Введение к работе
Актуальность темы. В 1907 г. Э. Шмидт получил аналог спектрального представления для несимметричного интегрального оператора А в L2 с непрерывным ядром, используя собственные значения положительного оператора (Л*Л) , которые впоследствии были названы «-числами оператора А. В 1957 г. Д. Э. Аллахвердиев установил аппроксимативное свойство s-чисел операторов в гильбертовом пространстве, послужившее, с одной стороны, основанием для непосредственного обобщения понятия s-чисел для операторов, действующих в более общих пространствах, с другой, - установившее связь s-чнсел с понятием поперечника по Колмогорову. В результате появились аппроксимативные числа линейного оператора А, действующего из полного линейного нормированного пространства Л' в У, в виде
ат{А) = inf { ||Л — Р||; Р : X -> У - ограниченный линейный
оператор и rankP < т}, т=1,2,.... (1)
Исследованию аппроксимативных чисел посвящены работы многих авторов. В отечественной литературе это в первую очередь относится к изучению операторов вложения ( П.И. Лизоркин, Е.Г. Мазья, К.Т. Мынбаев, М.О. Отелбаев и др.,) и к задачам теории приближений ( В.М. Тихомиров и др. ). Кроме того, различные вопросы, касающиеся поведения аппроксимативных чисел, особенно в теории s-чисел, освещены в монографиях И.Ц. Гохбсрга и М.Г. Кренна, X. Кенпга, Д. Эдмундса и В.Д. Эванса, А. Пича и др. Особый интерес представляет задача получения оценок поведения аппроксимативных чисел оператора Хардн (см. ниже (3)), когда он действует из W в Ья, 1 < р < q < оо, которая начала изучаться в работе Д.Е. Эдмундса, В.Д. Эванса и Д. Харриса. 1 Недавно этими нее авторами2 были получены асимптотические оценки и двусторонние оценки норм Шат-тена - фон Неймана аппроксимативных чисел оператора Харди в V-пространствах, 1 < /; < оо. Для оператора Рпмана-Лнувнлля, обобщающего оператор Харди, результаты о поведении s-чисел были получены в работах К. Новака, Д. Ньюмана и М. Соломяка, Д. Эдмундса
'Edmunds D.E., Evans W.D., Harris D.J. Approximation numbers of certain Volterra inteqral operators I/ J. London Math. Soc.(2) 1988, v. 38, p. 471-489.
2 Edmunds D.E., Evans W.D., Harris D.J. Two-sided estimates of the approximation numbers of certain Volterra inteqral operators // Studia Math. (1) 1997, v. 24, p. 59-80.
и В.Д. Степанова. Ввиду тесной спягш со спектральными задачами для дифференциальных операторов эта тематика в настоящее время интенсивно развивается и является актуальной.
Цель работы. Работа посвящена получению эффективных двусторонних оценок поведения аппроксимативных чисел интегрального оператора Харди.
Методика исследования. Основными методами исследования являются методы математического анализа, теории функций и теории линейных интегральных операторов.
Научная новизна.Основные результаты диссертации состоят в следующем.
1. Получены двусторонние оценки поведения аппроксимативных
чисел оператора Харди Г : Л* —> У в банаховых функциональных про
странствах.
-
Даны асимптотические оценки аппроксимативных чисел оператора Харди Т : V —> Ья для любых показателей суммирования, больших единицы.
-
Даны оценки "норм" и слабых "норм" типа Шаттена - фон Неймана для оператора Харди Т : V —> L4, 1 < р, q < оо.
4. Установлена эквивалентность "нормы" типа Шаттена - фон Ней
мана оператора Харди Т : D' —> Lp, 1 < р < оо, 1 < $ < оо вида
(е <(Т))7 х (^{fjHy^dyYlf^Hy^Hx^d^7 (2)
которая обобщает формулу Гильберта-Шмидта, где точное равенство достигается при р = s = 2.
Теоретическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут применяться в дальнейших исследованиях аппроксимативных чисел интегральных операторов, в теории интегральных уравнений и теории приближений.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по геометрии и анализу под руководством академика Ю.Г. Решетняка в ИМ СО РАН, на семинаре по функциональному анализу под руководством профессора В.Д. Степанова, на семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством профессора А.Г. Зарубина в ХГТУ.
Доклады, основанные на результатах диссертации, сделаны на Втором российско-японском семинаре "Интегральные уравнения в зада-
чах математической физики" (Хабаровск, сентябрь 1993 г.), на заседании секции "Анализ и геометрия" II Сибирского Конгресса по индустриальной и прикладной математике (Новосибирск, нюнь 199G
г-) '
Публикации. Основные результаты опубликованы в 1993-1997 годах d работах [ 1 ]-[ 5 ], список которых приводен в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, разделенных на 7 параграфов, и списка литературы. Объем диссертации - 91 страница, библиография включает 54 наименования.
