Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Общая постановка задачи и обзор литературы 14
1.1. Осесимметричная задача 15
1.2. Плоская задача 23
Применение закона изменения импульса 24
Применение принципа максимального расхода 25
1.3. Кавитационное обтекание 26
Явление кавитации. Постановка задачи 26
Различные схемы кавитационного обтекания пластинки 31
Глава 2. Обтекание щита весомой жидкостью с образованием вихря 40
2.1. Постановка задачи о течении с образованием вихря 41
Граничные условия 41
Комплексный потенциал 41
2.2. Частные задачи 42
2.2.1. Обтекание вихря в полукруглом канале 42
2.2.2. Обтекание вихря в круглом канале 47
Исследование устойчивости свободного вихря в потоке жидкости 50
2.2.3. Обтекание вихря невесомой жидкостью под свободной поверхностью 55
2.2.4. Обтекание полубесконечной пластины, расположенной под прямолинейной поверхностью 61
2.3. Решение задачи о течении весомой жидкости 66
Решение видоизмененным методом Леви-Чивиты 66
Алгоритм решения 69
Числовые результаты 70
Применение принципа максимального расхода 72
2.4. Выводы к главе 2 75
Глава 3. Обтекание щита весомой жидкостью с образованием каверны 77
3.1. Комплексный потенциал 77
3.2. Схема Рябушинского 78
Алгоритм решения 85
3.2. Схема Туяина-Терентьева 86
Что происходит в зоне кончика пластины 89
3.4. Выводы к главе 3 91
Глава 4. Численная фильтрацяя. Уточнение результатов вычисления и оценки погрешности 93
4.1. Метод минимизации дисперсии ожидаемой погрешности (обобщение метода наименьших квадратов) 94
Общий случай 94
Численная фильтрация 99
4.2. Средства повышения достоверности Критерий размытости оценки 103
Визуализация результатов экстраполяции 105
4.3. Примеры применения фильтрации 106
Оценка погрешности результатов, полученных в главах 2 и 3 107
4.4. Выводы к главе 4 ПО
Заключение 111
Литература
- Применение принципа максимального расхода
- Исследование устойчивости свободного вихря в потоке жидкости
- Схема Рябушинского
- Примеры применения фильтрации
Введение к работе
Одной из основных проблем современной науки является проблема повышения эффективности методов математического моделирования, разработка средств оптимального сочетания аналитических решений и вычислительного эксперимента. В этом направлении одной и важнейших задач является задача разработки средств контроля и доказательства достоверности получаемых результатов, учет всех известных источников неадекватности, начиная с формализации и постановки задачи и кончая анализом результата.
С развитием науки и техники, возрастающие потребности инженерной практики в математическом моделировании сложных объектов приводят к необходимости рассматривать задачи, аналитическое решение которых представляет большие трудности. В последние годы рост быстродействия и доступности вычислительной техники дали возможность широко использовать методы численного решения таких задач. Однако возможности, этих методов используются не полностью и не всегда ясны. Особый интерес имеет разработка численно-аналитических методов решения задач.
Численные методы дают возможность визуализировать решения, если представить их в наглядном для исследователя графическом или табличном виде. Численное исследование помогает определить различные типы решений, а также установить предельные конфигурации. В результате этих исследований возможно построение классификации решений и описательной модели взаимосвязи различных конфигураций. Таким образом, информация о задаче принимает удобный вид для ее восприятия и использования в различных исследованиях.
Также необходимо отметить и проблемы, возникающие при использовании численных методов. Решения, полученные с помощью сложных численных алгоритмов и программ, вызывают сомнения с точки зрения точности и достоверности, в особенности это касается задач, не
имеющих аналогов. Существуют различные численные методы верификации решений, например, сравнение с решениями, полученными другим способом или другим автором, последовательное дробление шага, повышение степени полиномов и т.д. Это требует дополнительных затрат машинного времени, которые велики и непропорционально быстро растут с увеличением сложности и размерности задач. Большой объем вычислений, в свою очередь, затрудняет детальное исследование задач, что приводит к появлению массы работ частного характера, не дающих достаточно полных сведений о задаче, и вызывает необходимость повторных исследований.
Никаких резких перемен кардинального решения этих проблем в ближайшее время не предвидится. Потребности практики растут быстрее, чем быстродействие ЭВМ, появляется острая необходимость решать задачи в реальном масштабе времени, растут размерность задач и их математическая сложность. Это требует досконального анализа имеющихся возможностей, упорядочения процесса исследования, исключения повторов, поиска путей безболезненного упрощения задач и т.д.
Этим целям служат принципы последовательности и системности исследований. Во-первых, необходимо изучать сначала простые задачи, а затем на их основе - более сложные. Во-вторых, при параметрическом исследовании не ограничиваться каким-либо узким диапазоном исходных параметров, а развивать эти исследования вплоть до естественных предельных значений вверх и вниз. В-третьих, решать задачи экономнее не по одной, а целыми комплексами, то есть группами близких по физической или математической постановке задач.
Предшествующее исследование более простых задач уменьшает объем работ по отладке программ и вероятность получения недостоверных результатов, облегчает решение методических вопросов по планированию и оценке объема исследований, в некоторых случаях позволяет качественно предсказать результаты исследований. При этом ответы на многие вопросы могут быть получены более простым и экономным способом.
Поиск предельных решений при численном исследовании может проводиться путем анализа "предпредельных" ситуациий, формирования гипотезы (экстраполяции) и последующей проверки с помощью самостоятельного поиска предельного решения. Такое определение предела не является математически строгим, поэтому здесь возможны ошибки. Однако достоверность этих результатов может быть существенно повышена исследованием пределов по различным параметрам и их взаимосвязи (замыканием множества решений задачи). Эта процедура требует определенных затрат машинного времени и собственного времени исследователя, но дает возможность провести обоснованную систематизацию решений, изучить задачу с необходимой полнотой, избежав слишком подробного пошагового изменения параметров. Тем самым удается исключить необходимость повторов и подготовить базу для решения более сложных задач.
При решении комплекса задач предполагается включение в него взаимосвязанных по какому-либо параметру задач различной сложности, для которых разрабатывается общее программное обеспечение. Частным случаем такого комплекса является задача в совокупности со своими предельными конфигурациями. В комплекс могут входить также задачи, имеющие аналитические решения, что облегчает проверку программ и достоверности результатов. При этом, чем больше задач в комплексе и чем больше взаимосвязей между ними, тем меньше вероятность не обнаружить ошибку и тем меньше время, необходимое на формирование, отладку программы и исследование каждой задачи.
Развитие вычислительной техники дает возможность не только использовать ее как дополнение к аналитическим методам, но и выполнять некоторые функции, присущие анализу (например, исследование вопроса о существовании решения). Однако, эффективное применение ЭВМ возможно, как правило, лишь при дополнительных аналитических исследованиях, после приведения расчетных формул к удобному для вычислений виду и после
8 разработки соответствующих вычислительных алгоритмов.
В диссертационной работе рассматривается приложение аналитических и численно-аналитических методов к построению математических моделей течений идеальной весомой жидкости. Данные задачи имеют ряд важных практических приложений в тех областях исследований, где вязкостью жидкости можно пренебречь, например, кавитационные течения, течения воды в гидротехнических сооружениях, а также течения различных жидкостей в технических устройствах, таких как центробежные форсунки. Подробную библиографию работ, посвященных этой теме, можно найти в монографиях [3, 11].
В гидродинамике понятие неопределенности («гидродинамической неопределенности») связывается с существованием множества решений задач, которые построены с помощью модели «идеальной жидкости». В качестве примера можно указать на неопределенность выбора точки отрыва свободной поверхности от гладкой поверхности обтекаемого тела [11]. В данной работе изучаются проблемы, порожденные такой неопределенностью и приводящие к необходимости выбора подхода к решению задачи о течении жидкости в центробежной форсунке (см. гл. 1).
В первой главе диссертации рассматривается выполнимость «принципа максимального расхода» (ПМР), входящего в открытие Г.Н. Абрамовича, Л.А. Клячко, И.И. Новикова и В.И. Скобелькина «Закономерность расхода жидкости в закрученном потоке» [], 2, 13, 24, 45], в задаче о течении весомой жидкости с наличием вихря на основе дискуссии между Луговцовым Б.А. [31, 32] с одной стороны и Г.Ю. Степановым [46] с другой стороны о проблеме всеобщей применимости ПМР в центробежных форсунках, водосливах и других аналогичных течениях.
Незавершенность этой дискуссии, связанная с отсутствием теоретического обоснования разных подходов, исследований конкретных течений путем решения гидродинамических задач обуславливают
9 актуальность диссертационной работы.
Рассматриваются два принципа расчета (на основе ГТМР и на основе закона изменения импульса) относительно задачи течения идеальной невязкой весомой несжимаемой жидкости вдоль полубесконечной пластины с изломом и образованием вихря вблизи излома.
Задачи решаются в плоской и осесимметричной постановках.
В 1.1 решается осесимметричная задача течения идеальной невязкой несжимаемой жидкости в трубе, закрученной вдоль оси симметрии х. Расчет проводится на основе закона изменения импульса по схеме предложенной Луговцовым Б.А. [31,32] и на основе ПМР. В результате получается однозначная зависимость Rt=A]x от R2 (на основе закона изменения
импульса), которая существенно отличается от зависимости Г.Н. Абрамовича
О л
(на основе ПМР), где А - параметр закрутки, fi = —;г~7= =
%К24ЇВ R
В 1.2 рассматривается выполнимость ПМР в плоской задаче о течении весомой жидкости с наличием вихря. Находится расход жидкости на основе закона изменения импульса и на основе ПМР. Результаты сравниваются.
Вторая глава посвящена решению задачи о течении идеальной невязкой весомой несжимаемой жидкости вдоль полубесконечной пластины с изломом и образованием вихря вблизи излома. С одной стороны поток ограничен свободной поверхностью.
В 2.] делается постановка задачи о течении с образованием вихря. Описываются граничные условия и вводится формула, определяющая область течения на плоскости комплексного потенциала.
В 2.2 проводится исследование решения частных задач при обтекании вихря потоком весомой и невесомой жидкости при различных областях течения на плоскости параметрического переменного. Также исследуется устойчивость свободного вихря в потоке весомой жидкости. Рассматривается задача об обтекании вихря невесомой жидкостью под свободной поверхностью.
В 2.3 рассматривается численное решение общей задачи о течении весомой жидкости. При решении используется видоизмененный метод Леви-Чивиты, Численно задача решается методом коллокаций. В результате численного эксперимента получаем, что число Fr при увеличении числа точек коллокаций приближается к 2, а у а к 3. Эти значения могут быть получены из физических соображений. Также следует отметить, что некоторые результаты расчетов подтверждаются аналитически. Для оценки пофешности других численных данных применяется методика численной фильтрации, изложенная в гл. 4.
Рассматривается применимость ПМР в задаче о течении весомой жидкости с наличием вихря при различных положениях вихря.
Третья глава посвящена решению задачи об обтекании весомой жидкостью пластины с образованием каверны.
В 3.1 дается постановка задачи, объясняется выбор схемы кавитационного обтекания. Рассматривается решение задач методом с использованием функции Жуковского. В 3.2 рассматривается решение задачи с образованием каверны по схеме Рябушинского, в 3.2 - по схеме Тулина-Терентъева.
В 3.4 объясняется существование конечной подсасывающей силы, действующий на поток со стороны пластины при безотрывном обтекании.
Четвертая глава посвящена численной фильтрации, как методу уточнения результатов вычисления и оценки погрешности.
В 4.1 рассматривается метод минимизации дисперсии ожидаемой погрешности (обобщение метода наименьших квадратов) и решается основанная на этом методе задача численной фильтрации. Решение задачи численной фильтрации есть последовательное устранение степенных слагаемых суммы с помощью вычисления линейных комбинаций результатов, полученных для различных наборов узловых точек.
В 4.2 на основе априорной информации о неизвестной составляющей погрешности предложен критерий применимости фильтрации.
Вводится понятия критерия размытости оценки и критерия принятия оценки. А также рассматривается способ визуализации результатов экстраполяции и оценки погрешности в виде, удобном для проведения фильтрации в интерактивном режиме, и принятия решения о достоверности оценки на основе совместного анализа совокупности полученных путем экстраполяции данных.
В 4.3 приводятся примеры применения численной фильтрации для обработки результатов, полученных различными численными методами.
Таким образом, целью работы является анализ возможных течений в центробежной форсунке путем решения плоских модельных задач, проверка выполнения ПМР.
Для реализации поставленной цели требуется следующее:
Решить ряд задач с образованием вихря или каверны вблизи точки отрыва потока от стенки.
Выявить решения, точно или приближенно удовлетворяющие ПМР.
Найти решения со свободным вихрем. Исследовать устойчивость таких решений.
На защиту выносятся следующие результаты исследований, являющиеся новыми:
Математическая модель течения в центробежной форсунке.
Множество решений, точно или приближенно удовлетворяющие ПМР.
Решения со свободным вихрем в ряде задач, включая задачу о течении весомой жидкости со свободной поверхностью.
Результаты проверки устойчивости решений со свободным вихрем.
Практическая ценность
Автором разработаны алгоритмы и программы решения задачи нахождения гидродинамических характеристик течения жидкости в центробежной форсунке на основе ПМР, получены численные результаты,
которые могут быть практически использованы в инженерных расчетах.
Работа проводилась по тематике госбюджетных научно-исследовательских работ Уфимского государственного авиационного технического университета: «Создание математических моделей естествознания», «Исследование взаимосвязи вычислительных алгоритмов и архитектур высокопроизводительных вычислительных систем».
Результаты работы использованы в учебном процессе УГАТУ в рамках курсов «Вычислительная математика» и «Прикладное математическое моделиро вание».
Основные материалы диссертации опубликованы в работах автора [38, 39] и в соавторстве [19, 40, 41, 43, 59-61, 72, 74, 75, 83]. В работах [19, 38-41, 43, 59-61, 72, 74, 75, 83] диссертанту принадлежат разделы, касающиеся разработки численно-аналитических методов и решения плоских задач обтекания полубесконечной пластины потоком жидкости с образованием вихря и каверны, а также задачи оценки устойчивости равновесного вихря.
Основные результаты докладывались на международной летней научной школе «Гидродинамика больших скоростей» (Чебоксары, 2002), на международной научной конференции «Современные проблемы атомной науки и техники» (Снежинск, 2003), на международной конференции «7th US National Congress on Computational Mechanics (USNCCM7)» (Albuquerque, USA, 2003), на международном семинаре «Вычислительная техника и информационные технологии» CSTT'2003 (Уфа, 2003), на Всероссийской Молодежной научно-технической конференции «Интеллектуальные системы управления и обработки информации» (Уфа, 2003), на второй международной летней научной школе «Гидродинамика больших скоростей» (Чебоксары, 2004), на международном семинаре «Вычислительная техника и информационные технологии» CSIT2004 (Будапешт, 2004), на всероссийской научно-практической конференции "Вузовская наука - России" (Набережные Челны, 2005), на международном семинаре «Вычислительная техника и информационные технологии» CSIT'2005 (Уфа, 2005), на всероссийской
научной конференции «Мавлютовские чтения» (Уфа, 2006), на международной летней научной школе «Гидродинамика больших скоростей и численное моделирование - 2006» (Кемерово, 2006).
Применение принципа максимального расхода
На рис. 1.1.3 проведено сравнение всех обсуждаемых результатов в виде зависимости Кг от обратной величины закрутки 1/Л, проведенное Г.Ю. Степановым: АБР — ПМР Г.Н. Абрамовича, ЛУГ — расчет Б.А. Луговцова, ТТД — твердотельное движение.
Показательны значения радиуса J?2 ядра на выходе. Расчеты Луговцова Б.А. дают нереально большие R2 , Кг ТТД при больших закрутках практически совпадают с Кг АБР; ядро ТТД исчезает при Л 1/2. Известные экспериментальные значения Кг в общем располагаются как выше, так и ниже кривой Кг АБР. (Г.Ю Степанов отмечает, что в [32] использована единственная серия измерений, которая с учетом их погрешностей в равной мере согласуется и с Кг ЛУГ, и с Кг АБР.)
Следует подчеркнуть, что для решения задачи о центробежной форсунке в полной нелинейной постановке только интегральных теорем механики недостаточно, они должны быть дополнены теми или иными эвристическими условиями однозначности. В ответ на статью Г.Ю. Степанова, Б.А. Луговцов отвечает: в [32] рассматривается не сплошной потенциальный поток, а потенциальный поток с замкнутой отрывной зоной (областью), возникающей на внутренней острой кромке цилиндрического насадка, структура течения в которой определяется естественным требованием конечной величины скорости и, как считает Б.А. Луговцов, условием отсутствия подсасывающей силы. В рамках модели идеальной несжимаемой жидкости оно не определяет структуру течения в замкнутой отрывной области однозначно. Это обстоятельство, однако, не влияет на возможность эффективного использования законов сохранения.
Отметим, что в рассмотренном примере отсутствует строгое математическое доказательство существования решения. Но этот упрек также можно отнести и ко всем расчетам, выполненным с помощью ПМР. Имеющийся опыт исследований течений с отрывными зонами не дает разумных оснований для сомнения в существовании рассматриваемого течения (ранее были неизвестны соответствующие аргументы), хотя строгое доказательство существования является очень сложной задачей.
Б.А. Луговцов приводит пример течения, где, как он считает, необходимое строгое доказательство имеется. Такой пример содержится в [37], где рассмотрено истечение тяжелой жидкости из-под крышки. В этом случае точные значения основных параметров течения также могут быть получены с помощью законов сохранения и не совпадают с вычисленными по ПМР. В частности, на выходе поток оказывается сверхкритическим.
Таким образом, проблема всеобщей применимости ПМР в центробежных форсунках, водосливах и других аналогичных течениях является актуальной и не решенной, вызывая в научных кругах оживленную полемику.
Вопросы моделирования течений в форсунках различных схем изучались в [55, 56, 64]. Для прояснения возможности реализации различных течений в центробежной форсунке (рис. 1.1.1) необходимо проведение исследования течений с вихревыми зонами.
Таким образом, решение плоской задачи о течении весомой жидкости приближенно может быть использовано для описания процессов в центробежной форсунке. Такие задачи решаются при исследовании течений различных гидросооружениях, цунами и т.д.
Опыт сравнения плоских и осесимметричных течений [17, 18, 23] показывает отсутствие качественных и существенных количественных различий. Для течения в трубе при небольших толщинах струи по сравнению с радиусом трубы различие исчезает. Применение закона изменения импульса
В силу допущений течение везде кроме точки С является безвихревым. Тогда уравнение Бернулли (1.2.3) справедливо как при движении вдоль линий тока, так и поперек. Тогда вдоль вертикальных линий, проведенных на большом расстоянии слева от конца стенки В и справа под стенкой, имеют место равенства
Кавитацией называется появление в жидкости областей, заполненных парами или газами. Реальные жидкости слабо сопротивляются растягивающим усилиям (отрицательным давлениям). В основе теории кавитации лежат динамические условия: р = р0= const в каверне, р ро в жидкости, (1.3.1) которые удовлетворительно согласуются с экспериментом [3].
В случае естественной кавитации обычно р0 совпадает с р& давлением насыщенных паров жидкости при данной температуре, и возникновение кавитации можно трактовать как явление закипания жидкости, которое может происходить не только под влиянием повышения температуры, но и под влиянием понижения давления. Практически можно считать, что р0 очень мало по сравнению с атмосферным давлением.
Обычно каверны возникают вблизи твердой границы (в потенциальном потоке жидкости минимальное давление достигается на границе области течения). Начальную стадию кавитации иногда называют перемежающейся кавитацией [25, 42]. В следующей стадии кавитации, называемой присоединенной кавитацией, поток жидкости отрывается от твердой поверхности и образуется присоединенная каверна, размеры которой сравнимы с размерами препятствия или превышают их во много раз. Возможны также и другие типы кавитации (вихревая, вибрационная и т. д. [25, 62]).
При кавитации основную ролв играет безразмерный параметр - число кавитации [3] fi=2(Ao 0)( (13t2) где fa, и Ут - давление и относительная скорость жидкости в потоке на бесконечности, а р - ее плотность.
Начальной стадии кавитации соответствуют сравнительно большие значения чисел кавитации, присоединенной кавитации - малые числа кавитации. Эксперименты [80] показывают, что в случае плоской пластинки в неограниченном потоке под углом атаки а=6 развитая кавитация наблюдается только при Q 0,5.
В естественных условиях малые числа кавитации можно реализовать увеличением скорости движения подводного объекта или скорости течения жидкости Vw.
Исследование устойчивости свободного вихря в потоке жидкости
Следует, однако, заметить, что оценивать устойчивость данной задачи по расположению линий тока наложенного течения некорректно, поскольку при сдвиге вихря меняется и наложенное течение.
Пусть p = - + i— + re , у = -4л/3. Проведем вычисления. Их 2 6 результаты приведены на рис. 2.2.7 (кривая 1), где по оси абсцисс обозначены значения 8/=2я//100, у-ОД,... 100, по оси ординат - значения \=Re(F/(z(p)-z{pQ))Хэ)- Видно, что эта величина везде положительна, что говорит об абсолютной неустойчивости равновесного вихря в данной задаче.
Рассмотрим теперь более общую задачу о свободном вихре. Откажемся от условия отрыва границы вихревой зоны в точке В. В этом случае (2.2.2) не выполняется, и значение у может принимать, вообще говоря, произвольное гЮ-к значение. Будем задавать его по правилу ук =-4л/3- —,к = 1,...,9 требуя выполнения условий равновесия и вычисляя коэффициент силы, обходя точку равновесия по окружности малого радиуса, как было сделано выше. Кривые, соответствующие к=0, 3, 5, 9 обозначены на рис. 2.2.7 номерами 1, 2, 3, 4 соответственно. Видно, что все кривые лежат в области положительных ординат, т.е. вихрь неустойчив.
Рассмотрим еще случай р-»0, причем симметричную задачу, т.е.р=Н . В этом случае вихревая зона симметрична относительно оси х, отрыв ее границы происходит до точки В. Тогда величина (2.2.16) имеет вид Тем самым для каждого положения вихря, расположенного на оси х существует циркуляция, при которой он является равновесным. Проверка, подобная проведенной выше, показала, что и в этом случае вихрь является неустойчивым.
Тем самым получается система N+2 нелинейных уравнений, которая решается численно методом Ньютона с регулированием шага относительно параметров Ст, m=\,N-2, А4, р, Fr. Оценка погрешности производится путем численной фильтрации значений параметров (например, числа Fr, координаты точки В и др.), полученных при последовательном возрастании N (см. гл. 4).
Числовые результаты Форма свободной поверхности и линии тока, разграничивающей основной поток и замкнутую вихревую зону показаны на рис. 2.3.2. Численные данные, полученные при расчетах даны в табл. 2.3.1. Величина А равна максимальной невязке уравнения (2.1.1), рассчитанной в промежуточных точках между узлами коллокаций. Проведем исследование устойчивости свободного вихря. Для этого найдем зависимость A,= Re(F/(z(/?)-z(/?0)))(G) при р = рц+ге , где р0 значение р, соответствующее свободному вихрю, О 0 2л. Результаты вычислений приведены на рис. 2.3.3. Кривая 1 на рис. 2.3.3 соответствует случаю фиксации точки схода границы вихревой зоны с пластины при изменении р. Кривая 2 на рис. 2.3.3 соответствует случаю фиксированной величины циркуляции вихря у при изменении р. При этом условие (2.2.2) не выполняется. Поскольку при устойчивом равновесии A,=Re(F/(z(p)-z(p0))Xo) 0, то из результатов расчетов следует, что свободный вихрь и для данной задачи неустойчив. т.е. расход в -s/ 2 раз больше, чем в случае (2.3.10).
Для исследования возможности реализации этих соотношений в задаче с вихрем были проведены расчеты, в которых положение образа вихря изменялось во всей области определения (в верхнем полукруге Q. В таблице 2.3.2 приведены численные значения отношения расхода Q к максимальному (2.3.11).
Схема Рябушинского
Вернемся к задаче об обтекании пластины потоком невесомой жидкости с образованием вихря (см. 2.2.6). В результате исследования двумя способами (через законы сохранения и путем аналитического решения) показано, что независимо от положения вихря на него и на пластину действует постоянная суммарная горизонтальная сила. Конечно, законы сохранения выполняются при решении задач методами ТФКП (или с уравнением Лапласа), если правильно задать граничные условия.
Рассмотрим более сложную модель: расположим диполь в той же точке, что и вихрь. Известно, что система набегающий поток, диполь, вихрь представляют собой задачу об обтекании кругового цилиндра с циркуляцией. При малых дипольных моментах результат решения такой задачи не будет отличаться от течения с вихрем.
Отметим, что при учете вязкости в первую очередь диссипация происходит в области больших скоростей, т.е. в окрестности вихря. Тем самым, даже если перейти к модели вихря с твердотельным вращающимся ядром (с постоянной завихренностью), то ничего не изменится. Достаточно очевидно, что при применении схемы Рябушинского или Тулииа-Терентьева в силу выполнения законов сохранения горизонтальная сила будет такой же, как и в задаче с вихрем. Независимо от числа кавитации. (При применении, например, схемы Эфроса законы сохранения также выполняются, но часть струи, перенаправленная влево, уносит расход и импульс, следовательно, меняет физические параметры.)
Из этого следует, что подсасывающая сила существует и, независимо от вида течения, возникающего вблизи кромки пластины (безотрывного, с образованием вихря или каверны) равна одной и той же величине.
Из всего сказанного следует, что наиболее «физичными» являются модели с образованием зон кавитации малого размера.
При этом в задачах о течении весомой жидкости или закрученной жидкости в форсунке расход очень близок к максимальному (разница составляет всего 2-3%). Но при этом само течение может отличаться очень сильно от «оптимального».
Тем самым, принцип максимального расхода в таких задачах можно считать справедливым (что соответствует известным экспериментальным данным), если воспринимать его только в отношении расхода. Но применение его при выборе конкретного течения из множества возможных может привести к существенной ошибке по другим параметрам. Решение следует искать среди близких к оптимальному по расходу, но, возможно, далеких по конфигурации.
В условиях отсутствия аналитических способов, наиболее надежной оценкой погрешности является разность между точным и приближенным результатом. Но это возможно только для тестовых примеров, которые имеют аналитическое решение. В других случаях возможно оценить погрешность, сравнивая приближенное значение с другим приближенным значением, но более точным по сравнению с проверяемым. Это более точное значение может быть всего в три раза точнее, чем проверяемое. Но при этом возникают два вопроса: как получить это более точное значение и как проверить, что оно действительно точнее исходного.
Более точное значение можно вычислить, пользуясь тем же способом, что и проверяемое. Но это приводит к дополнительным требованиям к ресурсам, которые могут оказаться невыполнимыми. Есть и другой способ: использовать более грубые результаты (с меньшим числом узлов и временем счета). Если погрешность метода подчиняется некоторому закону, то, зная этот закон (в виде характера зависимости, например, степенной, экспоненциальный и т.п.), можно по нескольким результатам провести идентификацию и экстраполяцию и приближенно предсказать значение, соответствующее бесконечному числу узлов [77].
Ответить на второй вопрос можно с помощью использования повторной экстраполяции, т.е. экстраполяцией экстраполированных результатов, полученных для разных наборов исходных данных [20]. В этом случае получается оценка погрешности экстраполированных результатов (или размытость оценки погрешности). Если эта оценка удовлетворят требованиям: в три и более раз меньше оценки погрешности исходных данных (относительная размытость меньше 1/3 [21]), то цель достигнута
Примеры применения фильтрации
При этом величина т для каждго L может выбираться пропорциональной L, (m=KL). Если исходная последовательность вычисленных значений z„ ,z„ ,...,z„ содержит достаточное колическтво членов, то для каждого I эксперимента можно, увеличивая номер первого, принятого в рассмотрение, члена последовательности на единицу, получить новую последовательность отфильтрованных значений.
Таким образом, помимо исходной последовательности имеется несколько отфильтрованных последовательностей для =1,2,3... Каждая из отфильтрованных последовательностей короче исходной на («з-l) членов. Если m=KL, то каждая последующая последовательность короче предыдущей на такое же количество членов. Эти несколько последовательностей используются далее для сравнения между собой в целях оценки погрешности каждой из них, а также для возможности ответа на вопрос, можно ли доверять такой оценке конкретно для каждой полученной последовательности и в целом.
Оценка погрешности по правилу Рунге сводится к сравнению значения z„ с экстраполированным значением z . Поскольку эта оценка справедлива при допущении, что величина zn точнее, чем zn, то необходима проверка справедливости этого допущения. Это можно сделать следующим образом [20,21]. Повторим процесс экстраполяции и получим значение z . Разность Ап -zn -z представляет собой оценку погрешности приближенного значения zn. Разность Дд„ =zn -zn является оценкой погрешности экстраполированного значения или оценкой погрешности оценки погрешности (рис. 4.2,1). Отношение 5„=АДЯ/А„ имеет смысл относительной размытости оценки погрешности. Если 6И «1 , то это означает, что относительная размытость оценки Д„ мала, и такой оценке можно доверять.
Постановим, что оценка погрешности представляется в виде интервала z-zn + Aw. Для определения порогового значения 5Й для принятия или отклонения полученной оценки желательно на основании имеющейся информации установить, не может ли при гипотетическом продолжении экстраполяции произойти переход получающихся значений левее zn=zl An или правее z +AM. Для этого, следуя [23], предположим, что при последующих гипотетических экстралоляциях значение 6„, как коэффициента уменьшения расстояния между соседними экстраполированными значениями, будет сохраняться: Ьп=Ь. Тогда максимальное удаление предельного значения от z определяется суммой геометрической прогрессии А тах = А г /(і - б). Отсюда следует неравенство - коэффициент «запаса» надежности оценки. Необходимость введения коэффициента К вызвано желанием получать достаточно надежные оценки в условиях неопределенности, вызванной влиянием нерегулярных составляющих погрешности. Тогда получим условие (критерий принятия оценки) 5
Примем величину К=2. Тогда пороговое значение 5 = 1/3 , при 6 1/3 оценка принимается, а при 8 1/3 отвергается. Практика показывает [20], что этот критерий действительно «работает». Визуализация результатов экстраполяции Наиболее удобно и наглядно можно представить результаты экстраполяции и оценки погрешности в виде зависимости - Ig А (десятичного логарифма относительной погрешности) от - lg и или п. На рис. 4.2.2, 4.2.3 кривые 0 соответствуют погрешности расчетных данных, кривые 1-3 результатам первой, второй и третьей экстраполяции.
Такой способ визуализации позволяет проводить фильтрацию в интерактивном режиме и принимать решение о достоверности оценки на основе совместного анализа совокупности полученных путем экстраполяции данных.
