Введение к работе
Актуальность темы. Основы теории нормальных форм были заложены А.Пуанкаре еще в конце прошлого века. Значительный вклад в развитие этой теории внесли Х.Дюлак, Дж.Биркгоф, К.Зигель, АДанжуа, М.Эрман, К.Чень, Ф.Такенс, С.Стернберг, В.А.Кондратьев, В.С.Самовол, Г.Р.Бедицкий, Г.Селл, В.И.Арнольд, Л.М.Мархашов, А.Д.Брюно, Н.Н.Ладис, К.Камачо, Ж.Пэй-лис, Н.Кейпер, Ю.С.Йльяшенко, А.С.Пяртли и др.
Вопросы существования инвариатного многообразия и нормализации динамических систем на инвариантном многообразии рассматривались в работах В.А.Плисса, М.Хирша, Шопштайшви-ли,К.Лью, М.Шуба, Ю.Н.Бибижова, В.Ф.Лазутюша.
Как правило, в задачах аналитической классификадии получали результаты двух типов: либо доказывали совпадение аналитической и формальной классификаций, либо находили условия, гарантирующие расходимость нормализующих рядов. Результаты принципиально иного характера были получены за последние 16 лет. В 1980 г. в задаче об аналитической классификации ростков одномерных отображений с тождественной линейной частью были обнаружены функциональные инварианты (Ж.Экалль, С.М.Воронин). В дальнейшем функциональные инварианты были построены для ростков резонансных одномерных отображений, а также в задаче об орбитальной * классификации резонансных особых точек голоморфных векторных полей на комплексной плоскости (Ж.Экалль, М.Мальгранж, Ж.Мартине, Ж.Рами, Ю.С.Йльяшенко, С.М.Воронин, П.М.Елизаров, А.А.Щербаков).
'Дінигаческїе систеиы-1. Итоги науки и техник». Ссвреиенные проблемы катехатххн. *yHflv иектытьные направленні, т.1.- М.:ВИЕИТИ, 1S85.
Цели исследования. Цель работы заключается в решении классификационной задачи (как формальной, так и аналитической) для двумерных голоморфных отображений некоторого специального вида - так называемых t-сдвигов; а также в построении полной системы инвариантов в задаче об аналитической классификации седловых резонансных особых точек на комплексной плоскости.
Методы исследования. В работе использованы классические методы теории нормальных форм Пуанкаре; реализационные конструкции выполнены с использованием техники почти комплексных структур.
Научная новизна. В работе получены следующие результаты:
получена формальная классификация f-сдвигов;
показано, что в типичных ситуациях аналитическая классификация t- сдвигов совпадает с формальной;
получена аналитическая классификация f-сдвигов с формально нелинеаризуемой первой компонентой; эта классификация не совпадает с формальной и имеет функциональные модули; также получено описание формальной и аналитической группы симметрии і-сдвигов указанного типа;
получена аналитическая классификация седловых резонансных особых точек голоморфных векторных полей на комплексной плоскости; эта классификация также не совпадает с формальной и имеет функциональные модули;
получено полное описание аналитической группы симметрии ростков голоморфных седловых резонансных векторных полей на плоскости;
найдены простые достаточные условия аналитической эквивалентности постка седлового ^езокннсного векторного поля к его
формальной нормальной формы. Все результаты являются новыми.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты позволяют полностью решить задачу об аналитической классификации седло-вых резонансных особых точек на комплексной плоскости, и, тем самым, в резонансном случае завершают программу локального исследования особых точек голоморфных векторных шлей на комплексной плоскости, предложенную А.Пуанкаре. Результаты, полученные в диссертации, могут быть использованы для чтения спецкурсов по теории динамических систем в университетах.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на конференции "Совместные заседания семинара им.И.Г.Петровского и Московского Математического общества", на XX итоговой студенческой конференции "Студент и НТП" (Челябинск), на конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Самара), и на семинарах кафедры математического анализа математического факультета Челябинского государственного университета.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-5]. Результаты, опубликованные в совместных работах с научным руководителем, получены автором самостоятельно; соавтору принадлежит постановка задачи и основное направление исследования,
Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 113 страницах и состоит из введения, четырех глав, списка литературы. Библиография содержит 101 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.
