения внешней обратной задачи.
Наибольшие успехи в решении данной проблемы достигнуты в двумерном случае, в силу возможности применения методов теории функций комплексного переменного (ТФКП). Впервые методы ТФКП при изучении обратных задач теории потенциала использовали Заморев А.А. [9,10] и Иванов В.К. [27,28] . Дальнейшее развитие этих методов связано с именами Страхова В.Н. [29,30] , Цирульс- кого А.В. [зі] , Воскобойникова Г.М. [32-34] и другими.
Иванов В.К. предложил методы, аналогичные используемым в ТФКП, для изучения обратных задач теории Ньютоновского (трехмерного) потенциала [35] . Его идеи получили дальнейшее развитие в работах Страхова В.Н. [Зб] и Жданова М.С. [37-39] .
Другая сложность решения внешних обратных задач потенциала обусловлена их некорректностью [40] . Основополагающие работы, посвященные методам решения некорректных задач применительно к задачам геофизики, принадлежат Тихонову А.Н. [40-42] , Лаврентьеву М.М. [43-46] , Иванову В.К. [47] , Гласко В.Б. І48І , Страхову В.Н. [49-55] , Старостенко В.И. [50] и их многочисленным ученикам.
При сформулированных, достаточно общих предположениях относительно плотности р(Х ) и области ) теоремы единственности не существует. Любое гравитирующее тело I можно заменить на большее - в смысле диаметра или объема - с тем же внешним гравитационным полем, проведя, например, усреднение плотности масс с некоторым сферически симметричным ядром. В то же время и при такой общей постановке задачи, некоторую априорную информацию хотелось бы иметь. К такому роду информации можно отнести: общую массу аномального тела, координаты его центра тяжести, расстояние до ближайшей, к дневной поверхности Земли, границы и т.п. Так, например, методы определения массы и координат центра тяжести гравитирующего тела предлагаются в [57-59] . Метод определения, по конечному числу гравитационных измерений, нижней границы плотности, а если плотность известна - минимальной глубины залегания верхней границы тела предложен в работах Паркера (гсхкЬт ) [60,61 ] . На основании его метода составлена программа для ЭВМ нахождения границ возмущающего тела и описана в [62]. Способам оценки предельной глубины залегания возмущающих масс посвящены работы [35,63] .
В связи с вышесказанным, несомненный интерес представляет вопрос, поставленный Винокуровым В.А. в [64] : существует ли наименьшая область - в смысле диаметра или объема - с тем же потенциалом, что и заданная?
Изучению данного вопроса при дополнительном требовании замкнутости и выпуклости области посвящена данная работа.
Рассмотрим некоторые работы, которые, так или иначе, связаны с изучаемой проблемой. Отметим работы Страхова В.Н. [65-68]. В них автор исследует связь особых точек аналитического продолжения потенциала в область, занятую массами с формой и расположением этой области, определяет и изучает классы эквивалентных по внешнему полю распределений объемных масс.
Аппарат, разработанный Цирульским А.В. [69-70] , позволяет достаточно глубоко изучить свойства логарифмического потенциала, исследовать вопрос аналитического продолжения внешнего потенциала внутрь масс и его связь с формой границы возмущающей области. Кроме этого, исследованы эквивалентные по внешнему полю тела с постоянной плотностью масс.
В работах этих авторов не ставится цель нахождения минимального, в каком-либо смысле гравитирующего тела.
По-видимому, первыми работами, в которых поднимается этот вопрос, являются работы Зидарова Д. [13,72] . Автор исследует семейства эквивалентных по внешнему полю тел и предлагает (но, к сожалению, не дает строгого математического обоснования) метод концентрации положительных масс для нахождения минимального эквивалентного тела. Минимальность понимается в следующем смысле. Пусть в области Т , не обязательно выпуклой, сосредоточена положительная масса. Тогда I называется минимальным (автор называет его материнским), если не существует замкнутого тела I , содержащегося в замыкании | и принадлежащего данному семейству эквивалентных тел.
Главным звеном, связывающим перечисленные выше работы, является аналитическое продолжение внешнего поля в область, занятую массами, и нахождение особых точек данного аналитического продолжения. Указанная задача аналитического продолжения, как и вообще внешние обратные задачи теории потенциала, является некорректной задачей. Вопросам аналитического продолжения внешних гравитационных полей посвящена обширная литература [.29,35, 44,47,53,55,73-83] , и эти вопросы по-прежнему остаются в центре внимания исследователей [84-89] .
В качестве основных укажем работы Лаврентьева М.М. [44І , Иванова В.К. [35] , Страхова В.Н. [76-80,90] .
Как неоднократно отмечалось Страховым В.Н. [29,91] , наряду с развитием методов аналитического продолжения полей является важным разработка методов поиска особых точек.
На связь особых точек аналитического продолжения с формой возмущающих масс указывали Голиздра Г.Я. [92-94] , Цирульский А.В. [31,69,70] , Страхов В.Н. [95-97] , Жданов М.С. [98,99] . Изучение расположения и типа особых точек открывает большие возможности для интерпретации гравитационных наблюдений. Настоящая работа служит еще одним тому подтверждением. В числе основных работ, посвященных проблеме поиска особых точек, следует указать [97,100] .
При изучении эквивалентных по внешнему полю распределений положительных масс используется понятие эквивалентного по внешнему полю простого слоя [68] .
Важным методом построения эквивалентного простого слоя для многих классов поверхностей, ограничивающих гравитирующие тела, является метод выметания Пуанкаре [ ІОі] .В частности, изучению данного метода, его обобщений, а также практической (численной) реализации посвящен ряд работ Страхова В.Н. [65-67], [102,103] .
Как было замечено, существенную роль в определении минимального выпуклого тела играет полный вектор напряженности (градиент) внешнего гравитационного поля. По-видимому, впервые на этот факт обратил внимание Чередниченко В.Г. в [104] . Он показал, что наряду с особыми точками, выпуклому телу знакопостоянной плотности масс принадлежат и нули полного вектора напряженности. Автор предлагает метод оценки размеров области, занимаемой выпуклым гравитирующим телом, основанный на указанном факте.
В статье Бродского М.А. и Надирашвили Н.С. [і05] получены необходимые и достаточные условия того, чтобы гармоническая вне шара функция являлась внешним потенциалом положительных масс, расположенных в этом шаре. Для этого использованы коэффициенты разложения внешнего потенциала в гармонический ряд. Исследования проведены как для плоского, так и для пространственного случая.
При решении вычислительных задач одной из важных характеристик любого приближенного метода является погрешность приближенного решения. Исследованию погрешности различных методов решения некорректных задач посвящена обширная литература. Достаточно указать работы [40,47,106] , содержащие наиболее полную библиографию по этому вопросу. Существует два основных подхода к вычислению погрешности: статистический и детерминированный. Как отмечалось в работе Винокурова В.А. и Гапоненко Ю.І. [107] , недостаток статистического подхода заключается в том, что, вообще говоря, нельзя утверждать, что расстояние от приближенного решения до точного в данной реализации не превосходит дисперсии. В цити- руемой работе предложена схема приближенного решения некорректных задач, в которой вместе с приближенным решением находится апостериорная оценка погрешности, мажорирующая расстояние от точного решения до приближенного при достаточно малых погрешностях в исходных данных. Данная схема решения получила дальнейшее развитие в работах Гапоненко Ю.Л. [I08,109j .
В настоящей работе схема Винокурова-Гапоненко применяется к решению задачи аналитического продолжения потенциала.
Основные результаты предлагаемой вниманию работы опубликованы в [64,110,111] .
Перейдем к изложению материала по главам.
Некоторые определения
Прежде чем приступить к изучению строения минимальных выпуклых тел, изложим суть метода выметания Пуанкаре [101] .
Рассмотрим пространство внутри замкнутой поверхности S . В этом пространстве мы имеем аномальное тело і с потенциалом UC1) . Рассматривая одновременно с телом Т новое тело Т , и притом такое, что его потенциал Wit) равен потенциалу и(Ю вдоль поверхности S » мы распределим вдоль этой поверхности такой слой притягивающей массы, потенциал которого вне поверхности р равен потенциалу тела Т . Этот простой слой, расположенный на поверхности S » мы можем рассматривать как бы полученным с помощью перемещения, или "выметания" масс, составляющих тело Т і изнутри поверхности S на саму поверхность S . При выметании внутренних масс общая масса остается неизменной. Плотность ОС простого слоя, полученного выметанием точечной массы, пропорциональна внутренней, к поверхности S , норлаль-ной производной функции Грина где u - функция Грина, решающая задачу Дирихле для уравнения Лапласа в области, ограничивающей поверхность S
Внутренняя нормальная производная функции Грина, решающей внутреннюю задачу Дирихле, положительна во всех точках поверхности р . Это показывает, что простой слой, в который обращается после своего выметания, точечная масса, имеет всюду положительную плотность.
Метод основан на двух леммах Пуанкаре и в f101] обоснован для поверхности Ляпунова.
При всей важности такой характеристики выпуклых тел, как диаметр, для однозначного определения минимального выпуклого тела ее явно не достаточно. Это утверждение хорошо иллюстрирует следующий пример.
Птжмер I.I. Пусть на оси О ос в точках с координатами -Ct , О , & размещены три единичные положительные точечные массы. Выпуклой оболочкой особых точек потенциала, создаваемого этими массами, будет отрезок [-&,&] оси О X. . Возьмем произвольный эллипсоид с центром в начале координат и полуосями OL , о Х-и С $ CL , содержащий отрезок [-&,&]. Поверхность, ограничивающая эллипсоид, является поверхностью Ляпунова (см., например, [115] ). Две точечные массы лежат на поверхности эллипсоида, а одна принадлежит его внутренности. Для тел, ограниченных поверхностью Ляпунова, справедлив метод выметания Пуанкаре [iOl] . Выметем массу, размещенную в точке 0(0,0,0), на поверхность эллипсоида. В результате получим замкнутый простой слой с тем же внешним полем. Метод выметания Пуанкаре не вводит отрицательных масс [101 ] , и плотность полученного слоя всюду положительна. Если СО- о - С , мы получим шар, содержащий данные точечные массы. Шіотность простого слоя, полученного методом выметания Пуанкаре, равна 2j %o} во всех точках сферы, кроме точек с координатами (-а, О, О) и {.(1,0,0) , в которых она выражается О -функцией.
Таким образом, любой эллипсоид, удовлетворяющий указанным выше условиям, является замкнутым выпуклым телом, минимальным в смысле диаметра, в котором существует распределение положительных масс с тем же внешним полем, что и у заданного тела.
Следуя принятой в гравиметрической литературе терминологии [68] , будем называть тела с одинаковыми внешним полем эквивалентными.
Заметим, что указанным выше способом можно получить бесконечное число эквивалентных замкнутых выпуклых тел, минимальных в смысле диаметра.
Постановка задачи аналитического продолжения
В методе определения минимального выпуклого тела, предложенном в 2 предыдущей главы, как и в методе определения максимальной глубины залегания аномального тела (см. 5 глЛ), существенную часть составляет решение задачи аналитического продолжения поля в область, содержащую гравитирующую массу.
Задачу аналитического продолжения будем рассматривать в следующей постановке [90] .
Пусть нам задана гармоническая функция f( ) , с &So , где So - плоскость 2 = О . Требуется определить значение этой фуншда на шюокости Ski , =-. Предаолашется, что гравитирущая масса находится в полупространстве Z О , и n i \г\ і где п - расстояние от плоскости Н = О до ближайшей особой точки функции fCt) #
Осуществление данного аналитического продолжения сводится к решению интегрального уравнения Фредгольма I рода.
В данной конкретной задаче аналитического продолжения ifd) - нормальная составляющая к плоскости о (прямой L0 ) вектора напряженности гравитационного потенциала.
Как отмечалось во введении, задача аналитического продолжения является некорректной, и существует много методов решения задачи аналитического продолжения. При численном решении некор - 43 -ректных задач бывает важно не только строить устойчивые решения, но и знать оценку уклонения приближенного решения от точного. Наличие такой оценки не вытекает из самого факта устойчивости найденного решения. Практические задачи, зачастую, имеют дело со случайными погрешностями в исходных данных. Вполне понятно желание экспериментатора знать максимальное уклонение полученного решения от точного. Статистические методы оценки погрешности не дают возможности утверждать, что расстояние от приближенного решения до точного, в данном конкретном случае не превосходит дисперсии. Поэтому Винокуров В.А. и Гапоненко Ю.Л. в [107] предлагают метод регуляризации с апостериорной оценкой погрешности, мажорирующей расстояние приближенного решения от точного при достаточно малых погрешностях исходных данных.
Этот метод предлагается использовать для решения сформулированной задачи аналитического продолжения.
Нахождение минимального шара
В связи с рассуждениями, проведенными в 6 главы I, возникает следующая задача: найти минимальный замкнутый шар \J0 , который пересекает все лучи ZCt) , исходящие из точек , принадлежащих множеству Г , на котором известно направление вектора напряженности гравитационного поля, созданного некоторым телом Т со знакопостоянной плотностью масс.
На основании теоремы 1.3 можно утверждать, что ни в каком шаре радиуса меньшего, чем радиус шара XJo f не существует эквивалентного I на множестве Г распределения положительных масс.
Теорема Хелли [127] , а точнее одно из ее многочисленных следствий, позволяет решить поставленную задачу. Приведем необходимое следствие теоремы Хелли (см. [127] , стр.25).
Следствие 3.1. Пусть \ - семейство из не менее, чем П+І выпуклых множеств в /К , 6- - множество всех замкнутых шаров в ІК радиуса 4 » К конечно или все множества семейства К компактны. Тогда существует шар V С- , который пересекают все множества из (\ , если для каждых їь+і множеств семейства К существует такой же шар из и В практике геофизических измерений часто гравитационные поля измеряют по некоторому геотраверсу в конечном числе точек. Другими словами, рассматриваются двумерные поля.
Для предварительной оценки минимальных размеров аномальной области предлагается метод нахождения, за конечное время, мини - 56 мального, в указанном выше смысле, шара Х)0 . Проведем необхо димые рассуждения.
Дусть J { Zi j7 -l—ft _ совокупность точек из (К которых известно направление вектора напряженности гравитационного поля. Рассмотрим L - І C c j - совокупность попарно пересекающихся или параллельных лучей, проходящих через точки К-в направлении вектора 5 ) . Найдем U/н. - максимальный из всех замкнутых кругов, вписанных во всевозможные треугольники, образованные каждыми тремя лучами из семейства [__. . Обозначим через 4о его радиус. Кроме этого найдем d0 - максимальное расстояние между всевозможными параллельными лучами семейства L. . Если 40 —- , то искомый круг U0 " Isт. В противном слу чае, С/о - круг, содержащий U радиуса - и касающийся луча такого, что Справедливость данных рассуждений следует из приведенного следствия 3.1.
