Введение к работе
Актуальность темы. Пусть Ті - комплексное гильбертово пространство, EndTi - банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в Ті. Рассматривается полугруппа Т : М+ = [0; оо) —> EndTi класса Cq с генератором (инфинитезимальным оператором) A : D(A) С Ті —> Ті. С помощью полугруппы Т описываются решения (как классические, так и слабые) дифференциального уравнения
X — j±X . (1
Полугруппа операторов Т : М+ = [0, оо) —> ЕпсШ, называется гиперболи-
ческой ^или допускающей экспоненциальную дихотомию;, если спектр сг(Т(1)) оператора Т(1) обладает свойством
а(Г(1))р|Т = 0,
где Т = {A G С : |А| = 1}- единичная окружность. Таким образом,
сг(Т(1)) = (Tint\JaouU
где аш = {А Є <т(Т(1)) : |А| < 1} и aout = {А Є <т(Т(1)) : |А| > 1}.
Если aout = 0, то полугруппа Т является экспоненциально устойчивой, т.е. существуют постоянные М > 1 и uj < 0 такие, что
||Т()|| <Ме^,>0. (4)
Для А Є EndTi в монографии Ю.Л. Далецкого, М.Г. Крейна 1 было установлено, что гиперболичность полугруппы операторов эквивалентна существованию самосопряжённого оператора W Є EndTi такого, что А равномерно И^-диссипативен, т.е. A*W + WA = F <С 0, где символ F С 0
1Далецкий Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн.- М.: Наука, 1970.- 535 С.
означает равномерную отрицательность оператора F Є EndH. В этом случае оператор W определяет квадратичную функцию Ляпунова L : Ті —> R, L(u) = (u,u)w = (Wu,u) такую, что функция t і—> L(u(i),u(i)) монотонно убывает для каждого решения и : R —> 7Y дифференциального уравнения
— УТ-Х.
В статьях С. Chicone, Yu. Latushkin 2 3 были сделаны попытки перенести результаты М. Г. Крейна для генераторов инфинитезимальных полугрупп операторов класса Cq. Однако имеющиеся там неточности привели к тому, что соответствующие результаты не были достигнуты.
В диссертации А.А. Воробьёва 4 результаты теоремы Крейна были распространены на гиперболические группы операторов. Таким образом, является актуальной тема распространения теоремы Крейна на полугруппы операторов (которые состоят из необратимых операторов). В диссертации приведены два класа полугрупп, для которых результаты теоремы Крейна верны, а также доказаны соответствующие теоремы. Таким образом, используя уравнение Ляпунова, получены критерии проверки гиперболичности некоторых классов полугрупп операторов.
Работы С.К. Годунова 5 посвящены разработке эффективно проверяемых критериев экспоненциальной дихотомии и методов оценки параметров экспоненциальной дихотомии для систем с постоянной матрицей. В случае бесконечномерного пространства Ті соответствующих результатов получено не было. Актуальность получения оценок тесно связана с приложения-
2СЫсопе С. Hyperbolicity and dissipativity in Evolution equations / C. Chicone, Yu. Latushkin // Appl.
Math.- 1995. V168.- P.95-106
3 Chicone C. Evolution semigroups in dynamical systems and differential equations / C. Chicone,
Yu. Latushkin // Amer. Math. Soc- 1999.- 361 p.
4Воробьёв А.А. Гиперболические группы операторов и уравнение Ляпунова. Спектральный анализ
дискретных систем/ А.А. Воробьёв // ВГУ -2011.
5Годунов С.К. Современные аспекты линейной алгебры / С. К. Годунов. - Новосибирск: Научн. кн.,
1997.
ми к уравнениям в частных производных. Возникающие сложности получения таких оценок в случае бесконечномерного пространства связаны с неограниченностью оператора А. В цитируемой монографии5, как правило, получаемые оценки использовали величину \\А\\. Для получения оценок в диссертации используются следующие величины
7(A) = sup\\R(i\,A)
v(A) = sup — І ||Д(гА, A)x||2dA,
\х\\<
! 2тт
и (A*) = sup — / \\R(i\A*)xfd\,
\х\\<1
к(Т) = sup ||T(t)||,
а также числовая область генератора А гиперболической полугруппы операторов Т.
В связи с использованием числовой области генератора полугруппы операторов возникает актуальный вопрос: всегда ли числовая область генератора сильно непрерывной полугруппы операторов ограничена? В диссертации строится пример полугруппы, для которой числовая область генератора совпадает с комплексной плоскостью С.
Цель работы.
Получить необходимые и достаточные условия гиперболичности некоторых классов полугрупп операторов, используя операторное уравнение Ляпунова, построенное по ее генератору.
Получить оценки параметров экспоненциальной дихотомии (функции Грина), используя операторное уравнение Ляпунова, построенное по генератору гиперболической полугруппы операторов.
Получить оценки параметров экспоненциальной дихотомии (функции Грина), используя числовую область генератора гиперболической группы операторов.
Построить полугруппу Т : М+ —> EndH, числовая область генератора которой покрывает всю комплексную плоскость, или, что эквивалентно, построить полугруппу, которая не допускает оценку ||Т()|| < eut,t > 0, ни для какого и Є R.
Методика исследований. Основные результаты диссертации получены с использованием методов теории полугрупп операторов, дифференциальных уравнений, методов функционального анализа и гармонического анализа.
Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:
1. Необходимые и достаточные условия гиперболичности некоторых классов полугрупп операторов, используя операторное уравнение Ляпунова, построенное по ее генератору.
Оценки параметров экспоненциальной дихотомии (функции Грина используя операторное уравнение Ляпунова, построенное по генератору гиперболической полугруппы операторов.
Оценки параметров экспоненциальной дихотомии (функции Грина), используя числовую область генератора гиперболической группы операторов.
Построена полугруппа Т : М+ —> EndH, числовая область генератора которой покрывает всю комплексную плоскость, или, что эквивалентно, полугруппа, которая не допускает оценку ||Т()|| < eut,t > 0, ни для какого uj Є R.
Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в развитии теории операторов и дифференциальных уравнений.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на конференциях: "Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна'Чг. Воронеж, 2008 г.), "XX Крымская осенняя математическая школа-симпозиум" (г. Севастополь, 2009 г.), "Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна"(г. Воронеж, 2009 г.), "XXI Крымская осенняя математическая школа-симпозиум "(г. Севастополь, 2010 г.), на математическом семинаре математического факультета университета Tuebingen (г. Tuebingen, Германия, 2010 г.), на 14th Internet Seminar: Infinite-dimensional Linear Systems Theory , (r. Blaubeuren, Германия, 2011 г.), "XXII Крымская осенняя математическая школа-симпозиум "(г. Севастополь, 2011 г.) и на ежегодных научных сессиях факультета прикладной математики, информатики и механики Воронежского государственного университета.
Публикации работы. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[12]. Из совместной публикации [9] в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие лично автору.
Работы [9], [11] соответствуют списку ВАК РФ для кандидатских диссертаций.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разделенных на параграфы, и списка цитируемой литературы, содержащего 73 источника. Общий объем диссертации - 94 страницы.
