Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Впервые sine-приближения появились в работах Плэйна в качестве инструмента приближённого вычисления корней многочленов. Позднее, в связи с развитием теории кодирования сигналов, Э. Борель и Э.Т. Уиттекер ввели понятие кардинальной функции и усечённой кардинальной функции, сужение на отрезок [0,7г] которых выглядят так:
( yr^sm(nx — k7r)/k7T\ yr^(—l)ksmnx/k7T\ f
^-^ пх — ктг \ n J ^-^ nx — ктг \ n J
k=0 k=0
К настоящему времени достаточно фундаментально исследована проблема синк-аппроксимации аналитической в полосе, содержащей действительную ось, функции, экспоненциально убывающей на бесконечности (смотрите, например, публикации В.В. Жука, А.С. Жука, Ф. Стенжера, Г. Шмайс-сера и многих других специалистов по теории кодирования сигналов). Наиболее полный обзор результатов, полученных в этом направлении до 1993 года, а также большое количество важных приложений синк-аппроксимаций можно найти в монографии Ф. Стенжера. Интересные исторические обзоры исследований в этой области содержатся также в статьях П.Л. Бутце-ра, П. Феррейра, Ж.Р. Хиггинса, Г. Шмайссера, Р.Л. Стенса. Кроме того, появился ряд исследований, например, Ж.Ж Восса, Г. Хинсена, К. Сеипа, P.M. Юнга, восходящих к теореме отсчётов, или как её ещё называют теореме дискретизации Уиттекера-Котельникова-Шеннона, в которых получены различные представления целых функций рядами по синкам с узлами интерполирования, удовлетворяющими некоторым условиям "равномерности распределения".
Серьёзный вклад в теорию информации внёс А.Н. Колмогоров со своими учениками, определив порядки скорости изменения верхней и нижней є—энтропии и є—ёмкости на единицу длины. Начиная с известной работы Крамера изучается также связь между теоремами отсчётов и интерполяцией Лагранжа по узлам из спектра задачи Штурма-Лиувилля, например,
в трудах П.Л. Бутцера, Г Хинсена, А.И. Заеда, А. Боуменира.
Синк приближения нашли широкое применение при построении различных численных методов математической физики и теории приближения функций как одной так и нескольких переменных, в теории квадратурных формул и математической статистике. Синк-аппроксимации представляют собой классический пример вейвлет-преобразований или всплесков. Смотрите, например, работы И.Я. Новикова, СБ. Стечкина, Б.С. Кашина, А.А. Саакяна, И. Добеши. Специалисты в области компьютерных наук О.Е. Ливне и А.Е. Брандт используют результаты работы [1] для исследования сходимости алгоритмов многоуровневых синк-аппроксимаций функций с минимальной гладкостью.
Есть цикл работ, содержащих аналоги теоремы отсчётов, в которых вместо преобразования Фурье используется преобразование Гильберта, или преобразования с другими ядрами.
Доказать наличие сходимости на оси для менее гладких функций удалось в 1985г. П.Л. Бутцеру и Р.Л. Стенсу 1. Правда, для этого пришлось несколько модифицировать оператор (1). Ими установлено, что для равномерно непрерывных, ограниченных на К. функций /, принадлежащих классу Дини-Липшица и, кроме того, удовлетворяющих условию f(x) = 0{\х\~6) при х —> ±оо для некоторого 5 > 0, равномерно на К. для любых тбМиО<а<1 справедливо равенство
siii7r(a(w^ к>) ) smir(Wx — k)
fc=-oo V 7 I
w^k^J\w)\ n^k f n(Wx-k) №)'
Интересный признак равномерной сходимости на оси самих кардинальных функций Уиттекера приводится в работе 2005 года П.Л. Бутцера, Ж.Р. Хиггинса и Р.Л. Стенса2. Для функций из класса Fp = {/ : / Є
xButzer P.L., Stens R.L. A modification of the Whittaker-Kotelnikov-Shannon sampling series Aequationes Mathematicae, 28:1, 1985, p. 305-311
2Butzer P.L., Higgins J.R., Stens R.L. Classical and approximate sampling theorems: studies in the Lp( and the uniform norm. // Journal of Approximation Theory, 137, 2005, p. 250-263
LP(R) П C{R); f Є L1^) П Lq{R)} (здесь і + і = 1, 1
Договоримся под термином „равномерная сходимость внутри интервала (а, 6)" понимать равномерную сходимость на любом компакте, содержащемся в (а, Ь). Через Со[а,Ь] = {/ : / Є C[a,b], f(a) = f(b) = 0} обозначим снабжённое чебышёвской нормой пространство непрерывных на [а, Ь] функций, исчезающих на концах отрезка. А словосочетание „аппроксимативная сходимость" означает, что значения оператора сходятся именно к приближаемой функции.
Цель работы.
Расширение класса функций, приближаемых с помощью синк-аппроксимаций, с аналитических в полосе, содержащей действительную ось, экспоненциально убывающих на бесконечности, до существенно менее гладких, заданных на ограниченном отрезке.
Получение необходимых и достаточных условий поточечной и равномерной сходимости на отрезке [0,7г] синк-аппроксимаций (1) функций из пространства С[0,7г]. Решние вопроса о полноте систем функ-
(— l)Ksmnx І і і Гі Т I ( — 1) smnx I
-—-—; > U і 1, х [ и < -—-—; > в пространствах
ПХ — kir ; n 1 I " J nX — klT ; n 1 l l
J fc=0,n=l I. J fc=0,n=l
3Шмуклер А.И., Шульман Т.А. О некоторых свойствах рядов Котельникова // Известия вузов. Математика., № 3, 1974, с. 93-103
С[0,тг] и С0[0,тг] = {/ : / Є С[0,тг], /(0) = Дтг) = 0}.
Построение примера непрерывной на отрезке [0,7г] функции, исчезающей на концах отрезка, для которой значения операторов Ln неограниченно расходятся всюду на интервале (0,7г).
В целях построения обобщений изучаемых синк-приближений, получение асимптотических формул для значений дифференциальных операторов, являющихся решениями задачи Коши, с дифференциальным выражением в виде линейного уравнения второго порядка у" + [А — q\(x)~\y = 0, где потенциал q\ может меняться в зависимости от А.
Исследование аппроксимативных свойств операторов S\ типа Лагран-жа (8), построенных по решениям задачи Коши. Подбирая соответствующим образом функции q\: получаем единое представление в виде оператора S\ различных конструкций лагранжева типа таких, как классические интерполяционные многочлены, кардинальные функции Уиттекера, интерполяционные процессы Лагранжа, построенные по специальным функциям математической физики.
Получение необходимых и достаточных условий поточечной и равномерной на отрезке [0,7г] сходимости к приближаемой функции / Є Со[0,7г] значений операторов S\. В случае аппроксимации элементов пространства С[0,7г] получение критерия поточечной и равномерной внутри интервала (0,7г) сходимости S\ к приближаемой функции.
Получение необходимых и достаточных условий поточечной и равномерной на отрезке [0,7г] сходимости к приближаемой функции / Є С[0,7г] значений операторов Тд, компенирующих явление Гиббса вблизи концов отрезка [0,7г].
Предложение ряда модификаций АТ\7 ВТ\7 СТ\7 АТ\7 ВТ\ и СТ\
операторов S\ и Т\. Эти модификации не обладают интерполяционным свойством как S\ или Т\: но зато менее чувствительны к отсутствию гладкости аппроксимируемой функции. С их помощью можно приближать любой элемент пространства Со[0,7г], или даже С[0,7г].
Для приближения произвольной, не обязательно гладкой, непрерывной на отрезке [0,7г] функции получение модификации Т\ и Т\ оператора Т\. Эти модификации обладают интерполяционным свойством как S\ или Т\.
Исследование, в качестве приложений предложенного обобщения синк-аппроксимаций S\: аппроксимативных свойств интерполяционных многочленов Лагранжа-Якоби Сп (F, х) с узлами в нулях ортогональных многочленов Якоби. При этом каждая строка матрицы узлов ин-терполирования состоит из нулей многочлена r„ , с параметрами ап, (Зп, зависящими от п. Получение критерия равномерной внутри интервала (0,7г) и поточечной сходимости интерполяционных процессов Лагранжа-Якоби Сп (F, cos 9) при ограничении на скорость роста последовательностей \ап\, \(Зп\-
Получение достаточных условий равносходимости значений операторов вида S\ и классических интерполяционных многочленов Лагран-жа с матрицей узлов, состоящей из нулей многочленов Якоби р^п,Рп\
Получение дифференциальных соотношений в терминах дифференциала Гато для функционалов, ставящих в соответствие потенциалу q Є Ь[0,7г] к—ый нуль п—ой собственной функции задачи Штурма-Лиувилля. Исследование с их помощью устойчивости задачи представления непрерывной функции с помощью интерполяционного процесса Лагранжа-Штурма-Лиувилля LsnL при незначительном изменении потенциала q.
Методика исследований. Основными средствами решения постав-
ленных задач являются методы теории функций действительного переменного, теории функций комплексного переменного, функционального анализа и спектральной теории дифференциальных операторов.
Научная новизна результатов исследований. Научные результаты, полученные в диссертационной работе, являются новыми. Перечислим эти результаты.
-
Расширен класс функций, приближаемых с помощью синк-аппрокси-мации, с аналитических в полосе, содержащей действительную ось, экспоненциально убывающих на бесконечности до существенно менее гладких, заданных на ограниченном отрезке. Полностью описан класс непрерывных на отрезке функций, допускающих возможность приближения усечёнными кардинальными функциями Уиттекера (1) в терминах необходимых и достаточных условий поточечной и равномерной внутри интервала (0,7г) сходимости синк-приближений (1). Установлены необходимые и достаточные условия поточечной и равномерной сходимости на отрезке [0,7г] синк-аппроксимаций (1) функций из пространства С[0,7г]. Решён вопрос о полноте систем синков в пространствах С[0,7г] и Со[0,7г].
-
При изучении аппроксимативных свойств синк приближений впервые получен результат отрицательного характера. Построен пример непрерывной на отрезке [0,7г] функции, исчезающей на концах отрезка, для которой значения операторов Ln неограниченно расходятся всюду на интервале (0,7г).
-
В целях построения обобщений изучаемых синк-приближений, получены асимптотические формулы для значений дифференциальных операторов, являющихся решениями задачи Коши, с дифференциальным выражением в виде линейного уравнения второго порядка у" + [А — q\(x)~\y = 0, где потенциал q\ может меняться в зависимости от А. Впервые показано, что требование ограниченности вариации
потенциала существенно, в отличие от его непрерывности, для сохранения полученного в этой работе порядка аппроксимации асимптотики, а также порядка погрешности классических асимптотических формул.
-
Автору работы не известны публикации в мировой научной литературе, кроме собственных, касающиеся исследований аппроксимативных свойств операторов S\ типа Лагранжа (8), построенных по решениям задачи Коши. Подбирая соответствующим образом функции qx: получаем единое представление в виде оператора S\ различных конструкций лагранжева типа таких, как классические интерполяционные многочлены, кардинальные функции Уиттекера, интерполяционные процессы Лагранжа, построенные по специальным функциям математической физики. Установлены необходимые и достаточные условия поточечной и равномерной на отрезке [0,7г] сходимости к приближаемой функции / Є Со[0,7г] значений операторов S\. В случае аппроксимации элементов пространства С[0,7г] получен критерий поточечной и равномерной внутри интервала (0,7г) сходимости (8) к приближаемой функции.
-
Показано, что для равномерной и поточечной аппроксимации непрерывных функций, обладающих достаточным запасом гладкости, на всём отрезке [0,7г] следует применять вместо оператора S\ его новую модификацию Т\. Впервые предложен ряд модификаций операторов S\ и Т\. Эти модификации не обладают интерполяционным свойством как S\ или Тд, но зато менее чувствительны к отсутствию гладкости аппроксимируемой функции. С их помощью можно приближать любой элемент пространства Со[0,7г], или даже С[0,7г]. Для приближения произвольной непрерывной на отрезке [0,7г] функции получены новые модификации оператора Т\. Эти модификации обладают интерполяционным свойством как S\ или Т\. Правда, значения
новых операторов могут оказаться менее гладкими, чем результаты действия операторов S\ и Т\.
В качестве приложений предложенного обобщения синк-аппроксима-ций S\: в частности, впервые проводится исследование аппроксимативных свойств интерполяционных многочленов Лагранжа-Якоби с узлами в нулях ортогональных многочленов Якоби. При этом каждая строка матрицы узлов интерполирования состоит из нулей многочлена р^ап,1п)^ с параметрами ап,/Зп, зависящими от п. В случае, когда значения параметров ап ^ — 1 или (Зп ^ — 1 такие, что функции p^an,ln); вообще говоря, не являются многочленами, в качестве интерполяционного процесса Лагранжа-Якоби рассматривается последовательность значений операторов, аналогичных операторам S\ вида (8). Получены критерии равномерной внутри интервала (0,7г) и поточечной сходимости интерполяционных процессов Лагранжа-Якоби Сп (F, cos 9) при ограничении на скорость роста последовательностей \ап\, \(Зп\- Также впервые получено достаточное условие равносходимости значений операторов (32) и классических интерполяционных многочленов Лагранжа с матрицей узлов, состоящей из нулей многочленов Якоби р^ап^п\
В качестве ещё одного варианта возможных приложений предложенного обобщения синк-аппроксимаций S\ в работе рассматриваются интерполяционные процессы Лагранжа L^L вида (38), построенные по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля (39). В терминах дифференциала Гато для функционалов, ставящих в соответствие потенциалу q Є Ь[0,7г] к—ый нуль п—ой собственной функции задачи Штурма-Лиувилля, получено новое дифференциальное соотношение. С его помощью впервые установлено отсутствие устойчивости задачи представления непрерывной функции с помощью интерполяционного процесса Лагранжа-Штурма-Лиувилля LsnL вида (38)
при незначительном изменении потенциала q задачи (39).
Вклад автора в проведенное исследование. Все результаты исследований, содержащиеся в диссертационной работе, получены автором самостоятельно и опубликованы в открытой печати отечественных и зарубежных изданий.
Теоретическая и практическая значимость результатов исследований. Диссертационная работа носит в основном теоретический характер. Результаты, полученные в ней, могут быть применены в теории приближения функций, вычислительной математике, теории кодирования сигналов. Проведённые исследования могут использоваться в учебном процессе при чтении спецкурсов и проведении спецсеминаров по теории интерполирования функций для студентов естественнонаучных специальностей и направлений подготовки. Вместе с тем результаты работы могут иметь и прикладное значение. Так при оцифровке сигналов фрактального вида использование операторов, предложенных в работе, даст возможность исключить появление нежелательного резонанса. Такие методы кодирования сигналов могут позволить отказаться от использования аппаратных фильтров, что приведёт к повышению экономичности и отказоустойчивости вычислительного оборудования.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на международной конференции „Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященной 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовничего. 30 марта - 02 апреля 2009 года, на международной конференции „Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященной 105-летию СМ. Никольского. 17 - 19 мая 2010 года, на международной конференции „Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященной 90-летию СБ. Стечкина. 23 - 26 августа 2010 года, на международной конференции „Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной 110-летию И.Г. Петровского. 30 мая - 4 июня 2011 года, на Саратовских зимних школах „Современ-
ные проблемы теории функций и их приложения" с восьмой (1996 года) по шестнадцатую (2012 года), на международных Казанских летних научных школах-конференциях „Теория функций её приложения и смежные вопросы" (1999г., 2005г., 2007 г., 2009 г., 2011 г.), на Воронежских зимних математических школах „Современные методы теории функций и смежные вопросы" (1995г., 1999г.), на ряде других конференций и семинаров, имеющих региональный статус. В целом работа докладывалась на семинаре Московского государственного университета им. М.И. Ломоносова под руководством академика РАН B.C. Кашина, на семинаре Московского физико-технического института (государственного университета) под руководством профессора Е.С. Половинкина, на семинаре Воронежского государственного университета под руководством профессора Е.М. Семёнова, на семинаре Института математики и механики Уральского отделения Российской Академии Наук под руководством чл.-корр. РАН Ю.Н. Субботина.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [1 -41]. Работы [1 - 11] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ. В статье [11] вторым соавтором строились контрпримеры, указывающие на неулучшаемость установленного порядка аппроксимации аналитических функций значениями рассаматриваемых операторов. В работах [17] и [18] вторым соавтором были получены некоторые следствия из основных утверждений. Эти результаты в диссертационной работе не рассматриваются.
Структура и объём работы. Диссертационная работа объёмом 251 страницы состоит из введения, пяти глав и списка литературы, содержащего 275 наименований.
