Содержание к диссертации
Введение
1. Формулы Грина и Пуассона 25
1.1. Предварительные сведения 26
1.1.1. Функциональные пространства 27
1.1.2. Эллиптические комплексы и их параметриксы . 30
1.1.3. Формула Грина для эллиптических операторов . 35
1.1.4. Формула Грина для эллиптических комплексов 43
1.2. Формулы Грина и Пуассона на многообразиях с трещинами 51
1.2.1. Пространства Соболева на многообразиях с трещинами 51
1.2.2. Теория Ходжа задачи Дирихле на многообразиях с трещинами 53
1.2.3. Формулы Грина на многообразиях с трещинами . 64
1.2.4. Следствия для эллиптических комплексов . 68
1.3. Формулы Грина и Пуассона в пространствах распределений 71
1.3.1. Формулы Грина и слабые граничные значения решений конечного порядка роста 72
1.3.2. Формула Пуассона в пространствах распределений 76
1.3.3. Пространства Харди 86
1.3.4. Слабые граничные значения касательной и нормальной составляющих сечения 90
2. О задаче Коши для эллиптических систем 96
2.1. Базисы с двойной ортогональностью 100
2.1.1. Операторные уравнения I рода 100
2.1.2. Задача об "аналитическом" продолжении 104
2.2. Задача Коши в пространствах распределений . 108
2.2.1. Теорема единственности 108
2.2.2. Сведение к "квадратным" системам 112
2.2.3. Сведение к задаче об "аналитическом" продолжении121
2.3. Задача Копій в пространствах Соболева 127
2.3.1. Условия разрешимости 128
2.3.2. Формула Карлемана 132
2.3.3. Замечание о "квадратных" системах 136
2.4. Примеры 138
2.4.1. Примеры для оператора Лапласа 138
2.4.2. Примеры для системы типа Ламе 147
2.4.3. Операторы Дирака 153
3. Итерации интегралов Грина и их приложения 161
3.1. Итерации самосопряженных операторов и их применение 164
3.2. Об итерациях интегралов Грина в пространствах Соболева 168
3.2.1. Об итерациях интегралов Грина для эллиптических операторов 168
3.2.2. Замечание об операторах с постоянными коэффициентами 173
3.2.3. Следствия для эллиптических комплексов . 175
3.2.4. Об итерациях интегралов Грина в других пространствах 178
3.3. Задача Коши для эллиптических комплексов 181
3.4. Смешанные задачи для лапласианов 190
3.5. Примеры для операторов Дирака 198
4. Двойственность в пространствах решений 211
4.1. Двойственность и воспроизводящие ядра 213
4.2. Двойственность для решений конечного порядка роста . 226
4.2.1. Спаривание в пространствах Харди 227
4.2.2. Спаривание в пространствах Лебега 235
4.2.3. Двойственность Гротендика 242
4.2.4. Об одном очень специальном спаривании в пространствах Соболева 247
4.3. Двойственность для решений произвольного порядка роста253
4.3.1. Спаривание в пространствах Харди 253
4.3.2. Спаривание в пространствах Лебега 267
4.3.3. Двойственность Гротендика 272
4.3.4. Об одном очень специальном спаривании в пространствах Соболева 275
Литература 282
- Формула Грина для эллиптических операторов
- Формулы Грина и Пуассона в пространствах распределений
- Задача об "аналитическом" продолжении
- Замечание о "квадратных" системах
Введение к работе
После интенсивного развития в 60-х - 80-х годах прошлого столетия, в теории дифференциальных комплексов остался целый ряд важных нерешенных проблем. В их число входят такие известные задачи теории дифференциальных операторов, как нахождение условий (локальной) ацикличности комплексов с гладкими коэффициентами, описание ко-гомологий комплексов с вещественно аналитическими и постоянными коэффициентами в наперед заданных областях, а также задачи Коши и Неймана для эллиптических комплексов в различных постановках. Более или менее удовлетворительные ответы на эти вопросы были даны для таких классических комплексов, как комплексы де Рама и Дольбо (или, более общо, для комплексов Кошуля; подробнее см. книгу [60]).
Давно замечено, что существует глубокая взаимосвязь между теорией эллиптических комплексов линейных дифференциальных операторов и комплексным анализом. В частности, комплекс Дольбо - это и важный пример эллиптического комплекса и, в то же время, инструмент для исследования свойств более общих комплексов. Хотя некоторые результаты из комплексного анализа не распространяются на произвольные эллиптические комплексы, имеет смысл проследить те идеи и методы, которые имеют подходящее толкование в общей теории.
Учитывая серьезные продвижения, сделанные при изучении комплекса Дольбо методом интегральных представлений, актуальность распространения этого метода на произвольные комплексы дифференциальных операторов не подлежит сомнению. Именно по этой причине данная диссертация посвящена, большей частью, интегральным представлениям, или, более точно, одному их важному классу - формулам Грина.
В целом можно сказать, что формула Грина есть одно из проявлений формулы Стокса для дифференциальных форм, или, другими словами, она суть далекое обобщение формулы интегрирования по частям.
В теории дифференциальных операторов в частных производных метод интегральных представлений связан, главным образом, с построением и использованием параметриксов. Формулы Грина, соответствующие этим параметриксам (см., например, [60]), являются естественными аналогами одной из самых известных конструкций такого типа - формулы Грина для гармонических функций.
В качестве примера в комплексном анализе отметим формулу Мартинелли-Бохнера (см., например, [11], [35]). Она является одним из простейших интегральных представлений для голоморфных функций в ограниченной области D из n-мерного комплексного пространства Сп. В указанной формуле значения голоморфной функции в области D восстанавливаются с помощью интегрирования по границе 8D области D произведения этой функции и ядра, являющегося относительно простым и не зависящим от области. Это ядро совпадает с ядром Коши в случае одной комплексной переменной, но не является голоморфным по "внешним" переменным в Сп (п 1): этот факт можно считать причиной глубокого различия между комплексным анализом одной и комплексным анализом нескольких переменных. Формула Мартинелли-Бохнера использовалась при изучении свойств CR-функций и решений d-задачи Неймана (см. [35]), при исследовании задачи Коши для системы Коши-Римана (см. [9]) и получении условий разрешимости и формул для решений неоднородной системы Коши-Римана (см. [54]). Ее обобщение на дифференциальные формы (формула Мартинелли-Бохнера-Коппельмана) также успешно использовалась для исследования комп лекса Дольбо (см., например, [6], [11]).
Цель настоящей работы - дальнейшее развитие теории эллиптических комплексов с помощью так называемых интегралов Грина в рамках методов теории гильбертовых пространств и метода регуляризации некорректных задач (об этих методах см., например, [43], [63]).
Опишу более подробно содержание диссертации.
Пусть X - открытое подмножество пространства W1, а А(х, D) = ]Ca m A( (x)Da - линейный дифференциальный оператор порядка т 1 на X, где Аа{х) -(їх &)-матрицы бесконечно дифференцируемых функций на X. Выражение а(А)(х,С) = Eaum4W(a (для х Є X, Є Сп) называется главным символом дифференциального оператора А. Говорят, что оператор А эллиптический, если его главный символ является инъективным, т.е., если ранг матрицы а(А)(хХ) равен к для всех (ж,С) eXxRn\{0}.
Важным классом операторов с инъективным символом является класс "квадратных" эллиптических операторов, соответствующий случаю / = к. Таковы, например, оператор Лапласа Д в Еп и оператор Коши-Римана д на плоскости.
Классическим примером переопределенных эллиптических операторов (систем) являются оператор градиента V в!"и система Коши-Римана д в С" при п 1. Как и в классических примерах, при не слишком ограничительных предположениях, оператор А индуцирует некоторый эллиптический комплекс дифференциальных операторов {Ai}fL0 на X, где N со, Д-+і о Д- = 0, а А0 — А (комплекс де Рама для оператора градиента и комплекс Дольбо для системы Коши-Римана; в общем случае см., например, [56]). Для "квадратных" эллиптических операторов вышеупомянутый комплекс состоит только из одного ненулевого оператора А0.
Кроме того, важным примером "квадратных" систем являются лапласианы Д; = Д Д+Д-іД _і эллиптического комплекса {Д} 0 (здесь
A - формально сопряженный дифференциальный оператор для А). Они эллиптичны, если порядки операторов А{ и Д_і совпадают. Поскольку А-1 = О, то лапласиан A = AQAQ всегда эллиптичен.
Для "квадратных" эллиптических операторов существуют не только параметриксы, но и (по крайней мере, локально) двусторонние фундаментальные решения. В диссертации интегралы Грина, соответствующие этим параметриксам и фундаментальным решениям, используются для исследования следующего круга задач:
- регуляризация задачи Коши для эллиптических комплексов;
- регуляризация смешанных задач для лапласиана А А;
- описание условий ацикличности эллиптических комплексов;
- задачи Неймана для комплекса {Д-} 0;
- задача описания сопряженного пространства для пространства решений эллиптического оператора;
- регуляризация задачи Дирихле для лапласиана на многообразиях с трещинами.
Для изучения всех вышеупомянутых задач систематически используются пространства Соболева и пространства Харди. Разработанные в диссертации методы фактически сводят изучение задач из теории дифференциальных уравнений к некоторым задачам из анализа (например, к изучению свойств дифференциальных операторов на специально подобранных пространствах, как в главе 1, или к изучению свойств потенциалов и задачи об аналитическом продолжении, как в главе 2, или к изучению итераций потенциалов, как в главе 3). Данные методы позволяют не столько получать условия разрешимости этих задач (они слишком сложны для проверки), сколько строить формулы для их решений, в том числе, приближенных.
В главе 1 излагаются предварительные сведения и некоторые вспомогательные результаты, касающиеся эллиптических линейных дифференциальных операторов, эллиптических комплексов, их парамет риксов, фундаментальных решений, интегралов и формул Грина, а также функциональных пространств, которые систематически используются в главах 2, 3 и 4.
Так, например, для того, чтобы использовать интегральные представления при изучении разрешимости эллиптических систем и различных краевых задач для них, полезно иметь информацию о граничном поведении решений таких систем. Поэтому в главе 1 исследуются слабые граничные значения решений класса Лебега Lq(D) на границе области Del; эти исследования во многом представляют собой несколько иной взгляд на результаты Ройтберга [52].
Также в этой главе построена теория Ходжа задачи Дирихле для лапласиана А А на многообразии X с трещиной Г, параметрикс которой играет ключевую роль в главе 3. Такие задачи известны довольно давно (см., например, [19, п. 46.4] в случае, когда X = С, А А - обычный оператор Лапласа в R2, а Г - отрезок действительной оси). В частности, в [19] указано на связь этой задачи Дирихле на плоскости с разрезами и известной задачи Гильберта о восстановлении аналитической в некоторой области D функции по заданной на 3D линейной комбинации ее мнимой и действительной частей.
В последнее время задача Дирихле для эллиптических операторов на многообразии с разрезом обычно рассматривается в рамках анализа на многообразии с краем и ребрами коразмерности 1 в весовых пространствах Соболева Hs,,y(X, Г), где индекс s Є Ш отвечает за "гладкость", а 7 G 1 - за вес, определяющий поведение элементов пространства вблизи особенности, т.е., вблизи дГ (см., например, [49], [86], [117], [119]). В диссертации речь идет об отыскании решений задачи Дирихле из обычного пространства Соболева Нт(Х \ Г), где т - порядок оператора А, что соответствует очень специальному случаю Нт т(Х,Г); при этом используется метод обобщенных решений, получивший широкое распространение после работ С.Л. Соболева, М.И. Вишика, О.А. Ладыжен ской и др. (см., например, [16], [124]). Кроме того, рассматриваемый в диссертации оператор (т.е., А А) формально самосопряжен. Эти обстоятельства позволяют получить гораздо больше информации о решении задачи Дирихле, чем в общей теории.
Более точно, обозначим через Е тривиальное векторное расслоение X х С , и положим Y = X \ Г. Пусть теперь Hm(Y,E) будет замыкание пространства финитных сечений расслоения Е над Y, т.е., С0°°(У,), в пространстве Соболева Hm(Y,E), Н т(у,Е) - двойственное пространство к Hm(Y,E) относительно спаривания в пространстве Лебега Lr(Y,E), 1t(Y) обозначает подпространство в Hm(Y,E), состоящее из решений операторного уравнения Аи = 0 в У, a 7i±(Y) -ортогональное дополнение 7i{Y) в Hm(Y,E) относительно скалярного произведения в L2(Y,E). Фактически речь идет об изучении свойств линейного оператора Д : Hm(Y,E) - H m(Y,E). Одним из основных результатов главы 1 является следующая теорема.
Теорема 1.2.6 (Разложение Ходжа). Найдутся линейные ограниченные операторы
П : #-т(У, Е) - П(У), Є : Я"т(У, Е) - Hm(Y, Е) П П У)
такие, что
1) П есть L2(Y, Е) -ортогональный проектор на (конечномерное) пространство 7i(Y);
2) AU = 0 и ви = ПЄ = 0;
QAu = и-Ни для всех и Є Hm(Y,E), AQw = w-Uw для всех w Є H m(Y, Е). Данная теорема была получена в соавторстве с Н.Н. Тархановым и Б.-В. Шульце (см. [122]).
Как и в классической теории, оператор в обычно называют пара-метриксом Ходжа задачи Дирихле, или функцией Грина этой задачи, если 9i(Y) тривиально.
Отметим, что для случая, когда трещина Г отсутствует, теория Ходжа распространена на пространства распределений. Кроме того, с помощью ядра параметрикса в в данной главе строятся интегральные представления Грина и Пуассона в пространствах Соболева.
В главах 2, 3 и 4 содержатся основные результаты диссертации. В целом они посвящены вышеупомянутым граничным задачам для эллиптических комплексов.
Кроме того, в начале каждой из этих глав коротко излагаются общие результаты из функционального анализа, которые затем реализуются в применении к эллиптическим комплексам.
Так, например, в § 2.1 и § 3.1 коротко излагаются хорошо известные результаты, касающиеся применения спектральной теоремы к изучению операторных уравнений первого рода в гильбертовых пространствах (см., например, [13], [14], [32], [33], [42], [43], [91], [123], [135], [136] и многие др.), а в § 4.1 приводится довольно общая схема описания двойственных пространств с использованием воспроизводящих ядер и задачи Неймана.
Грубая формулировка задачи Коши для комплекса {АІ} В некоторой относительно компактной области D из X с достаточно гладкой границей 3D и данными Коши на подмножестве Г С 0D, имеющем положительную (п — 1)-мерную меру Лебега, состоит в следующем.
Задача 0.0.1. Пусть f - заданная векторная функция в D, удовлетворяющая условию совместности Д+і/ = 0 в D, иа (\а\ т — 1) - заданные векторные функции на Г. Требуется найти решение и операторного уравнения AfU = f в D, чьи производные Dau до порядка (т — 1) включительно имеют, в подходящем смысле, граничные значения (Daw)r на Г, удовлетворяющие равенству (Dau) = иа (Н т-1).
В классе бесконечно дифференцируемых функций задача Коши
для эллиптических комплексов изучалась в [60] (ср.также [88] для комплекса Дольбо); в частности там отмечалось, что разрешимость задачи эквивалентна исчезновению некоторого класса когомологий. Там же обсуждалась возможность сведения этой задачи Коши к дифференциально-граничным комплексам (ср. [21], [51], [56]).
Особенного внимания заслуживает случай, когда г = 0 (т.е., когда АІ является эллиптическим). Со времен Адамара этот вариант задачи Коши известен как классический пример некорректно поставленной задачи (см. [2, с. 39]). Однако, он естественно возникает приложениях. Например, задача Коши для уравнения Лапласа возникает при интерпретации данных геологоразведки (см., например, [41]), задача Коши для системы Коши-Римана возникает при изучении установившегося плоско-параллельного движения жидкости и в теории восстановления сигнала (см., например, [3]), а задача Коши для системы Ламе возникает в линейной теории упругости (см., например, [46]).
В различных постановках задачу Коши для оператора Лапласа изучали Иванов [26], Кондратьев и Ландис [30], Королюк [31], Лаврентьев [39]-[41], Мазья и Хавин [45], Мергелян [47], Ярмухамедов [87], Ньюман [114], и другие.
Для голоморфных функций одного комплексного переменного задача Коши рассматривалась в работах Крейна и Нудельмана [33], Фока и Куни [66], Карлемана [94], Патила [115], Штейнера [137], Дзина [145], и других математиков (см. также книгу Айзенберга [3]).
Задача Коши для скалярных эллиптических операторов второго порядка затрагивалась в работах Лаврентьева [40], Ландиса [44], Фурси-кова [67], Пуччи [116].
Задача Коши для переопределенной системы Коши-Римана изучалась в работах Айзенберга и Кытманова [9], И. Антиповой (Цих) [12], Знаменской [23], Карепова [28], Кытманова и И. Цих [36], Кытманова и Якименко [37], [38], Тарханова [59], Ходос [72], и др. (см. также книгу
Айзенберга [3]).
Задача Коши для общих эллиптических дифференциальных операторов исследовалась в работах Тарханова [58], [59], [61], Начиновича [110] и в книге Тарханова [141].
Если А - "квадратный" эллиптический оператор и либо область D достаточно мала, либо коэффициенты А вещественно аналитические, то задача Коши легко сводится к случаю, когда / = 0 (по крайней мере, если / достаточно гладкая). В противном случае, для изучения задачи неизбежно приходится затрагивать вопросы ацикличности эллиптических комплексов линейных операторов.
С другой стороны, хорошо известно, что задача Коши для (формально) сопряженного комплекса {А-} в случае, когда Г = 3D тесно связана с описанием циклов комплекса {АІ} в области D (см., например, [60]). В этой связи напомним, что даже вопрос о локальной ацикличности эллиптических комплексов с гладкими коэффициентами до сих пор остается открытым, и, более того, это одна из основных нерешенных проблем теории дифференциальных комплексов (см., например, [60], [89]). Однако, для (необязательно эллиптических) комплексов совместности с постоянными коэффициентами, лемма Пуанкаре, т.е., локальная ацикличность, всегда выполняется (см. [50], [105], [106]); она также верна и для эллиптических комплексов с вещественно аналитическими коэффициентами (см., например, [89]). Как показывает пример Леви (см. [104]) для не эллиптических комплексов с непостоянными коэффициентами С°°-лемма Пуанкаре, вообще говоря, не имеет место быть. Совсем недавно С°°-лемма Пуанкаре была доказана для эллиптических комплексов с гладкими коэффициентами в случае, когда размерность многообразия X равна двум (см. [102]).
Результаты, приведенные в главе 2, посвящены задаче Коши для локально разрешимых эллиптических систем (т.е., случаю, когда г — 0). Они опубликованы в [8], [75], [76], [84], [85], [127], [129], [130], [132], [133]
и представляют собой попытку использовать для исследования задачи Коши метод построения регуляризующих операторов, интегралы Грина и спектральную теорему для компактных самосопряженных операторов в гильбертовых пространствах (об этих методах см., например, [13], [42], [43]). Фактически, задача Коши сводится к задаче об аналитическом продолжении, а для решения последней здесь используются базисы со свойством двойной ортогональности (о них см. [32], [33], [43], [123]), идея применения которых восходит еще к Стефану Бергману. Отметим, что применительно к задаче Коши для "квадратных" систем этот метод был разработан в кандидатской диссертация автора.
Более точно, в терминах базисов с двойной ортогональностью получены более конструктивные, простые и удобные для проверки условия разрешимости некорректной задачи Коши для эллиптических систем в пространствах Соболева, чем известные ранее (ср. [59]). В основном эти условия состоят в сходимости ряда Фурье (относительно некоторого базиса со свойством двойной ортогональности) интеграла Грина, соответствующего данным Коши. Более того, получена конструктивная формула регуляризации (приближенного решения) задачи Коши для линейных эллиптических систем. Ранее было доказано существование таких регуляризации (см. [58]), но возможность конструктивного подхода не выходила за рамки задачи Коши для системы Коши-Римана или систем, факторизующих оператор Лапласа (см. [3], [87]).
Интересно, что системы, которые являются (не обязательно ортогональными!) базисами в двух пространствах голоморфных функций одновременно, встречаются и в других областях комплексного анализа (см. например, обзор [144]).
Приведем точные формулировки основных теорем главы 2.
Обозначим через S(A, D) множество слабых решений операторного уравнения Аи = 0 в D, а через Sp(A, D) - подмножество в S(A,D), состоящее из решений конечного порядка роста. Кроме того, пусть
n = ©jS)U(Cj) бУДет система Дирихле на 3D, сопряженная к системе Дирихле t — @™ QBJ относительно формулы Грина для оператора А, Аь - касательный оператор на Г, индуцированный комплексом {Д}, а т(/) - касательная составляющая сечения / относительно комплекса {Aj} (см., например, [60]). Следующее утверждение позволяет свести задачу Коши для локально разрешимых систем с инъективным символом к задаче Коши для систем "квадратных".
Теорема 2.2.17 Пусть комплекс {А{} является точным на уровне пучков в положительных степенях в некоторой окрестности D. Предположим, что операторы До и AQ + А\ обладают свойством единственности в малом на X. Если и Є Sp{Ao,D), f Є SF(AQ + Ai,D), то AQU = f в области D тогда и только тогда, когда
1) существуют область и С D с границей дш, содержащей непустое открытое подмножество Т\ в Y, и сечение v Є 5F(AO,W) такие, что AQV = f в ш;
2) A\t{u)) = п(/) на Г;
3) п(А0и) = n(f) на Г.
Для получения более конструктивных условий разрешимости задачи Коши нам придется уточнить ее формулировку. Предположим, что Г -открытое связное множество, т.е., подобласть в 3D. Такую ситуацию можно реализовать следующим образом. Имеется некоторая область О Ш X, а Г - гладкая замкнутая гиперповерхность в О, разбивающая область на две связные компоненты: 0 = D и 0+ = 0\D.
В формулировке следующей задачи участвуют пространства Соболева Hs bi ll2[Y,E ), определение которых может вызвать недоразумение. Мы делаем это так. Пусть Е векторные расслоения над некоторой окрестностью U гиперповерхности 3D. В пространстве Соболева Hs bj 1 2(3D, Е )) (определенном стандартным образом) рассмат ривается подпространство Е, образованное всеми сечениями к, равными нулю в окрестности Г. Для s — bj — 1/2 0 это означает, что д,и = 0 для всех д Є #-5+ь +1/2(дД (ЕЩ ) С suppg С Г. Ясно, что Е замкнуто. Соответствующее фактор-пространство, наделенное фактор-топологией, обозначается через Hs b lf2{T,E ). Зафиксируем целые неотрицательные числа г и s, удовлетворяющие s г + т и положим Sa(A, D) = HS{D, Е) П S(A, D).
Задача 2.3.1. Пусть даны сечения f Є Sr(AQ + Ai,D), Uj Є Hs bi ll2(Y, E )) (0 j m — 1). Найти (если возможно) такое решение и Є SS(AQ, D), что
А0и = f в D;
t(u) = ©JTo4 т г Естественность такой формулировки задачи Коши также обосновывается в главе 2. Для нее доказана и теорема единственности в ситуации, когда оператор А обладает свойством единственности в малом на X (теорема 2.2.7).
В качестве левого фундаментального решения дифференциального оператора AQ возьмем ядро Кс(х,у) = А Кф(х,у), где Ф - двустороннее фундаментальное решение лапласиана До на X.
Обозначим через й, Є # _ь 1/2(д , ЕЩ (0 j т - 1) какой-нибудь представитель Uj Є Я3-ь- _1/2(Г, ЕЩ и пусть й = ©JL UJ; ДЛЯ х . 3D положим
т—1 /»
д(й)(х) = - V / CjKc(x, .), у ds, (TDf)(x) = (ФА хпІ)(х),
где v,u у= 2s=iVs(y)us(y) для сечения v расслоения Е и сечения и расслоения Е, a XD -характеристическая функция области D в X. Обозначим также через (Q(u) + 7Ь/)+ сужение сечения (G(u) + TDI) на 0+. По построению (G(u) + TDf)+ Є 5(Л0,О+).
Теорема 2.3.3. В предположениях теоремы 2.2.17, если граница области D является достаточно гладкой, то задача 2.3.1 разрешима в том и только том случае, когда выполнено условие 1) теоремы 2.2.17, Ab(@Uj) = r(f) наТ и сечение Т+ = {G(u) + 7Ь/)+ продолжается из области 0+ на всю область О как решение из Ss(До, О).
Далее для исследования задачи Коши используем базисы с двойной ортогональностью.
Теорема 2.1.8. Если Q Ш О - открытое множество с регулярной границей, дополнение которого не имеет компактных связных компонент в О, то в пространстве SS(AQ, О) найдется такой ортонормиро-ванный базис {Ьи}™=1, сужение которого на Q является ортогональным базисом в 5р(Ао, Г2), s є Ъ+, р Є Z+.
Для элемента # Є Si = SS(A0, О) обозначим через cv( ) {у = 1,2,...) его коэффициенты Фурье относительно ортонормированной системы {bv} в Si, т.е., с(#) = (УАЬп а для элемента JES2 = SS(A0,Q) через kv($) (и = 1,2,...) - его коэффициенты Фурье относительно ортогональной системы {Ь„} в Ег, т.е., kv{$) = і Y) •
Теорема 2.3.5. 5 предположениях теоремы 2.2.17, если граница области D является достаточно гладкой, то задача 2.3.1 разрешима в том и только том случае, когда выполнено условие 1) теоремы 2.2.17, Ab(®Uj) = т(/) на Г и ?=! М7Ъ/ + Q(u))\2 оо.
Уместно отметить, что для случая, когда / = 0, все сформулированные выше утверждения из главы 2 получены в соавторстве с Н.Н. Тархановым (см. [132]).
Введем в рассмотрение следующие ядра &N\ определенные для (х,у)вОхХ (х=у):
N
" (х, у) = Кс(х, y)-J2 Ь х) ® кЛЫ; У)) {N = 1,2,...).
1/=1
Теорема 2.3.10 (Формула Карлемана). В предположениях теоремы 2.2.17, если граница области D является достаточно гладкой, то
для всяких точки х Є D и сечения и Є Ss(Ao,D), для которого Аи Є Hr(D,F), справедлива формула:
и(х) = - lim ( / {N)(x,.), Аи ч dy+ N °° \JD
р. m-l
•
/ J2 C iN) (x,-),4 yds
Кроме того, в данной главе рассмотрены примеры задач Коши для оператора Лапласа, для системы Ламе и для операторов Дирака. Построены соответствующие базисы с двойной ортогональностью.
Глава 3 посвящена итерациям самосопряженных операторов (в частности, интегралов Грина) и их применениям в теории эллиптических комплексов. Результаты, приведенные в ней, опубликованы в [77], [81], [82], [83], [112], [ИЗ], [121], [122], [126], [128], [129], [131].
Сначала в этой главе доказывается сходимость в сильной операторной топологии пространства непрерывных линейных отображений на пространстве Соболева Hm(D) (m - порядок оператора А) предела итераций интегралов Грина, построенных с помощью параметрикса Ходжа задачи Дирихле для лапласиана А А на гладком компактном многообразии X D D с границей дХ и трещиной Г С 8D (при этом допускаются случаи, когда ЭХ = 0 или/и Г = 0). Использование этого результата и методов построения регуляризующего оператора (ср. [42], [43]) легко приводит к условиям разрешимости и формулам для соболевских решений задачи Коши в D с данными на Г для оператора Л, если только решения этой задачи существуют.
В применении к эллиптическим комплексам одного порядка этот метод ведет к условиям разрешимости и формулам для соболевских решений задачи Коши для комплекса. При этом соответствующие интегралы Грина строятся с помощью параметрикса Ходжа задачи Дирихле для лапласиана Д; на гладком компактном многообразии X с
границей дХ и трещиной Г. Вышеупомянутые формулы представляют собой суммы ряда, слагаемые которого суть итерации псевдодифференциальных операторов (в частности, интегралов Грина), в то время как условия разрешимости задачи Коши эквивалентны сходимости ряда вместе с некоторыми тривиальными условиями (ортогональностью специальному "гармоническому" пространству).
Более точно, обозначим через Hm((D,T),Ei) замкнутое подпространство в Hm(D,E), состоящее из сечений и, для которых BjU = О на Г для всех 0 j m — 1. С помощью операторов {Д} на этом пространстве вводится специальное скалярное произведение h (•,•), определяющее топологию, эквивалентную стандартной. Для заданного замкнутого подпространства S в #т((),Г),г), будем писать 7rs для ортогональной проекции из Hm((D,r),Ei) на Е относительно /i# (" )• В следующем утверждении 1 = QiA\xDi где ©г суть параметрикс Ходжа из теоремы 1.2.6 для лапласиана Дг- комплекса {Д}.
Следствие 3.2.11. В сильной операторной топологии пространства C(Hm(D, Ei)) мы имеем
(
CD \ /- Aij = 7ГЯт((Д)Г))Е.)П5т(Л.)1)).
Определим пространство данных Коши на Г как фактор-пространство Нт?тг)Е-) - Если граница множества Г на dD достаточно гладкая, то это фактор-пространство может быть отождествлено с пространством © 1Ят -/-1/ 2(Г, El3 ). Легко понять, что использование оператора Ходжа из теоремы 1.2.6 (примененной к лапласианам Д;) позволяет свести задачу Коши для комплекса {Д} к случаю, когда данные Коши на Г равны нулю. Поэтому мы рассмотрим следующую задачу Коши.
Задача 3.3.2 Для данного f Є 2(Д+і, D), найти (если это возможно) сечение и Є Hm((D, Г), Ei) такое, что AiU = / в D.
Пусть i/(g) - данные Коши для д относительно комплекса {Д }, а Hi+1(D, Г) = { Є S°(At + Ai+h D) : щ{д) = 0 на д \ Г}.
Теорема 3.3.4. Задача 3.3.2 разрешима тогда и только тогда, когда 1)/1 Ui+l(D,T); 2) Ai+1f = 0 в D; 3) ряд R D)f =
1 / сходится в Hm(D, ЕІ). Более того, если эти условия выполнены, то Щ f есть решение задачи 3.3.2.
В случае Г = 0 мы получаем условия разрешимости системы Д-(г 0) в пространствах Соболева и формулы для таких решений. Для комплекса Дольбо соответствующие псевдодифференциальные операторы связаны с интегралами Мартинелли-Бохнера-Коппельмана. В этом частном случае при X = Сп (п 1), і = 0 и Г = 0 похожие формулы были получены в работе [54].
Данный метод позволяет получить и условия локальной разрешимости задачи Коши (и, при Г = 0, локальной ацикличности) для эллиптических комплексов.
Подобным образом в главе 3 изучается разрешимость и регуляризация одного класса смешанных задач для лапласиана Д0- Более точно, рассматривается обобщенная задача Зарембы в области D с данными Дирихле на Г и данными Неймана (относительно формулы Грина для оператора AQ) на 3D \ Г. Как и задача Дирихле, эта задача обычно рассматривается в рамках анализа на многообразии с краем и ребрами коразмерности 1 в весовых пространствах Соболева Hsn{X, Г) (см., например, [49], [86], [117], [119]). В диссертации речь идет об отыскании решений смешанной задачи из обычного пространства Соболева Hm(D), где т - порядок оператора Ао, что соответствует очень специальному случаю Hm m(D, Г). В отличие от задачи Дирихле, обобщенная задача Зарембы не является, вообще говоря, фредгольмовой в такой постановке, если Г 9D, а ее разрешимость тесно связана с разрешимостью задачи Коши.
Случай Г = 0 соответствует А-задаче Неймана (задаче Неймана для комплекса {ЛІ} в степени 0), а случай Г = 3D - задаче Дирихле для лапласиана Д0 в области D. Кроме того, разрешимость А-задачи Неймана тесно связана с описанием когомологий комплекса {АІ} над соответствующими функциональными пространствами.
Уместно отметить, что для некоторых частных случаев все сформулированные выше утверждения из главы 3 получены в соавторстве (с М. Начиновичем [112] для Г = 0, і = 0 и операторов, удовлетворяющих так называемому условию единственности для задачи Коши в малом; с Н.Н. Тархановым и Б.-В. Шульце [121], [122] для Г ф 0 и г = 0).
В заключение этой главы рассмотрены примеры для операторов Дирака в случае, когда Г = 0.
В главе 4 рассмотрены вопросы описания сопряженных пространств для различных пространств решений эллиптических систем. Так, например, получено описание сильного сопряженного пространства для пространства S(A, D) решений системы Аи = 0 в области D С X, снабженного стандартной топологией Фреше-Шварца. Соответствующие результаты опубликованы в [78], [79], [113], [134].
В качестве мотивации данного исследования отметим ту роль, которую сыграла теорема Рисса об общем виде непрерывного линейного функционала на пространстве Гильберта в развитии теории уравнений в частых производных и, в частности, при решении различных краевых задач (см., например, [27]). Кроме того, любая удачная харак-теризация двойственного пространства S(A, D) дает дополнительную информацию о решениях системы Аи = 0 (ряды Голубева, теоремы о разделении особенностей, и т.д, см. Хавин [68], Тарханов [141]).
Существует несколько классических представлений сопряженного пространства для 5(Л, D), как, например, двойственность Гротенди-ка или двойственность Пуанкаре (см., например, [140]). Также интересны различные обобщения классической двойственности Гротендика
для голоморфных функций многих комплексных переменных (см. например, [107], [25]). В данной главе рассмотрена некоторая общая схема для описания двойственности в пространствах решений эллиптических систем, включающая в себя, например, двойственность Гротендика для S(A,D). Одним из преимуществ этой схемы является то, что она позволяет связать теоремы двойственности с такими основными задачами теории дифференциальных уравнений, как существование и регулярность решений.
Опишем коротко содержание главы 4. Предположим, что коэффициенты оператора А и граница области D вещественно аналитические, а сама область D обладает некоторыми свойствами выпуклости относительно А Тогда, используя воспроизводящие ядра Бергмана, соответствующие различным скалярным произведениям на подпространствах в S(A,D), пространство S(A,D) представлено как пространство S{A, D) решений системы Аи = 0 в окрестности замыкания области D, снабженное стандартной топологией индуктивного предела относительно некоторой убывающей последовательности окрестностей D.
Следствие 4.3.14. Для всяких решений и Є S(A, D) и v Є S(A, D) существует предел
hn(u,v)= lim I v (x)u(x)dx. e- o+JD_s
Спаривание ho(-,-) раздельно непрерывно на S(A,D) x S(A, D), и ho(u, v) = (u, v)tf(D,E) для всех и Є S°(A, D) и v Є S(A, D).
Пусть 7Го обозначает проектора Бергмана, т.е., ортогональный проектор из L2(D,E) на S°(A,D).
Следствие 4.3.17. Для того, чтобы отображение Зо : S(A, D) — S(A,D) , индуцированное спариванием ho(.,.), было топологическим изоморфизмом между пространствами S(A, D) и S(A, D) необходимо и достаточно, чтобы были выполнены следующие условия:
1) S(A, D) плотно S(A,D);
2) 7го отображает 5(Л, D) непрерывно в S(A, D).
Теорема 4.3.18. Пусть А суть "квадратный" эллиптический оператор. Тогда отображение Зо индуцированное спариванием ho(.,.), есть топологический изоморфизм между пространствами S(A, D) и S(A, D)f.
В данной главе указаны и другие классы операторов и областей, для которых условия следствия 4.3.17 выполнены.
Для пространств голоморфных функций в односвязных областях в С и (р, д)-круговых областях в С2 похожие результаты были получены Айзенбергом и Гиндикиным [5] (ср. также работы Айзенберга [4] для (р, д)-круговых областей, Айзенберга и Митягина [7] для кратно-круговых областей; Цорн [146] получил похожие результаты для пространств голоморфных функций в строго псевдовыпуклых областях в Сп; Стаут [138] получил похожие результаты для пространств гармонических и голоморфных функций, используя скалярное произведение в пространствах Харди.
В диссертации рассмотрены и другие варианты двойственности. В частности, двойственность, индуцированная пространством Харди, получена совместно с Н.Н. Тархановым (см. [134]), а двойственность, индуцированная спариванием / (•, •) из главы 3, получена совместно с Н.Н. Тархановым и М. Начиновичем (см. [113]).
Также с помощью этого метода дано описание сопряженного пространства к подпространству Sp{A, D) пространства S(A,D), состоящему из решений конечного порядка роста вблизи 3D.
Именно, доказывается, что пространство, сопряженное к Sp(A, D), может быть представлено как S(A, D) П C°°(D), при условии, что коэффициенты оператора А и граница области D являются бесконечно гладкими, а сама область D обладает некоторыми свойствами выпуклости относительно А.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на:
- Красноярском общегородском семинаре по многомерному комплексному анализу (КрасГУ) под руководством профессоров Л.А. Айзенберга и А.П. Южакова (1991 - 1994 гг.) и профессоров А.К. Циха и A.M. Кытманова (1995 - 2004 гг.);
- семинарах по геометрии и анализу в Высшей Нормальной Школе г. Пиза (Италия) под руководством профессора Е. Везентини (1993-1995 гг.);
- семинаре по геометрии и анализу в Пизанском университете под руководством профессора М. Начиновича (Пиза, Италия, 1995 г.);
- семинарах по геометрии и анализу во Флорентийском университете под руководством профессора Г. Джентиле (Флоренция, Италия, 1995 г.);
- семинарах по анализу на многообразиях с особенностями в Потсдамском университете, под руководством профессора Б.-В. Шульце (Потсдам, Германия, 1997 - 2000 гг., 2003 г.);
- международных конференциях "Математические модели и методы их исследования" (КрасГУ, Красноярск, 1997, 1999 и 2001 гг.).
- международных конференциях по дифференциальным уравнениям и анализу на многообразиях с особенностями (Потсдамский университет, Потсдам, Германия, 1997-2001 гг.);
- международных конференциях "Симметрия в естественных науках" (Интитут вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск, 1998 и 2000 гг.).
- международной конференции по комплексному анализу (Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, Москва, 2001 г.);
- семинаре по комплексному анализу под руководством проф. Дж. Зампиери (Падуанский университет, Падуя, Италия, 2001 г.);
- семинарах по геометрии и анализу под руководством академика РАН Ю.Г. Решетняка (Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, 2001-2002 гг.);
- семинарах по дифференциальным уравнениям в частных производных под руководством проф. Ю.Я. Белова (КрасГУ, 2002 г.);
- международной конференции "Некорректные и обратные задачи" (Институт Математики СО РАН, Новосибирск, 2002 г.);
- международной конференции по комплексному анализу (КрасГУ, Красноярск, 2002 г.);
- Сибирской школе по геометрии и анализу (Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, 2002 г.);
- семинаре "Математические проблемы механики" под руководством академика РАН В.Н. Монахова (Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск, 2002 г., 2004 г.);
- семинаре "Математическое моделирование в механике" под руководством проф. В.К. Андреева (Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск, 2002 г.);
- семинарах по геометрии и анализу под руководством проф. А. Бе-гера (Свободный университет, Берлин, 2003 г.);
- семинарах по геометрии и анализу под руководством проф. СП. Царева (Красноярский государственный педагогический университет, Красноярск, 2004 г.);
- семинаре "Дифференциальные уравнения математической физики" под руководством проф. Л.А. Калякина и проф. В.Ю. Новокшенова (ИМ с ВЦ УНЦ РАН, Уфа, 2004 г.).
Кроме того, уместно отметить, что основные результаты диссертации получены при поддержке следующих грантов:
- гранты РФФИ (96-01-00080, 99-01-00790 и 02-01-00167);
- гранты РФФИ поддержки ведущих научных школ (96-15-9626 и 00-15-96140);
- грант научных школ НШ-1212.2003.1;
- гранты Красноярского краевого фонда науки (6F0103, 8F0101, 10F032M, 11F031M).
Формула Грина для эллиптических операторов
Следующее (хорошо известное) определение играет важную роль во всех дальнейших рассуждениях. Определение 1.1.2. Дифференциальный оператор называется оператором Грина для А Є Diffm(i? — Е\), если Как отмечается, например, в [60, предложение 9.4], для А Є Diffm(i? — Ei) всегда существует оператор Грина. Более того, если G1 и G2 - два оператора Грина для А, то найдется дифференциальный оператор Q Є D]ffm-2((Ei, Е) -) Лп"2) такой, что G2 - G1 = dQ. Локально оператор Грина может быть записан в следующей форме: где Y означает, что она некоторым образом упорядочена по мультиин-дексам (3,7? Ij» а есть оператор Ходжа для дифференциальных форм (см. [60, с. 82]). Используя операторы Грина, легко получить интегральные представления для функций из различных классов в области D. Итак, пусть D будет относительно компактная область в X с бесконечно дифференцируемой границей 8D. Как следует из определения 1.1.2 и формулы Стокса (ср., например, [141, следствие 9.2.12]), для всех сечений w Є Hm(D,E), g Є Hm(D,Ei), справедлива (первая) формула Грина для А: Для заданной ориентированной гиперповерхности Г С X, обозначим через [Г]л ядро над X х X, определенное равенством для всех д Є С00 (El) и и Є С(Е)1 носители которых пересекаются по компактному множеству. Носитель ядра [Г]А сосредоточен на гиперповерхности Г (см., например, [60, с. 83]). Пусть С Є PsDiff_m(i?i — Е) - какой-нибудь параметрикс оператора А Є Diffm( - Еі) на X. Для заданного сечения и Є Hm(D, Е{) положим для x Є X\dD. Согласно [141, следствие 2.2.16], С : V(X,E{) - V(X, Е) продолжается до непрерывного отображения С : (Х, Е\) — V(X,E). Поэтому Qu Є V(X,E). Интегралы такого типа будем называть интегралами Грина, ассоциированными с оператором А. Для заданного сечения д Є L2(D, Ei) положим для x E X \ dD. Интегралы такого типа будем называть объемными потенциалами. Хотя интеграл в правой части (1.1.6) суть формальный символ, его иногда можно понимать как абсолютно сходящийся несобственный интеграл. Пользуясь теоремой об ограниченности псевдодифференциальных операторов (см. [51, 1.2.3.5]), заключаем, что интеграл (1.1.6) определяет ограниченный линейный оператор TD:L2{D,E)- Hm(D,E). Теорема 1.1.3 (Формула Грина). Пусть С Є PsDiff_m(JE7i - Е) - параметрикс оператора А Dffim(E — Е{) на X. Интеграл Q, заданный формулой (1.1.5), определяет непрерывный линейный оператор и для всякого и Є Hm(D, Е) верна следующая формула: Доказательство. Как мы уже отмечали выше, интеграл (1.1.6) определяет ограниченный линейный оператор 7Ь L2(D, Е) — Hm(D, Е). Для и Є Hm(D, Е), определим Qu из равенства (1.1.7), именно, Qu = и — SXDU — ТЬАи. Заметим, что S является сглаживающим оператором в окрестности D, а значит Q является корректно определенным непрерывным отображением в Hm(D,E). Если и Є Cm(D,E), то (1.1.7) вытекает из формулы Грина (1.1.3), а следовательно, Qu = Qu для всех и Є Cm(D, Е). Наконец, так как граница области D является гладкой, то Cm(D, Е) плотно в Hm(D, Е), а значит Q продолжается по непрерывности до опе ратора Q.
Как видно из доказательства теоремы 1.1.2, если дополнительно предположить, что С обладает свойством трансмиссии, то для N Э s m, интегралы Q и 7Ь определяют ограниченные линейные операторы (см., например, [141, 2.4.3-2.4.8]). Результаты, подобные теореме 1.1.3 можно получать для различных классов функций (см. [60, следствие 10.1], или теорему 1.3.5 и формулу (1.2.5) ниже). Замечание 1.1.4. Как мы уже отмечали выше, два оператора Грина для А Є Diffm(i? — Е\) отличаются на точное слагаемое (см. также [60, предложение 9.4 ]). Поэтому граничный интеграл в левой части равенства (1.1.7) не зависит от выбора оператора Грина GA Следствие 1.1.5. Пусть С - двустороннее фундаментальное решение оператора А на X. Тогда граничный интеграл в (1.1.7) есть (ограниченный) проектор из HS(D,E) на SS(A,D) и для всякого f Є Hs m(D,Ei) интеграл TDJ является HS(D,E)-решением уравнения Аи = f в D (Мэ s m). Доказательство. Утверждение следствия немедленно вытекает из то го факта, что двустороннее фундаментального решения эллиптическо го дифференциального оператора обладает свойством трансмиссии (см. [51, 2.2.2.2]). Для наших дальнейших целей более удобно записывать операторы Грина в иной форме. Однако, для этого необходимо использовать так называемые системы Дирихле граничных операторов. Пусть Е ) (0 j г со) будут векторные расслоения рангов lj над некоторой окрестностью U границы области D. Определение 1.1.6. Система {Bj}rj=0, Bj Є Diffbj(E\U — E ), называется системой Дирихле порядка г на 3D, если 1) 0 bj г; 2) bj ф bi для j ф г; 3) rank ca(Bj)(y, ) = lj (О j г) для всех у Є U, и всех Є Т (Х), нормальных к 3D. Системы Дирихле важны для различных граничных задач по следующей причине: если 3D Є Cs, s г, a {Bj}rj=0 - система Дирихле порядка г в U, то для любой системы сечений Uj Є Cs bi(dD,E ), О j г, найдется сечение и Є CS(D, Е) такое, что BJU\QD = Uj для О j г (см., например, [14] и [61, лемма 28.2]). Определение 1.1.7. Пусть {Bj}1 система Дирихле на 3D. Будем говорить что система Дирихле порядка {CJ} Q (здесь Cj Є DifFm_bj._i( it/ -» (Е(її) ), a U С U - некоторая окрестность 3D в X) сопряжена к системе {BJY? Q относительно формулы Грина для оператора А Є Diffm(i? —» Е\), если найдется оператор Грина GA такой, что dp для всех g Є C(U,E{), v Є C{U,E), a Gv Є Diffm-i , E)\U -+ Л"-2) (здесь Л обозначает операцию внешнего умножения дифференциальных форм). Хорошо известно, что если граница дВ области В не является характеристической для А Є Diffm(E —ЇЕІ),ТО для всякой системы Дирихле {BJ} Q, найдется сопряженная ей относительно формулы Грина для А система {CJ} Q (см., например, [61, с.280, лемма 28.3]). Поскольку в дальнейшем предполагается, что оператор А имеет инъективный символ, то для любой области В (с границей дВ класса Ст) дВ не является характеристической для А. Зафиксируем какую-нибудь систему Дирихле {BJ} Q на дВ. Без ограничения общности, предположим, что bj = j. Например, если X -замыкание области в R", то можно взять Bj = /fcJnj, где - - j-тая нормальная производная относительно дВ, аД- единичная (к х к)-матрица. Для w Є Hm(B,E), g Є Нт{В,Е1), положим t(w) = $ QBJW, n{g) = @ о С}9- Ясно, что t(w)\QD и n{g)\dD принадлежат пространству Щ Hm i ll2{dB, Е ) (см., например, [22]). Обозначим че о рез Нт(В,Е) замыкание в пространстве Нт(В,Е) всех сечений из Т (В,Е). Как хорошо известно, t индуцирует изоморфизм
Формулы Грина и Пуассона в пространствах распределений
Как отмечалось в 1.1, удобно формулировать различные граничные задачи в терминах системы Дирихле {BJ}SQ, так как в этом случае нет необходимости заботиться о формальных согласованиях между граничными данными (см., например, [14] и [61, лемма 28.2]). Например, в 1.2 таким образом формулируется задача Дирихле для оператора А А, в главе 2 - задача Коши для эллиптических систем, а в главе 3 - задача Неймана и смешанные задачи для обобщенного лапласиана. В связи с этим необходимо иметь информацию о граничном поведении выражений BjU для сечения и Є S(A, D). В этом параграфе изучаются слабые граничные значения выражений BjU (О j т — 1) на 3D. Кроме того, в этом параграфе мы введем пространства, аналогичные классическим пространствам Харди для гармонических и голоморфных функций. С этой целью, сначала рассмотрим более подробно вопросы регуляризации задачи Дирихле для лапласиана А в пространствах обобщенных функций в случае Г = 0. В данном разделе мы не будем приводить доказательства утверждений, поскольку они осложнены техническими выкладками и были подробно приведены в кандидатской диссертации автора (см. также работу [132]). Ясно, что, если и е S(A, D)C\Cm 1(D, E), то слабые предельные значения выражений BjU (0 j т — 1) на 3D существуют и совпадают С обЫЧНЫМИ СужеНИЯМИ (BjU)\dD В определении 1.3.1 слабых граничных значений была использована система Дирихле {Bj}, и кажется, что оно существенно зависит от выбора этой системы. Тем более неожиданным является факт, что это совсем не так. Определение 1.3.2. Будем говорить, что решение и Є S(A, D) имеет конечный порядок роста вблизи dD, если для всякой точки х Є dD найдутся такие шар В(х, R) и постоянные с 0 и у О, что \и(х)\ с dist(x, dD) y для всех х Є В(х, R) П D.
Ввиду компактности dD, постоянные с и 7 можно выбрать таким образом, что эта оценка выполняется для всех х Є dD. Следующая теорема для гармонических функций была доказана в [139]; в общем случае см. [52] и [132]). Пространство всех решений и Є S(A, D) конечного порядка роста вблизи dD будем обозначать через Sp{A,D). Как показывают результаты Ройтберга и Тарханова (см. [52]) и [141, 9.4], каждое решение и Є SF{A,D) имеет слабые граничные значения выражений BjU (О j т — 1) на dD. Если оператор А обладает свойством 1.1.1, то справедливо и обратное утверждение. Теорема 1.3.3. Пусть оператор А обладает свойством 1.1.1. Тогда решение и Є S(A, D) имеет слабые граничные значения выражений BjU (0 j т — 1) на dD в том и только том случае, когда оно имеет конечный порядок роста вблизи dD. Доказательство. Отметим, что ключевую роль в доказательстве теоремы играла следующая лемма, которая является аналогом теоремы о слабом скачке интеграла Мартинелли-Бохнера, доказанной Чиркой [73]. Так как оператор А обладает свойством 1.1.1, то он имеет (левое) фундаментальное решение, скажем С Є PsDiff_m( i —) Е). емма 1.3.4. Предположим, что Del- область с бесконечно дифференцируемой границей, a Vj 6 V (dD, ЕЩ (0 j т — 1) -заданные сечения на dD. Тогда для всех сечений gj Є V(dD, (Е ) ) (О j т — 1) мы имеем: Сформулируем еще один вариант формулы Грина. Теорема 1.3.5 (Формула Грина). Пусть оператор А обладает свойством 1.1.1. Тогда для любого и Є SF(A,D) справедлива формула Грина Формула (1.3.1) дает аппарат для эффективной проверки того эвристического соображения, что поведение решения и Є Sp(A, D) вблизи граничной точки х Є dD в замыкании области полностью определяется свойствами "гладкости" вблизи х на dD слабых граничных значений BjU (О j т — 1). Пусть N - какая-нибудь относительно компактная окрестность точки х в X, а функция рє Є С(Х) сосредоточена в е-окрестности N и равна 1 в N. Тогда, обозначив через XD характеристическую функцию области D, формулу (1.3.1) можно переписать в виде XDU = Q((p((BBju)) + Q(l — p){Bju)). Первое слагаемое здесь зависит от значений BjU (0 j т — 1) в є-окрестности множества Л/" П сШ на границе, а второе слагаемое является бесконечно дифференцируемым сечением Е в Я. Следовательно, характер "примыкания решения и из AfCiD к "своим" слабым предельным значениям на AfndD полностью определяется скачковым поведением интеграла Грина G((p(@Bju)) при переходе через Л/" П 3D. Если не предполагать, что оператор А обладает свойством единственности, то для А можно гарантировать существование параметрикса С Є PsDiff_m(2?i —у Е). В частности, это означает, что С A = 1 — S0 для некоторого сглаживающего оператора 5 Є PsDiff_00( — і?). Тогда мы приходим к следующему соотношению: где й - естественным образом определенная регуляризация решения и как непрерывный линейный функционал на пространстве Cs (D, Е) для подходящего s , зависящего от порядка сингулярности и вблизи границы (т.е. 7); в частности, й = и в D, и Є H S(D, Е) (= HS(D, Е ) )), где s + (7 - 1). (ср. [52] или [141, лемма 9.3.15]).
Задача об "аналитическом" продолжении
Рассмотрим теперь данную схему применительно к задаче об "аналитическом" продолжении. Именно, пусть Q ( О - области в X. Далее, предположим, что оператор А является "квадратным" эллиптическим и обладает свойством единственности 1.1.1. Положим Hi = S3(A,0) иЯ2 = SP(A,Q). Как мы уже отмечали, пространства Hi и #2 состоят из гладких сечений в области О и Q соответственно. Оператор L : Hi — #2 задается посредством сужения сечений. Из внутренних априорных оценок для решений эллиптических систем вытекает, что это непрерывное линейное отображение гильбертовых пространств. Итак, в данной ситуации задача 2.1.1 состоит в том, чтобы по заданной функции v Є SP(A, Q) найти функцию и Є SS(A, О) такую, что и = v в Q. Если А суть оператор Коши-Римана на плоскости, то это одна из разновидностей задачи об аналитическом продолжении; если же коэффициенты оператора А вещественно аналитичны, то речь идет о задаче вещественно аналитического продолжения. Понятно, что сужение отображения L на Hi действует в Н . Однако не очевидно, что при этом образ L плотен в #2 Лемма 2.1.5. Если граница области Q Ш О регулярна, а дополнение О, не имеет компактных связных компонент в О, то оператор L : Н\ — В.2 имеет плотный образ. Доказательство. Нужно доказать, что сужения на Q элементов пространства Ss(A,0) плотны в SP(A, Q) по норме пространства HP(Q, Е). Однако поскольку граница области Q регулярна, то S(A, 1) плотно в SP(A, Q) по норме HP(Q, Е) (см. [61, гл. 4]). С другой стороны, так как дополнение Q не имеет компактных связных компонент в О, то по теореме Рунге S{A, О) плотно в S(A, Q) (см. [61, теорема 11.26]). Поскольку S(A, О) С SS(A, О) и своя топология в S(A, О) сильнее, чем индуцированная из Hs(0, Е), то мы получаем требуемый результат. Из доказательства леммы видно, что следует понимать под словами "регулярная граница". Если р т, то "регулярная" - значи любая. Если же р т, то нужно, чтобы дополнение О, в каждой граничной точке было достаточно массивным. Более точную характеристику читатель может получить из книги [61, гл. 4]. Лемма 2.1.6.
Оператор L : Н\ —» Ні иньективен. Доказательство. Пусть и Є Ні и Lu = 0. Это означает, что решение и Є S(A, О) обращается в нуль на непустом подмножестве Q области О. По свойству 1.1.1, и = 0 всюду в О, что и требовалось. Однако наиболее важным свойством оператора L, ввиду примера 2.1.4, является следующее. Лемма 2.1.7. Оператор L : Hi — Нъ вполне непрерывен. Доказательство. Необходимо показать, что оператор L переводит всякое ограниченное множество в предкомпактное. Пусть К С Hi - ограниченное множество, т.е. найдется такая постоянная С 0, что w С для всех и Є К. Образ К при отображении L, т.е. L(K), предкомпактен, если из любой последовательности {VJ} С L(K) можно извлечь подпоследовательность {vjk} сходящуюся в Я2- Однако, если {VJ} С L(K) то Vj = uj\n, где {UJ} С К. Последовательность {UJ} ограничена в гильбертовом пространстве Hi, значит из нее можно выделить подпоследовательность {%.}, слабо сходящуюся к некоторому элементу и Є Hi. Тем более {ujk} сходится KUB топологии пространства Т (0, Е). Воспользуемся теперь теоремой Стильтьеса-Витали (см. [71, 4.4.2]), в силу которой {щк} сходится к и в топологии пространства С О, Е). Положим v = щп, a Vjk — Ujk . Тогда v Є Я2 и ivjk} сходится к v в Я2, что и требовалось доказать. Теперь мы можем сформулировать основной результат о существовании нужного базиса с двойной ортогональностью. Теорема 2.1.8. Если 1 s О - открытое множество с регулярной границей, дополнение которого не имеет компактных связных компонент в О, то в пространстве Ss(A,0) найдется такой ортонормиро-ванный базис {bj}f=i, сужение которого на Q является ортогональным базисом в SP(A,О). Доказательство. Мы построим его таким образом, чтобы получить дополнительную информацию о соответствующей задаче на собственные значения. Пусть 7 - оператор ортогонального проектирования на Ні в Hs(0,E).
Из внутренних априорных оценок для решений эллиптических систем вытекает, что пространство Hi (как, впрочем, и Я2) является гильбертовым пространством с воспроизводящим ядром /С (см. [90]). Следовательно, 7 - интегральный оператор с ядром К.(х,у) Є С%(ОхО,ЕИЕ). Если {ej}f=l - какой-нибудь ортонормированный базис в SS(A,D), то для всех х Є О имеем )С(х,.) = Y jLie){x) ej(-) гДе РЯД сходится по норме Hs(0,E Е). Как ряд (матричнозначных) функций двух переменных (х, у) Є О х О он сходится равномерно на компактных подмножествах ОхО. Итак, 7Гяги = (и, fC(x, .))яв(о,Е) (и 6 Hi). Теперь уже простые вычисления показывают, что оператор VL : Hi - Н\ является интегральным. Именно, где Хц - какое-нибудь разбиение единицы, подчиненное счетному локально конечному открытому тривиализующему координатному покрытию {Up}, состоящему из относительно компактных множеств. Согласно леммам 2.1.5, 2.1.6 и 2.1.7, и результатам примера 2.1.4 сужение оператора L L на Hi является инъективным, компактным и самосопряженным оператором в Н\. Поэтому, если обозначить через {bj} счетную полную ортонормированную систему собственных векторов оператора L L в Hi (отвечающих собственным значениям {Xj} С [0, а]), то {bj} суть ортонормированный базис пространства Щ, a {Lbj} является ортогональным базисом в Hi Таким образом, {bj} и будет искомой системой с двойной ортого нальностью. D Следствие 2.1.9. Пусть А Є Din?m(r - F) - "квадратный" эллиптический оператор, обладающий свойством единственности 1.1.1 на X, a Q ( = О ё X - открытое множество с регулярной границей, дополнение которого не имеет компактных связных компонент в О. Если hi Є SP(A, Q) - заданное сечение, то найдется сечение hi Є SS(A, О), совпадающее с hi в Q в том и только том случае, когда YlJLi 1%( 2) 2 со- Более того, если такое сечение hi существует, то hi = Yl%zi j(h2)bj, где ряд hi сходится не только в Hs(0,E), но и в
Замечание о "квадратных" системах
Если оператор А не является переопределенным, то это существенно облегчает задачу. Пусть оператор А1 обладает свойством единственности 1.1.1. Тогда А имеет правое фундаментальное решением, скажем, К Є PsDiff_m(b), а значит, Kf Є Hs+m(E,D) для / Є Hs(EhD) (s 0) (см., например, [51, 1.2.3.5]). Кроме того, так как s 0, то t(Kf) Є J Hs+m-hi x/2{E \dD), а задача Коши 2.3.1 сводится к однородной задаче Коши при этом и = TZf + v, если однородная задача Коши разрешима. Таким образом, для "квадратных" систем естественно рассматривать однородную задачу Коши. Задача 2.3.12. Пусть s Є Z+, а щ Є Яв- _1/2(Г, Е ) (0 j т — 1) - заданные сечения расслоений Е над Г. Требуется найти сечение и Є SS(A, D) такое, что выражения BjU (0 j т—1) имеют слабые предельные значения BjUp на Г, удовлетворяющие Bjiip = Uj Итак, в этом параграфе мы рассмотрим эллиптический оператор А такой, что А и А обладают свойством 1.1.1 При сформулированных условиях оператор А имеет двустороннее фундаментальное решение на X. Другими словами, существует такой оператор С Є фйо-гп{Е1 -+ Е), что АС = 1 и С А = 1 на С (Е). Используя "начальные" данные задачи 2.3.12, построим интеграл Грина. Именно, через uj Є Hs bi ll2{dD, Е) (0 j т — 1) обозначим какие-нибудь представители сечений Uj. Положим и = uj и Ясно, что потенциал Q[u) удовлетворяет AQ{u) = 0 всюду в X\dD и имеет конечный порядок роста вблизи поверхности 0D. В частности, Теорема 2.3.13. Если граница области D достаточно гладкая, то для разрешимости задачи 2.3.12 необходимо и достаточно, чтобы интеграл Q{u) продолжался с 0+ на всю область О до решения из Ss(A,0). Доказательство. Аналогично доказательству теоремы 2.11.3. Теорема 2.3.13 уже сформулирована таким образом, что напрашивается применение теории, изложенной в 2.1. Пусть Q - некоторая относительно компактная подобласть 0+. Поскольку О, 0+, то сужение на Q интеграла Грина G(u)+, определенного равенством (2.3.7), принадлежит пространству Я2 = SP(A, Q) для любого р 0. Следовательно, условие того, что Q(u)+ продолжается из 0+ на всю область О до решения класса Н\ = Ss(A,0), можно получить, используя подходящую систему {&„} в Ss (А, О) со свойством двойной ортогональности (см. 2.1). Как и выше, для элемента # Є #і обозначим через cv($) {у = 1,2,...) его коэффициенты Фурье относительно ортонормированной системы {&„} в #1, т.е. cv($) = (#А)яг А для элемента $ Є Я2 через kv($) {у = 1,2,...) - его коэффициенты Фурье относительно ортогональной системы {%,} в %, т.е. MS) = iJgntfc Теорема 2.3.14. Если граница области D достаточно гладкая, то для разрешимости задачи 2.3.12 необходимо и достаточно, чтобы Доказательство. Аналогично доказательству теоремы. 2.3.5. Пусть, как и прежде, {kv{Kс(., у))} - коэффициенты разложения фундаментальной матрицы Кс{.,у) (у Є 1) в ряд Фурье по системе {Lbv}. Введем в рассмотрение следующие ядра &N\ определенные для Лемма 2.3.16. Каков бы ни был номер N = 1,2,... , ядра C N) Є Сіос(ЕШ Еі) удовлетворяют уравнениям A(x)&N\x,y) = 0 по х Є О и A (y)(N\x, у) = 0 по у Є Х\Г2 всюду, за исключением диагонали {х = у}. Кроме того, С (.,у) —У 0 по норме пространства Hs(0,E S (El)y) равномерно по у на компактных подмножествах X\Q, и даже X\Q, если s т — п/2. Теорема 2.3.17 (Формула Карлемана). Для любого сечения и Є SS(A, D) справедлива формула: 2.4.1.
Примеры для оператора Лапласа Рассмотрим следующую задачу. Задача 2.4.1. При каких условиях на функции f є C{D), WQ Є С1 (Г) и ші Є С(Г) найдется функция w Є C D U Г) П С2( ) такая, что Хорошо известно, что уравнение Пуассона является частным случаем уравнений колебания и диффузии (для стационарных процессов), поэтому задача 2.4.1 имеет различные физические интерпретации. Например, ее можно прочитать следующим образом: по заданным интенсивности источника тепла / в объеме D, распределению температуры wo и потоку тепла щ на куске Г С dD, определить, если возможно, температуру и в каждой точке D. Так как А обладает двусторонним фундаментальным решением, то эта задача легко сводится к следующему варианту задачи 2.3.12, когда А = Д(") - оператор Лапласа в Мп, Во = 1, а В\ = -j . Задача 2.4.2. При каких условиях на функции щ Є С1 (Г) и щ Є С(Г) найдется функция и Є Cl{D U Г), гармоническая в D и такая, что сужение на Г функции и и ее нормальной производной равны щ и щ соответственно. В самом деле, обозначим через ап площадь единичной сферы в Rn, через (fn{y) - ядро стандартного (двустороннего) фундаментального решения оператора Лапласа в Еп: а через Vg(x) - объемный потенциал функции g Є L2(D): Если, например, Г Є С2, а / принадлежит пространству Гельдера C 7(-D), то, согласно классической теории потенциала (см., например, [141, следствие 2.3.11]), Vf Є C2,7(.D), а задача 2.4.1 эквивалентна задаче 2.4.2 с щ = гио ( /)Г, Щ = w\ — f\T- Поэтому ниже мы будем изучать задачу 2.4.2. Задача 2.4.2 и задача Коши для голоморфных функций (см. 2.4.3) являются, пожалуй, наиболее изученными вариантами задачи Коши 2.0.1 (ср. [39], [40], [41], [47] и др.). Эта задача часто встречается и в приложениях. Так, например, Лаврентьев [41] указывал на применение задачи Коши для гармонических функций при интерпретации данных электро-геологоразведки. Пусть О - ограниченная область в 1п и Г - замкнутая гиперповерхность, делящая ее на две связные компоненты: 0+ и 0 = D, и ориентированная как граница 0 .
Предположим, что функции щ, щ - суммируемы на Г. Тогда определены соответствующие интегралы Грина: G(euj) = jT {y)dlfn{Q У) - ui(v) Pn{x - у)) ds(y) (x Є 0\Y). Ясно, что G(UJ) гармоничны всюду вне Г; пусть (/(Uj) = G(Uj){0±. Теорема 2.4.3. Пусть Г Є С2, а и0 Є С1 (Г) П LX(T) и щ Є С(Г) ПІ/1(Г) - заданные функции на Г. Тогда для разрешимости задачи 2.4.2 необходимо и достаточно, чтобы интеграл G(Uj)+ гармонически продолжался из 0+ на всю область О. Доказательство. Вытекает из теоремы 2.3.13 и леммы 1.3.6. D Пример 2.4.4. Пусть Г - кусок гиперплоскости {хп = 0} в Шп. Тогда, если щ = 0, то функция Q{UJ) является четной относительно хп ф 0, а если щ = 0, то нечетной. Следовательно, если одна из функций Uj (0 j 1) равна нулю, то интегралы (/(itj) гармонически продолжаются через Г одновременно. Так как их разность на Г равна щ, а разность их нормальных производных равна «і, то из теоремы 2.4.3 вытекает известное утверждение Адамара (см. [2, с. 31]). Именно, если одна из функций щ (0 j 1) есть нуль, то для разрешимости задачи 2.4.2 необходимо, чтобы другая функция являлась вещественно аналитической. Пусть теперь О = BR- шар с центром в нуле радиуса 0 R со, а Г - замкнутая гиперповерхность, разбивающая его на две связные компоненты (0+ и 0 = D) таким образом, что О Є О4", и ориентированная как граница 0 . В этом случае мы построим базис с двойной ортогональностью в подпространстве Ss(A(n\Bji) пространства HS(BR) (s 0), состоящем из гармонических функций. Ключевую роль в данном параграфе играет следующая лемма. Пусть {hu } - множество однородных гармонических многочленов, образующих полную ортонормированную систему в L2{dB\) ( {h LD } - сферические гармоники), где и - степень однородности, а г - номер многочлена степени v в этом базисе. Пределы, в которых изменяется индекс г (в зависимости от v) известны. Именно, 1 г J {у), где J (?) = (П+2 (п-П2)Г 3)! Для п 2 и і/ 0 (см. [57, с. 453]). Если я = 2, то, очевидно, J(0) = 1, J(v) = 2 для и 1. Мы построим базис с двойной ортогональностью с помощью системы {КІ. }.
