Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Причинные методы теории источников 17
1. Физические источники. 18
2. Скалярные частицы. Вакуумная амплитуда. Основные постулаты теории. Вынужденное излучение . 19
3. Частицы спина I. Фотон. 28
4. Частицы спина 1/2 32
5. Поля. Действие. 35
6. Электродинамика. Скелетное приближение. 39
7. Матричные элементы. 45
8. Учет высших процессов. Обобщенные источники. Двухчастичный обмен. Эффективные источники . 47
9. Модификация фотонной функции распространения. 50
ГЛАВА II. Пространственно-временная картина уравнений для полных функций Грина . 55
1. Локализуемость обобщенного источника 57
2. Модификация обобщенного источника 60
3. Полный фотонный пропагатор 62
4. Спектральность функции Гелл-Манна - Лоу 63
5. Асимптотика фотонного пропагатора при GL 69
6. Сравнение с уравнениями квантовой теории поля 74
ГЛАВА III. Приложение метода для описания свойств адронов 77
1. Нестабильные частицы. Полный пропагатор О -мезона 77
2. Электромагнитный формфактор пиона. Аналитические свойства в модели векторной доминантности 84
3. Асимптотика электромагнитного форм-фактора пиона 87
4. Низкоэнергетические теоремы, структурные параметры пиона 88
Литература 93
- Скалярные частицы. Вакуумная амплитуда. Основные постулаты теории. Вынужденное излучение
- Учет высших процессов. Обобщенные источники. Двухчастичный обмен. Эффективные источники
- Сравнение с уравнениями квантовой теории поля
- Электромагнитный формфактор пиона. Аналитические свойства в модели векторной доминантности
Введение к работе
Теория источников была предложена Ю.Швингером в 1966 г. [І] как обобщение операторной теории поля и, одновременно, аналитической теории «S -матрицы, имещее целью дать описание физики высоких энергий математически строгое и основанное на минимальном числе постулатов с одной стороны и тесно связанное с экспериментом с другой.
Новая теория дала тот самый адекватный физике формализм, в котором отсутствуют операторные поля, адиабатическая гипотеза, ультрафиолетовые расходимости, который имеет прозрачный переход к нерелятивистской квантовой механике, к классической механике. О необходимости такого формализма в разное время много говорилось / см., например, [2] /.
Представляется естественным, что область применимости современной теории источников вышла далеко за пределы физики элементарных частиц и простирается от электродинамики сплошных сред и теории сверхтекзгчести до супергравитации. К обзору применений и достижений теории источников мы и перейдем.
Исторически первым объектом применимости теории источников была квантовая электродинамика [3 - б]. Здесь были воспроизведены все достижения квантополевого подхода в вычислении наблюдаемых, причем развитые методы оказались столь мощными и одновременно простыми, что позволили провести наглядный /ручной/ расчет аномального магнитного момента электрона с точностью до е [7] , амплитуду комп- : тоновского рассеяния до е [в] . Амплитуда ее рассеяния была рассчитана до е6 [э] . Было исследовано интересное явление возникновения второго заряда" [ю] в скалярной эле - 5 ктродинамике [її] в теории без расходимостей. К такому нетривиальному следствию привело условие совпадения однократной и двойной спектральных форм для амплитуд рассеяния вперед. Рассматривались также Т- N взаимодействия в высших порядках [l2J .
Изучение аналитических свойств амплитуд и трехточечных функций Грина привело к конструированию однократных спектральных форм [б,6,13] . Значительным успехом явилось доказательство двойных спектральных форм [3,5,14] для амплитуд рассеяния , так называемого представления Мандельста-ма [іб] . Это доказательство имеет простой физический смысл, не содержит обычно употребляемой сложной математики не в ущерб строгости. Здесь были развиты мощные методы исследования аналитических свойств амплитуд, аномальных порогов [16,17] сравнения двойных и простых спектральных форм [9,11, 16,18] .
Естественно и просто теория источников описывает движение заряженных частиц в однородных внешних электри-чеческом и магнитном полях. Эта проблема рассматривалась еще в основополагающей работе Швингера [l9j . Здесь был развит метод точных функций Грина, явившийся одним из генетических корней теории источников. При использовании этой техники были воспроизведены рассчеты синхротронного излучения [20] , найдены квантовые поправки [2l] к нему. Впервые были исследованы и рассчитаны эффекты рождения электрон-позитронных [22]и нейтринных [23] пар фотонами, движущимися в сильных важные полях. Эти эффекты имеют астрофизические приложения, особенно в физике пульсаров [24] .
Методы теории источников дали возможность впервые рассчитать наблюдавшийся экспериментально тонкий эффект совместного синхротронного и черенковского излучения [25/ в классическом и квантовом подходе. Для нужд создателей новых типов детекторов частиц, основанных на регистрации излучения в оптическом диапазоне, было всесторонне исследовано явление интерференции переходного излучения [2б] частицы при прохождении пластины с черенковским излучением [27]. Зависимость интенсивности суммарного излучения от энергии частицы имеет резкие пики и провалы, что и составляет основу работы такого детектора. Еще одним исследованием, имеющим важные следствия для эксперимента, был рассчет рождения пар виртуальным синхротронним излучением J28], другой областью применимости теории источников в макроскопической квантовой электродинамике стала разработка полной теории эффекта Казимира [29] , т.е. рассчет ван-дер-ваальсовых сил между макроскопическими диэлектриками или проводниками в зависимости от от их конфигурации, расположения и температуры. Здесь вступила в игру важнейшая особенность теории источников - описание изучаемых объектов на экспериментально контролируемых расстояниях /в противоположной асимптотической постановке задачи, характерной для теории поля/. Это дало возможность рассмотреть релятивистскую" квантовую задачу с классическими граничными условиями, оказавшуюся весьма характерной для эффекта Казимира. Отметим, что в квантовой теории поля имеются зачастую непреодолимые трудности в расчете конкретных конфигураций [24]. При использовании метода функций Грина фотона при заданных граничных условиях в теории источников были рассчитаны силы между двумя параллельными пластинами из диэлектрика или проводника при произвольной температуре [зо], найдена казимирова энергия сферической полости в проводнике [зі] , рассчитаны силы в сверхпроводящей цилиндрической полости \_32j. Здесь были впервые решены многие проблемы, поставленные еще Казимиром [29]. Неожиданно было выяснено математическое родствтэ задачи о силах Казимира и проблемы скрытой теплоты и поверхностного натяжения в жидкостях типа жидкого гелия [зо]. Оказалось, что эти эффекты в значительной мере могут быть оъяснены с позиций макроскопической кванровой электродинамики.
Попытка симметризовать электродинамику по электрическому и магнитному зарядам естественно приводит /на языке теории источников/ к дионной модели [зз]. Дионн -элементарные объекты, несущие электрический и магнитный заряды, причем электрический и магнитный заряды дионов равны
- І/З , -1/3 и 2/3. Этим дионы очень похожи на кварки. Это сходство еще больше увеличивается, если предположить, что современный термин "цвет" тождественен термину "магнитный заряд" [34]. Нейтральные в магнитном отношении адроны
- это бесцветные адроны кварковой модели. Рассмотрение дионов в рамках объединпннои теории электромагнитных и слабых взаимодействий [35j привело к предсказанию семейства V-частиц [35.36І и расчету различных каналов их распадов [Ї37].
В теории источников много занимались проблемой магнитного монополя [4,38] . В частности, Швингер показал, что предположение о том, что магнитный заряд Вселенной равен нулю /"симметричная" точка зрения/ приводит к выводу, что минимальный магнитный заряд вдвое превышает значение минимального магнитного заряда, предсказанное Дираком Г 39]. Оказалось, что именно такая величина магнитного заряда /и кратные ей/ обеспечивают лоренц-инвариантность амплитуды рассеяния электрического заряда на монополе f40j
Детально было проанализировано и просчитано нерелятивистское [41] и классическое релятивистское [42] дион-дион-ное рассеяние.
Особого внимания заслуживает новый подход [43] к ренормализационной группе [44, 45] . В отличие от традиционных методов получения уравнений ренормгрушш /уравнений Гелл-Манна - Лоу/, основанных на явном введении обрезающего расходимости параметра /или ему эквивалентных/ и последующем утверждении, что физические величины не зависят от такого параметра, теория источников дает возможность вывести основные постулаты ренормгруипы и уравнение Гелл-Манна - Лоу из рассмотрения аналитических свойств полных функций Грина, В частности, здесь был получен замечательный результат, что в электродинамике функция Гелл-Манна - Лоу совпадает, с точностью до множителей, со спектральным весом фотонного пропагатора в фазовом представлении [43] . Здесь опять новый уровень физического понимания был достигнут за счет свободного от расходимостей формализма теории источников.
Важность и плодотворность совместного рассмотрения аналитических и ренормгрупповых свойств отмечалась также в работах [46] .
В работе [47J дан основанный на подходе 43] анализ спектральных и ренормгрупповых свойств "модели Швин-гера" [48J . Модель представляет собой электродинамику в двух измерениях - одно пространственное и одно временное. Причем фермионы предполагаются безмассовыми. Полный фотонный пропагатор в первом же приближении совпадает с точным. При этом у фотона появляется масса за счет исчезновения фермионов
Целью пионерской работы [48] было построение примера ренормируемой теории с массивным калибровочным полем. Позднее рассматривался случай массивных фермионов. Точно решаемая "модель Швингера? вызвала огромный интерес и обсуждается при рассмотрении различных механизмов динамической генерации масс [49J , конфайнмента кварков [50J , калибровочных теорий на решетке [j5l] , структуры вакуума ( 52] , проблемы связанных состояний [ьз\ , термодинамики [54].
Однако, здесь для нас существенно, что в пионерских работах [48] модель была сформулирована на языке, который затем стал языком теории источников. "Модель Швингера" генетически предшествовала теории источников. Не случайно последняя унаследовала многие привлекательные черты и проблематику модели. В частности, на основе механизма динамического нарушения симметрии была развита /в теории источников/ объединенная теория электромагнитных и слабых взаимодействий [35J . Вопрос конфайнмента кварков рассматривается в упомянутой дионной модели. Теория массивного калибровочного поля и генерации массы в подходе теории источников подробно изложена в [ьъ] , а применительно к модели векторной доминантности в [56,57j .
Плодотворным оказалось применение теории источников к задаче о вычислении квантовых поправок к классическому лагранжиану электромагнитного поля [58] , построении эффективного потенциала в квантовой электродинамике [59}, нахождении эффективного лагранжиана квантовой электродинамики с учетом конечных температур и внешних полей [бО]. Такая плодотворность обусловлена упоминавшейсяпрос-тотой перехода к классическому рассмотрению в теории источников.
Интересное применение теория источников нашла при описании сверхизлучательной способности активных сред и когерентных фотонных состояний [б2]. Сверхизлучение испускается средой, имеющей инверснзгго заселенность уровней /отрицательная температура/ и обладающей аксиальной симметрией. Излучение происходит вдоль оси симметрии. Симметрия может быть обусловлена какивнутренними" причинами /например, строением кристаллической решетки/ , так внешними". Например, это может быть стеклянная цилиндрическая трубка со смесью газов, причем излучение происходит вдоль оси трубки. В этом последнем случае имеется квантовая система /газ при отрицательной температуре/ с классическими граничными условиями /стенки трубки/ .Здесь легко усмотреть аналогию с казимировским вакуумом в классической полости, сверхтекучей жидкостью в классическом сосуде. Уже отмечалась большая результативность рассмотрения таких квантовых задач с классическими граничными условиями в теории источников.
Общие методы теории источников применялись для описания гравитации [71, 4] как конформно-ковариантной теории безмассовой частицы спина два /гравитона/ . В приближении слабого гравитационного поля /линеаризованная квантовая гравитация/ были получены все наблюдаемые эффекты [4, 72, 73"} , причем в некоторых случаях имеется различие с предсказаниями общей теории относительности, однако расхождение не выходит за пределы экспериментальных ошибок. Здесь были выполнены очень простые рассчеты квантово электродинамических лоправок к гравитационнымвзаимодей-ствиям электрона f74] и фотона [75І . В случае сильного гравитационного поля непротиворечивость квантового описания требует 4, 75] /в теории источников/ введения искривленного пространства. Такая теория представляет собой обобщение общей теории относительности, отличаясь от последней в первую очередь тем, что это в явной форме квантовая теория. Такое построение стало возможным благодаря важному преимуществу теории источников - ее формализм не делает различия между квантовым и классическим описанием. Та или иная /квантовая или классическая/ специфика выявляется лишь при соединении общего формализма с конкретными начальными /граничными/ условиями. Например, заданием масштаба рассматриваемых энергий-импульсов или времен-расстояний.
Следует отметить, что не являясь /разумеется/ единой теорией всех фундаментальных взаимодействий, теория источников , тем не менее, описывает все взаимодействия, в частности, эдектромагнетизм и гравитацию с единой точки зрения ]73\ аналогичным аппаратом. В этом смысле она является воплощением желания Эйнштейна единообразно описать различные взаимодействия, имея в виду дальнейший переход к объединенным теориям Интересен подход теории источников к вопросам суперсимметрии и супергравитации. Еще в первой работе l] по теории источников был сформулирован мультиспинорный способ описания частиц произвольного спина и типа статистики, представляющий собой существенное обобщение рассмотрения спина 3/2 Рариты - Швингера 77] . После подробного изучения такого способа [4] были построены [78] преобразования, переводящие фермионы и бозоны друг в друга. Алгебра таких преобразований была применена в работах 79] при построении конструктивного подхода к супергравитации - теории взаимодействующих гравитонов и гравитино, а также при исследовании связи таких взаимодействий с гравитационными.
Методы теории источников широко применялись J80] при изучении треугольных аномалий /напомним, что в теории источников отсутствуют традиционные расходимости , в частности, и таких диаграмм/ в объединенных теориях электро - 14 магнитных и слабых взаимодействий. Здесь рассматривались радиационные поправки к треугольным аномалиям, магнитный момент мюонов и "W" - бозонов, применения к процессам радиационного рождения пионов на нуклонах, расп адам нейтральных пионов и каонов. Отметим, что данное здесь описание двухфотонного распада &ц- мезона встречает трудности в обычном подходе. Сходные методы применялись для описания в теории источников нелинейностей, связанных с зависимостью магнитного момента электрона от сильного внешнего поля [8Ї] . Поляризация электронов в однородном магнитном поле рассмотрена в [82] .
Интересна работа [83] , в которой преимущества теории источников демонстрируются на примере точно решаемой модели Ли.
Особую группу составляют работы [84] , в которых теория источников применяется для описания глубоко неупругого рассеяния различных лептонов на нуклонах, высокоэнергетической электрон-позитронной анигиляции, мезон-нуклонного рассеяния. Здесь многие результаты, традиционно ассоциируемые с кварк-партонными моделями, были получены без предположений о структуре адронов.
Вместе с тем в теории источников успешно описываются модели адронов типа мешков [85] . Здесь рассмотрение свободных кварков, запертых в сферической полости, оказывается аналогичным задаче Казимира [29 - 32"] , т.е. квантовой системе с классическими граничными условиями.
Остановимся на содержании диссертации.
Глава I посвящена изложению одного из рассчет-ных методов теории источников Швингера - причинного. Здесь введены важнейшие понятия теории - физический источник и вакуумная амплитуда - , сформулированы постулаты теории. На простейших примерах иллюстрируются возможности и особенности рассчетных методов теории источников, вычисляются матричные элементы, демонстрируется отсутствие ультрафиолетовых расходимостей. Здесь же вычисляется важная для дальнейшего первая поправка к фотонному пропагатору в электродинамике.
В главе II исследуется вопрос о совместности уравнений для полных функций Грина со спектральными представлениями этих- функций. Этот вопрос приобрел важнейшее значение после недавнего обнаружения противоречивости точных решений таких уравнений со спектральными свойствами в теоретико-полевых моделях f ц Г88І и Весса- Зумиво [89] . Причем в этих работах отмечена тенденция к сохранению в точных решениях тех нефизических сингулярностей,- которые свойственны приближенным выражениям для полных функций Грина [90j. В этой главе развит модельный метод получения уравнений для полных функций Грина, точные и приближенные решения которых свободны ют не физических сингулярностей. Причем, приближенные решения /в случае электродинамики/ аналиг тичны по константе связи. Рассмотрение проводится на примере простейшего случая .фотонного прапагатора. Здесь же дается исследование свойств метода, асимптотик фотонного пропагатора и проводится сравнение предсказаний с операторной квантовой теорией поля. Глава III посвящена приложению развитых методов к описанию адронов. На примере ро-мезона исследуются уравнения для полного пропагатора нестабильных частиц Показано, что учет петлевых эффектов в модели векторной доминантности позволяет правильно описать электромагнитный формфактор пиона. Рассмотрены .аналитические свойства и -асимптотика электромагнитного форм-фактора пиона, структурные параметры пиона в низкоэнергетических процессах.
Отличительной особенностью рассмотрения является совместное использование вычислительного аппарата, аналогичного теориш возмущений в квантовой теории поля, и техники, заимствованной из метода дисперсионных соотношений.
В Заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.
Эти результаты опубликованы в рвботах ; [91 - 9б].
Скалярные частицы. Вакуумная амплитуда. Основные постулаты теории. Вынужденное излучение
В теории элементарных частиц можно выделить два подхода : квантовую теорию поля и теорию S - матрицы. Основным понятием первой является поле, описывающее некоторое возбуждение с заданными квантовыми числами. В случае слабой- связи, как, например, в электродинамике, соответствие между полем и частицей достаточно тесное. Для сильно взаимодействующих систем такое соответствие весьма условно. Это провоцирует феноменологическую точку зрения теории «S -матрицы, где фундаментальным понятием является частица, а динамическим принципом служит аналитичность по комплексным импульсным переменным.
Теория источников Швингера представляет новый подход к физике частиц. Он похож на теорию поля, в том смысле что рассматривает развитие процессов в пространстве-времени. Однако здесь нет операторных полей и токов. Основными, как и в теории S -матрицы, являются хорошо определенные экспериментальные понятия, но не требуется аналитичность в импульсном пространстве. Рассчеты в квантовой электродинамике выполняются без появления ультрафиолетовых расходимо-стей и перенормировок . Это означает, что здесь удалось избавился от ненужной теоретикополевой гипотезы о возможности детального пространственно-временного описания включая и расстояния, котоые, очевидно, не вовлекаются в рассматриваемые явления. Другими словами, теория источников не требует, чтобы ее понятия были применимы там, где они заведомо не имеют смысла. Дисперсионные соотношения, характерные для теории S -матрицы, здесь выводятся из хорошо понятных физических принципов, а не из абстрактных математических требований. По выражению Швингера, новая теория "скупа на гипотезы и щедра на предсказания".
Понятие "частица" сейчас уверенно распространяется на весьма короткоживущие возбуждения /резонансы/. Для того, чтобы изучать частицу ее сначала необходимо создать. Это относится и к стабильным частицам, приготовляемых в ускорителях. Более общим образом, все такие приготовления можно рассматривать как акт столкновения, в котором необходимые свойства передаются от других частиц к той, которой мы интересуемся. Типов столкновений, приводящих к одному результату /одной и той же частице/ может быть бесконечно много. Все их можно рассматривать как источник частицы. Физический источник - это любой динамический процесс, приводящий к появлению частицы с заданными характеристиками -Старая библейская проблема о том, что было вначале, в теории источников решается просто - вначале был источник. Основным и фундаментальным понятием теории является не абстрактное поле, не свободная частица, а источник - акт взаимодействия /в частности, процедура детектирования или измерения/ приводящий к рождению или уничтожению частиц в определенном квантовом состоянии и реакциям между ними.
При такой идеализации деятельность источника характеризуется заданием пространственно-временной области, в которой действует источник и которая количественно характеризуется некой функцией S (ос) , и заданием способности источника порождать различные импульсы, которая характеризуется другой функцией о(/у . Теория источников является релятивистской /принимается Эйнштейновская относительность/ и квантовой /принимается интерференция амплитуд и вся вероятностная интерпретация/
Исходя из этого можно показать [4 J , что обе функции связаны преобразованием Фурье Рассмотрим нейтральную стабильную бесспиновую частицу с массой № . Сначала ограничимся случаем слабого источника, т.е. таким, когда можно пренебречь процессами многочастичного рождения. Рассмотрим способность источника попрождать частицы с импульсом, лежащим в интервале d р вблизи значения р . Инвариантная , мера в импульсном пространстве Функция скалярного источника KC/v определяется в терминах амплитуд рождения и уничтожения где предполагается, что источник высвобождает ;и поглощает импульс . I О-/ представляет собой вакуумное состояние /т.е. состояние , в котором отсутствует рассматриваемая частица/ до действия источника.
Теория источников строится на двух основных принципах - [-4І . Это принцип равноправности всех точек пространства-времени-, выраженный евклидовым постулатом, и принцип причинности, который сводится к требованию, чтобы для любой реальной частицы или системы реальных частиц можно было указать ограниченную /локализованную/ в пространстве -времени область рождения и» соответственно, поглощения. Такие области являются носителем функции источника в координатном пространстве. Область поглощения локализованного в будущем по отношению к области рождения.
Учет высших процессов. Обобщенные источники. Двухчастичный обмен. Эффективные источники
Например, учет обмена безмассовыми фотонами между фотонными источниками /рис.1-7,а/ приводит к выражению для функции Грина фотона
Однако, как мы видели в б, введение в рассмотрение обобщенных фотонных источников при -/р у/77 допускает возможность обмена электрон-позитронными парами, что приводит к поправкам в выражении (Ї.60) . Эти поправки должны быть представлены в виде слагаемых к выражению (і.бО) , поскольку вакуумные амплитуды соответствующие процессам , изображенными на рисунках 1-7 а и б , перемножаются. Процесс испускания электрон-позитронной пары фотонным источником как раз и обусловлен примитивным взаимодействием. Такой механизм называется двухчастичным обменом и очевидно, является частным случаем обмена несколькими частицами или даже связанными состояниями /атомами/ частиц.
Для того, чтобы получить явное выражение для эффективного источника электрон-позитронной пары обобщенным фотонным источником за счет примитивного взаимодействия поступим следующим образом. Рассмотрим вклад в вакуумную амплитуду от обмена двумя невзаимодействующими электронами /позитронами/ , испускаемыми простым источником 71 Для этого из общего экспоненциального выражения (1.24) для вакуумной амплитуды нужно оставить только слагаемые квадратичные по действию, то есть содеряащие четыре источника С другой стороны, примитивное взаимодействие вносит в вакуумную амплитуду вклад Сравнивая (1.62) и (і.бЗ) , получаем что означает, что эффективным источником пары невзаимодействующих между собой фермионов является электромагнитное поле В лоренцевой калибровке поле связано со своим источником уравнением (і.45) Неравенство означает, что поле i/f2 не обладает характеристиками, описывающими его распростране ние , а значит, локализовано в микроскопической окрестности источника . Таким образом, поле не перекрывается с достаточно удаленным детектором . Чтобы распространить понятие частицы на случай, когда соотношение между энергией и импульсом не согласуется с рождением какой-то реальной" частицы, вводят термин "виртуальная частица". Тогда содержание соотношения ( 1.64 ) сформулируется следующим образом: обобщенный фотонный источник может испустить виртуальную частицу, которая быстро превращается /распадается/ в реальную систему частиц. На рисунке 1-7 б такая реальная система без взаимодействия распространяется к удаленному детектору, где происходит акт поглощения, аналогичный акту испускания.
Здесь мы вычислим поправку к функции распространения фотона (і.бр) , обусловленную двухчастичным обменом. Результат будет совпадать с однопетлевой поправкой в кванто- вой теории поля. Рассмотрим причинно упорядоченную пару источник 7?2 и детектор 7?4 . Распространение двух невзаимодействующих фермионов между ними будет описываться квадратичным членом в разложении экспоненты, содержащейся в амплитуде (1.29) , (1.62) :
Сравнение с уравнениями квантовой теории поля
Теория источников строится на двух принципах. [ 4Г . Это принцип равноправности всех точек в пространстве-времени, выраженннй евклидовым постулатом, и принцип причинности, который сводится к требованию, чтобы для любой реальной частицы или системы реальных частиц можно было указать ограниченную /локализованную/ в пространстве-времени область рождения и, соответственно, поглощения. Такая область является носителем функции источника в координатном пространстве. Область поглощения, локализована, естественно, в будущем по отношению к области рождения.
Например, если источником реальной частицы служит столкновение других частиц, то областью испускания является область пересечения пучков исходных частиц. Обобщенный фотонный источник может породить е е пару за счет следующего механизма. Источник испускает виртуальный фотон, который не может распространяться на макроскопическое расстояние, но способен в микроскопической окрестности источника распасться на реальную пару. Локализованность источника реальной пары обеспечена тем обстоятельством, что времени-подобный виртуальный фотон лишен харастеристик распространения / не принадлежит массовой поверхности/ , а значит локализован вблизи фотонного источника.
Проблема локализуемоети подробно обсуждается в 4f5J. Проиллюстрируем ее кратко на примере невзаимодействующих скалярных частиц. Поле f , созданное произвольным распределениєм источников К равно (j.3 ) : Интересуясь вкладом виртуальных частиц, мы зануляем источник на массовом гиперболоиде, что эквивалентно исключению этого гиперболоида из области интегрирования. Из соотношения Сохоцкого следует, что исключение гиперболоида равносильно изменению правила обхода полюсов в пропагаторе: Подтверждает это правило и следующее рассуждение. Очевидно, что вероятность обмена U.I8) виртуальной частицы между источником и удаленным детектором, локализованными во времени-подобных областях равна нулю, поскольку только реальная частица имеет характеристики распространения. Отсюда следует (і.14) , (і.18/ равенство нулю мнимой части квадратичной формы что с учетом (2.і) приводит к правилу (2.2) . Заметим, что равноправное присутствие в теории реальных и виртуальных частиц есть следствие [б] евклидового постулата. Вернемся к обобщенным фотонным источникам. Источник испустил времени-подобный виртуальный, фотон который быстро распался на систему / № I / реальных частиц - электронов и /или/ фотонов. Предположим, что еще не достигнув удаленного локализованного детектора, система IP I рекомбинировала в виртуальный фотон № 2 , быстро распавшийся на систему Р 2. Источником системы Р 2 служит распад фотона № 2. Однако этот источник не локализован, как этого требует принцип причинности, поскольку кинематика эксперимента не дает возможности определить, где /когда/ образовался и распался фотон № 2. Для этого нужен дополнительный детектор. Мы приходим к важному выводу, что порождение и рекомбинация /а в частности, многократное повторение этих процессов/ систем реальных частиц может происходить лишь в : микроскопической окрестности локализованного источника или детектора, то есть эффективный источник реальной системы, образованный обобщенным фотонным источником должен быть локализуемым. Мы переходим к построению выражения для такого источника. Важную роль здесь будет играть правило (2.2), где теперь М будет спектральной массой.
Электромагнитный формфактор пиона. Аналитические свойства в модели векторной доминантности
Отметим, что при формальной подстановке i-{: в это соотношение нарушается условие нормировки Еще раз напомним, что соотношение f2.32) применима лишь для соответствующих области CD на рис.2-2. Поэтому значение d C to) имеет смысл лишь при рассмотрении "низкоэнергетической? формулы типа (2.ЗО) . Таким образом, выражения (2.29) и (2.30 ) являются предасимптотическими /область АВ ниже полюса/. На истинной асимптотике /область CD / -э оо выпалняются (2.Зі) И (2.32). Интересно сравнить наше выражение (2.24) для полного пропагатора фотона с аналогичным выражением в квантовой теории поля [44] : где поляризационный оператор Ж(Ь) , перенормированный в нулевой точке, выражается через функцию I ("Ь) из (2.24) : Рассмотрим для конкретности однопетлевое приближение для 7Г(б) .Тогда выражение (2,33) имеет нефизическую сингулярность /см. 2.30 / при (:- - 4&1 &хр (Зг/о{) . Это ограничивает область применимости по zr выражения (2.33J , в то время как представление (2.24) формально применимо при любых "6 . В предыдущем параграфе мы занимались сравнением обоих выражений при асимптотических значениях /Y/ . Теперь сравним их при не слишком больших . Поскольку оба они аналитичны -по л при о(-0 , имеет смысл сравнить почленно разложение обоих выражений в ряд по ( . Простые, но громоздкие выкладки показывают тождественное совпадение слагаемых обоих рядов в порядках ol , (. , pL . В порядке & и выше имеет место слабое отличие, медленно растущее с увеличением /ч . Такая ситуация позволяет сделать вывод, что предлагаемые здесь методы расчета в квантовой электродинамике сохранят прекрасное согласие с низкоэнергетическими экспериментами.
На примере задачи построения полного фотонного про-пагатора мы -видели, что модельное предположение о локали-зуемости эффективного источника приводит к отсутствию нефизических сингулярностей типа Ландау. Поэтому уравнения для полных функций Грина в электродинамике с необходимостью будут совместны со спектральными представлениями этих функций. Это утверждение, которое в равной степени относится как к точным, так и к приближенным решениям уравнений, совершенно не очевидно в стандартном квантовополевом подходе в электродинамике.
Поскольку нигде не использовалось предположение о малости константы связи, область формальной применимости полученных выражений должна быть очень широкой по сравнению с квантовой теорией поля.
Отход ют фейнмановской диаграммной техники, связанный с выявлением различий в свойствах реальных и виртуальных частиц,; позволил дать явно причинное описание пространственно-временной структуры промежуточных процес- сов в диаграммах. Задача -получения приближений для . в форме Челлена - Лемана ставилась и решалась еще в работах [і00 I0IJ при помощи правила суммирования под знаком спектрального интеграла. Получалось конечное значение 3)/с)0 при г - - «со и неаналитичность оО как функции от при о{ О . Видно, что предложенный в настоящей работе метод, основанный «а явном модельном предположении о локализуемое эффективного источника, которому мы попытались дать физическую интерпретацию, приводит к другим результатам .
Отметим также выявление пространственно-временной структуры радиационных поправок при построении нашим методом уравнений для полных функций Грина.
