Содержание к диссертации
Введение
1 Колебания тела с острыми кромками в несжимаемой маловязкой жидкости 35
1.1 Сингулярные решения уравнения Лапласа 35
1.2 Энергия вихреобразования за период колебаний пластинки в несжимаемой маловязкой жидкости 40
1.3 Гидродинамический аналог формулы Ирвина 45
1.4 Определение коэффициентов сопротивления и декрементов колебаний 48
1.5 Экспериментальное определение универсальной постоянной 50
1.6 Влияние вихревого течения в окрестности острых кромок на присоединенные к пластинкам массы жидкости 53
1.7 Применение гидродинамического аналога формулы Ирвина для получения аналитических решений 55
1.8 Аналитические решения методом конформных отображений 61
1.9 Аналитические решения методом интеграла типа Коши... 64 '
1.10 Некоторые аналитические решения пространственной задачи 71
1.11 Общий случай колебаний в жидкости тела с двугранными кромками 75
2 Метод граничных элементов для плоских задач о потенциале с незамкнутыми граничными линиями 80
2.1 Сингулярное граничное интегральное уравнение 83
2.2 Постоянные граничные элементы 86
2.3 Квадратичные граничные элементы 90
2.4 Вычисление интегралов 94
2.5 Численные результаты и анализ сходимости 100 "
2.6 Влияние границ на коэффициенты сопротивления и декременты колебаний 109
2.6.1 Влияние стенки. Эффектзазора 109
2.6.2 Влияние другой пластинки. Эффект затенения 113
2.6.3 Влияние свободной поверхности жидкости 114
2.6.4 Колебания заполненной жидкостью цилиндрической емкости с радиальными ребрами вокруг продольной оси ... 116
2.7 Плоская стационарная задача гидродинамики 118
2.7.1 Сингулярное граничное интегральное уравнение 120
2.7.2 Метод дискретных вихрей в стационарных задачах гидродинамики 125
2.7.3 Некоторые аналитические и численные решения 128
3 Метод граничных элементов для пространственных задач о потенциале с незамкнутыми граничными поверхностями
3.1 Интегральные представления гармонической функции и производных гармонической функции 135
3.2 Сингулярное граничное интегральное уравнение 137
3.3 Определение предельных значений интегралов 139
3.4 Аппроксимация граничных поверхностей 147
3.4.1 Основные зависимости 148
3.4.2 Плоский четырехугольный элемент поверхности 150
3.4.3 Плоский треугольный элемент поверхности 151
3.4.4 Квадратичный четырехугольный элемент поверхности 152
3.4.5 Квадратичный треугольный элемент поверхности 153
3.5 Приведение СГИУ к системе линейных алгебраических уравнений 154
3.5.1 Постоянные граничные элементы 154
3.5.2 Линейные граничные элементы 160
3.6 Результаты расчетов для колебаний пластин прямоугольной формы в маловязкой жидкости. Сравнение с экспериментальными данными 163
3.6.1 Постановка задачи 164
3.6.2 Некоторые результаты расчетов МГЭ 167
3.6.3 Экспериментальное исследование сопротивления прямоугольных пластин 170
3.7 Влияние воздушной среды при частотных испытаниях ПСБКА 174
3.8 О применении метода граничных элементов к задачам обтекания тел потоком несжимаемой жидкости 186
3.8.1 Синтез метода граничных элементов с методом дискретных вихрей 187
3.8.2 Сила давления жидкости на тело в потоке с поверхностями тангенциального разрыва 192
4 Движение тела с полостью, частично заполненной жидкостью, с демпфирующими перегородками 199
4.1 Уравнения возмущенного движения 201
4.2 Вихревое демпфирование колебаний жидкости в резервуарах с перегородками 208
4.3 Интегральная формула для коэффициентов интенсивности скоростей 214
4.4 Применение метода конечных элементов к решению краевых задач для резервуаров вращения с жидкостью 219
4.4.1 Вариационная формулировка задач 219
4.4.2 Линейные конечные элементы 221
4.4.3 Квадратичные конечные элементы 223
4.4.4 Задача на собственные значения для отсеков резервуаров вращения 228
4.5 Определение гидродинамических параметров 229
4.6 Характеристика программного обеспечения 234
4.7 Анализ эффективности применения МКЭ для определения гидродинамических параметров 238
4.7.1 Исследование влияния поперечных перегородок на инерционные гидродинамические параметры 239
4.7.2 Исследование влияния поперечных перегородок на демпфирование колебаний жидкости 242
4.8 Расчет гидродинамических параметров для топливных баков разгонного блока 246
4.9 Определение требований к демпфированию колебаний жидкого топлива путем анализа устойчивости движения частотным методом 258
4.9.1 Основные уравнения 258
4.9.2 Частотный метод Найквиста. 259
4.9.3 Требования к демпфированию колебаний жидкости в баках РБ "Бриз-КМ" при полете в составе И ступени РН "Рокот" 261
4.9.4 Анализ структурных свойств III ступени РН "Протон" с РБ ДМ 264
Заключение 269
Список литературы 274
- Влияние вихревого течения в окрестности острых кромок на присоединенные к пластинкам массы жидкости
- Колебания заполненной жидкостью цилиндрической емкости с радиальными ребрами вокруг продольной оси
- Влияние воздушной среды при частотных испытаниях ПСБКА
- Исследование влияния поперечных перегородок на инерционные гидродинамические параметры
Введение к работе
Актуальность темы. Интерес к задаче о колебаниях в жидкости тела с острыми кромками резко возрос в начале второй половины XX века в связи с развитием ракетно-космической техники (РКТ). Жидкое топливо в баках ракет-носителей (РН) может составлять до 90% от их общей массы. Подвижность жидкости существенно влияет на движение РН, разгонных блоков (РБ) и космических аппаратов (КА) и может приводить к потере устойчивости их движения. Практически единственный способ подавления такой динамической неустойчивости состоит в резком увеличении демпфирования колебаний жидкого топлива. С этой целью в топливные баки устанавливают конструктивные элементы типа продольных и поперечных перегородок (пластин), частично перекрывающих продольное или поперечное сечение полости. При колебаниях жидкости на острых кромках этих конструктивных элементов периодически происходит образование и срыв вихрей, за счет чего и обеспечивается высокое демпфирование. Задачи о колебаниях жидкости в баках с демпфирующими перегородками и колебаний пластин, а в общем случае тел с острыми кромками, в несжимаемой маловязкой жидкости тесно связаны.
Выбрать демпфирующие перегородки с минимальным весом, которые обеспечивают устойчивость движения объектов РКТ, не имея общей теории, достаточно сложно: объем материальных затрат и времени на проведение испытаний чрезмерно велик.
Несколько позже возникла задача об учете влияния воздушной среды при наземных частотных испытаниях панелей солнечных батарей (ПСБ) КА. ПСБ КА представляют собой относительно легкие, но крупногабаритные конструкции. Влияние воздушной среды проявляется в появлении дополнительных инерционных и диссипативных сил, которые искажают определение динамических характеристик ПСБ, необходимых для настроек
системы управления ICA. Возникающие диссипативные силы обусловлены, главным образом, сложным вихревым движением воздуха около кромок ПСБ.
Имеется тенденция к постоянному росту габаритных размеров и уменьшению относительного веса ПСБ КА, поэтому влияние воздуха при проведении их наземных динамических испытаний становится все более существенным. Специальные вакуумные камеры имеют заданные ограниченные размеры, а проведение испытаний в них является весьма дорогостоящим и недостаточно надежным, так как доступ туда персонала во время испытаний исключен.
Определение сил, действующих на движущиеся в жидкости тела, является одной из центральных проблем гидромеханики. В общем случае решение уравнений Навье-Стокса
dv 1
— + (vV)v = — VP + vAv
dt p
для определения этих сил при больших числах Рейнольдса наталкивается на трудности принципиального характера [27,51]. Поэтому развитие теоретической гидромеханики определялось, прежде всего, созданием приближенных моделей движения жидкостей, отражающих наиболее существенные черты рассматриваемых в них явлений, а также разработкой численных методов их исследования. Настоящая работа посвящена разработке полуэмпирической асимптотической теории вихревого сопротивления тел с острыми кромками при колебаниях в несжимаемой маловязкой жидкости и ее приложению к решению сформулированных выше задач гидродинамики космических аппаратов.
Обзор литературы. Приведем краткий обзор основных работ, связанных с темой исследования, имея в виду, что следование историческому развитию идей в данной области науки и наличие близких аналогов в
смежных с нею областях повышает доверие к теории, если даже она и не имеет строгого обоснования на основе более фундаментальных теорий [8].
Одна из наиболее близких к теме исследования задач - это задача о колебаниях в несжимаемой жидкости твердого тела с гладкой граничной поверхностью. Она имеет общее асимптотическое решение [51], которое справедливо, если мала амплитуда колебаний тела и толщина пограничного слоя много меньше характерного размера тела (точнее, радиусов кри- ' визны его поверхности). Первое из допущений необходимо, чтобы пренебречь конвективным ускорением и считать течение жидкости безотрывным, а второе - для пренебрежения кривизной течения жидкости в пограничном слое. Поэтому в первом приближении для любого малого элемента поверхности твердого тела можно использовать точное решение уравнений Навье-Стокса для колебаний плоскости под безграничным слоем жидкости, полученное Стоксом в 1851 году.
Аналогичная внутренняя задача гидродинамики, возникающая при рассмотрении колебаний тела, полость которого полностью заполнена "' жидкостью, при тех же допущениях также имеет общее асимптотическое решение. При наличии у жидкости в полости свободной поверхности возникают дополнительные особенности. Эта задача имеет важные практические приложения в ракетно-космической технике.
Уравнения движения тела с полостью, частично заполненной идеальной несжимаемой жидкостью, в начале второй половины XX века получили Моисеев [57], Нариманов [61], Охоцимский [62], а также зарубежные ученые [88]. Эквивалентные уравнения в несколько ином виде предложил Рабинович [65]. Определение коэффициентов полученных обыкно- ' венных дифференциальных уравнений было сведено к решению двух типов краевых задач. Первая из них такая же, как для тела с полостью, полностью заполненной жидкостью. Фундаментальное исследование о движении тела с полостью, содержащей жидкость, было выполнено Жуковским
[39] без связи с какими-либо практическими запросами в то время и опубликовано в 1885 году. Вторая краевая задача описывает колебания жидкости в полости неподвижного тела. Некоторые решения этой задачи были известны также еще в XIX веке [50].
Строгое решение задачи о движении тела с полостью, заполненной маловязкой жидкостью, получил Черноусько [86]. В частности, он разработал теорию малых колебаний жидкости, имеющей свободную поверхность, в резервуарах с гладкими стенками путем решения уравнений На-вье-Стокса в виде асимптотических разложений в ряд по степеням вязко-
11 *)
сти v . Однако демпфирование колебаний жидкости, обусловленное диссипацией энергии в пограничном слое на стенках баков объектов РКТ, оказывается слишком малым. Во многих случаях при таком демпфировании устойчивость движения РН, РБ и КА не обеспечивается. В окрестности острых кромок конструктивных элементов, устанавливаемых для резкого повышения демпфирования, допущения теории пограничного слоя не выполняются.
Течения жидкости около тел с острыми кромками изучаются в теории крыла самолета. Наличие острой кромки - принципиальная особенность крыла. В 1906 году Жуковский [40] установил вихревую природу подъемной силы, а в 1909 году, когда был сформулирован постулат Чаплыгина-Жуковского, стала ясной роль острой кромки. Книга Белоцерков-ского [6] положила начало интенсивному развитию вихревых моделей течений идеальной жидкости. Численные решения задач обтекания тел потоком идеальной жидкости получают методом дискретных вихрей (МДВ). Обоснование МДВ дано Лифановым [7,52]. Применение МДВ для решения задач о колебаниях тела с острыми кромками в жидкости и, в особенности, для решения задач о колебаниях жидкости в баках с демпфирующими перегородками связано с большими трудностями. О полученных этим мето-
дом некоторых частных решениях задач о колебаниях пластинок в жидкости будет сказано ниже.
Седов [74] получил асимптотическое решение плоской задачи о колебаниях пластинки, расположенной под малым углом атаки в стационарном на бесконечности потоке жидкости с большой скоростью. Это решение имеет некоторое практическое приложение для анализа процессов при вибрациях крыла самолета. Задача о колебаниях пластинки в покоящейся на бесконечности жидкости такого решения не имеет.
Одно из первых систематических экспериментальных исследований по малым колебаниям различных тел в жидкости, в частности пластин разной формы, выполнили Риман и Крепе [69]. Однако в их работе определялись только коэффициенты присоединенных масс жидкости.
Впервые глубокие экспериментальные исследования по сопротивлению длинной прямоугольной пластинки, расположенной перпендикулярно периодическому потоку жидкости, были проведены Келеганом и Карпен-тером [98] и опубликованы в 1958 году. Сопротивление тонкой пластинки при колебаниях в безграничной жидкости может зависеть только от двух критериев подобия: числа Струхаля или относительной амплитуды колебаний и числа Рейнольдса. Испытания показали, что коэффициент сопротивления практически не зависит от числа Рейнольдса при его изменении в очень широком диапазоне больших значений. Это указывает на то, что значение имеет энергия образующихся за период колебаний вихрей, а не эффекты, связанные с их диффузией и диссипацией в объеме жидкости.
Келеган и Карпентер представили результаты своих исследований в виде зависимости коэффициента сопротивления от безразмерного параметра \TIR , где v - амплитуда скорости, R - ширина пластинки, Т - период колебаний. Иногда в литературе этот параметр, обратный числу Струхаля, называется числом Келегана-Карпентера и обозначается Кс. В проведенных Келеганом и Карпентером испытаниях это число изменялось в диапа-
зоне 2
В том же 1958 году Майлс [100], основываясь на этих экспериментальных данных, аппроксимировал зависимость коэффициента сопротивления пластинки от числа Кс простейшей степенной функцией с показателем -1/2 и применил ее для оценки демпфирования колебаний жидкости в цилиндрическом баке с кольцевой перегородкой. В результате демпфирование оказалось пропорционально амплитуде колебаний жидкости в степени 1/2.
В СССР обширные экспериментальные исследования колебаний пластин в жидкости и колебаний жидкости в баках с демпфирующими перегородками были проведены Микишевым [54,55] и Бенедиктовым [29,30]. В этих исследованиях больше внимания уделялось малым амплитудам колебаний, представляющим практический интерес в связи с задачей о демпфировании колебаний жидкого топлива в баках РН и КА. Путем аппроксимации экспериментальных данных были получены различные частные эмпирические зависимости, рекомендованные для применения в конкретных случаях.
Первое основательное теоретическое исследование по сопротивлению пластинки, совершающей колебания в безграничной жидкости, принадлежит Грахаму [92] и опубликовано им в 1980 году в ведущем журнале по механике жидкости "Journal of Fluid Mechanics". Он рассмотрел плоскую задачу о гармонических колебаниях пластинки по нормали к ее плоскости при малых числах Келегана-Карпентера Кс. Из ряда других эту работу выделяет то, что в ней впервые был сделан правильный общий вывод о характере сопротивления. Применяя соображения подобия, Грахам показал, что при малых амплитудах колебаний показатель степени в зависимости сопротивления от числа Келегана-Карпентера Кс равен -1/3. Позже
Бернардинес, Грахам и Паркер [91] аналогично исследовали осесиммет-ричные задачи о колебаниях тонкого круглого диска и о периодическом течении жидкости через круглое отверстие.
В этих работах не было предложено какой-либо общей теории, а основное внимание уделялось важному аспекту развития численного метода дискретных вихрей для решения указанных конкретных задач. Подробная библиография с анализом численных методов решения широкого класса задач о вихревых движениях жидкости содержится в обзорной статье Сарпкайя [71].
Из сделанного обзора следует, что применение существующих теоретических методов для определения сопротивления даже простых пластин или панелей, совершающих колебания в жидкости, и тем более для исследования колебаний жидкости в баках с демпфирующими перегородками сопряжено с практически непреодолимыми трудностями. Все попытки получить асимптотическое решение уравнений Навье-Стокса путем разложения в ряд по числам Рейнольдса и Келегана-Карпентера окончились безрезультатно.
Основная идея работы. Общее теоретическое решение проблемы совершенно другим путем было получено автором в 1987 году после знакомства с небольшой книгой Работнова [67] по линейной механике разрушения. В этой книге привлекло внимание то, что, основываясь на соображениях подобия, по значению коэффициента интенсивности напряжений (КИН) оценивался размер зоны пластичности в окрестности вершины трещины, т.е. методы подобия и размерностей соединялись с методом сингулярных решений. Трещина в упругом теле и пластина в идеальной несжимаемой жидкости имеют не только очевидное внешнее сходство. Задачи теории упругости, как и задачи о потенциальном движении жидкости, относятся к эллиптическим краевым задачам. С математической точки зрения решения этих задач имеют одинаковые особенности в окрестности
острых кромок областей. Возникла идея перенесения методов теории трещин механики деформируемого твердого тела в область гидродинамики при рассмотрении колебаний пластин в несжимаемой маловязкой жидкости. Эта идея оказалась плодотворной, поэтому кратко остановимся на основных моментах развития и принципах линейной механики разрушения.
Когда в начале XX века на основе новой атомной теории строения вещества была оценена теоретическая прочность различных твердых тел, то она на порядок и более оказалась выше наблюдаемой. В 1920 году Гриффите [93] объяснил столь разительное различие наличием в кристаллических телах микротрещин и предложил свой критерий прочности, связанный с вычислением энергии, идущей на увеличение поверхности этих трещин. Предложенный им подход оказался довольно сложным и в то время не получил дальнейшего развития.
В 1957 году Ирвин [96] ввел в качестве меры сингулярности напряжений на острых кромках трещин коэффициенты интенсивности напряжений (КИИ) и связал с ними силовой критерий прочности. Он показал, что в малой окрестности острой кромки любой трещины напряжения выражаются зависимостями вида а = К/ *j2nr /(0), где / - некоторые известные
функции полярного угла 9 , г - расстояние до острой кромки, К - коэффициент интенсивности напряжений (трем разным типам деформаций соответствуют коэффициенты Kj,Kjj,Kjjj). Ирвин получил также важные
формулы, носящие его имя, которые устанавливают связь КИН с изменением энергии при росте трещин. С этого момента началось интенсивное развитие линейной механики трещин, которая к настоящему времени сформировалась в обширный самостоятельный раздел науки [68,85], имеющий важнейшие практические приложения.
Сингулярные функции и КИН характеризуют напряженное состояние только в малой "дальней" окрестности острой кромки трещины, а в ее
ближней окрестности в металлах, например, развивается пластическая зона. Проводя условную физическую аналогию, можно принять, что в задаче гидродинамики о колебаниях пластины в маловязкой жидкости сингулярные функции описывают поле скоростей только в малой "дальней" окрестности острой кромки, а в ее ближней окрестности течение жидкости имеет сложный вихревой характер.
Заимствуя идеи линейной механики разрушения, автор [12,13] предложил новую приближенную модель движения несжимаемой маловязкой жидкости, предназначенную для определения сил сопротивления, действующих на тела с острыми кромками при их чисто колебательном движении в жидкости либо при колебательном движении жидкости относительно тел с острыми кромками. В этой модели область течения жидкости разбивается на следующие подобласти:
область основного потенциального движения жидкости;
область малой "дальней" окрестности острой кромки, где течение жидкости описывается главными сингулярными членами решения задачи о потенциальном движении, в котором скорости жидкости на острой кромке обращаются в бесконечность;
область ближней окрестности острой кромки и существенного вихревого движения жидкости, где происходит образование и периодическое изменение вихревых структур;
область пограничного слоя.
На основе этой модели полуэмпирическая асимптотическая теория вихревого сопротивления построена автором [12] при следующих допущениях: характерный размер тела много больше, а толщина пограничного слоя много меньше характерного размера области существенного вихревого движения жидкости. Кроме того, в качестве постулата принято естественное при этих допущениях утверждение: энергия вихреобразования полно-
стью определяется потенциальным течением жидкости в малой дальней" окрестности острых кромок.
Разработанная автором [12,13,17] асимптотическая теория вихревого сопротивления применима при больших числах Рейнольдса и малых числах Келегана-Карпентера. Она основана на введении количественной меры сингулярности скорости жидкости на острой кромке согласно зависимости
v = Ку I V2w /(0) , где Ку - коэффициент интенсивности скоростей (КИС), /(0) - некоторая известная функция полярного угла 0, отсчитываемого от одной стороны кромки к другой по дуге в жидкости, г - расстояние до острой кромки. С привлечением соображений подобия и размерностей показано, что с точностью до универсального постоянного множителя энергия вихреобразования за период колебаний зависит вполне определенным образом только от плотности жидкости, частоты колебаний и значений КИС на контуре острой кромки.
Основной результат теории может быть выражен зависимостью
dE/d = Bpo)~2nKv,3(e) (0.1)
где dEI d - производная энергии вихреобразования за период колебаний по длине острой кромки, т.е. энергия вихреобразования на единицу длины кромки, р - плотность жидкости, ю - частота колебаний, Kv () - значение
КИС в точке контура острой кромки, В - универсальная постоянная, приближенно равная 2. Величина универсальной постоянной была определена по результатам специально проведенных испытаний круглой панели в воздушной среде [12]. В конечном итоге задачи определения сопротивления сведены к вычислению КИС в рамках концепции безотрывного потенциального движения жидкости и вычислению некоторых интегралов по контуру острых кромок. Был получен и гидродинамический аналог формул Ирвина. В ряде случаев применение этой формулы существенно упрощает нахождение КИС.
Для определения сил сопротивления, которые действует на пластину или панель, совершающую колебания в жидкости или воздушной среде, выполняются следующие операции [12,17]:
решается задача о потенциальном движении жидкости;
определяются коэффициенты при сингулярных членах потенциального решения, названные коэффициентами интенсивности скоростей (КИС), которые характеризуют течение жидкости в малых "дальних" окрестностях острых кромок;
вычисляются интегралы по контурам острых кромок, в которых подынтегральные функции зависят от КИС.
Аналогичным образом определяются коэффициенты демпфирования колебаний жидкости в баках с конструктивными элементами, имеющими острые кромки [14,15].
Уравнения Навье-Стокса при этом не используются, и вязкость жидкости в решение никак не входит. Это согласуется с тем, что для тел с острыми кромками сопротивление не зависит от числа Реинольдса при его изменении в широком диапазоне больших величин. Однако коэффициенты сопротивления и демпфирования зависят от амплитуд колебаний.
Твердое тело может иметь не только острые кромки, но и кромки с отличным от нуля двугранным углом. Примером такого тела может быть, например, куб, двугранные углы всех кромок которого равны и/2. Если тело имеет кромку, двугранный угол которой меньше я, то в потенциальном движении скорость жидкости в вершине кромки обращается в бесконечность, а течение в некоторой ее окрестности при малых амплитудах колебаний описывается сингулярной функцией. Обобщение теории дано и на этот общий случай формы поверхности тела [13]. Однако в полученное конечное решение входит неизвестная функция В(а) , где а - величина двугранного угла. При а = 0, что соответствует острой кромке пластинки, эта
функция принимает значение указанной выше универсальной постоянной. Функция В(сс) должна быть определена в диапазоне 0 < а < ж путем специально поставленных экспериментов. Дальнейшее развитие теории возможно только после накопления новых экспериментальных фактов.
Собственно течение жидкости в малых ближних окрестностях острых кромок, имеющее весьма сложную вихревую структуру, в описанной модели остается неизвестным. Впрочем, такое положение, когда определяются только интегральные характеристики явления, довольно типично даже для фундаментальных научных теорий. Так как используемые эмпирические соображения имеют не частный, а достаточно общий характер, и многочисленные экспериментальные данные подтверждают теорию, то она не хуже и не лучше некоторых других моделей гидромеханики, ценность и полезность которых не вызывает сомнений. Так в теории несущей поверхности [6,103] существование вполне определенной вихревой структуры в потоке жидкости принимается из физических соображений, основанных на наблюдениях, а не получено из уравнений Навье-Стокса. Определенной платой за такой подход является большая размытость границ области применимости.
Коэффициенты интенсивности скоростей (КИС), через которые определяется энергия вихреобразования за период колебаний, являются количественной мерой сингулярности скорости жидкости на острых кромках. Требуется не только решить краевые задачи для уравнения Лапласа, имеющие сингулярные особенности на некоторых линиях, но и достаточно точно вычислить КИС, характеризующие количественно эти особенности. Обычные методы для этого не подходят, поэтому значительная часть работы посвящена методам вычисления КИС. Используются как известные методы, заимствованные из линейной механики разрушения, так и развиваются новые, основанные на полученных автором [16,17] новых сингулярных граничных интегральных уравнениях. Применяются различные анали-
тические методы и общие численные методы конечных элементов и граничных элементов.
Краткое содержание и предварительная сводка основных результатов. Диссертация состоит из четырех глав (разделов). В первой главе излагается новая асимптотическая теория вихревого сопротивления тел с острыми кромками при малых колебаниях в несжимаемой маловязкой жидкости [12,13]. Рассматриваются различные аналитические методы определения вихревого сопротивления на основе этой теории [17]. Приводятся многочисленные примеры решенных задач, некоторые из которых имеют важное практическое значение. Исследуется также влияние вихревого движения жидкости в окрестности острых кромок на присоединенные массы жидкости [14].
Влияние вихревого течения в окрестности острых кромок на присоединенные к пластинкам массы жидкости
В том же 1958 году Майлс [100], основываясь на этих экспериментальных данных, аппроксимировал зависимость коэффициента сопротивления пластинки от числа Кс простейшей степенной функцией с показателем -1/2 и применил ее для оценки демпфирования колебаний жидкости в цилиндрическом баке с кольцевой перегородкой. В результате демпфирование оказалось пропорционально амплитуде колебаний жидкости в степени 1/2.
В СССР обширные экспериментальные исследования колебаний пластин в жидкости и колебаний жидкости в баках с демпфирующими перегородками были проведены Микишевым [54,55] и Бенедиктовым [29,30]. В этих исследованиях больше внимания уделялось малым амплитудам колебаний, представляющим практический интерес в связи с задачей о демпфировании колебаний жидкого топлива в баках РН и КА. Путем аппроксимации экспериментальных данных были получены различные частные эмпирические зависимости, рекомендованные для применения в конкретных случаях.
Первое основательное теоретическое исследование по сопротивлению пластинки, совершающей колебания в безграничной жидкости, принадлежит Грахаму [92] и опубликовано им в 1980 году в ведущем журнале по механике жидкости "Journal of Fluid Mechanics". Он рассмотрел плоскую задачу о гармонических колебаниях пластинки по нормали к ее плоскости при малых числах Келегана-Карпентера Кс. Из ряда других эту работу выделяет то, что в ней впервые был сделан правильный общий вывод о характере сопротивления. Применяя соображения подобия, Грахам показал, что при малых амплитудах колебаний показатель степени в зависимости сопротивления от числа Келегана-Карпентера Кс равен -1/3. Позже Бернардинес, Грахам и Паркер [91] аналогично исследовали осесиммет-ричные задачи о колебаниях тонкого круглого диска и о периодическом течении жидкости через круглое отверстие.
В этих работах не было предложено какой-либо общей теории, а основное внимание уделялось важному аспекту развития численного метода дискретных вихрей для решения указанных конкретных задач. Подробная библиография с анализом численных методов решения широкого класса задач о вихревых движениях жидкости содержится в обзорной статье Сарпкайя [71].
Из сделанного обзора следует, что применение существующих теоретических методов для определения сопротивления даже простых пластин или панелей, совершающих колебания в жидкости, и тем более для исследования колебаний жидкости в баках с демпфирующими перегородками сопряжено с практически непреодолимыми трудностями. Все попытки получить асимптотическое решение уравнений Навье-Стокса путем разложения в ряд по числам Рейнольдса и Келегана-Карпентера окончились безрезультатно.
Основная идея работы. Общее теоретическое решение проблемы совершенно другим путем было получено автором в 1987 году после знакомства с небольшой книгой Работнова [67] по линейной механике разрушения. В этой книге привлекло внимание то, что, основываясь на соображениях подобия, по значению коэффициента интенсивности напряжений (КИН) оценивался размер зоны пластичности в окрестности вершины трещины, т.е. методы подобия и размерностей соединялись с методом сингулярных решений. Трещина в упругом теле и пластина в идеальной несжимаемой жидкости имеют не только очевидное внешнее сходство. Задачи теории упругости, как и задачи о потенциальном движении жидкости, относятся к эллиптическим краевым задачам. С математической точки зрения решения этих задач имеют одинаковые особенности в окрестности острых кромок областей. Возникла идея перенесения методов теории трещин механики деформируемого твердого тела в область гидродинамики при рассмотрении колебаний пластин в несжимаемой маловязкой жидкости. Эта идея оказалась плодотворной, поэтому кратко остановимся на основных моментах развития и принципах линейной механики разрушения.
Когда в начале XX века на основе новой атомной теории строения вещества была оценена теоретическая прочность различных твердых тел, то она на порядок и более оказалась выше наблюдаемой. В 1920 году Гриффите [93] объяснил столь разительное различие наличием в кристаллических телах микротрещин и предложил свой критерий прочности, связанный с вычислением энергии, идущей на увеличение поверхности этих трещин. Предложенный им подход оказался довольно сложным и в то время не получил дальнейшего развития.
В 1957 году Ирвин [96] ввел в качестве меры сингулярности напряжений на острых кромках трещин коэффициенты интенсивности напряжений (КИИ) и связал с ними силовой критерий прочности. Он показал, что в малой окрестности острой кромки любой трещины напряжения выражаются зависимостями вида а = К/ j2nr /(0), где / - некоторые известные функции полярного угла 9 , г - расстояние до острой кромки, К - коэффициент интенсивности напряжений (трем разным типам деформаций соответствуют коэффициенты KJ,KJJ,KJJJ). Ирвин получил также важные формулы, носящие его имя, которые устанавливают связь КИН с изменением энергии при росте трещин. С этого момента началось интенсивное развитие линейной механики трещин, которая к настоящему времени сформировалась в обширный самостоятельный раздел науки [68,85], имеющий важнейшие практические приложения.
Колебания заполненной жидкостью цилиндрической емкости с радиальными ребрами вокруг продольной оси
Некоторые аналитические решения пространственной задачи представлены в разделе 1.10. Приводится общее решение для круглой пластины, в частности рассматриваются угловые колебания вокруг ее диаметра. Устанавливается соответствие задач определения КИС для плоских пластин в гидродинамике и КИН отрыва для плоских трещин в механике деформируемого твердого тела. Поэтому можно использовать решения, полученные в линейной механике разрушения. Дается выражение КИС для эллиптической пластины при ее колебаниях перпендикулярно своей плоскости. Это аналитическое решение интересно тем, что КИС зависят от положения точки на граничном контуре.
В заключительном разделе 1.11 этой главы дается обобщение асимптотической теории на общий случай колебаний в жидкости тела с изломами на его поверхности [13]. Основной вывод из этого обобщения состоит в следующем: если двугранный угол излома поверхности а = п/2, то коэффициент сопротивления сх не зависит от амплитуды колебаний; если то cx падает с увеличением амплитуды колебаний; если a % 12, то сх возрастает от нуля при увеличении амплитуды колебаний.
Вторая глава диссертации посвящена развитию нового варианта методов граничных элементов (МГЭ) для решения плоских задач о потенциале в областях с замкнутыми и незамкнутыми граничными линиями при общих граничных условиях [16]. Кратко освещается история развития методов граничных интегральных уравнений (ГИУ) и МГЭ. Показывается, что известные прямые методы (МГЭ) нельзя применить для решения рассматриваемых краевых задач. где wnj- производная фундаментального решения уравнения Лапласа по направлению нормали Я к границе в особой точке / на этой границе; yj и у 2 - замкнутая граничная линия и одна сторона незамкнутой граничной линии; q и q{ производная потенциала по нормали v к границе и эта производная в точке і, где v = п; и - потенциал на у и скачок потенциала на В разделе 2.2 для решения СГИУ (0.8) применяется методология МГЭ при использовании постоянных граничных элементов (ГЭ). Хотя все интегралы были взяты в аналитическом виде, этот вариант МГЭ обеспечивает медленную сходимость к истинному решению. Для уточнения решения применяется нелинейное преобразование Шенкса [28]. Коэффициенты интенсивности особенности на острой кромке вычисляются путем применения аналога формулы Ирвина. В разделе 2.3 рассматриваются ГЭ с квадратичной аппроксимацией геометрии, граничных условий и решения. При аппроксимации геометрии используются узлы, расположенные на концах и примерно в середине ГЭ. Аппроксимация граничных условий и решения задается через узлы, расположенные внутри ГЭ, т.е. применяются так называемые разрывные ГЭ. Это связано с тем, что такой узел нельзя поместить в точке излома границы, так как в ней отсутствует определенное направление нормали и нельзя ввести функцию wnf . На концах незамкнутой граничной линии используются специальные ГЭ, для описания геометрии которых центральный узел сдви- " гается на четверть длины ГЭ к острой кромке. Тем самым обеспечивается требуемая особенность решения в окрестности острой кромки. Применение этих ГЭ существенно повышает точность численного решения и открывает возможность непосредственного вычисления коэффициента интенсивности особенности без использования специальных приемов.
Интегралы, входящие в СГИУ (0.8) имеют более высокую особенность, чем интегралы в ПТУ классической теории потенциала. Методы вычисления этих интегралов излагаются в разделе 2.4. СГИУ (0.8) получено в результате предельного перехода, когда точка изнутри области стремится к границе. Показано, если граница ляпуновская, то пределы интегралов существуют. После выделения или понижения степени особенности они вычисляются по квадратурным формулам Гаусса и квадратурным формулам Кутта [99] для конечной части интеграла от функций типа f(x) I х .
В разделе 2.5 приводятся численные результаты, полученные МГЭ при использовании квадратичных ГЭ. Рассматривается ряд краевых задач, в том числе краевая задача на собственные значения, для которых известны аналитические решения. Проводится анализ сходимости численных решений. Расчеты показывают, что коэффициент интенсивности особенно- сти на острой кромке вычисляется непосредственно из решения с погреш ностью менее 0.5%. Более точное значение этого коэффициента можно получить, применяя аналог формулы Ирвина. Предложенный вариант МГЭ позволяет с высокой точностью получить решение практически любой плоской задачи о потенциале [16].
В разделе 2.6 представлены результаты решения задач о влиянии границ, представляющие практический интерес. Рассматриваются колебания пластинки, расположенной с зазором перпендикулярно плоской твердой стенке. Дано теоретическое объяснение так называемого эффекта зазора, который был обнаружен экспериментально и состоит в том, что при малых зазорах сопротивление пластинки больше, чем при отсутствии зазора и падает при ее удалении от стенки [37]. Это используется в практике проектирования демпферов колебаний жидкого топлива в баках РН и КА. Исследуется эффект "затенения", состоящий в том, что сопротивление двух рядом расположенных пластинок меньше, чем в случае, когда они удалены друг от друга. Исследуется влияние на сопротивление свободной поверхности жидкости, когда пластинка совершает колебания параллельно и перпендикулярно свободной поверхности. Исследуется демпфирование колебаний вокруг продольной оси цилиндрического резервуара с радиальными ребрами, заполненного жидкостью. Проводится сравнение результатов расчетов с экспериментальными данными [4].
Влияние воздушной среды при частотных испытаниях ПСБКА
В разделе 4.3 получено интегральное соотношение для КИС при колебаниях жидкости в резервуаре [14] где к,5к - собственное значение и вариация собственного значения краевой задачи о колебаниях идеальной жидкости при изменении площади перегородок путем смещения острых кромок на Ъп по нормали к ним в касательной плоскости. Применение этого соотношения позволяет существенно повысить точность вычисления КИС, и в рассматриваемой задаче оно заменяет аналог формулы Ирвина.
В разделе 4.4 представлены алгоритмы метода конечных элементов (МКЭ) решения краевых задач для резервуаров вращения с жидкостью, применяемых в ракетно-космической технике [18,19,21]. Эти алгоритмы основываются на известных вариационных формулировках краевых задач. В результате применения МКЭ они приводятся к линейной системе алгебраических уравнений и к линейной алгебраической задаче на собственные значения. Последняя задача решается методом итераций в подпространстве [79]. Резервуар может содержать поперечные демпфирующие перегородки, сохраняющие осевую симметрию его полости. Это могут быть кольцевые, конические, цилиндрические перегородки или перегородки, составленные из их различных комбинаций. Рассматриваются линейные и квадратичные конечные элементы (КЭ). Одна из особенностей, возникающая при наличии в полости демпфирующей перегородки, связана с тем, что ее удобно представлять бесконечно тонкой, а лежащие на ней узлы КЭ двойными. Срединные узлы сторон квадратичных КЭ, сходящихся в острой кромке, сдвигаются на 1/4 длины соответствующей стороны к узлу острой кромки. В этом случае численное решение имеет требуемую особенность типа г в окрестности острой кромки, что существенно повышает скорость сходимости и точность решения краевых задач. При этом КИС можно вычислить непосредственно из решения, но более точные значения получаются применением интегрального соотношения (0.12).
Формульные схемы вычисления гидродинамических параметров после численного решения краевых задач приводятся в разделе 4.5. Частотные параметры определяются непосредственно в результате решения краевой задачи на собственные значения. Другие гидродинамические параметры получаются интегрированием по граничной поверхности. В рассматриваемом случае линии острых кромок перегородок являются окружностями. Вдоль этих линий зависимость КИС от угла 6 имеет вид KV(Q)=KVQCOSQ . Решая задачу на собственные значения при различных вариациях площади демпфирующих перегородок, находим изменения собственных значений и вычисляем KyQ применением интегрального соотношения (0.12). По известным значениям КИС вычисляем коэффициент нелинейного демпфирования по формуле (0.11).
В разделе 4.6 дается общая характеристика программного комплекса HDTB [19,21,23]. Первая версия программы была разработана в начале 80-х годов. Накоплен громадный опыт ее использования для проведения расчетов гидродинамических параметров топливных баков ракет-носителей (РН), разгонных блоков (РБ) и космических аппаратов (КА), которые тестированы по результатам многочисленных экспериментальных исследований топливных баков, проведенных в ЦНИИмаш. В части вычисления коэффициентов нелинейного вихревого демпфирования она является уникальной и не имеет аналогов. В последние годы эта программа использовалась, например, для расчетов гидродинамических параметров топливных баков РБ "Бриз-КМ", РБ "Бриз-М", КВРБ, РН "Ангара", РБ "Фрегат", КА "Фобос-Грунт" для ГКНПЦ им. Хруничева и НПО им. Лавочкина.
Некоторые результаты анализа эффективности применения МКЭ в программном комплексе HDTB представлены в разделе 4.7. Здесь дается сравнение результатов расчетов с экспериментальными данными. Из других результатов отметим только то, что предложенный подход позволяет определять нелинейное вихревое демпфирование колебаний жидкости с учетом весьма мелких конструктивных особенностей, например, зазоров между перегородкой и стенками бака. В разделе 4.8 для блока достаточно сложных топливных баков РБ "Бриз-КМ" приведены результаты расчетов всего комплекса гидродинамических параметров, включая линейное и нелинейное демпфирование.
Требования к демпфированию колебаний жидкости, на основании которых выбираются конструктивные демпфирующие элементы, устанавливаемые в топливных баках, определяются по результатам анализа устойчивости движения объектов РКТ. Поэтому в разделе 4.9 приводятся результаты такого анализа для двух конкретных объектов частотным методом Найквиста.
Основные научные положения, выносимые на защиту. Полуэмпирическая асимптотическая теория вихревого сопротивления тел с острыми кромками при колебаниях в несжимаемой маловязкой жидкости. Аналитические и численные методы определения коэффициентов сопротивления и демпфирования на основе этой теории. Приложение теории к решению задачи о колебаниях жидкости в резервуаре, частично заполненном жидкостью, с демпфирующими перегородками.
Исследование влияния поперечных перегородок на инерционные гидродинамические параметры
Впервые интегральные уравнения для формулировки фундаментальных краевых задач теории потенциала применил Фредгольм в 1903 году. Сначала применение интегральных уравнений ограничивалось в основном теоретическим исследованием вопросов существования и единственности решений задач математической физики. Большой вклад в развитие методов граничных интегральных уравнений (ГИУ) внесли Мусхелишвили [60], Михлин [56], Гахов [34], Лифанов [52] . В механике жидкости метод интегральных уравнений известен как метод источника [53].
Появление вычислительной техники стимулировало разработку алгоритмов численных решений ГИУ. В 1963 году Джесуон [97] и Симм [102] предложили численный подход к решению ГИУ Фредгольма, состоящий в разбиении границы на ряд малых участков, внутри которых плотность источника принималась постоянной. Они получили решения для простых двумерных задач Дирихле и Неймана и, основываясь на третьей формуле Грина, предложили методику численного решения краевой задачи для уравнения Лапласа со смешанными граничными условиями. Хесс и Смит [95], используя аналогичный подход, разработали метод решения задачи потенциального обтекания жидкостью тел произвольной формы. В современной терминологии этот подход представляет собой непрямой метод граничных элементов (НМГЭ) с постоянными граничными элементами для аппроксимации формы границы, граничных условий и решения [9,10].
Термин "граничные элементы", по очевидной аналогии с конечными элементами, которые к этому времени применялись уже более 10 лет, был введен Бреббия в книге [89] , вышедшей в 1978 году. Бреббия впервые -. применил метод взвешенных невязок для получения сингулярных граничных интегральных уравнений (СГИУ), что позволило ему показать общность методов граничных элементов (МГЭ) с другими численными методами. Бреббия и Уокер [9] , Бреббия, Теллес и Вроубел [10] дали дальнейшее существенное развитие МГЭ и рассмотрели применение этих методов для решения широкого круга задач.
Как известно, в классической теории потенциала решения краевых задач представляются в виде потенциалов простого и двойного слоя [56,77,80]. Такой подход приводит к так называемым непрямым методам граничных элементов (НМГЭ), основанным на ГИУ, в которых неизвестными являются фиктивные, а не физические функции [10]. Этот недостаток устраняется в прямых методах граничных элементов (ПМГЭ), которые в случае плоскости основываются на интегральном представлении гармонической функции [56]
Если точка x принадлежит границе, то это - сингулярное граничное интегральное уравнение (СГИУ). ПМГЭ имеют большую общность. При использовании постоянных граничных элементов (ГЭ), т.е. таких на которых фиктивные или физические функции принимаются постоянными, преимущество ПМГЭ не столь явно. В полной мере оно проявляется в возможности простого и физически ясного построения ГЭ более высокого порядка, лучше аппроксимирующих форму границ и заданные граничные условия, что повышает точ- . ность и скорость сходимости метода.
Однако известные ПМГЭ имеют один существенный недостаток. Если граничная линия незамкнутая, то при естественном условии непрерывности производной потенциала по выбранному направлению нормали к этой границе, первый из интегралов в записанном выше интегральном представлении исчезает, и оно не может служить для решения краевых задач.
Задачи о потенциале в областях с незамкнутыми граничными линиями имеют большое практическое значение. Такие задачи возникают в механике деформируемого твердого тела [85] при определении прочности тел с трещинами и в гидродинамике [74], в частности в задачах о колебаниях пластин в жидкости [17].
Автор [16] получил новое сингулярное граничное интегральное уравнение (СГИУ) и, основываясь на нем, предложил прямой метод граничных элементов (ПМГЭ) для решения плоских задач о потенциале в конечной или бесконечной области, ограниченной одной или несколькими замкнутыми или незамкнутыми граничными линиями, при достаточно общих граничных условиях. В [17] рассмотрен вариант метода с применением постоянных ГЭ . В [16] построены обычный и сингулярный ГЭ второго порядка, т.е. с квадратичной аппроксимацией формы границы, заданных граничных условий и неизвестных функций потенциала и его нормальной производной на границе. Так называемый сингулярный ГЭ предназначается для учета особенностей, возникающих в малой окрестности острой кромки незамкнутой граничной линии. В предположении выполнения условий Ляпунова доказано существование пределов сингулярных интегралов, которые имеют более высокую степень особенности, чем соответствующие интегралы в классических ГИУ теории потенциала, и указаны эффективные способы их вычисления.
