Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Общая теория 15
1.1 Общая теория тонких оболочек. Уравнения Израэля 15
1.2 Теория сферически-симметричных тонких оболочек 19
1.3 Диаграммы Картера-Пенроуза
1.3.1 Определение черной дыры. Диаграммы Картера-Пенроуза для асимптотически плоских пространств. Диаграммы погружения 24
1.3.2 Диаграммы Картера-Пенроуза для асимптотически простых пространств не являющихся асимптотически плоскими 32
ГЛАВА 2. Эволюция фантомной материи с учетом обратного влияния 41
2.1 Описание модели 41
2.2 Полная классификация типов эволюции фантомной материи в модели 46
ГЛАВА 3. Пересекающиеся тонкие оболочки . 55
3.1 Закон сохранения для пересекающихся оболочек 55
3.2 Закон сохранения импульса для сферически-симметричных пресекающихся изотропных оболочек 60
3.3 Законы сохранения энергии и импульса для пресекающихся времени-подобных оболочек 63
3.4 Закон сохранения импульса для пресекающихся изотропной и времени-подобной оболочек.
ГЛАВА 4. Имитация черных дыр 72
4.1 Температура Хокинга 72
4.2 Экранирование температуры и имитация черных дыр 74
ГЛАВА 5. Глобальная геометрия в моделях с дополнительными пространственными измерениями 84
5.1 Построение модели 85
5.2 Классификация глобальных геометрий
5.2.1 Решения в модели при А 0 93
5.2.2 Решения в модели при А 0 99
Заключение 108
Литература
- Определение черной дыры. Диаграммы Картера-Пенроуза для асимптотически плоских пространств. Диаграммы погружения
- Полная классификация типов эволюции фантомной материи в модели
- Закон сохранения импульса для сферически-симметричных пресекающихся изотропных оболочек
- Классификация глобальных геометрий
Введение к работе
Актуальность проблемы. Уравнения общей теории относительности - это нелинейные уравнения второго прядка в частных производных. Как следствие, получение точных решений является сложной проблемой. Ещё более сложную проблему представляет изучение поведения гравитационного поля с полным учетом динамики гравитирующей материи. В этом случае известно лишь небольшое количество моделей, доступных для изучения аналитическими методами.
Одной из них является модель тонкой самогравитирующей оболочки. Она использовалась при изучении большинства явлений в теории гравитации, где обратное влияние материи на геометрию пространства-времени является ключевым фактором.
Так, например, теория тонких оболочек была использована в космологии при изучении фазовых переходов в ранней Вселенной. С другой стороны, теория тонких оболочек оказалась чрезвычайно полезной в физике черных дыр. В частности, Израэль и др. применили такую модель для изучения внутренней структуры черной дыры Райсснера-Нордстрема с учетом обратной реакции. В случае теории квантовых черных дыр модель самогравитирующей тонкой оболочки была прокванто-вана, был получен спектр квантовой черной дыры.
Данная диссертация посвящена решению нескольких задач. Этими задачами являются: изучение эволюции фантомной материи на полном многообразии Шварцшильда, поиск законов сохранения в системе пересекающихся тонких оболочек, имитация черных дыр и, наконец, изуче-
ниє глобальной геометрии в моделях мембранных вселенных с дополнительным числом пространственных измерений.
Эволюция фантомной материи обычно изучается в контексте космологических проблем. Однако, не менее интересным представляется изучение эволюции такой материи с точки зрения теории гравитации. Свойство фантомной энергии нарушать световое энергетическое условие может сделать недействительной теорему о топологической цензуре и, следовательно, делает фантомную энергию естественным кандидатом для образования таких экзотических объектов как лоренцевы кротовые норы. Кроме того, поведение горизонтов черных дыр при аккреции на них фантомной материи априори может отличаться от поведения при аккреции обычной материи.
В частности, в некоторых работах делались попытки рассмотреть стационарную, сферически-симметричную аккрецию фантомной материи на шварцшильдову черную дыру. По расчетам авторов этих работ, при такой аккреции масса черной дыры будет уменьшаться. Однако, этот результат был получен без учета обратной реакции материи на гравитационное поле. Поэтому интересен вопрос об аккреции фантомной материи на черную дыру с учетом обратной реакции. В случае, если материя представлена в виде тонкой оболочки, возможен полный анализ такой задачи.
Ещё одна задача, представляющая значительный интерес - это законы сохранения в системе нескольких пересекающихся тонких оболочек.
Из работ по квантованию тонких оболочек известно, что движение
одной сферически-симметричной самогравитирующей оболочки можно описывать как движение релятивистской частицы с гамильтонианом, кинетическая часть которого неквадратична по импульсу. Более того, в случае пылевой оболочки ([})-компонента уравнений Израэля может быть интерпретирована как закон сохранения энергии для такой частицы
GAf2
Am = <тіпМу/р + Fin - —— (1)
Эта аналогия позволяет предположить, что в системе с несколькими оболочками возможно сформулировать также закон сохранения, который можно интерпретировать как закон сохранения импульса. С другой стороны, если пространство является асимптотически-плоским, то можно также получить закон сохранения энергии, аналогичный (1).
Эти рассуждения подкрепляются другими результатами. В частности, случай пересекающихся сферически-симметричных световых оболочек впервые был рассмотрен в работах Дрея и т'Офта в 1985 году, где было получено выражение для метрических коэффициентов
а =h (2)
которое можно интерпретировать как некий закон сохранения. Естественно ожидать, что подобный закон может существовать в случае вре-мени-подобных пересекающихся оболочек.
Такая общая задача стала актуальной сравнительно недавно, в связи с попытками квантования системы с несколькими оболочками, а также с появлением космологических моделей с дополнительным числом
измерений, в которых возможно столкновение мембран (т. н. экпироти-ческая/пиротехническая космологическая модель).
Ещё одной интересной проблемой, для изучения которой можно применять метод тонких оболочек, является "имитация" черной дыры. Рассмотрим систему, состоящую из сферически-симметричной черной дыры Шварцшильда или Райсснера-Нордстрема и окружающей её тонкой оболочки, расположенной на некотором фиксированном расстоянии от черной дыры. Считаем, что оболочка обладает идеальной теплопроводностью, т. е. отсутствует поток тепла через оболочку. Эффектом от введения оболочки является отличие температуры системы Tsys на бесконечности от температуры Хокинга "голой" черной дыры Твн- Причина заключается в том, добавление массивной оболочки ведет к тому, что что временная координата внутри оболочки будет отличаться от координаты снаружи некоторым константным множителем. Следовательно, энергетический масштаб также изменится. Используя непрерывность метрики на оболочке, можно вычислить эту константу, которая и изменяет температуру на бесконечности так что, Tsys < Твн- Имитация черной дыры - это выполнение условия Tsys = Твн(пївн + ms), т- е. температура системы на бесконечности должна быть равна температуре Хокинга для "фиктивной" черной дыры, масса которой равна суммарной массе реальной черной дыры и оболочки. Значит, с точки зрения гравитационной физики, наблюдатель на бесконечности не в состоянии отличить реальную черную дыру от системы черной дыры, окруженной оболочкой, в которой выполнено условие имитации.
Главной задачей в изучении имитации является, конечно, выяснение условий, при которых имитация возможна. Оказывается, что в случае описанной выше модели, имитация действительно возможна как для случая черной дыры Шварцшильда, так и для случая дыры Райсснера-Нордстрема.
Актуальной задачей является также изучение возможных расширений модели для того, чтобы исправить её очевидное ограничение - необходимость искусственного удержания оболочки на фиксированном радиусе. Оказывается, что возможно создать тонкую оболочку, способную удерживаться на фиксированном радиусе только посредством гравитационного взаимодействия. Такие оболочки были названы оболочками с орбитальными составляющими. Используя такую оболочку в модели, можно попытаться реализовать естественную имитацию черной дыры без введения искусственных внешних сил.
Наконец, интерес к глобальной геометрии в моделях с дополнительным числом измерений связан, прежде всего, с тем фактом, что увеличение количества измерений ведет к увеличению числа геометрических степеней свободы. А именно, в 4-мерном пространстве-времени, в определении глобальной геометрии существенным фактором является наличие 2-мерной сферической симметрии. Это позволяет использовать "2+2"-разложение метрики на 2-мерную пространственно-временную часть и метрику на 2-мерной сфере. Однако, уже при добавлении хотя бы одного пространственного измерения возрастает количество симметрии для которых мы можем ввести "2+(с!-2)"-разложение и, соответственно, ввести
понятия R-: Т-областей, определяющих причинную структуру и глобальную геометрию пространства-времени. В случае космологических моделей, требования однородности и изотропии на оболочке (бране) предполагают, что кроме сферической геометрии, необходимо рассматривать также гиперболическую и плоскую геометрии. Как следствие, классификация возможных типов эволюции оболочки (браны) даже в простых моделях должна быть существенно нетривиальной.
Такая классификация должна быть полезной при квантовании браны. С этой точки зрения, наиболее интересными являются случаи, когда объемлющее (N+l)-MepHoe пространство-время имеет вне браны геометрию кротовой норы Эйнштейна-Розена. Тогда естественным расширением модели могло бы стать добавление второй браны, за горизонтом. В такой расширенной модели эволюция первой браны классически не отличается от эволюции в модели с единственной браной, однако квантово-механически браны могут взаимодействовать. Как следствие, после квантования спектры наблюдаемых на бране будут зависеть от второго квантового числа, описывающего вторую оболочку. Гипотетически, это может иметь отношение к объяснению иерархии взаимодействий.
Цели работы: изучение глобальной геометрии в системе, состоящей из черной дыры Шварцшильда, окруженной оболочкой фантомного типа, получение законов сохранения импульса и энергии в системе пересекающихся тонких оболочек, изучение имитации черных дыр, классификация возможных глобальных геометрий в (N+l)-MepHOM пространстве-времени в котором эволюционирует N-мерная брана.
Научная новизна и практическая ценность.
В диссертации впервые получена полная классификация типов эволюции оболочки фантомного типа с уравнением состояния Sq = kS% с к > 1 на полном многообразии Шварцшильда с учетом обратного влияния материи на метрику. Из полученной классификации следует, что при движении фантомной материи в "нашей" Л+-области (в которой должен находиться физический наблюдатель) такие патологии, как уменьшение горизонта черной дыры при аккреции или нарушение асимптотической плоскостности при неограниченном расширении оболочки, не могут возникнуть.
Впервые показано, что существующий в системе сферически-симметричных пересекающихся оболочек закон сохранения, частным случаем которого является формула Дрея-т'Офта, можно интерпретировать как закон сохранения импульса. Новым результатом является также получение закона сохранения энергии для такой системы в случае, когда пространство-время является асимптотически-плоским.
Впервые изучена возможность имитации черной дыры. Получены ограничения на возможность естественной имитации.
Впервые дана классификация глобальных геометрий и получены космологические решения для (N+l)-MepHoro пространства-времени с топологией AiN~l х А/"2, которое содержит N-мерную брану.
Апробация диссертации. Основные результаты, полученные в диссертации, были доложены в 2005-2010 гг. на научном семинаре ИЯИ РАН, ХШ-й Международной школе "Частицы и космология" (Приэльбрусье,
2005), XIV-й Международной ломоносовской конференции по физике элементарных частиц (Москва, 2009).
Публикации. По результатам диссертации опубликовано 5 работ.
Объем работы. Диссертация состоит из Введения, пяти глав основного текста и Заключения, содержит 116 страниц машинописного текста, в том числе 61 рисунок и список литературы из 97 наименований.
Определение черной дыры. Диаграммы Картера-Пенроуза для асимптотически плоских пространств. Диаграммы погружения
Определение черной дыры. Диаграммы Картера-Пенроуза для асимптотически плоских пространств. Диаграммы погружения В общем случае, черной дырой называют область пространства-времени, откуда невозможен выход к удаленному наблюдателю никаких сигналов, переносящих информацию. Однако для строгой формулировки необходимы уточнения. Прежде всего необходимо уточнить, о каком классе наблюдателей идет речь, и что на языке глобальной геометрии означает понятие "удаленный". Это можно сделать в важном для дальнейшего исследования случае, когда вещество и источники полей вдали от черной дыры отсутствуют, и, таким образом, геометрия все меньше отличается от плоской. Такое пространство-время называется асимптотически-плоским. Строгое определение асимптотически-плоских пространств требует введения дополнительных понятий [31].
Для начала определим понятие асимптотически простого пространства-времени. Пространство-время Л4 с метрикой д и называют асимптотически простым, если существует другое пространство Л4 с границей дЛ4 ЕЇИ регулярная метрика д на нем такие, что 1. М. \ дЛЛ конформно Лч, причем д и = П-2 ; 2. П\м 0, ЩдМ = О, П)/х \дМ ф 0; 3. Каждая световая геодезическая начинается и заканчивается на дЛ4; Другими словами, метрика на "нефизическом" пространстве-времени Л4, конформно связана с метрикой на М, таким образом, что бесконечно удаленные точки в метрике g становятся точками на границе дЛЛ.
Если в окрестности X метрика д удовлетворяет уравнениям Эйнштейна в вакууме Яци{дци) = 0 (или если тензор энергии-имиульса достаточно быстро убывает на бесконечности) и выполнены естественные требования причинности и ориентируемости пространства-времени, то асимптотически-простое пространство обладает следующими свойствами (предполагается что размерность пространства-времени равна четырём):
Пространство Л4 имеет топологию Ж4, а граница X является изотропной и состоит из двух несвязных компонент X = Х+ U Х , каждая из которых имеет топологию S2 х R1. 2. Образующими поверхностей Х± являются световые геодезические в пространстве Л4, касательные векторы к которым совпадают с дГПщ \х 3. При удалении на бесконечность вдоль световой геодезической тен зор кривизны в пространстве Л4 убывает. Следует подчеркнуть,что такая структура границы обусловлена условиями наложенными на метрику на бесконечности. В случае если это условие не выполняется как например в пространстве анти-де Ситтера (см. следующий параграф), то структура границы будет иной.
В качестве важного примера асимптотически простого пространства можно привести 4-мерное пространство Минковского. Метрика д получается из плоской метрики записанной в сферических координатах t, г,в,ф к новым координатам ф, , в, ф с помощью преобразования t + r = tan- + O. t-r = Ыш-(ф-), в = 9, (1.31) ф = ф, где —7г/2 ф — ф + 7г/2. Отсюда, ds2 = (іф2 - d? - sin2 {d92 + sin2 вйф2) и n = 2cos-(V + 0cos-W -0 Описанное преобразование координат - это, фактически, конформное отображение пространства Минковского в часть статической вселенной Эйнштейна [33]. Таким образом, пространство Лі является подмногообразием 4-мерного цилиндра 3 х М1, а допустимые значения координат для (1.31) (вложение Л4 в Л4) образуют область изображенную на рисунке 1.3.1:
Если теперь вырезать из цилиндра область Л4, разрезать её в точке г и развернуть на плоскость (математически это означает переход к универсальному покрытию), то получим (см. Рис. 1.3.2), то что называют диаграммой Картера-Пенроуза. Заметим, что каждая точка на такой диаграмме является 2-мерной сферой. На диаграмме Картера-Пенроуза все времени-подобные кривые начинаются в точке г и заканчиваются в г +, а все пространственные сечения проходят через г. Поэтому г называют временной бесконечностью прошлого, і+ - временной бесконечностью будущего, і0 - пространственной бесконечностью. Границы Х и Х+ называют, соответственно, световой бесконечностью прошлого и световой бесконечностью будущего.
Возвращаясь к вопросу о бесконечно удаленном наблюдателе, заме Рис. 1.3.2. Конформная диаграмма для пространства-времени Минков-ского тим, что пунктирными линиями на диаграмме представлены поверхности постоянного радиуса. При г — сю такие поверхности будут стремиться к Х и Х+. Таким образом, класс бесконечно удаленных наблюдателей - это наблюдатели покоящиеся на некоторых фиксированных радиусах вблизи X.
Из определения и свойств асимптотически простого пространства следует, что причинная структура такого пространства не допускает существования в нем локализованных областей с сильным гравитационным полем, не изменяющих асимптотических свойств пространства-времени. Чтобы иметь возможность включить такие области в рассмотрение, можно рассмотреть класс пространств, которые с помощью "вырезания" отдельных внутренних областей, содержащих какие-либо особенности (связанные с сильным гравитационным полем), с дальнейшим "сшиванием" образовавшихся "дыр" могут быть превращены в асимптотически простые пространства. Такие пространства называются асимптотически 28
простыми в слабом смысле. Более формально, пространство Л4 называют асимптотически простым в слабом смысле, если существует асимптотически простое пространство АЛ такое, что для некоторого его открытого множества S (дЛЛ С S) область Л4 C\S изометрична подмножеству Л4. Асимптотически простые в слабом смысле пространства, в которых метрика в окрестности X удовлетворяет уравнениям Эйнштейна для вакуума (или уравнениям Эйнштейна с тензором энергии-импульса, который достаточно быстро убывает на бесконечности), называются асимптотически плоскими.
Полная классификация типов эволюции фантомной материи в модели
Диаграмма погружения совпадает с диаграммой Рис. 2.2.2. Соответствующие диаграммы Картера-Пенроуза представлены на Рис. 2.2.4. В этом случае физический наблюдатель также видит только черную дыру массы raout, т. к. оболочка причинно несвязна с бесконечностью г+иХ+. Область пространства-времени, в которой эволюционирует оболочка - это два пространства времени Шварцшильда, соединенные кротовой норой. Эта область не является асимптотически плоским пространством временем.
Существуют точки поворота, и знак aout меняется в запрещенной для движения части Д-области. С2 С\ (2.20) В данном сценарии возможны две диаграммы погружения Рис. 2.2.2 и Рис. 2.2.5. Как следует из анализа, единственный сценарий для Оболочка находится слева от левой точки поворота. В этом случае эволюция оболочки ведет к коллапсу. Диаграммы Картера-Пенроуза для коллапсирующей оболочки (рис. слева) и оболочки движущейся из бесконечности г в бесконеч ность г +. случая Am 0, когда движение оболочки возможно в Д+-области - это левая диаграмма Рис. 2.2.4 Рассмотрим теперь случай, когда Am 0. Т. к. для фантомной материи плотность энергии SQ всегда положительна, то отрицательная величина Дга обусловлена только гравитационным дефектом масс.
Согласно (2.7), crin меняет знак при х = Х2 = — Дга/2, и от = +1 при х Х2- В то же самое время crout = — 1. Таким образом, в случае х — оо, получаем, что щп — +1 и ат = — 1 при х — 0. По аналогии с предыдущим анализом, обозначим как р2 значение радиуса оболочки, соответствующее значению х2. Тогда, из (2.6) следует, что Cm р(х2) = - 0. (2.21) Из (2.5) также следует, что р\х2) = -1 + . (2.22) Р2 Обозначим С2 как значение параметра С такое, что р2 = 2Gmm при С = С2: 2 _ Ащ (2 2оЛ 02-22(2fc+l)7r2G4fcm4J-l- У1 16) В случае р2 2Gmm получаем следующее неравенство С2 С\ (2.24) и, значит, знак crin меняется в запрещенной для движения части Л-области. В случае, когда р2 2Gmm С2 СІ (2.25) и знак 7jn меняется в Т-области. Аналогично случаю 5т 0, отношение (C2/CQ)2 1 т. к. график этого отношения как функции параметров модели отличается от представленного на Рис. 2.2.1 всего лишь заменой \х = dm/rriout —У — р = — \6т\/тіп. Отсюда следует, что для случая 5т 0 существует три возможных эволюционных сценария для оболочки: Инфинитное движение. Знак ат изменяется в Т-области. С2 Cg. (2.26) Диаграмма погружения для данного случая показана на Рис. 2.2.7. Диаграммы Картера-Пенроуза для случая раздувания и для случая коллапса становятся идентичными при обращении любой из них во времени, Рис. 2.2.8.
В этом случае возможно построить две диаграммы погружения. Рис. 2.2.9. Левая диаграмма Картера-Пенроуза описывает коллаисиру-юіцую оболочку. Правая диаграмма описывает оболочку, эволюционирующую из бесконечности г_ в бесконечность г+. В обоих случаях мировая линия оболочки проходит только через Т±- R--области
Первая совпадает с Рис. 2.2.7 и описывает ситуацию, когда радиус оболочки в течение всего времени эволюции остается большим, чем значение радиуса для правой точки поворота. Вторая диаграмма представлена на Рис. 2.2.10. Диаграммы Картера-Пенроуза представлены на Рис. 2.2.11. В параграфе 2.1 было выяснено, что условие на существование точек поворота описывается как условие на параметр С, введенный в (2.3). Отсутствие точек поворота предполагает выполнение условия (2.10), и наоборот, если существуют точки поворота, то выполняется условие (2.11). Эти условия можно интерпретировать, согласно (2.3), как условия на но i г = 0 і Г Г «О Г = г" г = 0 Рис. 2.2.11. Левая диаграмма описывает коллапс оболочки. Правая диаграмма описывает движение оболочки из бесконечности г+— в бесконечность г+. верхностную плотность энергии оболочки SQ. Таким образом, получается, что инфинитное движение оболочки предполагает большее значение S, ПО сравнению с финитным движением. В таком выводе нет никакого противоречия, так как мы рассматриваем фантомную материю. При наличии фантомной материи гравитация становится отталкивающей силой. Следовательно, давление при расширении оболочки производит отрицательную работу, увеличивая тем самым поверхностную плотность энергии оболочки. Отсюда следует, что чем тяжелее оболочка (в смысле значения So), тем сильнее происходит её расширение.
Однако, как показывает проведенный анализ, инфинитное расширение оболочки может происходить только в R--области, причинно несвязной с i+ UX+ вблизи которой находится наблюдатель, измеряющий массу черной дыры. Более того, область пространства-времени в которой может происходить инфинитное движение оболочки, не является асимптотически плоским т.к. нарушено условие замкнутости системы. В случае движения оболочки в Я+-области единственный возможный вариант - это аккреция на черную дыру с увеличением её массы. Отсюда следует, что drm(r, t) 0.
Закон сохранения импульса для сферически-симметричных пресекающихся изотропных оболочек
Таким образом, температура системы, состоящей из черной дыры, окруженной тонкой оболочкой, меньше температуры "голой" черной дыры TSYS Твн- Этот эффект называется "экранированием" температуры. Из вышеизложенного ясно, что в общем случае удаленный наблюдатель может отличить черную дыру от черной дыры окруженной тонкой оболочкой. Однако, данная глава посвящена изучению условий при которых возможно обратное. Т. е., выполнено равенство TsYS = TBH{m + bm). (4.12) Другими словами, наблюдатель вблизи бесконечности, обладающий знаниями общей теории относительности и термодинамики в искривленном пространстве-времени, будет измерять температуру черной дыры с массой msYS — тп + Am. Однако, в реальности, изучаемая система не является черной дырой. Такую ситуацию можно назвать "имитацией черной дыры".
Очевидно, что имитация черной дыры возможна только при достаточно жестких условиях на параметры модели. В частности, оболочку необходимо удерживать на фиксированном радиусе. В общем случае, такое движение оболочки негеодезично, и необходимы внешние силы для её удержания. Таким образом, основная проблема которую необходимо решить - это вычисление радиуса при котором возможна имитация в случае черной дыры Шварцшильда.
Можно рассматривать величину (1 + х)а как функцию параметров є и ж, тогда график этой функции будет иметь вид Рис. 4.2. Из Рис. 4.2 видно, что при фиксированной переменной х существует некоторое предельное значение безразмерного заряда (-bound vGm = eextremau которое удовлетворяет уравнению (1 + х)а(е) = 1. Таким образом, невозможно имитировать черную дыру с безразмерным зарядом є еъоип 1- При фиксированной переменной є функция (1 + х)а(х) 1 если х 0. Значит при х 0, е ebound функция (1 + х)а(х, б) 1. Ро Теперь, учитывая эти неравенства, можно вычислить радиус имитации ро и голую массу М. Используя (4.7) и (4.8) получаем для ро выражение Р + VP2 є2- (4.21) Gm Здесь дополнительный параметр (3 имеет вид (1 + д)У-1 Р (l + x)W-V К Выражение (4.21) самосогласованно. Для доказательства достаточно показать, что /3 0 и Р е. Из (4.22) следует, что условие Р 0 сводится к тривиальному неравенству 1 -\-х 1, а условие Р е, используя неравенство а (1 + ж)-1, можно привести к тривиальному неравенству х 0.
Заметим, что из соотношений (4.21), (4.22) существование предельного допустимого заряда для имитации становиться очевидным. В случае, если а{е) = (1 -frc)-1, то Р — оо и, следовательно, ро — оо. Стремление радиуса имитации к бесконечности, означает невозможность имитации. Для голой массы вычисления дают М т = + # № Ч (4.23) v у (l + zja +
Как уже было сказано, вышеприведенные результаты справедливы для достаточно искусственного случая имитации, когда оболочка удерживается на радиусе ро внешними силами. Оказывается, однако, что возможно создать тонкую оболочку, способную удерживаться на фиксированном радиусе только посредством гравитационного взаимодействия. Такие оболочки были названы оболочками с орбитальными составляющими [47]. В этом случае можно попытаться реализовать естественную имитацию черной дыры без введения искусственных внешних сил. Остаток главы посвящен выяснению условий на параметры оболочки при которых естественная имитация возможна. Прежде всего, рассмотрим подробнее модель оболочки с орбитальными составляющими. В ньютоновой гравитации орбитой точечной массы, движущейся в центральном поле, является эллипс, в одном из фокусов которого находится центральная масса создающая гравитационное поле. Если теперь рассмотреть ансамбль частиц с одинаковым отношением углового момента к массе, то эти частицы будут иметь одинаковые значения перицетра и аиоцетра. Представим, что в начальный момент времени все эти частицы распределены однородно по поверхности сферы с радиусом, равным расстоянию от гравитирующего центра до точки перицентра и начинают двигаться одновременно (с одинаковым абсолютным значением скорости, но в разных плоскостях). Тогда такой ансамбль будет образовывать сферически-симметричную тонкую оболочку, осциллирующую между перицентром и апоцентром. Такая оболочка называется оболочкой с орбитальными составляющими. Подчеркнем, что полный угловой момент для такой оболочки равен нулю. Аналогичные рассуждения будут справедливы для релятивистского случая с тем отличием, что орбиты не являются замкнутыми кривыми.
Классификация глобальных геометрий
Как видно на диаграмме эволюция браны - это опять инфинитное движение. Однако в этот раз брана расширяется из нуля на бесконечность. Заметим, что можно рассмотреть также обращение по времени этой диаграммы, которое дает ещё один возможный сценарий эволюции в котором брана сжимается из бесконечности до нуля.
В случае S 0 диаграмма меняется незначительно: ТІ = oo 7г = о TZ = oo Очевидно, что обращенная по времени диаграмма также возможна. В случае гиперболической N-мерной геометрии к = — 1 вся область О 1Z оо - это Т-область без горизонтов. Конформное время TV имеет вид TV = ± arctan —-, TV где ± - знаки Т-областей. Очевидно, что в то время как 71 изменяется от нуля до бесконечности, конформное время меняется в конечном интервале от 0 до TZQ. Соответственно, диаграмма будет получаться из диаграммы для анти-де Ситтера заменой Я-областей Т-областями и поворотом линий бесконечностей на 90 градусов. Таким образом, мы приходим к следующим диаграммам пустого (N+l)-MepHoro пространства: 7г = оо,тг = 7г0 тг = о,тг = о т+ т_ тг = о,7г = о тг = оо,7г -7т7о Геометрии (N+l)-MepHoro пространства в присутствии браны также достаточно просты: п = оо, п = тг0 7г = о,тг = о = 0, TV = тг = оо,тг = -7гс Левая диаграмма описывает случай SQ О при котором брана расширяется, правая описывает сжатие в случае SQ 0.
Решения в модели при Л 0. Из (5.49) следует, что дополнительным параметром для классификации будет знак индуцированной плотности энергии. Таким образом, в случае 5 4 GA и, следовательно, f2(t) + к 0, то индуцированная плотность энергии положительна. Назовем такую брану "тяжелой". Если теперь 15! ± ]Ь1 4тгСЛ и, значит, f2(t) + к 0, то индуцированная плотность энергии отрицательна, и мы будем называть такую брану "легкой". Очевидно, что "легкие" браны могут существовать только в случае к = — 1.
Изучим сначала возможные геометрии в случае "тяжелой" браны. Уравнения для оболочки имеют вид: an , , 4ITG ___cotMo = sj, f\t) + k_al + k 2Л , ( G)S2- l a2 a2 N{N-\y\N-\) sh2 П = По 1Щ + кзъ( + ф0У (5.55) Решения для TZ(n): n = sh (ъкь)sh Тогда аналогично случаю Л 0, можно построить графики для 7Z(n) при t — const. В случае а = т_ = +1(с+ = —1): 100 . пПо о- = +1 / shell -фо и Фо п По При и — о- = —1(сг+ = 1): а = -1 п тг0 Диаграмма для пустого (N+l)-MepHoro пространства-времени при А; +1 - это обычная диаграмма для пространства анти-де Ситтера:
В этом случае движение оболочки инфинитно. Оболочка сжимается из бесконечности до некоторого конечного радиуса, после чего начинает расширятся в бесконечность.
При SQ 0 характер движения браны тот же что и в предыдущем случае. Однако, геометрия (N+l)-MepHoro пространства-времени - это
В случае к — 0 для пустого (N+l)-MepHoro пространства-времени 102 опять имеются только /2-области. Однако, при этом они ограничены горизонтами видимости при 7Z = 0: п = о тг = оо TZ — со тг = В присутствии браны обе диаграммы как в случае S 0 так и в случае SQ 0 описывают инфинитное движение из нуля в бесконечность:
Для случая гиперболической N-мерной геометрии к = — 1, как уже было сказано, могут существовать как "тяжелые", так и "легкие" браны. Уравнения движения для "легкой" браны имеют вид: Графически эта диаграмма получается из диаграммы для Л 0, к = +1 если поменять местами R- и Т-области. Однако, физический смысл этой диаграммы становится ясен при сравнении с диаграммой Картера-Пенроуза Рис. 1.3.3 раздела 1.3.1. Именно, мы можем рассматривать эту диаграмму как диаграмму, описывающую (N+l)-MepHyio черную дыру с нулевой массой и отсутствием сингулярности при 1Z. Кроме того, в отличие от черной дыры Шварцшильда световые бесконечностей отсутствуют, и вместо них имеются времени-подобные бесконечности.
Выполняя сшивки диаграмм при наличии "тяжелой" браны получаем для случая SQ 0: Брана расширяется из нулевого радиуса в бесконечность. Геометрии в области п 0, п 0 в соответствии с нашей интерпретацией можно рассматривать как две черные дыры с нулевой массой. Геометрия при SQ 0 имеет следующий вид: т.е., опять движение браны инфинитное. Однако, в данном случае брана при расширении пересекает только один горизонт. Оставшиеся две диаграммы - это случай "легкой" оболочки. Из (5.57) ясно, что движение браны финитно. Брана сначала расширяется из нуля до конечного радиуса, после чего опять начинает сжиматься. Соответствующая диаграмма при SQ 0 имеет вид:
В качестве заключения следует заметить следующее. С точки зрения возможного квантования браны наиболее интересными из перечисленных выше сшивок являются те, для которых объемлющая геометрия представляет из себя кротовую нору. В частности, если рассматривать 5-мерное пространство-время, то из классификации сшивок ясно, наибольший интерес представляет случай "тяжелой" браны при S 0. В этом случае индуцированная космологическая постоянная на бране положительна, и объемлющая 5-мерная геометрия содержит кротовые норы.
Тогда можно построить сшивки с двумя и более бранами, которые расположены за горизонтами друг относительно друга. При квантовании это должно давать дополнительное расщепление уровней в спектрах наблюдаемых на бране.
Следует также сказать, что космологические решения для (N+1)-мериой геометрии с топологией R2 х Mrf_2, полученные в этой главе, не являются новыми. Они были получены Ишихарой, Томитой и Нариаи в работе [97]. Существенным здесь является то, что здесь они появляются как часть решения уравнений Эйнштейна с материей, сосредоточенной на бране.
