Введение к работе
Актуальность темы. Постановка задач. В современной теории приближения функций точное вычисление поперечников функциональных классов - одна из наиболее трудных задач, привлекающая внимание многих математиков. Понятие поперечника было введено А.Н.Колмогоровым в 1936 году и состоит в следующем. Пусть X -линейное нормированное пространство, ТІ - центрально-симметричное множество из X П--меоным поперечником по Колмогоро-ву называют величину
<4№х = in? SUP )п* '^~uiix >
Fn yen иєГп
где последний раз точная нижняя грань берётся по всем подпространствам Fn С X размерности dint Fn і п . Подпространство F , реализующее точную нижнюю грань, называется, экстремальным подпространством.
Задача о вычислении поперечников распадается на две части: оценку величины наилучшего приближения множества 71
В(П9РЛ) = sup inf liif-ull
л %П ueFn
фиксированным п-мерным подпространством F^ и получение оценок снизу для oin(7l)v Что касается первой части этой задачи, то в настоящее время ее решение известно для многих стандартных в теории приближения функциональных классов. Основную трудность составляет получение точных оценок снизу. Большая часть диссертации посвящена решению этой задачи для классов истокообразно представленных периодических функций. Поясним понятие функции, истокообразно представленной (для краткости в дальнейшем будем употреблять термин "истокообразная" функция) и его происхождение.
Пусть K(x,i) - определенная в области й.<хі^а^{<^ и непрерывная в этой области функция двух переменных х и -і
и Ф L±Za-,b~l . Функция Т^х), задаваемая интегралом вида
а,
называется истокообразно представленной (или истокообразной)
Функция K(x,t) в этом определении называется ядром функции "У , а ф - истоком. Термин "истокообразно" введен Р.Курантом и Д.Гильбертом и происходит от немецкого слова "Quelle", которое может быть переведено на русский язык, как источник или исток. Введем исследуемые в диссертации классы периодических функций. Пусть Т - отрезок С О , Z31 j с отождествленными концами, Рс~Ж catdP < ( множество Р может быть и пустым ), 07Гр = (7п(х)= X (.ак COS КХ+6^1/1^)(^ Left]
- фиксированное ядро, причем считаем, что /CjL/T) - Мнтеграл Tfx) = J7 К(х-±)<Р(±)сІ^феІ^СГ) (і і о і оо) в этом случае называется сверткой функций и ор и обозначается К * Ф .В диссертации изучается класс f = f(K р) истокообразных функций | вида
Пусть m е^ "і » сЛтЖРз&ъ ^ , g = ^U) ' заданная неотрицательная, непрерывная на f0,&) функция периода -&. В классе F выделим следующие множества
W^F) = {|eF: ||
Множество функций S б S Г^,о) будем называть пространством истокообразных сплайнов.
Многие хорошо известные в теории приближения функциональные классы нредставляются истокообразно. Приведем несколько примеров. В случае <{i)-i>P= {о}} Kit) ~ &1Ь% Ш =
~Х к^/К ^3 ~& ^ (геЛ/д Функция Вс называется ядром
Бернулди ) класс VJn(F) (і 40.600) представляет собой класс г раз дифференцируемых функций, у которых г -я производная в
метрике /-. = La (і), ограничена сверху единицей и его принято обозначать у/< = Wo. (7) В этом случае при четком иг пространство 5 (F,1) является пространством полиномиальных сплайнов степени % дефекта 1 с равномерными узлами jk Экстремальные.. аппроксимативные и интерполяционные свойства полиномиальных сплайнов интенсивно изучались в последние 30 лет очень многими авторами (см., например, монографии [1 -31). В случае ядра К&)*эС1КгА(1)*Х*- Z fc-^cesfltf-0^)
(vlelk, i>0), которое является линейной комбинацией ядра
Бернулли В> и его тригонометрически сопряженного б
класс функций Vv/q (F) принято обозначать Wo'* = VJ}'* (Т)
( в частности, при U = z-i Кгі=Зг и V/'w = W* )
В случае U = г , где г - нецелое положительное число, класс
Wo/* = Wq^ является классом функций с ограниченной нецелой
(по Вейлю) производной. Истокообразные сплайны при at. = г-і
будем называть "сопряженными", а при о( = z ф N - "дроб
ными" . ао
(0-cj>
П -го порядка с постоянными действительными коэффициентами,
у которого коэффициент при старшей степени равен 1. Этот опе
ратор может быть записан в следующем виде
к n--zk
**(&)* П (SA-2^2 + ^/+<ф/7 (0-J5:) CD
5=1 t/'-i "
где о(5.й; »5$ - действительные числа, причем, можно считать, что o(s > 0 П'Устъ рл - характеристический многочлен оператора а , Р = [s*Z :pnCis) = o} и
КШ = /^ (і) = (ял)'1 Z eLsV/w*>
- ядро, соответствующее оператору п . Здесь истокообразные
сплайны есть периодические решения линейного неоднородного диф
ференциального уравнения 0^(.2))/=9^ где Ф(і)-Ц:а(і)
(j - і) А 4 < j k (j є Z+) и носят название L-сплайнов
( о = 1 ) или обобщенных L-сплайнов { Q Ф і ). Класс Wo(F) в этом случае принято обозначать WJf" = W^(T).
Через Za ( і і, р , оо ), как обычно, будем обозначать пространство последовательностей W = {wy >) є Z ] действительных чисел с нормой
SU.p lyj , p = oo.
Линейному дифференциальному оператору cn - &ц, () , запи
санному в виде CD, поставим в соответствие разностный опера
тор с шагом й. > О .
действующи на пространстве последовательностей. Здесь Tu)> = = Ц-і>*-і и " тождественный оператор. Разность A^^v выбрана таким образом, что для любого решения / линейного однородного дифференциального уравнения *Cft(fl))^ = 0 при .тюбом ге е Щ имеет место равенство
АІ Ux + 0) = о.
Напомним еше несколько известных понятий. Пусть СО - СО (і) ( t > О ) - заданный модуль непрерывности, т.е. функция, удовлетворяющая условиям: Urn. oo(i) - и)(0) = 0,
О 4 со Иг) -co(U)4u>tti -tt) (Ойі^іі) и
*li>
"_ Vz ccisl-zt), "Vz. ^ -t & -ft..
При P = ^0} , четном m, и К=я"1ог ( ге N ) сплайны из множества S^CFjtt) называют 60 -сплайнами. Пусть также со (<Г, ФЗ - модуль непрерывности функции 9 б С СУ) , кото-
рыи определяется равенством wfc-ф) = sup і<Р(і + 6.)~ФЮІ
и W^H" = (feF: со^ФНсО^сГ), 0&<5Чл}.
Перейдем к формулировкам задач, рассматриваемых в диссертации.
1. Задача вычисления поперечников. При возможно меньших
требованиях на ядро К вычислить точно или оценить колмогоров-
ские поперечники dn (Wq. (F))^ (q,- l,oo)} oln. (WK>PHu)tx>
классов периодических функций W«,(F) и W^'^H"
( ос - выпуклый модуль непрервности ).
2. Интерполяционная задача для сплайнов. Найти необхо
димые и достаточные условия на числа О і &<4 гте А/ &< >/0 >
множество Р , функции К , Q. и Y(t). С[- ^-, 4i] » ПРИ
которых для любой последовательности Uxz^Uy ^ j 2.1а ДеЙСТ-
ЕЦТеЛЬКЫХ ЧИСеЛ, УДОВЛеТВОрЯЮШда УСЛОВИЮ U - Ц-0 (J6D,
существует единственный истокообразный сплайн Cj Є S (F, о) такой, что
J S(9&+^+OW)att = ^у , ^2:
(при t = О полагаем S ^0^. + 1>4J = Vy> ).
-
Конкретные ядра. Применить полученные общие результаты для изучения интерполяционных свойств сплайнов и поперечников классов функций, порождаемых ядрами Кг^ [%>O^de Я)3 /7рд (О . ioi R), К » а также задаваемых с помощью модуля непрерывности.
-
Задача экстремальной интерполяции в среднем на-оси для линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами. Указать условия на числа & > о . ± у, О > ПРИ ко~ tqphx для любой последовательности и = (yv \) "Ж] действительных чисел, принадлежащей классу
существует функция | , удовлетворяющая условиям:
( при -&i = 0 полагаем ffv4) = Vy ).
Класс всех функций ( возможно пустой ), удовлетворяющих приведенным условиям, будем обозначать F% ^ р tu) . Для указанных чисел й. и -hi вычислить величину
Обширная библиография, особенно последних десятилетий, свидетельствует об интересе к этим задачам и их несомненной актуальности. Сформулированные проблемы наряду с задачами нахождения оптимальных квадратурных формул и оптимального вос-тановления на классах функций,порождаемых различными ядрами, как в периодическом, так и в непериодическом случаях, интенсивно изучались в крупнейших математических школах, занимающихся вопросами приближения функций. Это объясняется, как теоретической, так и практической их значимостью. Мы имеем в виду, в частности, украинскую школу по теории приближения функций под руководством.Н.П.Корнейчука, В.К.Дзядыка и А.И.Степанца, школу С.Б.Стечкина, школу В.М.Тихомирова, китайскую школу - под руководством Сунь Юн Шена; а также С.М.Никольского, Ю.Н.Субботина, А.А.Женсыкбаева, Л.В.Тайкова, Ю.Осколкова и их учеников. В этой области получили значительное продвижение американские, болгарские, израильские математики. В последние годы по близкой тематике защищено несколько докторских диссертаций, и тем не менее здесь остается еще ряд нерешенных задач ( в частности, для классов функций, сопряженных соболевским ).
Приведем краткий исторический очерк, ограничиваясь только периодическим случаем. Вначале отметим те работы, в которых "была вычислена величина наилучшего приближения класса Wo (F) в Lp = Lp (Т) в случае, когда F^,- пространство "TVi^ тригонометрических многочленов степени m-i .Ее принято обозначать E^jCWatF^p Первый результат принадлежит Ж..Фавару, который в 1936 году вычислил величину Em_j (W»)oo (гє/V ) В 1S37 году Н-.Й.Ахиезер и М.Г.Крейн, передоказав этот результат, указали значение величины EM.t (VV^,)оо (геЛ/ ), где \л/то - класс функций, тригонометрически сопряженных к функциям класса W,* Затем в 1338 году М.Г.Крейн вычислил Etn_i (w*n)co при m * 3*"* max <у ( см. (1)).
Идеи этих рабог были основополагающими для дальнейшего успешного вычисления величин наилучших приближений тригонометрическими многочленами различных классов истокообразных функций ь равномерной ( р = оо ) и интегральной ( р = і ) метриках. Мы имеем в виду исследования Б.Надя, С.М.Никольского, В.К.Дзяды-ка, С.Б.Сгечкина, Сунь Юн Шена и др. Для класса Wo' , который привлекал наибольшее внимание, наиболее общий результат был получен В.К.Дзядыком, который вычислил величину ^1-1(1^0^)0 при любых г у о , < е IR для Ср = {}са . Вся библиография по указанным результатам содержится, например, в монографиях Н.П. Корнейчука 11 - 33. Отметим также работу В.Ф.Бабенко [43, указавшего значение величины Eiyi.i(VJ!?)r> при (J, = <= > p-i Наряду с отысканием наилучших приближений классов функций, определяемых конкретными ядрами такими, как К г ^ , Kg и некоторыми другими, предпринимались усилия для решения этих задач для произвольных ядер К , удовлетворяющих некоторым общим условиям: А , N > Н , 3) , CV3) и т.д. Эти условия обеспечивали возможность применения при решении общей схемы рассуждений Ж.Фавара, Н.И.Ахиезера, М.Г.Крей-на и С.М.Никольского. С возникновением теории сплайнов проявился интерес к нахождению величины E(Wa(F)iFn)p в том случае, когда Fn - пространство полиномиальных периодических сплайнов с равномерными узлами и различные их обобщения, порождаемые ядром К ( библиографию см., например, в С1 - 3] ).
В.М.Тихомиров [53 в 1969 году показал, что величины по
перечников dzn^ (Vw)oo и dirn (V)oo ( гє/V ) равны
Em-i(W«)oo и> следовательно, пространство тригонометри
ческих полиномов Тт__1 степени не выше иг-і является
экстремальным подпространством для указанных поперечников.
После этого появилась целая серия работ, посвященных вычисле
нию поперечников классов Wo (4о^оо,ге/У) в
различных метриках, как для случая периодических, так и для
непериодических функций, а также поперечников других классов
истокообразных функций. Самый сильный результат о вычислении
dn,[VJb)p ПРИ 9-^ Я получен А.П.Буслаевым и В.Ы. Тихо
мировым [63 в'1985 году. Отметим, что экстремальным подпрост
ранством для поперечников четного порядка классов W наряду с пространством Т^.^ является пространство периодичес-
ких полиномиальных сплайнов степени 1-і с равномерными узлами. Подчеркнем, что основное внимание в работах по поперечникам различных классов уделяется поиску методов получения точных оценок снизу, поскольку соответствующие оценки сверху, как правило, уже известны или могут быть получены по известным схемам. Среди этих методов получения точных нижних оценок выделим два, наиболее часто применяемые. Первый из них существенно опирается на теорему Борсука из топологии. При этом приходится решать экстремальную задачу минимизации нормы совершенного сплайна с нефиксированными узлами. Эта задача нелинейная и поэтому является весьма трудной. Кроме того, для истокообразных функций требуются некоторые обобщения теоремы Ролля или наложение на ядро К условий знакорегулярности, например, свойства
CVeD не увеличения осцилляции ( см. определение В [7] ). На этом пути наиболее значительные продвижения в вопросах точного вычисления поперечников получены А.Пинкусом, В.Ф.Бабенко, Нгуен Тхи Тхьеу Хоа и др. Второй метод инициирован В.М. Тихомировым и основывается на его теореме о поперечнике сферы. Он предполагает доказательство неравенства типа Маркова-Берн-штейна для пространств истокообразных сплайнов, Одно из преимуществ этого метода оценок снизу для поперечников состоит в том, что основным моментом здесь является решение линейной задачи интерполяции периодических последовательностей сплайнами, порожденными ядром К . Указанный метод в нашей работе является основным. Он применялся ранее Л.В.Танковым, Ю.Н.Субботиным, А.К.Кушпелем, автором в кандидатской диссертации и др. и изложен для класса VV« ( X є /V )> в частности, в монографии И.К.Даугавета [8].
Перечислим теперь некоторые известные результаты для классов функций, задаваемых модулем непрерывности СО - СО(6") , который всюду в дальнейшем будем предполагать выпуклым. Пусть
ЫъН**{%еС1х)О[):«>(б)4.и>(8),0*,8*,ъ\ Величина ^vn-i (W'tHw)o наилучшего приближения класса WrHw пространством тригонометрических полиномов степени сп - i. , дающая оценку сверху для dzrn-l(yj%Hu)a, , при любом гє/V И О ={у ОО была найдена Н.П.Корнейчуком. Точная оценка снизу для
dim-i (МгНи)<х> получена Ю.Н.Субботиным и Г.Лоренцем, а для ' ditn (\лІгН)<х> - В.И.Рубаном ( см.библиографию в Е1 - 2] ).
Отметим также результат В.Ф.Бабенко [9], который вычислил величины поперечников dn(VJ >pH")p при 0, = 4,00 в случае ? = {о} и KzCV.
Как мы уже упоминали, одним их методов получения точных оценок снизу для поперечников является метод, в котором исследуется разрешимость интерполяционной задачи для истокообразных сплайнов, узлы у которых выбираются равномерно. Эта задача, как для периодических сплайнов, так и для сплайнов, заданных на оси, изучалась во многих работах, причем везде приводились лишь достаточные условия существования и единственности интерполяционных сплайнов. Исследования в этом направлении представляют и самостоятельный интерес, поскольку помимо применения в теории поперечников, они позволяют получить явные формулы для параметров интерполяционных (-^ = 0) и интерполяционных в среднем ( -fit > О ) (см. задачу 2 )- истокообразных сплайнов, которые можно использовать в вычислительной математике и численных расчетах. Из результатов Ю.Н.Субботина [10] для оператора ^ = 3)"" следует, что одним из подходов к проблеме вычисления поперечников является решение сформулированной ранее задачи 4 экстремальной функциональноной интерполяции и применение полученных результатов в периодическом случае. Вычислению величины Ар (оСц.}Л,-fij) посвящено значительное число работ. Отметим вначале те из них, в которых рассматривался оператор о? к. - Я)*4, В.С.Рябенький для любой последовательности U є Y& оо построил функцию / е. Fj^ 0 оо (Ц) . и> таким образом, получил для величины А<я (3)п, -п, 0) оценку сверху. С.Л.Соболев показал, что интерполяционный процесс Рябенького позволяет установить конечность величины Ар (S>"~, -&, О) и при і 4 р < со . Аналогичная задача была решена этими авторами и для функций нескольких переменных. Полное решение задачи 4 экстремальной интерполяции для оператора п - З)*1 при { . р г. оо , о < -й. < со , 04 ^ji 2&. было указано Ю.Н.Субботиным СИ - 14], причем случай -& < к^ і 2& исследован сравнительно недавно. Подобные задачи изучались им же для функций нескольких переменных и для более общих функциональных классов. Ю.Н.Субботин предложил метод получения оценок снизу для величины ApL^i Я.,-hi) Stoi метод позволил понять, как получать для указанной величины точные оценки сверху.
А именно, функцию f , решающую интерполяционную задачу, в случае оператора <„. = )п Ю.Н.Субботин строил в виде полиномиального сплайна степени /г дефекта 1 при о = со и его обобщений при і і р <. оо . Точное значение величины А р [3)"-, 1, 0) для оператора п = 2)"" при p = l,Z,<*> позднее было также указано И.Шенбергом [15], причем при f> - 2. он нашел в задаче 4 наилучшее продолжение не только для всего класса последовательностей Y& р , но и для индивидуальной последовательности ЧЄ Y&. р - Следующим шагом стала работа [163 А.Шармы и И.Цимбаларио. В ней авторы для оператора on. = Il($)--j?>j) (&;& ) при условии его формальной самосопряженности (гСЛ(-2))=4)п<*.(.) ),^=0 и р = вычислили величину А<х> (^ Л, О) при любом А > О При этом они в основном следовали методу Ю.Н.Субботина, а интерполирующую функцию строили в виде L-сплайна с равномерными узлами. В случае произвольного линейного дифферэнциалыюго оператора к с постоянными действительными коэффициентами наиболее общий результат принадлежит автору, который в 1982 году указал значение величины Др (<„.,-&-,-. і) ЛРИ l^pfeoo , О < ft с ^л/тйсс ds и о 4: -ftj ^ & , причем ^для некоторых операторов ^_ оказалось, что Ар(Дп.,^іо,&.і)= + <» Этот результат вошел в кандидатскую диссертацию. Задача 4 при kL у &. оказалась значительно труднее, хотя ответ в исследованных случаях по форме такой же, как и в случае О 4 Я1 ^ &,. Этому посвящена глава II диссертации.
Цель работы. Целью работы является решение четырех сформулированных задач при определенных значениях параметров; получение новых методов оценок снизу поперечников по Колмогорову классов периодических функций, которые позволяют находить точные оценки снизу для поперечников классов функций, сопряженных соболевским, а также классов функций с ограниченной дробной производной и определяемых с помощью модуля непрерывности. В задаче 4 представляет интерес . нахождение величины А р (&п, fb'ft-i) при больших интервалах -^ усреднения.
Методы исследования. Доказательства проводятся методами математического анализа и теории приближения функций.
Научная новизна. Все результаты, изложенные в диссертации с доказательствами, являются новыми и заключаются в следу-
юідєм.
В первой главе доказан критерий существования и единственности интерполяционного и интерполяционного в среднем истокообразного периодического сплайна. Этот результат конкретизируется для сплайнов, порожденных ядрами Кxdi , /7о,с{
К ^ .Во второй главе при р = оо } ^ ^ ^4 2^, приводится решение задачи 4 для произвольного линейного дифференциального оператора ,п с постоянными действительными коэффициентами. Эти исследования приводят к изучению большого количества вспомогательных функций и полиномов. В третьей глаье вначале приводится общая схема получения оценок снизу для поперечников в равномерной и интегральной метриках, основанная на теореме В.М.Тихомирова о поперечнике сферы, классов истокообразных периодических функций, а затем при определенных параметрах доказываются точные оценки снизу для поперечников классов функций, сопряженных соболевским, классов функций с ограниченной нецелой производной, гармонических и задаваемых с помощью линейного дифференциального оператора. Точно такие же оценки сверху в этих случаях получены ранее другими авторами. В четвертой главе результаты главы III обобщаются на классы функций, определяемые модулем непрерывности.
Теоретическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер. Полученные в работе результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения аппроксимативных и интерполяционных свойств истокообразных сплайнов, для решения экстремальных задач теории приближения функций, для численных расчетов с применением явных формул для параметров сплайнов, полученных в диссертации.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах отдела теории приближения функций ИММ УрО РАН (руководитель - профессор Ю.Н.Субботин), на семинаре профессора В.М.Тихомирова в МГУ, на семинаре профессора Ю.С.Завьялова в ИМ СО РАН, на Международных школах по теории приближения функций под руководством профессора С.Б.Стечкина ( Миасс, Душанбе, Екатеринбург, Еелорецк '), в Международном центре им. С.Банаха ( Варшава ) в 1986 и 1989 гг., на Международных конференциях по теории приближения функций ( Киев - 1933 г., Днепропетровск - 1990 г., Москва - 1995 г., Калуга - 1996 г.), на Третьем
всесоюзном совещании " Методы сплайн-функций" в г. Новосибирске ( 1980 г.), на Саратовской зимней школе по теории функций (- 1984 г.), на Всесоюзных конференциях по теории приближения функций ( Ереван - 1987 г., Ленинград - 1989 г.) и др.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [36 - 553.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, каждая из которых разбита на 4 параграфа и списка литературы. Библиография содержит 99 наименований. Объем диссертации - 193 страниц текста.
![О приближении функций класса Wap([0,1]2) билинейными функциями](/i/i/4377/303944.png "О приближении функций класса Wap([0,1]2) билинейными функциями Меленцов Александр Александрович")
