Содержание к диссертации
Введение
1 Баллистическая модель для пространственно-коррелированного беспорядка . 12
1.1 Введение 12
1.2 Баллистическая а модель: постановка проблемы и вывод 21
1.3 Корреляционные функции 40
1.4 Свойства модели на разных масштабах 47
2 Баллистическое движение частиц в случайном магнитном поле 67
2.1 Квазиклассическое приближение. Вывод баллистической а модели и ее свойства 70
2.2 Движение частиц в области Ляпунова 84
3 Квантовый биллиард 88
4 Электронно-дырочный дисбаланс в мезоскопических структурах сверхпроводник/нормальный металл 106
4.1 Общая идея и теория 106
4.2 Электронно-дырочный дисбаланс в крестообразной S/N структуре 115
4.3 Аномальная термоЭДС в S/N структурах 126
Заключение 136
- Баллистическая а модель: постановка проблемы и вывод
- Свойства модели на разных масштабах
- Движение частиц в области Ляпунова
- Электронно-дырочный дисбаланс в крестообразной S/N структуре
Введение к работе
Проблематика работы. Понятие мезоскопическая система было введено в физику конденсированного состояния в начале 80-х годов [1] и означает систему, размеры которой больше атомных, но меньше, чем характерная длина неупругих процессов, разрушающих квантовую когерентность. Обычно эти размеры лежат в пределах 10-1000 нм. Особенность мезоскопических систем в том, что достаточно большие размеры таких структур позволяют наблюдать в них явления, связанные с движением большого числа частиц. С другой стороны, неупругие процессы, разрушающие в макроскопических образцах фазовую когерентность, оказываются в них несущественными. Это обстоятельство приводит к качественно новой физике. Физика мезоскопических систем в настоящее время является быстро развивающейся областью теории конденсированного состояния. Несколько новых и ставших уже самостоятельными разделами теории проблем обязаны своим происхождением исследованию этих структур. Самые известные среди них: слабая локализация и локализация Андерсона, квантовый эффект Холла, сверхпроводящие структуры, туннельные приборы и т.п.
Одним из средств, широко используемых в теории конденсированного состояния, является метод функций Грина, основанный на том, что через функцию Грина удобно выражаются многие важные физические характеристики. К сожалению, в большинстве задач эта функция не может быть точно найдена. Поэтому становится важным поиск различных приближенных методов. Одним из таких методов, обеспечивающих
является метод квазиклассической функции Грина.
Метод квазиклассической функции Грина впервые был применен в теории сверхпроводимости и стал одним из самых используемых в этой теории математических средств [2], [3]. Благодаря общности метода можно ожидать, что он найдет успешное применение при исследовании новых задач и в других разделах физики конденсированного состояния и мезоскопических систем.
Один из примеров такого применения - вывод баллистической нелинейной а модели в теории неупорядоченных систем, рассмотрен в первой части диссертации.
Первые неупорядоченные системы стали изучаться в 30-х годах. Основными методами, которые применялись до начала 80-х годов и применяются до сих пор были теория возмущений и теория случайных матриц [4]. Однако оба метода имеют ограниченную область применения. Заимствованный в конце 70-х - начале 80-х годов из теории поля метод нелинейной а модели, сформулированный вначале в рамках метода реплик, а затем на основе суперсимметричной техники, позволил значительно расширить круг задач, которые могут быть исследованы аналитически. Преимущество метода состоит в том, что он, будучи непосредственно основан на конкретном модельном гамильтониане, является столь же универсальным, как и стандартная теория возмущений, не требует каких-либо дополнительных предположений феноменологического характера и в то же самое время позволяет производить расчет эффектов, для рассмотрения которых теории возмущений недостаточно.
Первая нелинейная а модель (в литературе ее часто называют стандартной) была получена в теории неупорядоченных металлов при двух предположениях: 1) ^-коррелированный примесный потенциал; 2) изучаемые масштабы больше длины свободного пробега, [5]. Оба допущения справедливы для достаточно "грязных"образцов. Благодаря заметному успеху, достигнутому в нанотехнологии, стало возможно производить очень
[6]. Движение электронов в подобных образцах является баллистическим, а не диффузионным. Поэтому был поставлен вопрос о новой а модели, которая могла бы правильно описывать систему в баллистическом режиме. Эту модель принято называть баллистической а моделью.
Одна из задач, которую можно исследовать посредством баллистической а модели это задача о случайном потенциале с большой корреляционной длиной. Система с таким потенциалом была недавно реализована на экспериментальной установке с высокомобильными гетероструктурами [7]. Помимо эксперимента задача представляет интерес также и для теории. Например, модель может оказаться полезной при изучении свойств энергетического спектра чистых систем малого объема или квантовых биллиардов, рассматриваемых в теории квантового хаоса. Характерным в этой теории является усреднение по энергетическому спектру. Можно предположить, что это усреднение эквивалентно усреднению по потенциалу с корреляционной длиной, превышающей размеры биллиарда. Последнее позволило бы обосновать непосредственное применение баллистической а модели в теории хаотических систем.
Другой областью применения баллистической а модели является задача о свойствах двумерного электронного газа, находящегося под действием случайного магнитного поля. Задача о случайном магнитном поле рассматривалась и продолжает быть предметом большого внимания как для эксперимента, так и для теории и численного счета [8]-[23]. Основным вопросом в ней является вопрос о локализации электронных состояний. К сожалению, численные данные не дают однозначного ответа на этот вопрос и приводят к противоречивым выводам, а их сравнение представляет непростую задачу с рядом технических сложностей.
Во второй части диссертации рассматриваются мезоскописческие структуры сверхпроводник/нормальный металл (далее кратко S/N) в неравновесном состоянии. Изучению неравновесных свойств S/N систем в
экспериментов был открыт ряд новых и интересных эффектов, которые могут иметь прямое практическое применение. Одним из таких эффектов является эффект изменения знака у критического тока Джозефсона в 4-х терминальной S/N системе и переход контакта в так называемое 7Г состояние [24]. Контакты с обращающимся знаком критического тока или, иначе, 7Г контакты, представляют хорошую реализацию двухуровневой системы и могут иметь в будущем применение как один из элементов квантового компьютера.
Несмотря на то, что имеется большое число экспериментальных и теоретических работ, посвященных неравновесным свойствам S/N структур, оказался почти без внимания так называемый эффект электронно-дырочного дисбаланса (англ. branch imbalance), связанный с нарушением баланса между электронными и дырочными состояниями. Этот эффект в сверхпроводящих структурах стал исследоваться с 70-х годов и наблюдался как в смешанных S/N системах, так и в однородных сверхпроводниках [25]. До недавнего времени рассмотрение электронно-дырочного дисбаланса ограничивалось его влиянием на свойства сверхпроводников. В последних экспериментах основным предметом исследования стали свойства S/N контактов. Существенной особенностью S/N контактов является возможность протекания по металлу сверхпроводящего бездиссипативного тока Джозефсона. Оказалось, что благодаря его наличию изменяются неравновесные хараткеристики нормального металла, например происходит значительное увеличение термоЭДС по сравнению с обычным термоэффектом [26], [27]. Для их полного рассмотрения становится важным учет электронно-дырочного дисбаланса.
Целью работы являлись:
1. Последовательный вывод баллистической о~ модели на основе подхода, использующего метод квазиклассической функции Грина;
3. Проблема применения баллистической а модели в теории квантовых
биллиардов;
4. Применение метода нелинейной а модели в задаче о двумерном
электронном газе в случайном магнитном поле;
5. Аналитическое исследование влияния электронно-дырочного
дисбаланса на неравновесные свойства S/N контактов Джозефсона.
Результаты работы:
1. Представлен последовательный вывод баллистической а модели,
применимой вплоть до масштабов порядка длины волны. В рамках
предложенного вывода возможно рассмотрение неупорядоченных систем с
малой и большой длиной корреляций примесного потенциала;
2. Изучены свойства баллистической <т модели на разных масштабах.
Рассмотрена ее связь с другими а моделями: столкновительной,
диффузионной и нуль-мерной;
Представлен последовательный вывод о модели для задачи о двумерном электронном газе в случайном магнитном поле, справедливой на масштабах, превышающих длину волны. Обсуждено отличие найденной модели от <т модели, выведенной для случайного потенциала, существенное на малых масштабах, и показана их эквивалентность на больших масштабах, на которых система переходит в столкновительный режим. Рассмотрена задача о рассеянии двух частиц в случайном магнитном поле в квазиклассическом пределе и получена оценка для времени, в течение которого частицы движутся в одном поле;
На основе нелинейной и модели вычислена корреляционная функция уровень-уровень для квантовой хаотической системы и получена стандартная формула Гутцвиллера. Исследована и разрешена проблема повторений;
5. Рассмотрена 4-х терминальная крестообразная S/N структура;
вычислен ток через контакт Джозефсона с учетом эффекта электронно-
дырочного дисбаланса и электрическое поле, возникающее в N-элементе
тока между N-резервуарами. Найдена осциллирующая поправка к дифференциальной проводимости цепи, соединяющей N резервуары;
6. Рассмотрен эффект аномальной термоЭДС в S/N структуре, обусловленный протеканием тока Джозефсона и электронно-дырочным дисбалансом. Проведена аналитическая оценка для случая слабого эффекта близости и построена температурная зависимость ЭДС при разных отношениях энергии Таулеса к критической температуре.
Научная ценность. Представленный в первой части диссертации новый метод вывода баллистической а модели позволяет устранить ряд трудностей, возникавших в раннее предлагавшихся схемах, и лучше понять область применимости этой модели для различных задач в теории неупорядоченных систем, квантового хаоса и т.п.
Вторая часть диссертации является дальнейшим развитием аналитических методов исследования неравновесных свойств S/N структур, обусловленных электронно-дырочным дисбалансом. Несколько эффектов, которые могут наблюдаться на эксперименте получены в этой части диссертации впервые.
Структура диссертации. В главе 1 рассмотрена неупорядоченная система с пространственно-коррелированным случайным потенциалом и поставлена проблема вывода баллистической а модели. Представлен последовательный вывод модели, основанный на квазиклассическом приближении, сформулированном для эффективной функции Грина. Показано, что в квазиклассическом приближении она удовлетворяет уравнению типа уравнения Эйленбергера и приведено доказательство, что решение можно представить в виде функционального интеграла, определяющего некоторую суперсимметричную а модель. На основе полученной а модели выведены уравнения для корреляционных функций 2-го и 4-го порядков. Исследованы свойства модели на разных масштабах и продемонстрирована ее связь с а моделями, полученными раннее в
переходе к нуль-мерной а модели.
В главе 2 рассмотрена задача о двумерном электронном газе, помещенном в поперечное неоднородное постоянное магнитное поле. На основе подхода, развитого в главе 1, выведена и построена а модель, применимая на масштабах, превышающих длину волны электронов. Показано и обсуждено ее отличие от аналогичной а модели, полученной в главе 1 для системы со случайным потенциалом. Посредством процедуры пространственного огрубления получена эффективная модель, применимая в режиме столкновений. Показана ее эквивалентность с эффективной столкновительной а моделью для системы с пространственно коррелированным потенциалом.В конце главы рассмотрена также задача о квазиклассическом рассеянии пары частиц в случайном магнитном поле.
В главе 3 рассмотрена проблема применения баллистической а модели для описания спектров чистых ограниченных систем или квантовых биллиардов. Обсуждены вопрос о достаточности усреднения по спектру биллиарда для формулировки квазиклассического предела и проблема повторений. Представлен расчет корреляционной функции двух уровней. Расчет проведен с использованием двух подходов, основанных, первый - на разложении а модели по флуктуациям вблизи ее минимума (пертурбативный подход), второй - на точном обратном сведении а модели к задаче о корреляциях двух уровней для одномерного электронного газа на кольце. Показано, что первый метод находится в противоречии с ответом, полученным на основе формулы Гутцвиллера, и приводит к проблеме повторений, в то время как второй дает ответ, согласующийся с этой формулой. Расчет корреляционной функции двух уровней для одномерного газа на кольце и ее связь с баллистической а моделью приведен отдельно в приложении А.
Баллистическая а модель: постановка проблемы и вывод
Нелинейная а модель, сформулированная в суперсимметричном виде, как известно, является одним из самых эффективных методов при изучении свойств неупорядоченных систем.
Первые неупорядоченные системы стали изучаться в 30-х годах. Основными методами, которые применялись до начала 80-х годов и продолжают применяться в настоящее время - это стандартная теория возмущений, усовершенствованная диаграммной техникой, и теория случайных матриц Вигнера [4]. К сожалению оба метода имеют ограниченную область применения. Так, теория возмущений применима только в ситуациях, когда квантовые эффекты малы и рассматриваемая система ведет себя почти как классическая. Теория случайных матриц является феноменологической и основана на гипотезе универсальности, которая утверждает, что статистические свойства рассматриваемой системы, например распределение уровней энергии, не зависят от ее материальных характеристик (форма, размер и т.п.), а определяется общими требованиями симметрии [28]. Как было впоследствии осознанно, эта гипотеза справедлива, для релаксации плотности частиц по всему объему системы. В частности, для спектральных свойств это означает, что универсальное поведение имеет место при достаточно низких частотах перехода.
Метод нелинейной а модели был заимствован из квантовой теории поля и позволил получить ряд новых результатов. Существенно, что он дает возможность производить расчет эффектов, которые не могут быть учтены по теории возмущений. С другой стороны, как и теория возмущений, метод нелинейной j модели как правило исходит из конкретного модельного гамильтониана и является также достаточно универсальным.
В представленной диссертации рассматривается а модель с использованием суперсимметричного формализма [5]. В этом формализме объектами являются матричные поля, когда часть элементов этих матриц это обычные числа, а другая - антикоммутирующие или грассмановы числа. Существенно, что количество переменных обоих видов одинаково.
Как известно, теории поля с возбуждениями бозонного типа могут быть сформулированы через обычные коммутирующие переменные, а теории фермионного типа - через грассмановы. Если возбуждения не взаимодействуют между собой, то имеется симметрия: вакуумные флуктуации бозонов и фермионов сокращают друг друга. В использовании этого свойства заключается главное преимущество суперсимметричной а модели по сравнению с а моделями, использующими только один тип переменных [29], [30], [31]. С другой стороны метод оказывается ограниченным, не позволяя рассматривать задачи, в которых существенно взаимодействие. Взаимодействие нарушает симметрию между бозонами и фермионами.
Чтобы понять идею метода нелинейной т модели в применении к физике неупорядоченных систем, рассмотрим простейший пример такой системы с В выражении (1.4) отсутствует обычный нормирующий знаменатель. Формально это отсутствие обусловлено взаимным сокращением знаменателей, относящихся к коммутирующей S(r) и антикоммутирующей фермионной симметрии.
Выражение (1.4) без знаменателя может быть без труда усреднено по примесному потенциалу us(r). Функции Грина (1.3) могли быть записаны без употребления двух родов переменных [29], [30], [31]. Это однако приводит к необходимости дописывать знаменатель, после чего усреднение по потенциалу примесей становится технически сложным и требует дополнительных построений, например, репличного ряда (см. цитированные выше работы).
Как следует уже из теории возмущений и диаграммного метода, низколежащие возбуждения, определяющие поведение системы на больших расстояниях, описываются через специальные произведения запаздывающей и опережающей функций Грина друг на друга - диффузоны и купероны [32].
Согласно записи (1.4) произведение двух функций Грина выражается через произведение четырех полей: двух Ф(г) и двух Ф+(г). Такая формулировка не является удобной, и идея метода а модели - упростить ее посредством введения нового поля и записи элементарных возбуждений через интеграл с билинейным по нему выражением. Новое поле оказывается связанным с произведениями двух полей: ФФ, Ф+Ф+, ФФ+. Если поля Ф, Ф+ физически соответствуют движению одной частицы, то новое поле, являющееся матрицей (ниже она будет обозначаться буквой Q), следовательно будет соответствовать сложному движению пары частиц. Одним из близких примеров подобного сведения теории является метод бозонизации. В теории неупорядоченных систем такое преобразование было сделано впервые именно для модели с гамильтонианом (1.1) и привело к теории поля со свободной энергией [5]:
В (1.6) Str обозначает операцию взятия суперследа, Л - диагональная сектор суперпространства) значение 1 и —1 в нижней (запаздывающий сектор); D = VpT/d - коэффициент диффузии, и - частота. Матрица Q(r) в рассматриваемой задаче зависит только от одной координаты г, имеет размер 8 х 8 и удовлетворяет условию:
Свойства модели на разных масштабах
Благодаря граничному условию (1.66), которое должно быть наложено также и на вариацию Рп(г) (1.69) матрицы Qn( ), поверхностный член равен нулю для любых матриц Рп(г) и Qn(r), удовлетворяющих этому условию. Тогда, приравняв к нулю (1.72), приходим к самому уравнению (1.57). Существенно, что вариация функционала Ф[?п] содержит матрицу Qn только в первой степени. Это позволяет после выполнения интегрирования по ней получить замкнутое соотношение.
Выше показано, что интеграл (1.62) удовлетворяет тому же уравнению (1.57), что и квазиклассическая функция Грина ?п(г) (1.56). Уравнение (1.57) имеет целое множество решений, и поэтому требуется дополнительно показать, что обе функции действительно соответствуют одному и тому же решению. Это можно сделать, например, производя в их определениях разложение по источнику J(r) и сравнивая между собой коэффициенты получаемых разложений. Коэффициентами разложения квазиклассической функции Грина 7п(г) по источнику J(r) являются соответствующие корреляционные функции, уравнения на которые известны и могут быть выведены без обращения к а модели (см. например [41]). В следующем разделе те же уравнения будут выводиться на основе а модели (1.64) и будет показано, что оба способа получения уравнений приводят к одинаковому результату по крайней мере для корреляционных функций второго и четвертого порядков. Эту проверку можно считать достаточно хорошим основанием для утверждения, что интеграл (1.64) дает точное выражение для функции (1.56).
Интегрируя соотношения (1.51), (1.62) по источнику «/(г), находим, что производящие функционалы Zi[J, М] (1.46), Z J, М] (1.64) равны друг другу с точностью до некоторого множителя, не зависящего от источника. Значение множителя можно установить, вычислив оба функционала при J (г) = О, М(г) = 0. Благодаря суперсимметрии находим, что Z\[J = 0, М] = Z- J = 0, М] = 1. Отсюда следует, что искомый множитель равен единице, а Равенство (1.74) завершает вывод о модели.
Итоги раздела можно кратко сформулировать следующим образом. Рассмотрена задача о неупорядоченной системе, в которой примеси задаются -коррелированным потенциалом и потенциалом, имеющим большую длину корреляций, оба потенциала считаются распределенными по закону Гаусса. Поставлена проблема - вывести с модель, которая была бы применима на масштабах, меньших длины свободного пробега, когда движение частиц является баллистическим, а не диффузионным. Стандартная схема, применявшаяся при выводе а модели в диффузионном приближении и основанная на приближении седловой точки и градиентном разложении [5], привела к проблеме подавления мод - необходимости учитывать состояния с импульсами, заметно отличающимися от импульса Ферми рр- Причина неудачи заключается в плохой обоснованности седлового приближения в баллистическом случае. Другой метод, использующий вместо седлового приближения точное преобразование "цвет-аромат", предложенный в работе [34], также столкнулся с указанной проблемой. Представленный в диссертации вывод основан на написании уравнения для квазиклассической функции Грина и точном представлении решения в виде функционального интеграла по суперматрице Qn(r) с условием Q\ = 1. Метод позволяет, с одной стороны, избежать необходимости использовать седловое приближение и с другой - посредством квазиклассического усреднения с самого начала фиксировать импульсы вблизи поверхности Ферми. В качестве одного из достоинств метода можно указать также на его физическую ясность: суперматрица Qn, представляя функцию Грина (1.49), оказывается явно связанной с совместным движением двух электронов. Основная цель настоящего раздела - показать соответствие между производящими функционалами Si[J,M] (1.46), 2[J, М] (1.64) посредством их разложения по источнику J (г) и сравнения коэффициентов разложения. Поскольку коэффициенты разложения есть корреляционные функции, задача сводится к непосредственному вычислению последних. Проще всего вычисление производить, выводя уравнения, которым удовлетворяют корреляционные функции. Вывод уравнений, основанный производящей функции (1.46), сводится к преобразованиям над различными произведениями из запаздывающей и опережающей функций Грина G (г, г7) и является стандартным. Для задачи с гладким потенциалом он проводился, например, в работе [41]. Ниже представлен вывод, исходящий из производящей функции (1.64). Способ, которым он производится, основан на инвариантных свойствах интегрирования по суперматрице Q с условием Q2 = 1, является точным и применим для корреляционных функций произвольных порядков.
Движение частиц в области Ляпунова
Начнем изучение модели, определяемой свободной энергией (1.95)-(1.98), с ее основного состояния. В отсутствие источника J(r) оно однородно в фазовом пространстве и есть Qn(r) = Л... Если частота ш также берется равной нулю, основное состояние оказывается сильно вырожденным благодаря инвариантности энергии относительно однородных вращений: Qn(r) -» UQn(r)U, UU = UU = 1. Хотя источник и ненулевая частота приводят к снятию вырождения, они будут считаться малыми в сравнении с другими членами в энергии. Это означает, что низколежащими возбуждениями в теории (1.95) являются моды, описываемые малыми и почти однородными вращениями матрицы Qn(r) относительно Л.
Можно попытаться дать физическое толкование вращениям, если заметить, что матрица Qn(r) = Л соответствует равномерной плотности электронов на поверхности Ферми. Тогда малые вращения относительно Л можно связать с малыми возмущениями и возникновением слабых поверхности Ферми, зависящими от пространственной координаты г.
Чтобы явно описать низколежащие возбуждения, требуется выбрать определенную параметризацию для матрицы Qn(r), разрешающую условие (1.65). Одной из наиболее удобных параметризаций, которая будет широко использоваться в дальнейших вычислениях является рациональная параметризация:
Матрица Со определена в (1.24); структура матрицы Вп(т) совпадает со структурой матрицы —iQ12 в (1.8) с учетом зависимости от вектора п. Пользуясь непосредственно определением (1.100), легко проверить, что матрица -Рп(г) меняет знак при своем сопряжении: Рп(г) = —Рп(г). Кроме того, на нее будет накладываться также граничное условие (1.66). Удобство параметризации (1.99) помимо ее простоты заключается еще и в том, что якобиан преобразования (1.99) от матрицы Qn к матрице Рп равен единице (об этом см. в [5], Гл. 5).
Малые матрицы Рп(г) задают все множество матриц Qn(r), слабо отличающихся от Л, ив этом качестве описывают низколежащие возбуждения теории. На первый взгляд для исследования их свойств в главном приближении достаточно, подставив формулу (1.99) в энергию (1.95), удержать в разложении лишь квадратичные по матрице -Рп(г) члены. Однако легко проверить, что разложение для Fimp[Qn], (1.97), обусловленного рассеянием на примесном потенциале с большой корреляционной длиной, в приближении Гаусса. Существенно, что это является общим наблюдением и имеет место как для параметризации (1.99), так и для любой другой, например, введенной в формуле (1.12).
В работе [38] была рассмотрена задача о двумерном электронном газе, помещенном в постоянное случайное магнитное поле. Несмотря на то, что само поле может быть -коррелированным в пространстве, векторный потенциал, через которое оно входит в оператор Гамильтона является даже в этом случае случайной функцией с конечным радиусом, на котором спадают его корреляционные функции. В этом смысле можно эту систему сравнивать с системой с рассеянием на гладком случайном потенциале.
Благодаря специфике задачи с сильно неоднородным в пространстве магнитным полем оказалось возможным провести для этого случая обоснованный вывод баллистической о модели, используя стандартную схему [5]. Полученная таким образом модель существенно отличается от модели (1.95):
Так, первое слагаемое в функционале (1.101), обусловленное рассеянием на случайном поле, дает отличный от нуля вклад и в приближении Гаусса. Сама же энергия в этом приближении имеет вид, соответствующий кинетическому уравнению Больцмана, выражаясь через оператор этого уравнения. Можно поэтому предположить, что теория с энергией (1.101) описывает систему в столкновительном режиме. увидеть в том, что они выведены при разных условиях. Теория (1.95)-(1.98) применима на малых масштабах вплоть до длины волны Л , на которых рассмотрение эффективного взаимодействия частиц, порожденного рассеянием на случайном потенциале и имеющего корреляционную природу, в терминах их столкновений друг с другом, приводящее к моделям типа (1.101), уже недопустимо. В работе [38] наименьшая длина, на которой все еще справедлива модель (1.101) связывалась с так называемой длиной релаксации одночастичного состояния. К сожалению, эта длина не была оценена последовательным образом и осталась без ясной физической интерпретации. Задача о рассеянии частиц в случайном пространственно коррелированном потенциале рассматривалась в работе [41]. Рассмотрение основывалось на анализе соотношений для запаздывающих и опережающих функций частиц в квазиклассическом пределе. Рассмотрев произведение из двух запаздывающих и двух опережающих функций Грина, определяющее распространение пары частиц, авторы работы [41] показали, что движение частиц происходит в одном и том же потенциале в течение времени, обратно пропорционального показателю Ляпунова А . Последний определяет скорость, с которой расходятся две близкие классические траектории.
Электронно-дырочный дисбаланс в крестообразной S/N структуре
Этот раздел диссертации посвящен задаче о двумерном электронном газе, находящемся под действием постоянного неоднородного магнитного поля. Пространственная неоднородность магнитного поля учитывается ниже посредством усреднения по статистическому ансамблю множества подсистем так, что оно будет считаться случайной функцией координат. Для простоты рассматривается статистика Гаусса.
Задача о случайном магнитном поле, действующем на электроны в размерности d = 2, является одной из наиболее исследуемых проблем в современной мезоскопической физике. Во-первых, она имеет непосредственное отношение к эксперименту. Имеется ряд экспериментов на мобильных гетероструктурах, в которых последние помещались под воздействие магнитного поля вихрей пленки из сверхпроводника II рода [8], сверхпроводящих гранул I рода [9] или размагниченного ферромагнетика [10]. Во-вторых, задача представляет интерес и с теоретической точки зрения, как пример системы со взаимодействием, осуществляемом посредством случайного калибровочного поля. Эта модель возникает, например, в теории композитных фермионов в дробном эффекте Холла, когда заполнение уровня Ландау близко к 1/2 [46], а также в теории допированного изолятора Мотта [47]. вопросов для теории являются поведение электронов на больших масштабах и отношение системы к классам универсальности. Другой вопрос, который тесно связан с ними это вопрос о локализации электронных состояний. Для модели со случайным магнитным полем последний вопрос рассматривался в целом ряде численных работ, причем выводы, вытекающие из их результатов, противоречат друг другу, сводясь к трем утверждениям: 1) все электронные состояния локализованы [11]—[13]; 2) в спектре имеется полоса делокализованных состояний [14]-[20]; 3) электронные состояния локализованы за исключением состояний в центре зоны [21]-[23]. К сожалению сравнение результатов, полученных в разных численных работах, является непростой задачей со множеством технических сложностей.
Аналитически задача о случайном магнитном поле изучалась раннее как на основе диаграммной техники [48], так и используя различные нелинейные а модели [38], [48]. Оба подхода показали, что модель принадлежит к унитарному классу универсальности с локализацией в пространстве с размерностью d = 2 при условии, если корреляции магнитного поля (BqB-q) при q — О растут медленнее, чем l/q2.
К сожалению, аналитические расчеты, предложенные в работах [38], [48], используют одно из приближений. Так, при выводе а модели применялась стандартная схема [5], которая основана на нахождении седловой точки с последующим разложением возле нее по длинноволновым флуктуациям. Напоминаем, что с точки зрения обычной теории возмущений седловое приближение соответствует самосогласованному приближению Борна. То же самое приближение лежит в основе и диаграммного подхода, примененного в [48].
В главе 1 обсуждалось, что самосогласованное приближение Борна, применимое для ( -коррелированного потенциала, становится недостаточным, когда существена пространственная корреляция потенциала. С другой стороны, важной особенностью задачи о случайном магнитном поле, которая что даже для -коррелированного поля соответствующий ему векторный потенциал может иметь корреляции на больших расстояниях. Одним из известных проявлений такой особенности магнитного поля является эффект Ааронова-Бома (см.например работу [49]). Это означает, что полученные а модели, во-первых, заведомо применимы только на достаточно больших расстояниях, а во-вторых, они могут неверно учитывать эффекты, имеющие место на малых масштабах и могущие повлиять на крупномасштабные свойства системы.
Вопрос о свойствах системы, помещенной в случайное магнитное поле, на малых масштабах был поднят недавно в работе [20]. Работа использует новый метод численного исследования подобных систем. Одним из существенных для предлагаемого далее рассмотрения результатов является необычная мелкомасштабная вихреобразная пространственная структура электронной волновой функции и ротора тока. С нею в работе связывается утверждение, которое также свидетельствуется представленными в работе численными данными, что модель должна описываться скэйлинговой теорией с двумя параметрами вместо одного, как предполагалось раннее, при этом дополнительный параметр - фугитивность, приписывается влиянию скрытых степеней свободы - вихрям. Оставляя в стороне вопрос о достоверности этих результатов, проблему обобщения а модели для применения ее на малых масштабах можно рассматривать как достаточно важную с теоретической точки зрения.
Для разрешения указанных проблем несоответствия данных численных работ и неприменимости теоретических построений на малых масштабах ниже предлагается использовать метод вывода баллистической а модели, аналогичный выводу, представленному в главе 1 для задачи с пространственно коррелированным потенциальным беспорядком и основанным на квазиклассическом рассмотрении. Получающаяся в результате модель применима на масштабах, превышающих длину масштабов, ее можно свести к эффективным теориям, справедливым на больших длинах, и сравнить с а моделями, полученными в упоминавшихся выше работах [38], [48].
