Введение к работе
Актуальность темы
Величайшим открытием Ньютона был тот факт, что огромное количество окружающих нас эволюционных процессов описывается дифференциальными уравнениями. Однако в первой половине девятнадцатого века стало ясно, что большинство дифференциальных уравнений не решается в квадратурах. В 1880-х годах Пуанкаре 1,2 предложил двоякую стратегию преодоления этой трудности. Во первых, он поставил задачу исследования свойств дифференциального уравнения непосредственно по его правой части. Так возникла качественная теория дифференциальных уравнений. Во вторых, Пуанкаре сформулировал следующий принцип: дифференциальные уравнения нужно не решать (всё равно это в большинстве случаев невозможно), а выбирать систему координат, в которой уравнение имеет по возможности простой вид. Так родилась теория нормальных форм.
Предлагаемая работа относится к теории нормальных форм дифференциальных уравнений и отображений, а также приложениям этой теории к исследованию особенностей отображений и родственным задачам локального анализа.
Опишем кратко историю развития теории нормальных форм. Первый вопрос, поставленный этой теорией и сохранивший актуальность до наших дней: в какой мере векторное поле или отображение в окрестности точки покоя похоже на свою линейную часть в этой точке? Первые достаточные условия эквивалентности векторного поля своей линейной части дал Пуанкаре . Они состояли в отсутствии резонансов и малых знаменателей. Прошло 60 лет прежде чем были преодолены трудности, связанные с малыми знаменателями: Зигель доказал, что седло аналитически эквивалентно своей линейной части, если её собственные значения образуют так называемый Диофантов набор . Дальнейшие крупные продвижения в этой задаче связаны с работами Брюно и Йоккоза . Отметим, что статья Йоккоза 5 вошла в список работ, за которые он был удостоен Филдсовской медали в 1994 году.
Необходимым условием аналитической эквивалентности векторного поля (отображения) своей линейной части является условие линейности формальной нормальной формы. В случае нелинейной формальной нормальной формы, аналитическая классификация векторных полей и отображений до начала 1970х годов не была развита даже в размерностях 1 для отображений и 2 для векторных полей.
Фундаментальный результат в аналитической теории нелинейных нормальных форм был получен Брюно 4. Брюно указал необходимые и достаточные условия на нормальную форму резонансного векторного поля (отображения), при выполнении которых формальная нормальная форма может быть выбрана сходящейся и нормализующее преобразование также аналитично. Тем самым была полностью решена задача о соотношении аналитической и формальной классификаций векторных полей и отображений. Однако вопрос об аналитической классификации резонансных векторных полей и отображений оставался открытым. Этот вопрос можно сформулировать так: при каких условиях ростки двух векторных полей (отображений) аналитически эквивалентны? Другими словами, какова полная система инвариантов, совпадение которых необходимо и достаточно для аналитической эквивалентности двух ростков?
В 1981 году ответ на этот вопрос для простейшего класса так называемых одномерных параболических ростков отображений был дан независимо: автором [2], февраль; Экаллем , май; Мальгранжем , ноябрь. Оказалось, что аналитическая классификация ростков конформных отображений
z ^ z + az2 + bz3 + ...,a = 0 (1)
имеет функциональные модули. После этого функциональные модули были обнаружены во многих других классификационных задачах: в задаче о классификации особых точек голоморфных слоений (седлоузлы и резонансные седла на плоскости, Мартине-Рамис '); в аналогичной задаче для векторных полей ; в задаче о классификации исключительных разрешимых конечно порожденных групп ростков одномерных голоморфизмов , и во многих других задачах.
Описанию функциональных модулей в задачах аналитической классификации резонансных векторных полей и отображений посвящены первые три главы диссертации. Одномерные отображения рассматриваются в первой главе; во второй главе изучаются многомерные отображения, а в третьей - векторные поля на плоскости.
В диссертации обсуждаются также приложения полученой классификации к задачам теории особенностей. В конце 1970х годов В.И.Арнольд заметил, что в ряде локальных задач присутствует „скрытая динамика". Это значит, что существует геометрические объекты, по которым инвариантным образом можно построить локальную динамическую систему. Арнольд указал несколько таких задач (задачу о парах инволюций, задачу о распаде симметрии, задачу об огибающей плоской кривой, и др.), с которыми инвариантным образом связаны ростки отображений. Таким образом, в этих задачах аналитическая эквивалентность геометрических объектов влечет аналитическую эквивалентность соответствующих „скрытых динамических систем". Автором были решены перечисленные выше задачи и, тем самым, найдены функциональные инварианты в задачах теории особенностей. Результаты эти излагаются во второй половине первой главы.
В.И.Арнольд указал также, что определенные инвариантным образом пары ростков (многомерных) инволюций встречаются и в других задачах теории особенностей, например, в задаче об обходе препятствия , или в так называемой задаче Дарбу-Уитни (задаче об одновременной нормализации симплектической структуры и гиперповерхности с особенностями). В этих задачах, возникающих в случаях малой коразмерности, инволюции имеют общее зеркало, так что их композиция является ростком отображения, неподвижные точки которого образуют гладкую гиперповерхность. Систематическому исследованию таких „сильно вырожденных" ростков отображений посвящена вторая глава диссертации. Оказалось, что в этой классификационной задаче также возникают функциональные модули. В качестве приложения этих результатов, здесь же приводится решение задачи Дарбу-Уитни в аналитическом и гладком случаях (формальное решение было получено ранее В.И.Арнольдом 11). В дальнейшем выяснилось, что полученные во второй главе диссертации результаты могут быть использованы и в других
классификационных задачах, например, в задаче Биркхофа о классифика-
12/
ции пар гиперповерхностей симплектического пространства или (указано М.Я.Житомирским) при исследовании вырождений почти симплектических и почти контактных структур . Обширный список возможных приложений результатов второй главы приводится в Заключении диссертации.
Стандартный способ исследования особой точки векторного поля состоит в рассмотрении соответствующего ей преобразования монодромии (отображения Пуанкаре, отображения последования, first return map). Это позволяет понизить размерность задачи: орбитально эквивалентные векторные поля имеют эквивалентные преобразования монодромии, и наоборот (Елизаров, Ильяшенко ). Именно с использованием этой схемы Мартине и Рамис (см. также ) построили аналитическую классификацию седловых резонансных особых точек голоморфных слоений на плоскости. Однако для исследования аналитической (неорбитальной) классификации особых точек векторных полей информации о поле, которую содержит соответствующее полю преобразование монодромии, недостаточно. Автором было предложено вместо преобразования монодромии рассматривать „преобразование t-монодромии" (надстройку над классическим преобразованием монодромии, показывающую, за какое время точка из трансверсали возвращается на трансверсаль). Классификация таких „надстроек" (называемых ниже t-сдвигами) приводится в третьей главе. Эта классификация (в резонансном случае) также имеет функциональные модули (легко описываемые в терминах из первой главы). На основе этой классификации, в третьей главе получена аналитическая классификация (типичных) седловых резонансных особых точек голоморфных векторных полей на плоскости. Тем самым, получен аналог результата Мартине- Рамиса (для седел). В этой же главе получен аналог и другого результата Мартине-Рамиса (для седлоузлов), но с использованием другой техники (дело в том, что не все „формально подходящие" t-сдвиги „подходят аналитически" ). По этой причине функциональные инварианты для седлоузлов строятся с помощью так называемых нормализующих атласов"; в частности, здесь доказана теорема о секториальной нормализации, обобщаюшая известный результат Хукухара, Кимура и Матуда .
В случае общего положения, (локальная) аналитическая и формальная классификации совпадают: типичное векторное поле (отображение) в окрестности его особой (неподвижной) точки эквивалентно линейному. При наличии резонансов, формальная нормальная форма, вообще говоря, нелинейна, а формальная и аналитическая классификации могут совпадать ( резонансы в области Пуанкаре) или не совпадать (появляются функциональные инварианты - в случае резонансов в области Зигеля). В случаях более высокой коразмерности (нулевой спектр линеаризации поля в особой точке, например) уже формальная классификация необозрима (имеет функциональные модули). Оказалось, что, удивительным образом, в этой вырожденной ситуации аналитическая и формальная классификации вновь, как правило, совпадают. Результаты такого рода (формальная эквивалентность влечет аналитическую) принято называть теоремами о жесткости. Первая (нетривиальная, т.е., с нетривиальной формальной классификацией) теорема о жесткости была доказана для неразрешимых групп ростков одномерных голоморфных отображений 17,18; топологическая жесткость была получена А.А.Щербаковым . Результатам о жесткости посвящена четвертая глава диссертации.
Цель работы. Целью работы является исследование функциональных инвариантов в задачах локальной аналитической классификации: параболических ростков одномерных голоморфизмов; пар одномерных инволюций; в задаче об огибающей; в задаче о классификации ростков голоморфизмов с неизолированными неподвижными точками и постоянными мультипликаторами (и ее „симметричных" вариантах); в задаче Дарбу-Уитни; в задаче о классификации резонансных особых точек голоморфных векторных полей на плоскости, а также и исследование явления жесткости для вырожденных особых точек.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми, и состоят в следующем. В типичных случаях, для всех перечисленных в предыдущем пункте задач построены функциональные инварианты и доказаны соответствующие теоремы об аналитической классификации; доказана теорема о жесткости для типичных особых точек с нулевой струей заданного порядка.
Методы исследования. В работе используются традиционные методы теории динамических систем, теории дифференциальных уравнений с комплексным временем, теории голоморфных слоений. Основные инструменты: теорема о сжимающих отображениях, операторы конечного порядка и метод последовательных приближений. В реализационных конструкциях использовались теорема Ньюлендера-Ниренберга о почти комплексных структурах и теорема Грауэрта о схлопывании.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты, полученные в диссертации, могут быть полезны в теории дифференциальных уравнений с вещественным и комплексным временем, в теории голоморфных слоений, в комплексной динамике и в теории особенностей. Эти результаты также могут быть использованы при чтении спецкурсов по динамическим системам.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались: на конференциях Петровского (3,14,16 и 23-я сессии), на всесоюзных школах по теории операторов (Челябинск,1986; Куйбышев, 1988), на всесоюзных конференциях в Перми (февраль 1988) и Самаре (1996), на международных конференциях в Москве (август 1994, август 2002, декабрь 2003, февраль 2007, август 2007), в Челябинске (июнь 1994, 1999, 2002), Суздале (2000), Ленинграде (институт Эйлера, октябрь 1991), Тегеране (Иран, 25th Annual Iranian
Mathematical Conference, март 1994), Гуанохуато (Мексика, CIMAT, февраль 1991), Cuernavaca (Мексика, август 1996), Лумини (Франция, CIRM, июнь 2004, май 2009), Гронингене (Голландия, июнь 1995). По результатам работы прочитаны миникурсы и лекции: в Институте Теоретической Физики и Математики (Тегеран, Иран; июль 1993, март 1994), в CIMAT (Гуанохуато) и UNAM (Мехико, Мексика) (январь - март 1995, июль - сентябрь 1996, август 2010). Результаты докладывались: на семинаре механико-математического факультета МГУ под руководством Ю.С.Ильяшенко (неоднократно, 1978 - 2008), на семинаре отдела дифференциальных уравнений МИРАН под руководством Д.В.Аносова и Ю.С.Ильяшенко (апрель 2005, март 2011), на семинаре А.М.Ильина в ЧелГУ, на заседании ММО (1992), на семинаре лаборатории топологии и геометрии университета Тулуза-3 (Франция; май 1992, апрель 1993, ноябрь 2001), на семинаре университета Бургундии (Дижон, Франция; май 1993, ноябрь 2001, февраль 2003, июнь 2004, январь 2005, май 2009), на семинарах в ENS (Лион, Франция; ноябрь 2001), в университетах: Морелия (Мексика, февраль 1995), Ренн-1 (Франция; декабрь 2001, июнь 2010), UNAM (Мехико, Мексика; декабрь 1998, декабрь 2002, январь 2005, июль 2006, июль 2007, июль 2009). Результаты работы отмечены премией ММО (1984).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 18 работах, список которых приводится в конце автореферата. Из совместных работ [7-16] в диссертацию включены только результаты автора.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введения, четырех глав, разбитых на 23 параграфа, Заключения и списка литературы, содержащего 149 наименований. Полный объем диссертации 330 страниц.
