Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Обобщение принципа площадей и их приложения
3. Теорема площадей в классах ;[п] 24
4. Оценки начальных лорановских коэффициентов в классах '[п] 30
5. Неравенство площадей в подклассах S[n] класса 5 35
6. Коэффициентные неравенства для Є S[n] 41
7. Новые неравенства площадей для однолистных функций с р-кратной круговой симметрией 49
8. Оценки радиусов кругов покрытия 56
Глава II. Применение методов структурных формул
9. Оценки коэффициентов и констант Кебе в некоторых классах локально гармонических отображений 59
11. Об одном однопараметрическом классе локально конформных отображений 69
12. Обобщение одного класса локально конформных отображений 77
Заключение 84
Литература 85
Список публикакций 90
Приложение 1 92
- Оценки начальных лорановских коэффициентов в классах '[п]
- Новые неравенства площадей для однолистных функций с р-кратной круговой симметрией
- Оценки коэффициентов и констант Кебе в некоторых классах локально гармонических отображений
- Обобщение одного класса локально конформных отображений
Введение к работе
1. История геометрической теории функций комплексного переменного насчитывает полтора века и берет начало в трудах великого немецкого математика Б. Римана. В 1851 г. он защитил докторскую диссертацию на тему "Основы общей теории функций одной комплексной переменной", а три года спустя прочитал свою знаменитую лекцию "О гипотезах, лежащих в основании геометрии". В них были введены фундаментальные математические понятия "многократно протяженной величины" (риманова пространства, дифференцируемого многообразия), многолистной римановой поверхности, конформного отображения, аналитического продолжения и другие. Идеи Римана пролили свет на истинную природу понятия многозначной функции. Были введены понятия однолистной и многолистной функции и важный "принцип Дирихле", положенный в основу доказательства знаменитой теоремы Римана о конформных отображениях. Данная К. Вейерштрассом критика принципа Дирихле низвела доказательство Римана на уровень эвристических суждений, и только сорок лет спустя почти одновременно появились три строгих доказательства теоремы о существовании и единственности однолистного конформного отображения односвязнои области с границей, содержащей более одной точки, на круг. Их авторами были Д. Гильберт, А. Пуанкаре и П. Кебе. Столь долгий период поиска строгого обоснования принципа Дирихле отмечен важными вехами становления и развития геометрической теории функций. Вей-ерштрасс создал строгую теорию аналитического продолжения на основе степенных рядов. Пуанкаре построил теорию автоморфных функций, связал ее с теорией римановых поверхностей и неевклидовой геометрией Лобачевского. Ф. Клейн и Г.А. Шварц также развили тополого-алгебраические методы и широко использовали идею симметрии для решения задач геометрической теории функций. Знаменитая теорема Пуанкаре-Кебе-Клейна об униформизации аналитических функций была непосредственной предшественницей первых исследований геометрических свойств классов однолистных голоморфных функций. Речь идет о доказанной П. Кебе почти сто лет назад, в 1907 г., теореме о покрытии в классе нормированных однолистных функций. Теория конформных отображений получила зна
чительное развитие в связи с тем, что было начато систематическое изучение классов однолистных функций в заданной области, то есть тех функций, которые реализуют различные подходящим образом нормированные конформные отображения этой области. Причем в качестве таких областей обычно берутся канонические области -единичный круг, его внешность, полуплоскость, прямолинейная полоса, круговое кольцо. Основної! результат теории состоит в том, что классы однолистных функций образуют нормальные семейства. Как следствие получаем, что каждая экстремальная относительно заданного непрерывного функционала А(/) задача в таком классе имеет по крайней мере одно решение. В случае задачи на минимум (максимум) можно иметь дело с полунепрерывными снизу (сверху) функционалами. Именно этот подход позволил получить строгие доказательства римановой теоремы о конформном отображении од-носвязной области на круг, теорем Гильберта, Голузина, Шиффера о конформных отображениях многосвязной области на канонические области с разрезами. Классы однолистных функций наделены топологией локально равномерной сходимости элементов.
2. Упомянутый выше результат Кебе привлек внимание И. Пле-меля, Т. Гронуолла, Г. Пика, Г. Фабера, Л. Бибербаха. Гронуолл (1914) первым применил так называемый "принцип площадей" (площадь неотрицательна) к доказательству утверждения о том, что если функция
со
g(z) = г"1 + 5 0,, однолистна в A := {z Є С : \z\ 1} и голоморфна за исключением простого полюса в начале координат, то выполняется точное неравенство площадей
со
Х Ы2 1.
Два года спустя Бибербах [34] и Фабер нашли точное значение константы Кебе - радиуса круга покрытия для класса , образуемого однолистными в А голоморфными функциями f(z) = z + Yl -2 ап zU Она оказалась равной 1/4, а функции
U(z) = z(l + e z)-2, фЕШ, (1) получившие впоследствии название (лучевых) функций Кебе, оказались экстремальными и в ряде других задач.
Одновременно Бибербах доказал, что в классе S выполняется точная оценка «21 2 с функциями Кебе в качестве единственных экстремалей и высказал ставшее широко известным предположение (гипотезу Бибербаха) о том, что в классе S для всех п Є N имеют место точные оценки
\ап\ п (2)
с теми же экстремальными функциями. Тогда же была поставлена проблема коэффициентов Бибербаха, требующая точного описания области Vn в евклидовом пространстве размерности 2п — 2, заполняемой точками (i?ea2,/raci2, • • , i?ean,/raan), где (а2,аз " ,ап) -векторы, образуемые начальными тейлоровскими коэффициентами функций / Є S. Проблемы о влиянии однолистности отображения на величины коэффициентов отображающих функций и структуру тг-тел коэффициентов Vn были, очевидно, навеяны работами Кара-теодори и Теплица о телах коэффициентов голоморфных в единичном круге A := {z Є С : \z\ 1} функций p(z), имеющих положительную реальную часть и нормированных условием р(0) = 1, т.е. функций из класса С (класса Каратеодори).
Высказанная Л.Бибербахом гипотеза (2) занимала многих математиков XX века. В 1917 году чешский математик Ч. Левнер показал, что для функций / Є 5, отображающих круг \z\ 1 на звездообразные области, выполняются точные оценки (2). В 1924 году И.И. Приваловым доказано, что если при этом функция / - нечетная, то имеет место точная оценка an 1, п = 3,5, В 1923 году Левнер [53] развил метод параметрических продолжений конформных отображений класса S с помощью решений специального дифференциального уравнения (уравнения Левнера), правая часть которого представляла собой однопараметрическое семейство ядер Шварца. Здесь впервые обнаружилась связь класса S с классом Каратеодори. На этом пути Левнеру удалось доказать гипотезу Бибербаха для п = 3. Другие доказательства неравенства (аз 3 были получены позже А.Шеффером и Д. Спенсером (1943), Г.М. Голузиным (1946), Дж. Дженкинсом (1951) и Л. деБранжем (1984). Эти и другие подобные доказательства следует рассматривать как пробные камни для используемых методов оперирования с экстремальными пробле
мами конформного отображения. Не случайно каждое из продвижений происходило как результат развития или усовершенствования какого-либо метода в теории однолистных функций. Две проблемы Бибербаха, а также риманова проблема модулей в XX веке в немалой мере способствовали возникновению и совершенствованию глубоких и эффективных методов комплексного анализа: площадей и контурного интегрирования (Г. Грунский, Н.А. Лебедев, И.М.Милин, Л.Л. Громова, О. Лехто, В.Я.Гутлянский, Л. Аль-форс, В.Г. Шеретов, А.З. Гриншпан, Э. Хой и другие; см.[15], [17], [40-43], [4], [30], [64], [67-68], [71]); внутренних и граничных вариаций конформных и квазиконформных отображений (Г.М.Голузин, М.А. Лаврентьев, М. Шиффер, А. Шеффер, Д. Спенсер, Л. Аль-форс, Л. Бере, П.П. Белинский, К.И. Бабенко, С.Л. Крушкаль, Р. Кюнау, В.Я.Гутлянский, И.И.Привалов, В.И. Рязанов, В.В.Старков, ВТ. Шеретов и другие; см. [3 - 6], [9], [11 - 14], [26], [48], [50], [57], [60], [65 - 66]); модулей и экстремальных метрик (Г. Греч, О. Тейх-мюллер, Л. Альфорс, А. Берлинг, Л. Бере, Дж. Дженкинс, В.А. Зорич, Б.В. Шабат, П.М. Тамразов, Г.В. Кузьмина, Р. Кюнау, В.Г. Шеретов, А.Ю. Васильев и другие; см. [4], [8 - 10], [16], [21], [24], [25]); параметрических продолжений и методов оптимального управления (К. Левнер, П.П. Куфарев, И.А. Александров, В.И. Попов, В.Я.Гутлянский, Д.В. Прохоров, А,Ю. Васильев и другие; см. [2], [52], [53], [59]); симметризации (Г. Полна, Д. Сеге, М.Маркус, И.П.Митюк, В.Н. Дубинин, А.Ю. Солынин, Л.В.Ковалев и другие; [19 - 20], [9], [44], [47], [58]); структурных формул (К. Каратеодори, И.А.Александров, В.А. Зморович, В.В.Черников, В. Хенгартнер, В.Г. Шеретов и другие; см. [2], [62], [69 - 70]). Сферы применимости этих методов нередко выходят за рамки геометрической теории аналитических функций.
Приведенный перечень методов и авторов весьма субъективен и далек от исчерпывающего. Вне его рамок остался метод Л. де Бранжа [35], позволивший ему дать полный положительный ответ на гипотезу Бибербаха. Перспективными в теории отображений представляются современные методы голоморфной динамики [18], а также новые методы С.Л. Крушкаля [12], [49], Ф.Г. Авхадисва [1], И.И. Баврина [32], В.И. Рязанова, В.Я. Гутлянского, В.В. Горяйнова, Г. Давида, В.В. Чуешева [63] и другие.
3. Продолжим обзор исследований оценок коэффициентов функций класса 5\
Дьедонне и Рогозинским было показано, что неравенство (2) выполняется для любой функции из класса S с вещественными коэф- фициентами ап. В 1924 году Литтлвуд доказал для произвольной
функции / Є S выполнение неравенства
\ап\ en, п = 2,3,...
Существование константы, ограничивающей величину \ап\ для нечетных функций было показано в 1932 году Литтлвудом и Полна. Численное значение этой константы
было получено в 1935 году В.И. Левиным. Улучшение оценок Литтл-вуда до \ап\ Зеп/4 дано в 1948 году [37] Г.М. Голузиным. Оценка
an const + en/2
приведена И.М. Мининым [17].
Улучшением оценок для коэффициентов нечетных функций занимался Ю.Е.Алсницын [28 - 29 ]. Шеффер и Спенсер показали, что существуют нечетные функции с чисто вещественными коэффициентами, у которых ja2n-i 1 при п 2 (цит. по [8]).
На основе уравнений Левнера в 1933 году Фекете и Сеге [73] для / Є S и а Є [0; 1) получили точную оценку тейлоровских коэффици- # ентов
a3"aal 2e-2a/ti-«) + l.
Следствием из этой оценки является точная оценка
(р)
а
(2е"2(Р-1)/(Р+1) + \)/р для тейлоровских коэффициентов функции
со к=0
»
Впервые оценка ja l 4 была получена в 1955 году П. Гарабедяном и М. Шиффером, после чего Альфорс [30] доказал ее методом площадей, хотя оценка аз 3 для этого метода казалась недосягаемой.
Доказательства гипотезы Бибербаха были получены для п = 6 Р. Педерсоном (1968 г.) и для п — 5 Р. Педерсоном и М. Шиффером (1972 г.).
Для решения проблемы Бибербаха об оценках тейлоровских коэффициентов функции класса S в общем виде потребовалось почти 70 лет. Успех в 1984 году Л.де Бранжа [35] был достигнут, благодаря комбинированию развитого им метода с методом экспоненциальных неравенств И.М. Милина.
В 2003 г. В.Г.Шеретов [71] получил эти оценки методом площадей в подклассе, содержащем класс звездных функций 5 , как следствие новых серий точных неравенств, связывающих начальные тейлоровские коэффициенты. Глава 1 настоящей диссертации посвящена применениям метода площадей В.Г. Шеретова [68], [72] к задачам о коэффициентах однолистных функций различных классов.
4. Проблема описания п-тея коэффициентов Vn и получения коэффициентных критериев однолистности также оставалась в центре исследований. А. Шеффер и Д, Спенсер, описывая функционалы на конечных римановых поверхностях, дали точное описание тела коэффициентов Vi = D2{S). В настоящее время исследованием п-тел коэффициентов занимается, например, Д.В.Прохоров и его ученики. В 1939 г. Грунский получил важный критерий однолистности в терминах введенных им коэффициентов и; !/, называемых ныне коэффициентами Грунского однолистной функции.
Другие критерии однолистности были установлены Г.М. Голузи-ным, И.Е. Базилевичем, В.Я. Гутлянским, причем последний завершил начатое К. Левнером и продолженное П.П. Куфаревым исследование связи между классами S и С. В.Г. Шеретов в 1985 г. применил метод площадей для получения счетной системы точных коэффициентных неравенств, вполне характеристической для области коэффициентов
А» (Я) := {(а2,а3, • •) Є С°° : ап = /(п)(0)/гг!, п = 2, 3, • • • , / Є S}.
Этот результат дает алгоритмическое решение проблемы коэффициентов Бибербаха. Он изложен в главе 5 докторской диссертации
[26].
Эти и многие другие исследования нашли отражение в монографической литературе [1-27]. Интересно отметить, что класс Кара-теодори находится в тесной связи с классом В голоморфных в круге Д функций /, не обращающихся в нуль и таких, что /( ) 1.
5. В теории конформных отображений значительное место занимает исследование того, какие ограничения налагает требование однолистности функции на некоторые величины, связанные с этим отображением, например, на величину модуля функции, на величину модуля и аргумента ее производной, т.е. на степень производимого этой функцией искажения в различных точках области, и т.д.. Еще одной важной теоремой, доказанной Л. Бибербахом в уже цитированной работе [34] является теорема искажения, в которой двусторонне оценивается модуль производной, а равенство достигается на функциях Кебе (1) (см. также [36]). В 1919 года Л.Бибербахом доказана теорема вращения, дающая оценку модуля аргумента производной. В окончательной форме эта теорема была получена Г.М. Голузиным.
В главе 2 данной диссертации получены точные двусторонние неравенства для модулей производных и их отношений для некоторых новых классов локально однолистных функций.
6. Предметом диссертационных исследований являются также аналитические функции с квазиконформными продолжениями.
Основоположниками теории квазиконформных отображений были Г.Греч и М.А.Лаврентьев (1928). В настоящее время это обширная область математики, переросшая рамки геометрической теории функций, в недрах которой она зародилась. Изучению свойств таких функций посвящены работы Л.Альфорса [3], П.П.Белинского [6], В.Я.Гутлянский [43], С.Л.Крушкаля [11,12], [49], О.Лехто [16], В.В. Старкова [60], В.Г. Шеретова [26], [66], [69 - 70].
В диссертации рассмотрены некоторые свойства классов &(оо), образуемых к — квазиконформными автоморфизмами римановой сферы С, таких, что /(оо) = оо и ограничения / на единичный круг принадлежат классу S. Эти и другие родственные классы квазиконформных отображений являются предметом современных исследований ([38 - 39]). Здесь они будут изучаться с помощью метода площадей.
7. Продолжая идеи К. Каратеодори, И.А. Александрова, В.А. Змо- ровича, В.В.Черникова, В. Хенгартнера, Л. Шауброк [61] и др., В.Г.
Шеретов [69 - 70] исследовал классы локально однолистных гармонических отображений методом структурных формул, связывающих эти классы с классами С, S. С помощью этого метода получены основные результаты второй главы диссертации, связанные с оценками коэффициентов, теоремами искажения, покрытия и выпуклости рассматриваемых отображений. Данный раздел работы продолжает исследования В.В.Григорьевой [39]. Полученные результаты согласуются с гипотезами Клуни и Шейл-Смолла [46] об однолистных гармонических отображениях
§2. Основные результаты
Объектом исследования в настоящей диссертации являются оценки модулей коэффициентов разложения однолистных функций в ряды, теоремы искажения, вращения, константа Кебе в различных классах конформных и гармонических отображений.
Актуальность проблемы. Решение различных экстремальных задач в классах конформных и квазиконформных отображений занимает одно из центральных мест в геометрической теории функций комплексного переменного. Одна только гипотеза Л.Бибербаха (1916 г.) о справедливости на классе S однолистных в единичном круге Д функций вида f(z) = z + a2Z2 + ... оценок \ап\ п стимулировала развитие эффективных методов аналитического исследования: площадей и контурного интегрирования, вариаций, модулей и экстремальных длин, параметрических продолжений и оптимального управления, симметризации и других.
В последние четверть века открыты глубокие связи конформных и квазиконформных отображений с круговыми упаковками Андреева-Терстона, голоморфной динамикой; предложены оригинальные численные методы.
Весомый вклад в геометрическую теорию функций внесли авторы известных монографий И.А.Александров, Л.Альфорс, П.П.Белинский, Дж. Дженкинс, Р. Кюнау, С.Л.Крушкаль, Н.А. Лебедев, И.М. Ми-лин, Ю.Г. Решетняк, Г.Д. Суворов, П.М. Тамразов, а также Ф.Г. Ав-хадиев, А.К.Бахтин, А.Ю.Васильев, В.В. Горяйнов, Л.Л.Громова, В.Я. Гутлянский, В.Н. Дубинин, И.В. Журавлев, В.А. Зорич, Б.Е. Левицкий, В.М. Миклюков, И.П. Митюк, Д.В.Прохоров, В.И.Рязанов, А.Ю. Солынин, В.В.Старков, В.В.Чуешев, В.Г.Шеретов.
Для доказательства гипотезы Бибербаха понадобилось почти 70 лет: только в 1984 году Л.деБранж доказал ее в общем виде. Этому предшествовали глубокие исследования проблемы десятками ведущих математиков. В конце XX века В.Г. Шеретов предложил в качестве аппарата исследования этой и других проблем ряд новых вариантов метода площадей для классов однолистных и р-листных функций, в том числе - с -квазиконформными продолжениями, с использованием метрик, порождаемых аналитическими квадратичными дифференциалами на разветвленных накрывающих сферы Ри-мана, а также новые методы структурных формул для классов ло
кально однолистных конформных и гармонических отображений.
За рубежом активно занимаются изучением оценок коэффициентов разложения функций, теоремами искажения, нахождением радиусов выпуклости и звездности, оценкой функционала Фекете и Сеге а3 Ла2І в различных подклассах класса S Дж. Миллер, : .... С. Ова [27], [56], математики Юго-Восточной Азии и Австралии [31], [55].
В диссертации рассматриваются актуальные в свете изложенного новые подходы к оценкам коэффициентов однолистных нормированных функций из некоторых подклассов класса S и класса однолистных и мероморфных во внешности А единичного круга функций
f{z) = z + 60 + hz 1 + b2z 2 + ...
(ясно, что такие функции удовлетворяют гидродинамической нормировке /(оо) = оо, / (оо) = 1).
Вычислены значения констант Кебе для классов локально однолистных функций, получены соотношения, связывающие тейлоровские коэффициенты функций с радиусами кругов покрытия.
Целью работы является решение поставленных экстремальных задач и связанных с ними вопросов.
Методика исследований состоит в специализациях методов площадей и структурных формул В.Г.Шеретова. Параллельно используются ряды Пюизе, квазиконформные продолжения, аналитические квадратичные дифференциалы на римановых поверхностях и порождаемые ими особые римановы метрики, зависящие от параметров.
Научная новизна, теоретическая и практическая ценность. Все представленные в диссертации результаты являются новыми. Работа носит теоретический характер, поэтому ее результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях по геометрической теории функций и смежным разделам математики, а также в тех прикладных вопросах, где используются конформные и квазиконформные отображения.
Апробация работы. Основные результаты диссертации были представлены на VI Казанской летней школе-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" (Казань, июнь - июль 2003 г.), 12-ой Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов, январь - февраль 2004 г.), Воронежской зимней школе "Современные методы теории функций и смежные вопросы" (Воронеж, январь - февраль 2005 г.)
В целом работа доложена в 2004 году на научном семинаре кафедры математического анализа Тверского государственного университета (рук. проф. Шеретов В.Г.), на научном семинаре Саратовского государственого университета (рук. проф. Прохоров Д.В.) и на научном семинаре кафедры математического анализа Петрозаводского государственного университета (рук. проф. Старков В.В.).
Диссертационное исследование поддержано грантом РФФИ (проект 04-01-00368 )
Публикации. Основные результаты диссертационного исследования опубликованы в четырех статьях и четырех тезисах.
Структура диссертации. Работа состоит из введения, двух глав основного текста, содержащего 9 параграфов, заключения, изложенных на 91 странице, и приложения на 39 страницах. Список использованной литературы включает 73 наименования. Нумерация параграфов - сквозная, теорем - по главам, формул - по параграфам.
ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ РАБОТЫ
Введение характеризует научное направление, проблематику и применяемые методы. В §1 Исторический обзор и проблематика рассмотрены достижения в области геометрической теории функций, явившиеся базовыми для получения изложенных в диссертации результатов. В §2 Основные результаты обосновывается актуальность исследований, их новизна, сформулирована цель работы и выносимые на защиту утверждения. Под n-листностью отображения F в области D во всей работе понимается наличие в D не более п решений уравнения F{z) = a, Va.
Глава 1 Обобщение принципа площадей и их приложения состоит из пяти параграфов. В §3 Теорема площадей в классах [п] для однолистной во внешности единичного круга А функции, пред-ставимой в Д \оо рядом f(z) = z + bo + b\z l + b2z 2 + --- при фиксированном натуральном п вводится ассоциированная функция
п-1
Fn(z) = П e2nivfnf{e"27:il/ nz).
Класс 7[п] образован такими функциями f(z) Є = {(f Є S,0 . /?(Д )}, для которых _Рп-образ множества А является п-листной ри-мановой поверхностью. В этот класс входят все звездные функции из
класса Е . Пример незвездной функции из класса [2] построен с помощью пакета программ MAPLE и приведен в Приложении 1. Модификация предложенных В.Г.Шеретовым [71 — 72] для функций класса S технических приемов, (оценка интегралов в метрике ds2 = \си\ квадратичного дифференциала о; = (Qf(w)dw)2, Q(ui) = w1 2 с использованием рядов Пюизе на листах римановой поверхности л/го), позволили получить неравенство площадей для класса [п] в метрике квадратичного дифференциала и:
Теорема 1.1 При фиксированном натуральном п и f(z) Є [n] справедливо точное неравенство площадей
оо
(21/-1)&2 1,
v-\
оо
где (F{z))l/2 = /З 1"2")/2.
Спецификации этого неравенства при различных фиксированных натуральных п позволяют получить соотношения между начальными лорановскими коэффициентами. Эта работа проделана в §4 Оценки начальных лорановских коэффициентов в классах Е [п]. В частности, для класса [2] = {/ Є S[2] : 0 /(А )} получена оценка &о - /2(1 + &i), усиливающая известный ранее для класса Е результат 6о 2.
Для / Є SQ[3] доказанное неравенство площадей дает полученное Г.М. Голузиным для всего класса Е неравенство І&2І 2/3.
В подклассах Е(,[п] классов 5У[п], для функций которых &о = О, получены точные коэффициентные неравенства:
Теорема 1.2
Для/еЩ4] \Ъ3-Щ 1/2;
Лиг / Є E(,[5j \b4 - 6i62 2/5;
для f Є Е 0[6] 65 - ЬгЬ3 - Ь/2 + Ь?/3 1/3;
Лиг / є Е 0[7] Ьб - Мз - М4 + Ь?Ь2 2/7.
Неравенства, связывающие начальные лорановские коэффициенты 6П_! с предыдущими для / Є Е 0[п] получены также для п = 8,..., 11. Вычисления проводились с использованием пакета Maple и приведены в Приложении 1.
В работах [71, 72] В.Г.Шеретов использовал метод площадей для оценки коэффициентов функций класса S с помощью некоторой ассоциированной функции. Параграф 5 Неравенства площадей в подклассах S[n] класса S посвящен той же проблеме, но с использованием иной ассоциированной функции.
Класс S[n], п Є N\{1}, образован функциями / Є 5, для которых при любом натуральном к п образ единичного круга при отображении ассоциированной функцией
):=№)-П(1_ " = e2Wfc является /с-листной римановой поверхностью. В теореме 1.3 доказано точное неравенство площадей для этого класса функций. Следствием является
Теорема 1.4 Пусть п 1 - фиксированное натуральное число, / Є S[n], т.е. f xl2{z) = z-l/2{\ + blZ + b2z2 + -.. + bnzn + ...). Имеет место точное неравенство площадей
§ 6n + 6n_! + ... + bi\2 + S§26n_i + &n-2 + • • • + Ьі + 12 + • • • +
,n-2ffl [« ]+"- + f + 2= 1 + &i2 + 2=111 + Ьг + 622 +
zHlilii
+ --- + - і1 + Ьі + --- + Ь 2 с экстремалью f(z) = z(l — z) 2.
В §6 Коэффициентные неравенства для / Є S[n] получены специализации неравенства площадей для классов S[n] при п = 3,4. В классе 5[3] получаем оценку ,2
Яеа4 3а2 - 2 - Re ф2) + ia23 + 2yJ 1 + l - \а2 При / Є 5"[4] можем оценить величину 05:
Rea5 2yjl + \\l - \а2\ + а2 - l + 2 1 + ї1 - ±а2\Ч
З 1 25
+ -\а3\ - \2а3 + а22- 4а2 + а22\9а2 - —а22 - 4 - Rea22.
Получены НОВЬіе ОЦеНКИ вещеСТВеННЫХ Частей КОЭффиЦИеНТОВ 04
и as Для звездных функций / Є S (теоремы 1.5 и 1.6).
В §7 Новые неравенства площадей для однолистных функций с р-крагпной круговой симметрией для фиксированного натурального р 1 в классе однолистных в единичном круге функции f(z) Є 5, для которых
оо
f(e2iri z) = e2™/Pf(z), f(z) = z + Y,aPu+iz +\
выделен подкласс элементы f которого обладают сле дующим свойством; образ единичного круга А при всех натуральных к п и 7] = е2і:г/кр при отображении
fc-i Fk(z) = J] rT"f {rfz) = zh{\ + aiz k + a2z2pk + ...)
является fc-листной римановой поверхностью. В указанный класс входят не только все звездные функции из 5: с помощью построений в MAPLE приведен пример незвездной функции, входящей в класс S&[2]. Подробное построение примера дано в Приложении 2. Генератор квадратичного дифференциала Q(w) взят в виде Q(w) =
оо
w-v/2, QoFn= /W-1/2 pn, / = 1, /?і = -раї/2,.... Показало
но, что выполняется точное неравенство площадей для класса (р)[п] в метрике квадратичного дифференциала (Q (w)dw)2
оо
„2(2і/-1) 1
i/=0
с экстремалью - р-лучевой функцией Кебе /о = z(l zp) 2/p. Для / Є 5 [п] получены точные оценки модулей тейлоровских коэффициентов dpn+i:
при р — 2, п = 2,..., 6 а2п+11 1 " известный факт; при р = 3, п = 2,..., 4 \а7\ 5/9; аю 40/81; аі3 110/243,
при р = 4, п = 2,...,4 а9 3/8; аі3 5/16; аі7 35/128.
В этом же параграфе оцениваются вещественные части пятого и седьмого тейлоровских коэффициентов функций из подкласса 5 2 [2] класса S нечетных однолистных в единичном круге функций, для которых двулистен образ единичного круга при отображении
F(z)=f(z)-z(l + z2)-1:
Reas 1 + аз2 — Rea и
Rea7 2а3 - 1 • а5 + а3 - аЦ + а33 + а3 -Rea3 + -у 1 - а§ - а5 - а32.
В §8 - Оценка радиусов кругов покрытия — рассмотрен класс Sjf (оо), образованный р — кратно кругосимметричными однолистными в единичном круге А функциями /( ), нормированными условиями /(0) = 0, / (0) = 1 и допускающими продолжения до к-квазиконформных автоморфизмов / римановой сферы С, таких, что /(оо) = оо. Для оценки радиуса df круга покрытия применен принцип площадей в метрике аналитического квадратичного дифференциала с генератором Q(w) = (ги-1 — А)Р//2, где Л"1 Є 9/(Д), / Є 5 (оо) и доказана
и
Теорема 1.7 Если f Є S{kp){oo), f(z) = z(l +Apz + ...) в A p 4k, mo df {2kp x + l-Apl)"1 p/4k. В частности, если p — 1 и k 1/4, mo df (4&)"1.
Если опустить условие р-кругосимметричности, т.е. рассматривать / € Sk{oo), то можно в качестве генератора квадратичного дифференциала взять
QH=(«;-1/2_A)1/2 -i/2_Aiy/2
где АЇЇ/І- точки границы области 1/[/(Д)]х/2.
Рассматривается подкласс Sk(oo) класса Sfc(oo), для функций из которого на границе /_1/2(А) найдутся Ли такие, что // = —Л.
Теорема"1.8. Для радиуса круга покрытия в классе Sfc(oo) при условии 2k 4- «21 1 справедлива оценка
, df {2к + \а2\У1.
Решению экстремальных задач на классах конформных, квазиконформных и гармонических отображений посвящено большое количество научных работ. Классы локально конформных (локально квазиконформных, локально гармонических) отображений изучены гораздо слабее. В работах [69 - 70] В.Г.Шеретовым применен метод структурных формул в геометрической теории гармонических отображений. Дальнейшее развитие этот метод получил в работе [39].
Шейл-Смолл и Клуни [46] ввели в рассмотрение класс S всех комплекснозначных гармонических сохраняющих ориентацию однолистных отображений / = g + h, определенных в Л и нормированных условиями /(0) = 0, / (0) = 1, /г(0) = 0. Голоморфные функции g и h имеют в круге А тейлоровские разложения
h(z) = z + 2 a»zV• &) = 2 bvZl v 2 v 2
определяющие коэффициенты гармонического отображения /.
Класс Stf локально однолистных гармонических отображений с той же нормировкой рассматривался Л. Шауброк [61] и В.Г. Шере-товым [69]. Локально однолистные отображения с иными нормировками изучались В.В.Старковым [60], Дюреном, Хенгартнером [45], С. Озтурком, В.Дорффом и другими. Обозначим через 5 класс голоморфных и локально однолистных в А функций с нормировкой F(0) = Ff(Q) — 1 = 0, С - класс Каратеодори функций, голоморфных на А и имеющих значения с положительной вещественной частью. Очевидно, что для произвольного действительного (5 каждому элементу / = g + h Є S отвечает единственная пара функций F Є 5, Н Є С, определяемых по формулам F = h + ezf3g и Н = (1 — е1 gf/h )/(1 + el/3g//h!) соответственно. Верно и обратное
утверждение: любая пара элементов F Є S, Н Є С порождает отображение / Є Sjj по формуле
Рассмотренный В.Г.Шеретовым [70] класс SJJ состоит из локально однолистных гармонических отображений, представимых по структурной формуле (1) с генераторами F Є S1 Н Є С.
В §9 Оценки коэффициентов и констант Кебе в некоторых классах локально гармонических отображений рассматривается класс Sfj (fc), который состоит из к- квазиконформных функций / Є SJJ. В силу [46] необходимым и достаточным условием А:-квазиконформ-ности отображения вида (1) является принадлежность генератора H(z) = 1 + X i° cvzV классу С[к], образованного заданными в единичном круге Д функциями
где р - вероятностная мера на а-алгебре борелевских подмножеств отрезка [0, 2тг], к - параметр подкласса, 0 к 1. Указаны простейшие свойства функций класса С [А;], которые пригодятся в доказательстве некоторых теорем этого параграфа. Обобщениями классов С[к] занимались польские математики под руководством проф. Станкевича.
Теорема 2.1. Для коэффициентов ап и Ьп функций класса Sjj[k] имеют место точные неравенства
\К\ - \Ьп\\ щ (2а)
ь.п-1 " 1 .,2 jLn-1 "Z,1 „2
N —ЕЬ К\ п+Ї— -. (2Ь-с)
Равенства в них выполняются одновременно для всех п 2, причем экстремалями являются функции f вида (1), генерируемые F — z/(l — z)2 Є S и H = (1 + kz)/(l — kz) Є С и их врапщения, а для (2а) также функции Кебе FQ = z/(l + el0z)2} в Є [0,27г).
В пределе при к - 1 из (2а) - (2с) для всех п 2 следуют точные оценки в классе 5# локально однолистных гармонических отображений, представимых формулой (1) с генераторами F Є S, Н С:
\\ап\ - \Ьп\\ Щ (n-l)(2n-l) (п+1)(2п+1)
\ип\ _ р э ап Ь: «
Вопрос о справедливости таких оценок для коэффициентов однолистных в А функций / Є Sfj, образующих класс 5 , были поставлены, наряду с другими, Клуни и Шейл-Смоллом [46], которые дали положительные ответы ответы в случае типично вещественных функций. В [70] эти оценки были получены для класса 5. Вопрос о включении класса SJJ в S является открытым.
Рассмотрена задача о вычислении обобщенной константы Кебе для класса 5 [&], то есть радиуса наибольшего открытого круга с центром в начале координат, целиком лежащего на листе римановой поверхности /(А) любой функции / € #[&], содержащем /-образ достаточно малой окрестности начала координат.
Теорема 2.2. Обобщенная константа Кебе Q(k) для класса Sfj[k] равна интегралу
_ г (1-о(1 -ы) Q{k) } (i + tf(i + kt)dt О
Вычисления с помощью Maple дают: Q(l/3) « 0.216395; Q(l/2) и 0.202185; Q(2/3) « 0.189293.
Среди проблем, поставленных в [46], имеется гипотеза о том, что константа Кебе для класса 5 , то есть радиус наибольшего открытого круга с центром в начале координат, лежащего в ДА) для любого / Є Stf, равна 1/6. Из теоремы 2.2 следует, что константа Кебе для подкласса однолистных функций из S#[&] в пределе при к — 1 равна 1/6. При к — 0 получаем согласованность с классическим результатом Qk — 1/4.
Класс Sfc образован звездными функциями / Є 5, для которых h(z) = zf/(z)/f(z) принадлежат классу С[к]. Получены аналоги
теорем 2.1 и 2.2 для класса S [&, q] локально однолистных отображений вида (1) с генераторами F Є , h Є C[fe]:
Теорема 2.3. Обобщенная константа Кебе для класса Sjj[k, q] выражается интегралом
і
1 (l-qt) l-kt О (l + qt) l + kt
При q = к эта константа равна (3 + к2)/3(1 + к)3. Ее предельное значение при к — 1 равно 1/6.
Теорема 2.4. Для коэффициентов ап и Ьп функций класса
А.
Sff[q, к] имеют место точные неравенства
IKI-IM ng""1, (За)
ім 5 2фм-\ Ob)
11=1
\ап\ пЧ + Я—У2 ( -\ (Зс)
/1=1
Равенства в них выполняются одновременно для всех п 2, причем экстремалями являются функции f вида (1), генерируемые F — z/(l — q z)2 ESuH = (l + k z)/(l — k z) Є С и их вращения, а для (За) также функции F$ = z/(l + qel0z)2, в Є [0,27г).
В частном случае q = к получаем точные оценки
\К\ - \Ь„\\ пк"-1,
. їм (п - У -1} - ,
для всех п 2.
В §10 Об одном однопараметрическом классе локально конформных отображений для а 0 символом Sa обозначен новый класс
локально конформных отображений F единичного круга Д, элементы которого представимы структурной формулой
F{z) = Г Jo
слог
. /(C) J
dC,
где / - отображение из класса 5, а под интегралом стоит однозначная в единичном круге ветвь аналитической функции (zf/(z)/z)aJ принимающая значение 1 в начале координат. Класс Si введен В.Г. Шеретовым [71].
Классические теоремы искажения позволяют немедленно получить простые, но полезные в дальнейшем свойства: точные двусторонние оценки модуля производной и отношения производных.
В этом же параграфе оценивается обобщенная константа Кебе для класса Sa- Доказана
Теорема 2.5. Обобщенная константа Кебе Qa для класса Sa, а 0, представляется интегралом
а
«- = /(ттй dL
о
При этом Ql/l0 « 0.8761886; Q1/s к 0.7766271; Ql/2 « 0.5707963; Qi и 0.3862944; Q3 « 0.1588831.
Для f Є 2 вычисления дают Q2 = 3 —4 log 2 & 0.22741128, причем экстремалью является локально однолистная функция
F {z) := z + 4 - 4(1 + zYl - 41og(l + z).
Теорема 2.6. В классе Sa: а 0, радиус выпуклости TQ выражается формулой
VlOa2 + 2a +1 - За го- — ,
а + 1
причем величина его в зависимости от а находится в интервале (л/Ї0»3;1).
Оценены также модули тейлоровских коэффициентов функций из 52.
В работе В.В.Григорьевой и В.Г.Шеретова [39] был введен и исследован класс 5ад, (являющийся подклассом класса S всех локально однолистных в круге Д голоморфных функций /, нормированных условиями /(0) = / (О) — 1 = 0), образованного функциями F(z), представимыми в виде интеграла
F(z)= [Xha{t)f (t)dt, Jo
где / Є 5; се, /? — фиксированные действительные числа, h - элемент класса Каратеодори (С).
В одиннадцатом параграфе предлагается естественное обобщение этого класса, а именно, вводится в рассмотрение класс Sa,p локально однолистных в единичном круге функций, представимых формулой
, F{z)=e- J ha(t)(f {t)fdt, (4)
о
где f Є S\ а, /3 - фиксированные действительные числа, h - элемент из класса С Каратеодори и ц Є [0,27г].
Под знаком интеграла в формуле (4) стоят однозначные в единичном круге ветви ha(z) и p@{z) аналитических функций ha и {f (z))& = (р , принимающих значение 1 в начале координат. Эти ветви нигде в Д не обращается в нуль и, стало быть,
F (z) = ha(z)cp/3 ф 0 в Д, что гарантирует локальную однолистность функции F Є Sa9/3- Очевидно, что 5од = S, а также S С 5а,/?5 поскольку h = 1 - элемент класса С.
Вновь используя теоремы искажения в классе S, получаем точные двусторонние оценки модулей производных и их отношений, а также величину обобщенной константы Кебе:
Теорема 2.7. Обобщенная константа Кебе для класса Sa,j3 с
оо
действительными а и (3 1 равна 21-2 1/3-2( + 1 +Iе !+/3)-1,
/е=0
экстремалями являются функции
(1_г)0+«1 0+ %ч •
ад = е / )Л ,
Рассмотрим подкласс S о класса 5а,/3з генератор /i(z) Є С которого представрім как h(z) = zgf{z)/g(z), где д - некоторая функция класса S звездных функций.
Теорема 2.8. Радиус выпуклостпи TQ семейства Sa з определяется следующим образом: при (3 ф 1/2 и а -/3/3 г0 = (За + 2/3 - v/(3a + 2/5)2 - 2/5 +1)(2/3 - I)"1; при /5 = 1/2 и а —1/6
7-0 = (6 +2)-1.
ТТргг остальных сочетаниях величин аир радиус выпуклости равен L
В частности, при /3 = 1/4 и а = 0 получаем го = \/3 — 1;
при /3 = 1 и а = 0 получаем классический результат VQ = 2 — уЗ; при /5 = 1 и а = 1 имеем го = 5 — 2уС В Заключении кратко сформулированы затронутые в диссертации вопросы и указаны направления дальнейшей работы.
В Приложении 1 с помощью пакета MAPLE построен пример незвездной функции из класса SQ[2] и приведены рассчеты оценок коэффициентов функций из классов Ео[п] для п = 7,..., 11 и их подклассов.
Приложение 2 содержит построение в MAPLE примера незвездной функции из класса (3)[2] и выкладки получения неравенств типа Альфорса и точных оценок начальных тейлоровских коэффициентов функций классов Чр)[?г] для некоторых рип.
Оценки начальных лорановских коэффициентов в классах '[п]
Проблема описания п-тея коэффициентов Vn и получения коэффициентных критериев однолистности также оставалась в центре исследований. А. Шеффер и Д, Спенсер, описывая функционалы на конечных римановых поверхностях, дали точное описание тела коэффициентов Vi = D2{S). В настоящее время исследованием п-тел коэффициентов занимается, например, Д.В.Прохоров и его ученики. В 1939 г. Грунский получил важный критерий однолистности в терминах введенных им коэффициентов и; !/, называемых ныне коэффициентами Грунского однолистной функции.
Другие критерии однолистности были установлены Г.М. Голузи-ным, И.Е. Базилевичем, В.Я. Гутлянским, причем последний завершил начатое К. Левнером и продолженное П.П. Куфаревым исследование связи между классами S и С. В.Г. Шеретов в 1985 г. применил метод площадей для получения счетной системы точных коэффициентных неравенств, вполне характеристической для области коэффициентов
Этот результат дает алгоритмическое решение проблемы коэффициентов Бибербаха. Он изложен в главе 5 докторской диссертации [26].
Эти и многие другие исследования нашли отражение в монографической литературе [1-27]. Интересно отметить, что класс Кара-теодори находится в тесной связи с классом В голоморфных в круге Д функций /, не обращающихся в нуль и таких, что /( ) 1. 5. В теории конформных отображений значительное место за нимает исследование того, какие ограничения налагает требование однолистности функции на некоторые величины, связанные с этим отображением, например, на величину модуля функции, на величину модуля и аргумента ее производной, т.е. на степень производимого этой функцией искажения в различных точках области, и т.д.. Еще одной важной теоремой, доказанной Л. Бибербахом в уже цитирован ной работе [34] является теорема искажения, в которой двусторонне оценивается модуль производной, а равенство достигается на функ циях Кебе (1) (см. также [36]). В 1919 года Л.Бибербахом доказана теорема вращения, дающая оценку модуля аргумента производной. В окончательной форме эта теорема была получена Г.М. Голузиным. В главе 2 данной диссертации получены точные двусторонние неравенства для модулей производных и их отношений для некоторых новых классов локально однолистных функций. 6. Предметом диссертационных исследований являются также аналитические функции с квазиконформными продолжениями. Основоположниками теории квазиконформных отображений были Г.Греч и М.А.Лаврентьев (1928). В настоящее время это обширная область математики, переросшая рамки геометрической теории функций, в недрах которой она зародилась. Изучению свойств таких функций посвящены работы Л.Альфорса [3], П.П.Белинского [6], В.Я.Гутлянский [43], С.Л.Крушкаля [11,12], [49], О.Лехто [16], В.В. Старкова [60], В.Г. Шеретова [26], [66], [69 - 70]. В диссертации рассмотрены некоторые свойства классов &(оо), образуемых к — квазиконформными автоморфизмами римановой сферы С, таких, что /(оо) = оо и ограничения / на единичный круг принадлежат классу S. Эти и другие родственные классы квазиконформных отображений являются предметом современных исследований ([38 - 39]). Здесь они будут изучаться с помощью метода площадей. 7. Продолжая идеи К. Каратеодори, И.А. Александрова, В.А. Змо ровича, В.В.Черникова, В. Хенгартнера, Л. Шауброк [61] и др., В.Г. Шеретов [69 - 70] исследовал классы локально однолистных гармонических отображений методом структурных формул, связывающих эти классы с классами С, S. С помощью этого метода получены основные результаты второй главы диссертации, связанные с оценками коэффициентов, теоремами искажения, покрытия и выпуклости рассматриваемых отображений. Данный раздел работы продолжает исследования В.В.Григорьевой [39]. Полученные результаты согласуются с гипотезами Клуни и Шейл-Смолла [46] об однолистных гармонических отображениях Объектом исследования в настоящей диссертации являются оценки модулей коэффициентов разложения однолистных функций в ряды, теоремы искажения, вращения, константа Кебе в различных классах конформных и гармонических отображений. Актуальность проблемы. Решение различных экстремальных задач в классах конформных и квазиконформных отображений занимает одно из центральных мест в геометрической теории функций комплексного переменного. Одна только гипотеза Л.Бибербаха (1916 г.) о справедливости на классе S однолистных в единичном круге Д функций вида f(z) = z + a2Z2 + ... оценок \ап\ п стимулировала развитие эффективных методов аналитического исследования: площадей и контурного интегрирования, вариаций, модулей и экстремальных длин, параметрических продолжений и оптимального управления, симметризации и других.
В последние четверть века открыты глубокие связи конформных и квазиконформных отображений с круговыми упаковками Андреева-Терстона, голоморфной динамикой; предложены оригинальные численные методы.
Весомый вклад в геометрическую теорию функций внесли авторы известных монографий И.А.Александров, Л.Альфорс, П.П.Белинский, Дж. Дженкинс, Р. Кюнау, С.Л.Крушкаль, Н.А. Лебедев, И.М. Ми-лин, Ю.Г. Решетняк, Г.Д. Суворов, П.М. Тамразов, а также Ф.Г. Ав-хадиев, А.К.Бахтин, А.Ю.Васильев, В.В. Горяйнов, Л.Л.Громова, В.Я. Гутлянский, В.Н. Дубинин, И.В. Журавлев, В.А. Зорич, Б.Е. Левицкий, В.М. Миклюков, И.П. Митюк, Д.В.Прохоров, В.И.Рязанов, А.Ю. Солынин, В.В.Старков, В.В.Чуешев, В.Г.Шеретов.
Для доказательства гипотезы Бибербаха понадобилось почти 70 лет: только в 1984 году Л.деБранж доказал ее в общем виде. Этому предшествовали глубокие исследования проблемы десятками ведущих математиков. В конце XX века В.Г. Шеретов предложил в качестве аппарата исследования этой и других проблем ряд новых вариантов метода площадей для классов однолистных и р-листных функций, в том числе - с -квазиконформными продолжениями, с использованием метрик, порождаемых аналитическими квадратичными дифференциалами на разветвленных накрывающих сферы Ри-мана,
Новые неравенства площадей для однолистных функций с р-кратной круговой симметрией
Объектом исследования в настоящей диссертации являются оценки модулей коэффициентов разложения однолистных функций в ряды, теоремы искажения, вращения, константа Кебе в различных классах конформных и гармонических отображений.
Актуальность проблемы. Решение различных экстремальных задач в классах конформных и квазиконформных отображений занимает одно из центральных мест в геометрической теории функций комплексного переменного. Одна только гипотеза Л.Бибербаха (1916 г.) о справедливости на классе S однолистных в единичном круге Д функций вида f(z) = z + a2Z2 + ... оценок \ап\ п стимулировала развитие эффективных методов аналитического исследования: площадей и контурного интегрирования, вариаций, модулей и экстремальных длин, параметрических продолжений и оптимального управления, симметризации и других.
В последние четверть века открыты глубокие связи конформных и квазиконформных отображений с круговыми упаковками Андреева-Терстона, голоморфной динамикой; предложены оригинальные численные методы.
Весомый вклад в геометрическую теорию функций внесли авторы известных монографий И.А.Александров, Л.Альфорс, П.П.Белинский, Дж. Дженкинс, Р. Кюнау, С.Л.Крушкаль, Н.А. Лебедев, И.М. Ми-лин, Ю.Г. Решетняк, Г.Д. Суворов, П.М. Тамразов, а также Ф.Г. Ав-хадиев, А.К.Бахтин, А.Ю.Васильев, В.В. Горяйнов, Л.Л.Громова, В.Я. Гутлянский, В.Н. Дубинин, И.В. Журавлев, В.А. Зорич, Б.Е. Левицкий, В.М. Миклюков, И.П. Митюк, Д.В.Прохоров, В.И.Рязанов, А.Ю. Солынин, В.В.Старков, В.В.Чуешев, В.Г.Шеретов.
Для доказательства гипотезы Бибербаха понадобилось почти 70 лет: только в 1984 году Л.деБранж доказал ее в общем виде. Этому предшествовали глубокие исследования проблемы десятками ведущих математиков. В конце XX века В.Г. Шеретов предложил в качестве аппарата исследования этой и других проблем ряд новых вариантов метода площадей для классов однолистных и р-листных функций, в том числе - с -квазиконформными продолжениями, с использованием метрик, порождаемых аналитическими квадратичными дифференциалами на разветвленных накрывающих сферы Ри-мана, а также новые методы структурных формул для классов локально однолистных конформных и гармонических отображений.
За рубежом активно занимаются изучением оценок коэффициентов разложения функций, теоремами искажения, нахождением радиусов выпуклости и звездности, оценкой функционала Фекете и Сеге а3 Ла2І в различных подклассах класса S Дж. Миллер, : .... С. Ова [27], [56], математики Юго-Восточной Азии и Австралии [31], [55].
В диссертации рассматриваются актуальные в свете изложенного новые подходы к оценкам коэффициентов однолистных нормированных функций из некоторых подклассов класса S и класса однолистных и мероморфных во внешности А единичного круга функций (ясно, что такие функции удовлетворяют гидродинамической нормировке /(оо) = оо, / (оо) = 1). Вычислены значения констант Кебе для классов локально однолистных функций, получены соотношения, связывающие тейлоровские коэффициенты функций с радиусами кругов покрытия. Целью работы является решение поставленных экстремальных задач и связанных с ними вопросов. Методика исследований состоит в специализациях методов площадей и структурных формул В.Г.Шеретова. Параллельно используются ряды Пюизе, квазиконформные продолжения, аналитические квадратичные дифференциалы на римановых поверхностях и порождаемые ими особые римановы метрики, зависящие от параметров. Научная новизна, теоретическая и практическая ценность. Все представленные в диссертации результаты являются новыми. Работа носит теоретический характер, поэтому ее результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях по геометрической теории функций и смежным разделам математики, а также в тех прикладных вопросах, где используются конформные и квазиконформные отображения. Апробация работы. Основные результаты диссертации были представлены на VI Казанской летней школе-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" (Казань, июнь - июль 2003 г.), 12-ой Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов, январь - февраль 2004 г.), Воронежской зимней школе "Современные методы теории функций и смежные вопросы" (Воронеж, январь - февраль 2005 г.) В целом работа доложена в 2004 году на научном семинаре кафедры математического анализа Тверского государственного университета (рук. проф. Шеретов В.Г.), на научном семинаре Саратовского государственого университета (рук. проф. Прохоров Д.В.) и на научном семинаре кафедры математического анализа Петрозаводского государственного университета (рук. проф. Старков В.В.). Диссертационное исследование поддержано грантом РФФИ (проект 04-01-00368 ) Публикации. Основные результаты диссертационного исследования опубликованы в четырех статьях и четырех тезисах. Структура диссертации. Работа состоит из введения, двух глав основного текста, содержащего 9 параграфов, заключения, изложенных на 91 странице, и приложения на 39 страницах. Список использованной литературы включает 73 наименования. Нумерация параграфов - сквозная, теорем - по главам, формул - по параграфам. Введение характеризует научное направление, проблематику и применяемые методы. В 1 Исторический обзор и проблематика рассмотрены достижения в области геометрической теории функций, явившиеся базовыми для получения изложенных в диссертации результатов. В 2 Основные результаты обосновывается актуальность исследований, их новизна, сформулирована цель работы и выносимые на защиту утверждения. Под n-листностью отображения F в области D во всей работе понимается наличие в D не более п решений уравнения F{z) = a, Va.
Оценки коэффициентов и констант Кебе в некоторых классах локально гармонических отображений
Решению экстремальных задач на классах конформных, квазиконформных и гармонических отображений посвящено большое количество научных работ. Одним из центральных объектов этих исследований является класс S однолистных голоморфных вложений / единичного круга А С С в комплексную плоскость С, нормированных условиями /(0) = /7(0) — 1 = 0. Классы локально конформных (локально квазиконформных, локально гармонических) отображений изучены гораздо слабее. Одним из методов изучения таких классов может служить метод структурных формул. В.Г. Шеретов [69-70] применил этот метод в геометрической теории гармонических отображений.
В данной главе реализуется идея использования структурных формул для получения свойств новых классов локально конформных и локально гармонических отображений.
Шейл-Смолл и Клуни [46] ввели в рассмотрение класс SJJ всех комплекснозначных гармонических сохраняющих ориентацию однолистных отображений f = g + h, определенных в Л и нормированных условиями /(0) = 0, /г(0) = 1, Д(0) = 0. Голоморфные функции д и h имеют в круге А тейлоровские разложения определяющие коэффициенты гармонического отображения f.
Класс локально однолистных гармонических отображений $ # с той же нормировкой рассматривался Шауброк [61] и В.Г.Шеретовым [69-70]. Классы локально однолистных гармонических отображений с иными нормировками рассматривались В.В.Старковым [60], Дю-реном, Хенгартнером, Озтурком, Дорффом и другими. Обозначим через S класс голоморфных и локально однолистных в А функций с нормировкой F(0) = Ff(0) — 1 = 0, С - класс Каратеодори функций, голоморфных в Д и имеющих значения с положительной вещественной частью. Очевидно, что для произвольного действительного /3 каждому элементу / = д + h Є S# отвечает единственная пара функций F Є , Н Є С, определяемых по формулам F = h + ег # и if = (1 — e %f3g!fhl)/{l + ег(3д /hf) соответственно. Верно и обратное утверждение: любая пара элементов F S, Н Є С порождает отображение / Є S# по формуле
Используя эту формулу в качестве структурной, В.Г.Шеретов [70] ввел в рассмотрение класс 5 -, состоящий из локально однолистных гармонических отображений, представимых по формуле (1) с генераторами F Є S, Н Є С. В указанной работе были получены оценки коэффициентов и обобщенной константы Кебе для Stf.
Введем новый класс функций - 5д-[&], который состоит из к- квазиконформных функций / #. В силу [46] необходимым и достаточным условием / -квазиконформности отображения вида (1) является принадлежность генератора Н(z) = 1 + си zv классу С\к\у образованного заданными в единичном круге Д функциями где р - вероятностная мера на сг-алгебре борелевских подмножеств отрезка [0, 27г], к - параметр подкласса, 0 к 1. Так как в то класс C[k] является подклассом класса С Каратеодори. Функции р Є С[к] принимают значения в неевклидовом круге Qfc(l) правой полуплоскости с центром w = 1 и евклидовым диаметром d(k) = 4к/(1 — к2). При к = 1 согласно теореме Герглотца формула ( ) дает интегральное представление всего класса С. Как указал В.В.Старков, сходные классы функций изучались польскими математиками во главе с профессором Станкевичем.
Отметим некоторые очевидные свойства функций класса С[к], которые пригодятся в дальнейшем: Разложив в ряд подынтегральную функцию в ( ) и выполнив почленное интегрирование, получим
Свойство 1. Пусть p[z) = 1 + X n i Рп%п тейлоровские разложение функции класса С[к]. Для коэффициентов разложения имеют место точные оценки \рп\ 2кп, причем экстремалями являются функции р (z) = (1 + kclTz)/{\ — ketrz), TGR.
Обобщение одного класса локально конформных отображений
Вновь рассмотрим класс S однолистных голоморфных вложений / единичного круга А С С в комплексную плоскость С, нормированных условиями /(0) = / (0) — 1 = 0.
Символом S обозначим, как и в параграфе 9, класс всех локально однолистных в круге А голоморфных функций /, нормированных условиями /(0) = / (О) -1=0. Очевидно, что S - собственный подкласс класса S. В работе В.В. Григорьевой и В.Г.Шеретова [39] был введен и исследован класс S i, являющийся подклассом класса S и образованного функциями F(z), представимыми в виде интеграла где f Є S] а,/З - фиксированные действительные числа, h - элемент класса Каратеодори (С). В данном параграфе предлагается естественное обобщение этого класса, а именно, вводится в рассмотрение класс Sa,p локально однолистных в единичном круге функций, представимых формулой где f Є S; а, (3 - фиксированные действительные числа, h - элемент из класса С Каратеодори и 77 Є [0, 2л-]. Под знаком интеграла в формуле (1) стоят однозначные в единичном круге ветви ha(z) и (fp(z) аналитических функций ha и {ff{z))@ = , принимающих значение 1 в начале координат. Эти ветви нигде в А не обращается в нуль и, стало быть, F (z) = ha{z) pp ф 0 в А, что гарантирует локальную однолистность функции F Є 5а,/?- Очевидно, что So,i = S, а также S С 5а,/?; поскольку h = 1 - элемент класса С. С учетом критерия Рисса-Герглотца принадлежности h классу Каратеодори в качестве димым и достаточным условием принадлежности функции F клас-СУ $а,/3 является ее представимость в виде где знак + относится к оценке сверху, а — к оценке снизу. Если z\jZ2 - две различные точки единичного круга Д, такие, что \z\\ г, 2І г, 0 г 1, то, выписав двухсторонние оценки вида (2) для функционалов F{z\) и F{z2) на классе ,/?, придем к следующему утверждению. Свойство 2. В классе Sa , где а,/?єК,/? 0, для любых точек z\,Z2 из круга Ar := {z : \z\ г}, О г 1 имеют место оценки Нижнюю границу для i будем искать для точек из максимального круга с центром в начале координат, в котором F однолистна. Проведем через точку z окружность С с центром в начале координат и отметим на F(C) точку wr с наименьшим модулем. Пусть z\ С П F l(wr) и 7г кривая в Л, F— образом которой является радиус-вектор точки wr = F{zi). Тогда с учетом левого неравенства в (2), будем иметь Объединяя обе оценки, сформулируем полученный результат. Свойство 3. Дя# любого функционала F(z), где z - фиксированная точка круга А и F Є 5 ,0; а Є R, /Ї 1, выполняется точная оценка (4), а для точек z из максимального круга однолистности функции F - точная оценка (5). Экстремалями для этих оценок служат соответствующие экстремали из свойства 1.
Оценим ([39]) обобщенную константу Кебе для класса Sa$ с действительными а и /?, то есть радиус наибольшего открытого круга с центром в начале координат, целиком лежащего на листе римановой поверхности F(A) любой функции F Є 5 ,/3) содержащем F-образ достаточно малой окрестности точки z = 0. Рассмотрим звездную относительно начала координат однолистную подобласть D римановой поверхности F(A), образуемую отрезками 1 лучей, выходящих из точки w = 0 под полярными углами tp Є [0,27г]. Если 1 р не совпадает со всем лучом, то его отличный от начала координат конец является граничной точкой римановой поверхности и не принадлежит D . В общем случае римапова поверхность F(A) мпоголистна над С, и множество точек на ней, имеющих полярную координату (р, представляет собой конечное или счетное объединение попарно не пересекающихся на F(A) полуоткрытых или открытых интервалов соответствующего луча. В качестве / выбирается тот отрезок, который имеет общие точки с окрестности типа U.
Пусть wo - ближайшая к началу координат точка границы множества Z? , L = [0,10()) = 1 р Є D \ F l(L) - прообраз L при отображении F. Рассмотрим параметрическое уравнение w Є D : w = 5Шо,0 5 1 промежутка Lp и окружность 7r(0) := {\z\ = г}, где г = F-1(su;o) и в качестве F"1 взята ветвь обратной к F функции с областью определения D и нормировкой F 1(0) — 0. Обозначим через Ls - отрезок на L с концами w = 0 и ю = SWQ и положим
