Содержание к диссертации
Введение
1 Экстремальные задачи для канонических произведений и их приложения в теории аналитического продолжения 48
1.1 Основные определения и обозначения 48
1.2 Несколько вспомогательных результатов 50
1.3 Оценка снизу модуля канонического произведения 62
1.4 Максимальное значение индекса конденсации последовательностей с заданными шагом, верхней и нижней плотностями 72
1.5 Двусторонние оценки функции Д(а, /3, h) 91
1.6 Экстремальные задачи в теории аналитического продолжения 99
1.7 Наименьший возможный тип при порядке р < 1 канонических произведений с положительными нулями заданной верхней р-плотности 113
2 Экстремальные задачи в теории интерполирования значениями последовательных производных 124
2.1 Границы сходимости и единственности интерполяционных задач Абеля—Гончарова 124
2.2 Следствия из теорем 2.2 и 2.3. Примеры 151
2.3 О полноте редких подпоследовательностей систем функций вида f^n\Xnz) 163
3 Плотные классы функций сравнения 198
3.1 Теорема о плотности множества функций сравнения Y1 Лпгп, для которых lim (Д^Л^+іАг) = 1 198
3.2 Плотность в .4(C) класса функций сравнения, порождающих обобщённое преобразование Бореля, обратимое в интегральной форме 210
Список литературы 220
- Максимальное значение индекса конденсации последовательностей с заданными шагом, верхней и нижней плотностями
- Наименьший возможный тип при порядке р < 1 канонических произведений с положительными нулями заданной верхней р-плотности
- Границы сходимости и единственности интерполяционных задач Абеля—Гончарова
- Плотность в .4(C) класса функций сравнения, порождающих обобщённое преобразование Бореля, обратимое в интегральной форме
Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ Значительная часть теории целых функций посвящена исследованию связи между асимптотическими свойствами целых функций и распределением их нулей
Начало этому направлению положили работы К Вейерштрасса, Ж Ада-мара, А Бореля Впоследствии весьма глубокие и общие результаты в этой области были получены А Пфлюгером, Б Я Левиным, Р Боасом
Б Я Левин и А Пфлюгер дали почти исчерпывающее описание поведения функций с "правильным" (в том или ином смысле) распределением нулей Они доказали, что для того, чтобы целая функция была функцией вполне регулярного роста при уточненном порядке р(г), необходимо и достаточно чтобы множество ее корней имело угловую плотность при показателе р{т) При отсутствии "регулярной" асимптотики модулей нулей (даже если все они лежат на одном луче) поведение функции предсказать трудно В ситуации, когда на нули изучаемого подкласса целых функций заданы некоторые ограничения, но сколько-нибудь "правильное" распределение нулей отсутствует, можно решать только экстремальные задачи для тех или иных асимптотических характеристик функций заданного класса Несколько таких задач были решены Б Я Левиным1, Н В Говоровым2, М И Андрашко3, но в целом эти вопросы мало исследованы, несмотря на то, что результаты по экстремальным задачам о наилучших на том или ином классе последовательностей {Ап} оценках сверху и снизу
произведи |1 — z2/A^| о д я т применение в теории аналитического
п=1
продолжения рядов экспонент Это в полной мере отражено в монографии С Мандельбройта4
Подобные проблемы возникают и в теории интерполяции, когда узлы интерполяции не подчинены каким-либо жестким условиям Ярким примером, иллюстрирующим сказанное, является интерполяционная задача Абеля—Гончарова Она состоит в восстановлении целой или аналитической в некоторой области функции поданным {/'"'(Ап)}^-о В эту тематику большой вклад внесли С Н Бернштейн, И Дж Шенберг, В Л Гончаров, М А Евграфов, Ю К Суетин, Ю А Казьмин, В А Осколков Тем не менее, задачи Абеля—Гончарова, в которых отсутствует информация
^егшн Б Я Распределение корнеД целых функции М Гоетеэстдат, 19S6
3Говоров Н В Екстремальний індикатор гцлоії функіці з додатними нулями заданої аерхньсл та нижньої густини // Доп АН УРСГ, 1966, .4*2, с 148-150
аАнлрашко МИ Екстремальний індикатор цілої ф)нкші Э додатними нулями порядка меньше одиниці // Доповіді АН УРСР, I960, № 7 с 869-872
'Манделъбройт С Ряды Дирихле Принципы и методы , М , Мир, 1973
о поведении |А„| и argA„ (например, известны только мажоранты модулей узлов интерполяции) ещё недостаточно исследованы и результаты в них коренным образом отличаются от результатов в задачах, где последовательность {Ап} монотонна на какой-либо прямой в С. Именно, при рассмотрении узлов интерполяции "общего положения" возможны только экстремальные постановки задач.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Цель работы состоит в нахождении максимальных или минимальных значений тех или иных асимптотических характеристик целых функций некторых классов. В пеовой главе диссертации рассматриваются классы фунокций YI 0- ~ г2/^п) (в параграфе 7 главы 1 —
п=1
Y[ (1 — z/Цп)), определяемые ограничениями на последовательности {Ап},
п=1
{цп}. Во второй главе классы целых функций определяются ограничениями на модули ближайших к точке 0 нулей n-х производных или типом относительно некоторой функции сравнения.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
1. Найдено наибольшее значение индекса конденсации последователь
ности положительных чисел на классах последовательностей с заданным
шагом, верхней и нижней плотностями. Напомним, что индексом конденса
ции возрастающей последовательности положительных чисел A = {An}JJLx
называется величина
*(А) = 1іт5ирА;:11іі|1/Ь'(Ап)!, где L(z) = ТТ(1 - г2/^).
2. Получена асимптотика при D -+ 0+ функции (h, D) равной по опре
делению точной верхней грани длины канала, имеющего высоту 2itD, в ко
торой может быть аналитически продолжена за абсциссу сходимости сум
ма ряда экспонент Y1 ап^Щ>{^п2) с положительными показателями {Ап}.
п=1 Точная верхняя грань берётся по всем рядам, шаг последовательностей
которых не меньше h, а верхняя плотность не превосходит D.
3. Найдено наименьшее значение типа при порядке р Є (0,1) канони
ческих произведений YI 0- ~~ z/f*n}, гда {м«} — последовательность по-
П = 1
ложительных чисел, имеющая заданное значение верхней плотности при показателе р.
4. Для любой последовательности положительных чисел {xn}%Lo такой,
(п-Ы)гп /*+оо, lim(xrt-Hi/a:,t) = 1
П-+О0
найден наименьший рост (в смысле типа относительно функции сравнения) целых функций, отличных от тождественного нуля, каждая n-я производная которых имеет хотя бы один нуль в круге \z\ < xnvn, где iim и„ = I
n-too Для функций меньшего роста, нежели найденный экстремальный, получено разложение в интерполяционный ряд
со /(*) = /<*о) + ^/w(An)P(Ao,.... Ап.ь г),
n=l
где P(Aq, ..., An_i, z) — полиномы Гончарова, {А„} — произвольная последовательность комплексных чисел, удовлетворяющая ограничению \ХЛ\ < arn(l + o(l)) (n -юо).
Решена аналогичная задача при ограничении ImA^ = о(хп) (п —> оо).
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. В главе 1 применен новый метод оценок снизу на луче модуля канонического произведения. Модифицирована традиционная конструкция ряда экспонент с заданным шагом последовательности показателей, сумма которого долускает аналитическое продолжение в "достаточно широкую" область, лежащую за вертикалью сходимости ряда. В главе 2 теорема о разложении функций в интерполяционный ряд по полиномам Гончарова получена за счёт нового метода сведения таких задач к исследованию базисности систем {tnexp(Ant)}^L0 в пространствах A(\t\ < R). Подобное сведение ранее осуществлялось только для целых функций первого порядка нормального типа. Также новым является метод доказательства полноты систем функций {/ '(Anz)}ngN, примененный в 3 главы 2. В главе 3 оригинальными являются как сами задачи, так и методы их решения.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Диссертация носит теоретический характер. Её результаты могут быть использованы в раличных областях математики (теория функций, теория чисел, теория вероятностей, дифференциальные уравнения), где требуются оценки сверху или снизу модулей канонических произведений. Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях, проводимых в МИ РАН, ИММ УрО РАН, Институте математики с ВЦ УНЦ РАН, УрГУ, Ростовском университете, Башкирском Государственном Университете.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях, симпозиумах и школах:
Математической школе по теории функций. Миасс, 1996-2004 г.г.,
Международной конференции "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы", Уфа, 1996 г., 2000 г.,
Международной конференции, посвященной восьмидесятилетию со дня рождения А.Ф. Леонтьева, Нижний Новгород, 1997 г.,
Казанской летней математической школе по теории функций. 2003 г.,
Конференция по теории приближения. Тула, 1998 г.,
Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах: академика РАН В.А Садовничего, академика РАН А.А. Гончара и чл.-корр. РАН Е.М. Чирки, чл.-корр. РАН П.Л. Ульянова и чл.-корр. РАН Б.С. Кашина, чл.-корр. РАН Ю.Н. Субботина и профессора Н.И. Черныха, профессоров А.Г. Костюченко и А.А. Шкаликова, профессора Е.П. Дол-женко, профессоров В.А Скворцова и Т.П. Лукашенко, профессоров A.M. Седлецкого и В.В. Власова.
ПУБЛИКАЦИИ. Все результаты диссертации опубликованы в 8 работах автора. Список этих работ приведен в конце автореферата. Работ, выполненных в соавторстве, нет.
СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация изложена на 226 страницах и состоит из введения и трех глав, разбитых на параграфы. Библиография содержит 62 наименования.
Максимальное значение индекса конденсации последовательностей с заданными шагом, верхней и нижней плотностями
В диссертации решены несколько экстремальных задач, актуальных в теории целых функций. Они состоят в нахождении на том или ином классе функций, определяемом распределением своих нулей (глава 1) или распределением нулей последовательных производных (глава 2), точной верхней или точной нижней грани некоторых асимптотических характеристик функций данного класса. Результаты главы 1 применяются для решения экстремальных задач в теории аналитического продолжения степенных рядов и рядов экспонент. В связи с тем, что диссертационная работа связана с решением конкретных экстремальных задач, а не с общими методами их исследования, перейдём сразу к постановкам задач.
В главе 1 основным объектом исследования являются канонические произведения с симметричными нулями {±An}5JLb где Л = {Ап} - возрастающая последовательность положительных чисел, имеющая конечную верхнюю плотность
Интерес к функциям (1) обусловлен многочисленными их применениями в таких важных разделах комплексного анализа, как проблемы полноты систем экспонент, теория интерполяции, теория аналитического продолжения. Список фамилий математиков, в работах которых использовались функции L\(z), занял бы не одну страницу. Отметим, что в значительной доле этих работ рассматриваются "достаточно регулярные" последовательности Л, имеющие плотность (они называются измеримыми) (именно lim, а не lim sup!). Но задачи, решаемые в первой главе диссертации, интересны и содержательны именно для последовательностей, не имеющих плотности. Сформулируем две такие задачи, решённые в первой главе, а потом расскажем об их приложениях в теории аналитического продолжения рядов экспонент и в вопросах полноты систем экспонент. Величину назовем, следуя В. Бернштейну [53] и А.Ф. Леонтьеву [26] (глава 2, 5), индексом конденсации последовательности Л. Из (4) сразу видна справедливость следующего утверждения. Утверждение. Для любого є О существует натуральное число щ — по (є) такое, что при всех п щ верпа оценка В этом утверждении постоянную 5(Х) нельзя заменить меньшей. В главе 1 2 доказано (теорема 1.1), что индекс конденсации помогает дать в определённом смысле неулучшаемую оценку снизу не только 1/Л(А„), но и Д\(я) при х — +оо. Через р(х) обозначим расстояние от точки х до ближайшего к ней элемента последовательности Л. Из теоремы 1.1, доказанной в 2 главы 1, вытекает Следствие. Для любого є 0 существует положительное число XQ = XQ(S) такое, что при всех х XQ верна оценка И в этом утверждении постоянную 6(Х) нельзя заменить меньшей. Попутно заметим, что неравенство (6) заодно является и оценкой снизу минимума модуля канонического произведения L\{z) на окружности \z\ — х, поскольку Хорошо известно, что если последовательность А имеет положительный шаг h(X), равный по определению и существует предел (3), то 5(Х) = 0. В противном случае 5(Х) может принимать положительные значения. Заметим, что из (6) сразу же вытекает неотрицательность индекса конденсации любой последовательности, имеющей конечную верхнюю плотность — пояснение см. в доказательстве теоремы 1.1. Ввиду того, что оценки снизу вида (5) и (б) постоянно применяются в исследованиях по интерполяции, рядам экспонент и решениям уравнений свёртки [53, 30, 26, 27, 5], получение наилучших оценок сверху 5(Х) является весьма важным. Высказанные соображения приводят к следующей экстремальной задаче. Задача 1. Даны два положительных числа /3 uh, удовлетворяющие ограничению1 hfi 1. Требуется найти Д(Д К) — точную верхнюю грань индексов конденсации всевозможных возрастающих последовательностей, верхняя плотность которых не превосходит /3, а шаг не меньше h.
Наименьший возможный тип при порядке р < 1 канонических произведений с положительными нулями заданной верхней р-плотности
Это утверждение было впервые доказано Ж. Ада-маром, а звезду функций (20) нашёл Л. Ло, основываясь на теореме Адамара об аналитическом продолжении сумм степенных рядов, коэффициенты которых являются моментами некоторой меры на отрезке [0, 1]. Подробный обзор исследований по этой тематике имеется в монографии [3], там же приведен обширный список литературы. Мы же ограничимся обсуждением вопросов непосредственно относящихся к теме диссертации, а именно к экстремальным задачам.
Цитированная теорема Адамара о непродолжаемости сумм лакунарных степенных рядов за границу круга сходимости породила надежду у его современников, что и для рядов с меньшими лакунами в последовательности степеней переменной z либо верен тот же результат, либо можно доказать, что множество C\G(f) намного обширнее одного луча. Вскоре такие теоремы стали появляться. голоморфности суммы ряда (21) совпадает с кругом \z\ 1. Теорема Пойа. [59]. Если lim й/А бая замкнутая дуга \z\ = 1 длины 2nd содержит хотя бы одну особую точку суммы ряда (21). Если под замкнутой дугой нулевой длины понимать точку, то теоремы Фабри и Пойа можно объединить в одну и сформулировать следующим образом. Теорема. При условии lim k/\ = d, 0 d 1, любая замкну-тая дуга окружности \z\ = 1 длины 2nd содержит хотя бы одну особую точку суммы ряда (21). Поясним одну важную тонкость. Почему в математической литературе вместо простого словосочетания "особая точка функции /" часто употребляется более сложное название "точка из дополнения к G(/)"? Когда речь идёт о точках границы круга сходимости, это излишне. Но если взять какую-либо точку С, лежащую за пределами замкнутого круга сходимости степенного ряда, то может произойти следующее. При одном способе аналитического продолжения его суммы С будет особой точкой, а при другом — нет (такие точки называются подвижными особенностями в отличии от стационарных — остающихся особыми при любом способе аналитического продолжения). Из определения звезды голоморфности суммы степенного ряда вытекает, что граница множества G(f) состоит из стационарных особых точек /. Ниже приводятся результаты С. Мандельбройта, развиваемые 2Ссылка на первоисточник не приводится, поскольку оригинальное изложение представляется многим специалистам весьма неудачным и трудно понимаемым (см. комментарии в [3] глава 4). автором, связанные с возможностью или невозможностью аналитического продолжения суммы степенного ряда радиуса сходимости 1 в секторы радиуса большего 1. В этих теоремах под множеством особых точек понимается именно С \ G(f). Обратимся снова к рядам (21). Что можно сказать о С \ G(f) в случае, когда отношение fc/Ajt не имеет предела? В этой ситуации прямого аналога цитированной теоремы Пойа нет. Для любого є 0 существует возрастающая последовательность натуральных чисел {\k}fL;i верхней плотности (2), меньшей є, и степенной ряд (21) с этими показателями, сумма которого имеет на окружности \z\ = 1 всего одну особую точку (пример см. в [30], гл. 6). И всё же теорема Пойа допускает обобщение, но совсем в другом ключе. Предварительно заметим, что в теореме Пойа очень важна замкнутость дуги длины 27rd. На открытых дугах такой длины особой точки у суммы ряда может и не быть. Известно даже более сильное утверждение. Утверждение. Для любой возрастающей последовательности натуральных чисел {Ап} 1; имеющей плотность (3), равную d, существует степенной ряд с этой последовательностью по-казателей и радиусом сходимости 1, а именно ]Г] zXn/Lfx(Xn), сумма которого допускает аналитическое продолжение в открытый угол arg nd. Аналог теоремы Пойа, найденный Мандельбройтом, состоит как раз в том, что суммы степенных рядов (21) с верхней плотностью показателей {А } 1; не превосходящей /3, ни в какой замкнутый угол величины 27г/? с вершиной в точке z — 0 аналитического продолжения не допускают. Сформулируем следствие из теоремы Мандельбройта (ниже его результаты, связанные с аналитическим продолжением рядов экспонент, будут приведены более полно). Следствие. Для любого (З Є (0,1) существует постоянная С(/3) 1 такая, что каков бы ни был степенной рясР (21) с верхней плотностью показателей {А } 1? не превосходящей J3, звезда голоморфности его суммы не содержит в себе ни один замкнутый сектор с вершиной в точке 0, раствора 2тт(3 и радиуса С(/3). Разумеется, возникает желание найти наилучшую постоянную в этой теореме, то есть наименьшее значение С(0), для которого цитированный результат верен. В связи со сказанным приходим к следующей экстремальной задаче. Задача 2. Для любого (3 (0,1) требуется найти величину R(j3) равную точной верхней грани всех чисел г таких, что сумма некоторого ряда (21) с верхней плотностью показателей {Afc},.we превосходящей j3, допускает аналитическое продолже ние в некоторую окрестность сектора
Границы сходимости и единственности интерполяционных задач Абеля—Гончарова
Доказывается, что определённая таким образом топология не зависит от выбора систем компактов, удовлетворяющих условию (37). Вместо норм (36) можно рассматривать и другие нормы. Например, если компакты Кп диффеоморфны кругам, то в качестве норм можно брать ІАнормьі функции / на дКп (1 р +оо).-Пространство Л(Т ), снабжённое такой топологией, является пространством Фреше [49] (гл. 1, 3), а одна из метрик, задающих эту топологию, определяется формулой
Сходимость функциональных последовательностей по этой метрике равносильна равномерной сходимости на любом компакте, лежащем внутри области Т . Полнота системы функций {fn{z)}=\ в пространстве Л(Т ) означает по определению возможность сколь угодно точной аппроксимации любой функции / Є Л(Т ) линейными комбинациями функций данной системы по метрике (38). После напоминания этих элементов теории аналитических функций вернёмся к обсуждаемой теме.
Согласно теореме Левина [25] (гл. 4), если последовательность Л имеет плотность (3) равную d: то система экспонент (35) полна во всех пространствах А(Т )) где Т — произвольная (возможно, неограниченная) область комплексной плоскости, удовлетворяющая следующему условию: пересечение Т с любой прямой, параллельной мнимой оси, является интервалом длины, не превосходящей 2nd.
В этой теореме нельзя отказаться от измеримости последовательности Л. Существуют системы экспонент (35) с верхней плотностью показателей {An} Lii равной /3, неполные6 в пространстве A(\z\ т) при любом г тт/З/е. В связи с отмеченным отсутствием полноты систем (35) рассмотрим следующую задачу. Задача 4. Найти 72.(/3) — точную верхнюю грань всех положительных чисел г таких, что все системы функций (35) с верхней плотностью {А } , равной j3, полны в пространстве A{\z\ г). Нетрудно убедиться в том, что эта задача линейна по fl : Менее тривиальным фактом, вытекающим из критерия полноты в пространствах A(\z\ г), теоремы об общем виде линейного непрерывного функционала в A(\z\ г) и представления целых функций экспоненциального типа в виде преобразования Бореля [31] (гл. 11), [32] (гл. 3), является следующее утверждение. Система экспонент (35) неполна в пространстве A(\z\ г) тогда и только тогда, когда существует целая функция F(z) ф О экспоненциального типа, меньшего г, обращающаяся в нуль в точках ±\п при любом п Є N. В связи со сказанным приходим к следующей задаче, равносильной задаче 4 (поэтому экстремум в ней обозначается той же буквой). Задача 4\ Найти 71(/3) — точную нижнюю грань экспоненциальных типов функций F(z) ф О, для которых существует возрастающая последовательность положительных чисел {\} IJ имеющая верхнюю плотность, равную /3, и такая, что F(±A„) = 0 (VrceN). Теперь связь между задачами 3 и 4 очевидна. Выполняется неравенство поскольку в задаче 4 минимизируется тип всех целых функций, обращающихся в нуль в точках ±АП, п Є N, а в задаче 3 — только канонических произведений. Задача 3 также линейна по /3: Из (39) и (41) видно, что для решения задач 3 и 4 достаточно найти постоянные 7(1) и s(l). Насколько автору известно, задачи 3 и 4 в математической печати ранее не обсуждались. Известен пример [30] (гл. 1) последовательности Л верхней плотности 1 с усреднённой верхней плотностью7, равной 1/е. Тогда а (Л) 7г/е. Вот откуда берутся системы экспонент (35) с верхней плотностью показателей /3, неполные в пространствах A(\z\ г) (Vr 7г/?/е). Аналоги задач 3 и 4 для последовательностей {zn}=1, стремящихся к сю 7Усреднённой верхней плотностью последовательности комплексных чисел А = {Лп}, стремящейся к , называется величина limsupa;-1 f(N(r)/r)dr, где JV(r) — количество элементов А Б круге \z\ произвольным образом, а не только по Ж, давно решены даже в более общем случае. Определение 1. ([25], гл. 3). Последовательность комплексных чисел {zn}%L\, lim zn = оо имеет верхнюю плотность при ПО-ть—too рядке р 0 (более кратко р-плотность)} равную (3, если где N(R) — количество элементов последовательности {zn} в круге \z\ R. Теорема. ([25], гл. 3). Точная нижняя грань типов при порядке р целых функций, не равных нулю тождественно и имеющих нули в некоторой последовательности точек комплексной плоскости верхней р-плотности /3, равна /3(ер)-1. Этой оке величине равна точная нижняя грань типов при порядке р, 0 р 1, канонических произведений Т1(1 — z/zn), взятая по всем последовательностям (} верхней р-плотности /3.
Плотность в .4(C) класса функций сравнения, порождающих обобщённое преобразование Бореля, обратимое в интегральной форме
Из (2.1.52) и (2.1.53) заключаем, что для любого р Є N найдется такой номер і/р, что функции / (4хпх/тг) принимают на концах интервалов IPjj значения разных знаков при п = 2v +7, v vpt j = 0,1, поскольку это верно для предельных функций ij}n(w). Отсюда вытекает существование у / (Ахпх/тг) по крайней мере одного нуля т]п Є Ipj при п = 2v + j, j = 0, 1, Up V I/p+i при любом j? Є N. Тем самым lim (—l)nrjn = 7г/4. Из сказанного заключаем, что / (z) имеет при любом п щ действительный нуль А для последовательности которых справедлива асимптотика А (—1)пхп. Требуемый пример почти окончательно построен. Осталось обеспечить существование у каждой из функций /(") (z) по крайней мере одного действительного нуля при 0 п по = 2щ + 1. Для этого (если потребуется) вместо f(z) достаточно взять функцию fi(z) = }{z) — $2 f k\0)zk/k\.
Вычитание из целой функции полинома степени щ не меняет ни её Л -типа, ни её производных порядка п щ. В то же время, все производные функции fi порядков п щ обращаются в нуль в точке z = 0. Построение примера завершено, и теорема 2.3 полностью доказана.
Теперь завершим доказательство теоремы 2.2. Через Кт обо- значим пол и диск в Ст, задаваемый неравенствами Km = {(ZQ, ..., Zm-i) Є Cm І 1-] Xj, 0 j т - 1}, а через (m) = ( ) jfnSi) точку ЛГт, в которой функция am(zo,..., Zm_i) достигает на Кт максимума. Положим (2.1.54) Покажем, что последовательность полиномов (2.1.54) образует предкомпактное множество в топологическом пространстве [Ах, W], или, что то же самое, множество А -ассоциированных по Борелю образует предкомпактное множество в Ao(\t\ W). Здесь через А мы обозначили fc-й коэффициент Тейлора функции сравнения Ах. Исходя из известного критерия Монтеляпредкомпактности множеств в таких пространствах ([31], гл. 6), убеждаемся в том, что для этого необходимо и достаточно доказать наличие общей мажоранты Vk — sup Qm (0)/(/с!Л ) последовательности лорано т к вых коэффициентов функций (2.1.55) такой, что функция V(t) — Следовательно, limsup(14)1 fc limsupd , а последний предел согласно лемме 2.3 не превосходит W. Тем самым, предкомпакт-ность множества функций (2.1.54) в [Ах, W] доказана. Из сказанного в силу полноты пространств [А, а\ вытекает существование последовательности номеров {т } и функции / Є [Ах, W] таких, что Qmk(z) сходится к f(z) в топологии [Ах, W]. Заметим, что /(0) = lim Qmk(0) = 1, а значит f(z) ф 0. Те-перь вложим рассматриваемые выше полидиски КП1 поставив в соответствие каждой точке (ZQ, ..., Zn-i) Кп бесконечную финитную последовательность (ZQ, ..., zn-i, 0,0,0,...), в множество К, С С, состоящее из всех последовательностей комплексных чисел {Cra}5S=o координаты которых удовлетворяют условиям Сп хп ( п No)- Пространство С, как обычно, снабдим стандартной топологией произведения. Множество /С представляет из себя компакт, поскольку является произведением счетного числа кругов. Рассмотрим определенные выше точки (т) Є Km, координаты которых дополнены нулями до бесконечных последовательностей, как элементы /С. Поскольку компакт /С метризуем, в топологии С (то есть покоординатно сходящуюся) равный V = {%}= , є К. Итак, доказано существование функции / и последовательностей комплексных чисел {rfn} =Q и натуральных чисел { } Осталось проверить, что f (f]n) — О при всех целых неотрицательных п. Возьмем произвольное п No и зафиксируем его. Напомним, что сходимость в (2.1.58) имеет место в топологии [Ах, W], а значит и в топологии Л (С). Поэтому QVs{z) стремится при s —коо к /( ) равномерно в любом круге и то же самое верно относительно сходимости Qua(z) к f (z) при каждом р N.
