Введение к работе
Диссертация посвящена исследованию геометрических (качественных) свойств решений разностных уравнений, разностных включений и дифференциальных уравнений с неограниченным операторным коэффициентом методами спектральной теории линейных операторов и линейных отношений.
Состояние качественной теории дифференциальных уравнений долгое время в значительной мере отражали известные монографии Ю.Л.Далецкого, М.Г.Крейна "Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве" и Х.Массера, Х.Шеффера "Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства", авторы которых отмечали крайнюю важность развития соответствующей теории дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами в связи с приложениями к дифференциальным уравнениям с частными производными:
"Авторы отчетливо сознают, что арена бесконечномерных пространств требует присутствия неограниченных операторов, без которых невозможна настоящая теория устойчивости систем с бесконечным числом степеней свободы". (Ю.Л.Далецкий, М.Г.Крейн, стр.12)
"... мы совершенно игнорируем возможность распространения теории на случай, когда значения А (в уравнении вида і. + Ax = h - прим. автора) суть неограниченные операторы в X. Такое обобщение теории представило бы конечно, огромный интерес особенно ввиду возможных приложений к уравнениям в частных производных". (Х.Массера, Х.Шеффер, стр.11)
Существенный вклад в теорию дифференциальных уравнений с неограниченными операторами был сделан В.В.Жиковым. Полученные результаты были изложены затем в монографии Б.М.Левитана, В.В.Жикова.
В последние пятнадцать лет была установлена глубокая связь между теорией дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами, теорией полугрупп операторов и теорией разностных операторов как непрерывного аргумента, так и дискретного. Эта связь с разностными операторами прослеживается в двух направлениях.
Первое направление связано со следующим методом исследования. Рассматриваемому дифференциальному уравнению сопоставляется линейный дифференциальный оператор, действующий в подходящем функциональном пространстве. Далее для исследования этого дифференциального оператора используется полугруппа разностных операторов, введённая Хоул- эндом в 1974 году, действующих в том же функциональном пространстве. Важная роль этой полугруппы проявилась значительно позже в работах А.Г. Баскакова, Ю.Д. Латушкпна, С. Монтгомери-Смита, в которых было установлено, что соответствующий дифференциальному уравнению дифференциальный оператор является генератором (инфинитезимальным оператором) полугруппы разностных операторов Хоулэнда. При этом важно отметить, что для этой полугруппы операторов имеет место теорема об отображении спектра, которая была доказана одновременно в статьях А.Г. Баскакова, Ю.Д. Латушкпна и С. Монтгомери-Смита, Ф. Рёбигера и Р. Шнау- бельта. Эта теорема позволяет свести изучение дифференциального оператора к изучению ограниченных разностных операторов, действующих в тех же функциональных пространствах.
Второе направление исследования дифференциальных операторов связано с использованием разностных операторов, действующих в подходящем банаховом пространстве односторонних или двусторонних последовательностей.
Теория разностных операторов и связанные с ней разностные уравнения с дискретным и непрерывным аргументом играют важную роль в описании процессов и явлений, изучаемых во многих областях современной науки. Первые исследования, посвященные разностным операторам, появились еще в конце XIX - начале XX столетия. Так в работах О.Перрона и А.Пуанкаре изучались вопросы поведения на бесконечности некоторых типов разностных операторов, связанных с операторами взвешенного сдвига.
Особое внимание к разностным операторам и уравнениям, их содержащим, обусловлено прежде всего применением аппарата разностных операторов в исследованиях разрешимости различных дифференциальных, интегральных и функциональных уравнений. Подобные исследования различных классов уравнений осуществлялись в работах многих авторов, в частности А.Б.Антоневича, А.Г.Баскакова, Р.Беллмана и К.Л.Кука, И.Ц.Гохберга и И.А.Фельдмана, Г.В.Демиденко, П.П.Забрейко и Нгуен Ван Миня, В.Г.Курбатова, X.Л.Maccepa и Х.Х.Шеффера, В.М.Тюрина, Д.Хенри.
Разностные операторы являются также объектом исследования в спектральной теории динамических систем, что отражено в монографиях З.Нитецки, П.Халмоша, Ю.Д. Латушкина и A.M. Степина и многих других. Связь разностных операторов с задачами теории функций рассматривались в работах Ю.Ф.Коробейника, А.А.Миролюбова и М.А.Солдатова, Н.К.Никольского, В.Д.Степанова и А.Л.Шилдса.
Спектральные свойства разностных операторов исследовались А.Б.Антоневичем, Э.М.Мухамадиевым и Б.Н.Садовским.
Условия обратимости разностных операторов находят широкое применение в теории дифференциальных операторов. Как правило, исследования обратимости дифференциального и связанного с ним разностного операторов приводятся в терминах экспоненциальной дихотомии соответствующего семейства эволюционных операторов. Связь экспоненциальной дихотомии с разрешимостью неоднородных дифференциальных уравнений в пространстве непрерывных ограниченных на числовой прямой функций установлена О.Перроном. Дальнейшие исследования в этой области для уравнений в банаховых пространствах с ограниченными коэффициентами проводились X.Maccepa и Х.Шеффером. Однако, даже для обыкновенного дифференциального оператора с ограниченными коэффициентами достаточно долго не удавалось доказать эквивалентность его обратимости и экспоненциальной дихотомии соответствующего семейства. В монографии Ю.Л.Далецкого и М.Г.Крейна аналог этого утверждения получен при некоторых дополнительных условиях. Этот результат, для случая неограниченных операторных коэффициентов, получен в работах В.В.Жикова и А.Г.Баскакова.
Экспоненциальную дихотомию для разностных уравнений в банаховом пространстве рассматривали С.Коффман и Х.Шеффер, делая упор на связь дихотомии и допустимости. В работе В.Е.Слюсарчука доказана эквивалентность обратимости разностного оператора с ограниченными операторными коэффициентами, содержащего взвешенный сдвиг, и экспоненциальной дихотомии соответствующего семейства эволюционных операторов. Аналогичный результат для случая ограниченных коэффициентов, определяющих (возможно) неограниченную операторнозначную функцию, получен в монографии Д.Хенри. В обеих работах операторы рассматривались в пространстве ограниченных двусторонних последовательностей векторов из банахова пространства.
Техника исследования дифференциальных операторов, основанная на использовании разностных операторов в пространствах последовательностей, и использование теории полугрупп операторов позволили за последние пятнадцать лет существенно развить теорию дифференциальных операторов с неограниченными коэффициентами. Именно такая техника исследования положена в основу получения основных результатов диссертации.
Часть результатов диссертации связана с исследованием разностных операторов, действующих в пространстве последовательностей векторов из банахова пространства. Для исследования таких операторов, ввиду их ограниченности, применимы методы спектральной теории операторов и, более общо, спектральной теории линейных отношений (многозначных линейных операторов).
Использование спектральной теории линейных отношений для спектрального анализа разностных операторов систематически используется в главах 1-3 диссертации. При этом очень важным является построение проекторов Рисса по спектральной компоненте из спектра подходящего линейного отношения. Прямому использованию спектральной теории операторов для дифференциальных операторов мешает неограниченность спектральных компонент из спектра таких операторов.
Применение результатов, полученных для разностных операторов, к исследованию дифференциальных проходит по следующей схеме. Обратимость разностного оператора, построенного по дифференциальному оператору, влечёт круговую дихотомию спектра для полугруппы операторов, генератором которой является операторный коэффициент. Этот факт позволяет построить функцию Грина для обратного оператора к исследуемому дифференциальному оператору.
Ставшие классическими результаты из отмеченных монографий Ю.Л. Далецкого, М.Г. Крейна и X. Массера, X. Шеффера относились к пространствам функций, инвариантных относительно сдвигов. Возникает естественная проблема изучения дифференциальных и разностных уравнений в весовых пространствах функций, определённых на бесконечном промежутке, и последовательностей векторов (односторонних и двусторонних). Такая проблема рассматривается во второй главе диссертации, в которой получен ряд основных результатов. Даётся полное описание спектра как разностных, так и дифференциальных операторов. Полученные результаты являются новыми даже для обыкновенных дифференциальных операторов. Важно отметить, что фактически отсутствуют ограничения на весовую функцию. Основной метод получения результатов главы основан на преобразовании подобия исследуемого оператора в весовом пространстве к оператору, действующему в невесовом пространстве, но уже с переменными коэффициентами.
Отметим, что один из известных нам результатов, связанных с разрешимостью в пространстве растущих функций, получен в теореме 7.6.3 из монографии Д. Хенри, в которой при условии экспоненциальной дихотомии соответствующего семейства эволюционных операторов получена разрешимость дифференциального уравнения в классе растущих функций. Какая- либо содержательная теория рассматриваемых операторов в весовых про
странствах отсутствует.
Как отмечалось, в первой главе диссертации широко используется новая, недавно появившаяся техника исследования разностных операторов, основанная на применении спектральной теории линейных отношений.
В третьей главе диссертации осуществляется построение полугруппы операторов по секториальному линейному отношению, то есть фактически получены условия разрешимости дифференциальных включений. Построенная полугруппа операторов будет заведомо вырожденной, если линейное отношение не является оператором. Получена теорема об отображении спектра для такой полугруппы операторов. Кроме того, получены приложения к разрешимости дифференциальных уравнений с необратимым оператором при производной. Приводимые в этой главе результаты тесно связаны с результатами П.П.Забрейко, А.Ф.Зафиевского, С.И. Пискарёва, Ю.Т.Сильченко, П.Е.Соболевского, В.И.Фёдорова по исследованию полугрупп операторов с особенностями в нуле.
Более подробно (на языке формул) опишем два новых направления в исследовании геометрических свойств решений дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами, связанными с применением разностных операторов.
(1)
(2)
Пусть J — один из бесконечных промежутков = [0, оо), M = (—оо, оо). Рассматриваются линейные дифференциальные уравнения
— = A(t)x, t є J, dt v J
^ = A(t)x + f(t), te J,
где A(t) : D(A(t)) С X —> X, t Є J, — семейство замкнутых операторов, действующих в комплексном банаховом пространстве X. Одним из центральных вопросов геометрической теории (качественной теории) таких уравнений является исследование асимптотического поведения решений, а также исследование условий существования ограниченных решений. Асимптотические свойства решений уравнений (1), (2) соотносятся с соответствующими свойствами дифференциального оператора
рассматриваемого в подходящем функциональном пространстве J-(J1X). Одним из наиболее важных пространств является банахово пространство
Сь( J5 X) непрерывных и ограниченных на J функций со значениями в банаховом пространстве X. Построение оператора С осуществляется в условиях корректности задачи Коши
x(s) = Xo Є X, (3)
для однородного дифференциального уравнения (1). Это влечёт существование семейства эволюционных операторов Ы : Aj —> LB(X)1 где Aj = {(, s) Є J х J : s ^ t}, LB(X) — банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в X5 которое решает задачу Копій (1), (3).
Пусть J7(J1X) — одно из функциональных пространств Lp(J1X)1 р Є [1, оо]; Cb( J1X). Построение оператора С : D(C) С Jzr(M5X) J7(M5X) осуществляется следующим образом. Функция X Є J7(M5X) П C^(M5X) относится к области определения D(C) оператора C1 если существует функция / Є J7(M5X) такая, что для всех s ^t из M верны равенства
x(t) = U(t, s)x(s) - J^ U(t, r)f(r)dr. (4)
При этом полагается Cx = f. Оператор С также обозначается символом C = -i + A(t).
Если J = М+ = [0, оо) и E — замкнутое подпространство из X1 то оператор
Ce : D(Ce) С Т(Ш+1Х) Т(Ш+1Х)
определяется с помощью семейства эволюционных операторов Ы : Ar+ —> LB(X). Пара функций (x1j) из J7(M^bX) относится к графику оператора Ce-, если х Є Сь(М+5Х)5 ж(0) Є E и для всех 0 ^ s ^ t < оо верны равенства (4).
В банаховом пространстве функций J-^M5 X) (инвариантном относительно оператора сдвига) корректно определена полугруппа операторов Хоул- энда {Tu(t) : t ^ 0} вида
(Tu(t)x)(s)=U(s,s-t)x(s-t), SGM5 t^ O5 х Є J7(M5X). (5)
Каждый из операторов Tu(t), t ^ O5 является разностным оператором взвешенного сдвига. Эта полугруппа операторов сильно непрерывна в любом из банаховых пространств Lp(M5X)5 р є [1,оо)5 Co(M5X)5 а её генератором (инфинитезимальным оператором) является оператор Cu1 при этом оператор Сц непрерывно обратим тогда и только тогда, когда обратим разностный оператор I-Tk(I). Соответствующие результаты получены в работах А.Г.Баскакова.
Другой подход в исследовании дифференциальных уравнений (1) и (2) основан на использовании разностных операторов и разностных отношений на соответствующих весовых пространствах последовательностей. В банаховом пространстве P(Z5X), где р Є [1,оо], оператору С : V(C) С Lp(M5X) —> Lp(M5X) ставится в соответствие разностный оператор V : /р(Z5 X) ZP(Z, X), р є [1, оо], вида
(Vx)(п) = х(п) -U(n,n - 1)х(п - 1), п Є Z5 х Є Zp(Z5X).
Одним из определяющих результатов является свойство одновременной обратимости оператора и разностного оператора Р.
Для изучения оператора Ce в диссертации используется разностный оператор Ve-, определенный формулой
(Vex)(Ti) = х(п + 1) — Ы(п, п — 1 )х(п), п ^ O5
с областью определения D(Ve) = {ж Є ZP(Z+,X) : ж(0) Є L}. В свою очередь для изучения оператора Ve применяется спектральная теория линейных отношений. Таким образом, спектральная теория линейных отношений служит основой для исследования как разностных, так и дифференциальных операторов.
Цель работы. Целью диссертации является разработка метода исследования дифференциальных и разностных операторов, основанного на использовании спектральной теории линейных операторов и линейных отношений. Получение приложений к вопросам разрешимости линейных дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами. На основе спектральной теории операторов взвешенного сдвига разработка нового метода исследования разностных и дифференциальных операторов, действующих в весовых пространствах последовательностей и функций. Описание спектра разностных и дифференциальных операторов в весовых пространствах. Изучение экспоненциальной дихотомии и спектра разностных операторов, связанных с полугруппой Хоулэнда. Изучение ослабленной задачи Коши для линейного дифференциального включения и получение формул для решений. Построение теории вырожденных бесконечно дифференцируемых полугрупп операторов. Доказательство теоремы об отображении спектра для базового генератора бесконечно дифференцируемой полугруппы операторов.
Научная новизна. Все результаты, включенные в диссертацию являются новыми. Наиболее значимые из них перечислены в следующем списке:
-
На основе спектральной теории линейных отношений разработан новый метод исследования разрешимости разностных включений.
-
Получены приложения к разностным уравнениям, а также к вопросам разрешимости линейных дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами.
-
На основе спектральной теории операторов взвешенного сдвига создан новый метод исследований разностных и дифференциальных операторов, действующих в весовых пространствах последовательностей и функций.
-
Описан спектр разностных и дифференциальных операторов в весовых пространствах двусторонних векторных последовательностей и векторных функций, определенных на вещественной прямой.
-
Найден спектр разностных и дифференциальных операторов в весовых пространствах односторонних векторных последовательностей и векторных функций на полуоси.
-
Получены необходимые и достаточные условия обратимости разностных и дифференциальных операторов весовых пространствах.
-
Изучена экспоненциальная дихотомия разностных операторов непрерывного и дискретного аргументов, связанных с полугруппой Хоулэнда.
-
Исследован спектр разностных операторов, связанных с полугруппой Хоулэнда.
-
Впервые рассмотрена ослабленная задача Коши для линейного дифференциального включения. Получена формула для ослабленных решений.
-
Построена теория вырожденных бесконечно дифференцируемых полугрупп операторов.
-
Доказана теорема об отображении спектра для базового генератора бесконечно дифференцируемой полугруппы операторов.
Методы исследования. В работе используются спектральная теория линейных операторов и линейных отношений, функциональное исчисление операторов, методы дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, теория полугрупп операторов, теория коммутативных банаховых алгебр.
Теоретическая и практическая ценность. Предлагаемая работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы при дальнейшем исследовании разрешимости разностных уравнений и включений; дифференциальных уравнений и включений; спектральных свойств разностных и дифференциальных операторов в весовых пространствах. При дальнейшем развитии теории вырожденных полугрупп операторов с использованием спектальной теории линейных отношений, выступающих в качестве генератора полугруппы.
Многие из полученных в диссертации результатов могут быть включены в специальные курсы, читаемые студентам и аспирантам математических специальностей университетов.
Апробация. Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах: Международная научная конференция "Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения "(28 января — 4 февраля, Воронеж, 2000); Воронежская зимняя математическая школа им. С.Г.Крейна (2006-2010); Международная научная конференция "Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования "(Владикавказ, 2006, 2008, 2010); 20-я Крымская осенняя математическая школа-симпозиум (КРОМШ—2009).
Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 12 публикациях. Список работ приведен в автореферате. Все 12 работ опубликованы в журналах из списка ВАК.
Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 225 страницах и состоит из списка обозначений, введения и трех глав. Список литературы содержит 113 наименований.
