Введение к работе
Актуальность темы. Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений составляют важное направление в теории приближенных методов решения математических задач. Эти методы приобрели особое значение в связи с возникновением дифференциальных и интегральных уравнений в прикладных задачах: теории упругости, гидро-и аэродинамике, физике элементарных частиц и др.
В общей теории приближенных методов основополагающую роль сыграли фундаментальные работы Л.В.Канторовича, Н.Н. Боголюбова, Н.М. Крылова, Г.И. Петрова, А.Н. Тихонова, А.А. Самарского и др.
Одним из самых эффективных методов приближенного решения интегральных уравнений является метод механических квадратур (ММК). Он широко распространен на практике, поскольку достаточно универсален в отношении принципа построения алгоритмов решения как линейных, так и нелинейных уравнений. Замена интегрального уравнения системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) применялась еще в фундаментальных работах Фредгольма и Гильберта. В 1904 г. Фредгольм используя формулу прямоугольников заменял интегральное уравнение с непрерывным ядром на СЛАУ. Позднее Гильбертом было дано доказательство сходимости решений СЛАУ к решению интегрального уравнения. Использование СЛАУ для приближенного решения интегральных уравнений получило дальнейшее развитие в работах финского математика Нистрцма, который применял и более точные квадратурные формулы.
Созданный А.Н. Тихоновым метод регуляризации построения приближенных решений некорректно поставленных задач позволил глубже применять ММК для приближенного решения интегральных уравнений, в частности интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Применению метода регуляризации для интегральных уравнений Фредгольма второго рода посвящены ряд работ Б.Алиева. Газработанный ОМ. Никольским простой метод подсчета погрешностей квадратурных формул
позволяет находить точные оценки скорости сходимости приближенных решений интегральных уравнений.
Численным методам решений интегральных уравнений с разрывными ядрами, наиболее часто встречающихся в прикладных задачах, посвящены большое количество работ К.И. Бабенко, СМ. Белоцерковского, Б.Г. Габдулхаева, В.В. Иванова, И.К. Лифанова, А.Ф. Матвеева и др.
Дальнейшее изучение ММК для приближенного решения интегральных уравнений второго рода остается актуальной и важной как с теоретической, так и с практической точек зрения. Особенно важными являются следующие вопросы: применение ММК к интегральным уравнениям с разрывным ядром, рассмотрение случаев наличия спектра, указание номера, начиная с которого СЛАУ, к которой приведено интегральное уравнение разрешима.
Цель работы. Для линейных интегральных уравнений Фредгольма второго рода
ъ
Lu = u(s) - / K(s,t)u(t)dt = f(s), a
с непрерывными и слабо сингулярными ядрами на основе ММК и принципа компактности получить новые утверждения о приближенных решениях, как в случае однозначной разрешимости, так и в случае наличия спектра.
Общие методы исследования. В работе применяются ММК, принцип компактности в пространстве непрерывных на отрезке функций и ряд методов функционального анализа.
Научная новизна. Основные результаты диссертации.
1. Получено новое доказательство разрешимости СЛАУ
L(n)u(n) = jH^ ф
полученных путем применения ММК к интегральному уравнению (1).
2. Указан номер, начиная с которого СЛАУ (2) разрешима.
Получены априорные оценки для приближенных решений (решений СЛАУ (2)) интегрального уравнения (1) как в случае непрерывного, так и в случае слабо сингулярного ядра.
Установлены сходимость приближенных решений к точному решению.
В случае наличия спектра доказана сходимость приближенных решений к нормальному решению интегрального уравнения.
Теоретическая и практическая ценность диссертации.
Полученные теоретические результаты могут быть использованы при решении конкретных прикладных задач.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих конференциях и семинарах:
конференция "Математическое моделирование и вычислительный эксперимент" (2002 г., Ташкент);
международная конференция "Актуальные проблемы математики и ее приложения" (2003 г., Худжанд);
международная конференция "Дифференциальные и интегральные уравнения и смежные вопросы анализа" (2005 г., Душанбе);
конференция преподавателей Худжандского филиала Технологического университета Таджикистана;
семинар Института математики АН Республики Таджикистан;
семинар кафедры высшей математики и моделирования Таджикского госуниверситета права, бизнеса и политики;
семинар кафедры дифференциальных уравнений Худжандского госуниверситета им. академика Б.Г.Гафурова;
семинар кафедры высшей математики и физики Худжандского филиала Технологического университета Таджикистана.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ. Все результаты диссертации принадлежат лично автору за исключением постановки задач.
Структура и объем работы. Работа состоит из введения, трех глав, разделенных на параграфы и списка литературы. Текст диссертации насчитывает 98 страниц. В списке литературы - 62 наименования.
