Введение к работе
Актуальность темы. Реферируемая работа посвящена система-гическому исследованию и теоретическому обоснованию различных классов аппроксимативных методо» решения слабосингулярпых генеральных уравнений (кратко: слабо с.и.у.) Фредгольма первого рода : разностными логарифмическими ядрами в главной части интеграль-гого оператора.
Указанные уравнения возникают в ряде задач электрофизики, тео-іии упругости, аэрогидромеханики и других разделов механики, фи-тлн іі іі-.т«"яткческой физики. Теория таких уравнений в настоящее ірєия доста:о"пэ *пииы~ р-?!>«пихй^. И? ц*& следует, что указанные 'равнения точно решаются лишь в очень ре;^:* «aeiuur *туччяі, .; іаже в отих случаях для доведения результата до числа пеобходино тлеть вычислять различные (как регулярные, так и сингулярные) ин-:егралы довольно сложной природы. Лело здесь усуглубляется еще г тем, что обсуждаемые уравнения относятся к классу некорректно (оставленных задач. Повтому как для теории, так н в особенности іля приложений первостепенное значение приобретает разработка ал-іроксимативішх методов решения слабо с.и.у. первого рода с соот-іетствующим теоретическим обосноваянем. Здесь в первую очередь іаибольшнй интерес представляют прямые и проекционные методы, юзаоляющие решать указанные уравнепия, минул трудоемкий провес их регуляризации. Такие методы в настоящее время принято называть "методами саморегулярнзации"; первые исследования в втой іблнети проведены еще в 60-е годы А.Н. Тихоновым, В.И. Лмитрие-шм, Е.В. Захаровим и ІЗ.А. Цепохо, а затем продолжены в работах гх учеников и последователей.
За последние годы в втой области достигнут значительный процесс в основном благодаря работам советских математиков и мех aim-;ов, а также ряда зарубежных авторов. Некоторые итоги достигнутых
результатов подведены в специальной монографии В.Г. Г&бдулхаева1); кроме того, наряду со многими другими вопросами, результаты в отой области частично отражены в монографиях И.И. Воровича, В.М. Александрова, В.А.Вабешко (1974 г.), Т.Н. Галишвиковой, А.С. Ильинского (1887 г.), В.И. Дмитриева, Е.В. Захарова (1987 г.), Б.В. Захарова, Ю.В. Пимевова (1982 г.), Колтова и Кресса (1987 г.), З.Т. Назарчу-ка (1989 г.), В.В. Павасюка, М.П. Саврука, З.Т. Назарчука (1984 г.), Г.Я. Попова (1982 г.), а также в диссертациях В.В. Воронина (1978 г.), А.И. Гребенникова (1989 г.), Мохаммеда Н.М. (1988 г.), Л.А. Сурай (1994 г.), В.А. Педохо (1987 г.).
Однако, несмотря на сказанное, в «той области остается всё ещё много веретенных задач. Данная диссертация в некоторой степени восполняет етот пробел.
Цель работы - теоретическое обоснование различных классов аппроксимативных методов решения слабо с.и.у- Фредгольма первого рода с разностными логарифмическими ядрами в главной части интегрального оператора.
В диссертации под теоретическим обоснованием понимается,'следуя Л.В. Канторовичу, следующий круг задач:
а) доказательство теорем существования и единственности решения аппроксимирующих уравнений; б) доказательство сходимости приближенных решений к точному решению и определение скорости сходимости; в) установление оффективных оценок погрешности приближенного решения, учитывающих структурные свойства исходных данных; г) исследование устойчивости к обусловленности аппроксимативных методов.
Методика мсследовавжЙ. При выводе и обосновании результатов диссертации используются известные результаты из теории функций и приближений, обшей теории приближенных методов функционального
*) ГЧбдуиы» В.Г. Пршы* методы (мшввяя сижгуяяряых ктгркльаых урм-онй дерюго род». - Кім»: Иэд-so Кьмаск. у«-т», 1М4. - ОД с.
анализа и теории интегральных уравнении; при этом мы существенно пользуемся методикой исследования и результатами, предложенными в упомянутой выше монографии научного руководителя диссертации.
Научная новизна, а) В терминах теории рядов Фурье-Чебышева
установлена структура обратіїогооператора для характеристического слабосивгуллрвого интегрального оператора первого рода и доказана устойчивость решений полного слабо с.и.у. первого рода.
б) Дало теоретическое обоснование известных прямых и проекционных истодов (коллокапии, наименьших квадратов, подобластей, ортогональных многочленов и механических квадратур).
») Предложены и теоретически обоснованы два новых общих проекционных метол*.
д) Предложены и обоснованы вычислительные схемы аппроксима
тивно-итерационных методов и метода дискретных вихрей решения
слабо си.у. 1-рода.
е) Предложен новый способ теоретического обоснования сплайн-
тригонометрического метода Галеркина решения периодического-ела*
бо си.у. Фредгольма первого к второго родов.
Теоретическая я практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть применены в теории функций и приближений и интегральных уравнениях, в частности, при дальнейшем развитии аппроксимативных методов решения слабо с.и.у. первого рода и сводящихся к ним уравнений математической физики. Они могут быть применены также при решении конкретных прикладных задач, сводящихся к указанным уравнениям.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались: на Итоговых научных конференциях Казанского университета за 1988 -1994 годы; на Всесоюзной научной конференции "Смешанные задачи механики деформируемого тела* (г.Одесса, 1989г.); на Республиканской научной конференции "Экстремальные за-
дачи теории приближения и их приложения" (г.Киев, 1990г,); на Всесоюзном симпозиуме "Метод дискретных особенностей в задачах математической физики" (г.Харьков, 1991г.); на Республиканской научно-методической конференции, посвященной 200-летию Н.И. Лобачевского (г.Одесса, 1992г.); на Международной научной конференции, посвященной 100-летию Н.Г. Чеботарева (г.К&ааяь, 1994г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы і семи работах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и обгем работы. .Диссертация с общим объемом 10S страниц состоит из введения, двадцати параграфов и списка литературы из 100 наименований.
