Содержание к диссертации
Введение
1 Термодинамика черных дыр: квантовые аспекты, перенорми ровка и двумерные модели 7
1.1 Квантовые поправки к энтропии черной дыры 7
1.1.1 Введение 7
1.1.2 Евклидов функциональный интеграл и геометрическая энтропия 10
1.1.3 Вычисление геометрической энтропии 12
1.2 Перенормировка квантовой энтропии 15
1.2.1 Формулировка результата 15
1.2.2 Доказательство в случае неминимальной связи 17
1.2.3 Соотношение геомеїрической энтропии и термодинамической энтропии черной дыры 21
1.3 Вычисление энтропии в методе 'тХоофта: двумерный пример . 22
1.4 Лої арифмические поправки к энтропии черной дыры 27
1.4.1 Энтропия черной дыры Шварцшильда, соответствие между черной дырой и струной 27
1.4.2 Универсальность квантовой энтропии в экстремальном пределе 30
1.5 Геометрия и термодинамика квантово-
корректированной черной дыры в двумерных моделях 35
1 5.1 RST модель 36
1.5.2 Сферически симметричная редукция 4-мерной теории Эйнштейна-Максвелла 42
2 Дуальность между пространством-временем анти-де Ситтера и конформной теорией поля 51
2.1 Идея голографической дуальности 51
2.2 Асимптотическое решение уравнений Эйнштейна 53
2.3 Расходимости, контр-члены и голографический теїпор энергии-импульса 60
2.4 Взаимодействие с материей, тождества Уорда 67
2.4.1 Граничная проблема Дирихле для скалярного поля в фик
сированном гравитационном поле 67
2 4.2 Гравитирующее скалярное поле, тождества Уорда 71
3 Обобщения дуального описания 75
3.1 Дуальное конформное описание вблизи горизонта 75
3.1.1 Формулировка правил дуального описания на горизонте . 76
3.1.2 Общий вид метрики и асимпютические симметрии 81
3.1.3 Восстановление скалярного поля в объеме 84
3.1.4 Восстановление метрики 86
3.2 Дуальное конформное описание пространства-времени Минковского 90
3.2 1 Расслоение просірансгва Минковского поверхностями постоянной кривизны 90
3.2.2 Скалярное поле в пространстве Минковского 93
3.2.3 Функции Грина и S-матрица в пространстве Минковскою 97
4 Гравитационные эффекты на плоских и кривых мембранах 109
4.1 Эффективные уравнения гравитационного поля локализованного на мембране 109
4.2 Локализация гравитационного поля на деситтеровской бране .118
4.2.1 Введение 118
4.2.2 Формулировка модели 118
4.2 3 Пропагатор 119
4.2.4 Плоские браны 121
4.2 5 Браны де Ситтера 122
4.2 6 Зависимость гравитации на бране от масшіаба 129
5 Описание черной дыры в терминах конформной теории поля 131
5.1 Конформная симметрия вблизи горизонта: алгебра Вирасоро и энтропия 131
5.1.1 Введение 131
5 1.2 Граничное условие горизонта и 2-мерная конформная группа симметрии 133
5.1 3 Зніропия Бекешптейна-Хокинга и ценіральньїй заряд в алі ебре Вирасоро 136
5.1.4 Обобщение на случай d > 4 и d = 3 141
5.2 Конформное описание излучения Хокинга в терминах коррелято ров в модели Лиувилля 143
5.3 Квази-нормальные моды как полюса 3-ючечной функции в модели Лиувилля 151
5.3.1 Волновое уравнение и Римановы поверхности 151
5.3.2 Предел иніенсивного затухания 155
5 3.3 Эффективная конформная теория 159
6 Процесс релаксации и квантовая унитарность в черных дырах и дуальной конформной теории поля 161
6.1 Введение 161
6.2 Линейная теория релаксации: 2-точсчная корреляционная функция 163
6.3 Процесс релаксации в черной дыре: квази-нормальные моды и их конформная интерпретация 166
6.4 Релаксация в конечном объеме и анализ проблемы унитарности 170
6.4.1 Релаксация в 2-мерной конформной теории поля 170
6.4.2 Релаксация в конформная теории поля дуальной AdSa: фазовый переход Хокинга-Пейджа 174
6.4.3 Унитарность в черной дыре: режим конечных значений k 177
А: Тензоры кривизны на коническом
пространстве Еа
- Евклидов функциональный интеграл и геометрическая энтропия
- Расходимости, контр-члены и голографический теїпор энергии-импульса
- Дуальное конформное описание пространства-времени Минковского
- Локализация гравитационного поля на деситтеровской бране
Введение к работе
Современная эпоха представляет собой иніересньїй этап в развитии фундаментальной физики. Он отмечен появившимися, а также ожидаемыми в ближайшее время, новыми экспериментальными данными, представляющими информацию о юм, как природа организована на совершенно различных масштабах от размера Вселенной до фундаментального размера элементарных частиц Это, прежде всего, новые космологические данные, фактически подтвердившие во многих деталях предсказания инфляционной модели. Сюда же относится и замечательное открытие ненулевой, хотя и удивительно малой по величине, космологической постоянной Это открытие вновь поставило научное сообщество перед вопросом, правильно ли мы понимаем те фундаментальные процессы, которые лежат в основе наблюдаемых явлений. Тот факт, что теоретические предсказания "из первых принципов" для космологической постоянной на много порядков отличаются от того, чю на самом деле наблюдается, по-видимому означает, что существующие теоретические модели и наше понимание того, чю они описывают, далеко не совершенны. Однако, уже сейчас ясно, что описание физики на самом большом, космологическом, масштабе невозможно без вовлечения физики на самым малых, возможно планковских, масштабах. В ближайшие годы гравитационные эксперименты на LIGO и LISA, где уже достигнута фантастическая точность, должны подтвердить одно из наиболее ожидаемых предсказаний теории гравитации Эйнштейна о существовании волн геометрии, т.е. гравитационных волн С другой стороны, ускоритель нового поколения LHC, который, как ожидается, начнет действовать в конце 2007 года в CERN позволит сделать первые шаги в изучении физики элементарных частиц за пределами Стандартной Модели.
Все это говорит о том, что в ближайшее время увеличится роль формальных теоретических концепций и их стыковок с феноменологией. В этих условиях важно охватить свежим непредвзятым взглядом существующие теории, претендующие на формулировку единого представления об известных фундаментальных явлениях. Наиболее гармонично и математически непротиворечиво единая точка зрения на фундаментальные процессы сформулирована в рамках теории струн. Однако, эта теория не дает четких и однозначных объяснений возникновения наблюдаемой ускоренно расширяющейся Вселенной. Более юго, само сущесівование такого основополагающего способа описания квантовой эволюции как 5-матрица является далеко не очевидным в такой Вселенной, современная фаза расширения которой может быть приближена геомеїрией пространства-времени де Ситтера. Основной особенностью этого пространства является существование космолої ического горизонта и отсутствие асимптотических областей, где асимптотические квантовые состояния взаимодействующих объектов могли бы быть определены.
Новая парадигма, которая была выдвинута в последнее десятилетие для решения широкого круга проблем, это голография (holography). Она представляет собой совершенно новый способ соединения в одно целое гравитации, фундаментальных взаимодействий и квантовой механики. Наиболее успешной реализацией голографической идеи является AdS/CFT соответствие, которое представляет собой инструмент для объяснения гравитационных явлений в терминах унитарной конформной теории поля. Это соответствие первоначально было сформулировано для пространства-времени с отрицательной кривизной. Важной проблемой является обобщение эюго соответствия на случай реалис-шчных, космологически интересных, пространств.
Черные дыры являются объектами, идеально подходящими для проверки непротиворечивости существующих фундаментальных физических концепций. Само существование черных дыр, как оно видится нам сейчас, является результатом сложных процессов, вовлекающих сильное гравитационное взаимодействие и типично квантовое поведение. Интересна история изучения черных дыр. Открьпые в 1916 і оду Карлом Шварцшильдом, находящимся в то время вместе с немецкой армией в России, как решение нелинейных уравнений предложенных Эйннпейном, они долгое время рассматривались скорее как своеобразный курьез, чем нечто реальное. Систематическое изучение черных дыр инициировалось в конце 50-х Уилером, который, собственно, и предложил название "черные дыры". В середине 60-х Вернер Израэль доказал ряд важных теорем, показывающих, что черная дыра является объектом с очень немногими параметрами. Только масса, электрический заряд и, возможно, угловой момент -вот все, что может характеризовать черную дыру. Рассматривая возможность возникновения черной дыры в результате гравитационного коллапса, получается, что многочисленные детали, характеризующие коллапсирующий объект, теряются после того, как образуется черная дыра. Следующий важный шаг был сделан Якобом Бекешптейном в 1972 году, который, рассматривая различные мысленные эксперименты, приводящие к нарушению 2-го закона термодинамики в присутствии черной дыры, пришел к выводу, что единственный способ сохраниіь 2-ой закон это предположить, что сама черная дыра имеет энтропию, пропорциональную площади ее новерхноеіи. Это предположение было вскоре подтверждено Стивеном Хокинюм, открывшим явление квантового испарения черной дыры. Согласно Хокингу, черная дыра, как хорошо разогретая печка, излучает частицы распределенные по тепловому закону. Соответствующая температура, и шестная теперь как температура Хокинга, была вычислена, что позволило определить энтропию излучающего объекта, те. черной дыры. Энтропия оказалась такой, как предсказывал Бекенштейн. Точный коэффициент пропорциональности между энтропией и площадью поверхности черной дыры был, таким образом, определен. Сам факт, что решение классических уравнений поля, чем, собственно, и является черная дыра, может иметь какую-то энтропию, удивителен. Учитывая, что эта зніропия, по суіи, огромна и превышает эшропию каких-либо ранее известных в природе обьектов, очевидно, что проблема объяснения этой энтропии оказывается ключевой. Более і ого, как было вскоре высказано Хокишом, черные дыры, по-видимому, нарушают квантовую унитарность. Действиїельно, кажеіся возможным, что чистое состояние может перейти в смешанное состояние теплового газа путем коллапса в промежуточное состояние черной дыры, которая впоследствии полностью испаряется и оставляет после себя только тепловой газ. Очевидно, что такой процесс, если он реализуется, противоречил бы основным принципам квантовой механики, в которой временная эволюция описывается унитарным оператором.
Таким образом, имеются, по крайней мере, две фундаментальные проблемы в физике черных дыр:
Объяснить энтропию черной дыры через число возможных состояний, дать соответствующее квантово-механическое описание состояний черной дыры.
Решить проблему квантовой унитарности в процессах с участием черных дыр.
Исследование этого круїа вопросов является центральным в настоящей диссертации. Следует отметить, что в последние годы достигнут определенный прогресс в решении проблемы энтропии черной дыры. В теории струн было предложено соответствующее вычисление числа состояний определенного класса экстремальных и около-экстремальных черных дыр. Важную роль в этом вычислении играют конформная симметрия и известные методы подсчета вырождения в конформной теории поля. Однако, применение этих методов, как и само существование конформной симметрии, в случае, скажем, незаряженной черной дыры является далеко не очевидным. В данной диссертации показывается, что конформная симметрия является тем универсальным элементом, который, в конечном счете, объясняет многие свойства черных дыр Ключевым в подходе к решению отмеченных проблем является идея существования дуального (голографического) описания гравитационных явлений в терминах дуальной, вообще говоря неї равитационной, теории. В зависимости от тою, где дуальная теория определена, на бесконечности или же вблизи горизонта, деіали голографического описания моїут различаться. В обоих случаях, однако, конформная симметрия, как показывается в данной диссертации, играет важную роль.
Диссертация организована следующим образом. В первой главе формулируется подход к вычислению, так называемой, entanglement энтропии черной дыры. Он заключается в вычислении функционального интеїрала по квантовым возбуждениям полей материи и гравитационною поля методом конической сингулярносіи. Вычисляются UV расходимости в энтропии, выясняется их общая структура и показывается, что эти расходимосіи убираю і ся путем стандартной перенормировки эффективного действия. Entanglement энтропия, таким образом, имеет естественную интерпретацию как квантовой поправки к классической (или древесной) энтропии Бекенштейна-Хокинга. Обсуждаются также UV конечные поправки к энтропии. Особое внимание уделяется поправкам, которые логарифмически зависят от площади гориюнта черной дыры. На примере двумерных моделей исследуется самосогласованный подход, в котором учитывается обратное влияние излучения Хокинга на геометрию черной дыры и на модификацию выражений для вычисления энтропии.
Во второй главе исследуются геометрические аспекты дуального описания пространства анти-де Ситтера в терминах конформной теории поля на границе. Рассматривается проблема Дирихле для гравитационного поля (метрики), описываемого уравнениями Эйнштейна с отрицательной космологической постоянной и принимающего фиксированное значение на границе (граничная метрика). Анализ проводится с использованием разложения Феффермана-Грема для метрики в объеме. Показывается, что метрика в объеме может быть полностью восстановлена по данным на границе: граничной метрике и вакуумному ожиданию тензора знері ии-импульса в дуальной конформной теории поля. Исследуются расходимости в гравитационном действии и их перенормировка путем добавления контр-членов, определенных на границе.
Третья глава посвящена обобщениям дуального описания для пространств, не являющихся асимптотически пространством анти-де Ситтера. Рассмотрено асимптотически плоское пространство-время, для которого дуальное описание сформулировано на границе светового конуса. В случае, когда пространство-время имеет юризонт, показано, что описание в терминах конформной теории поля естественно возникает на горизонте (horizon holography).
Результаты, полученные во второй главе, применяются в четвертой главе для получения уравнений гравитационного поля, индуцированного на 4-мерной бране, помещенной в 5-мерное пространство-время различной кривизны. Особый акцент делается на изучение искривленных бран, в частности, бран с геометрией пространства де Ситтера. Исследуется локализация гравитационного поля на такой бране и обсуждается обнаруженный эффект масштабной зависимости гравитационного взаимодействия на бране. Обсуждаеіся возможная роль этого эффекта в объяснении малой космологической посгоянной.
В пятой главе исследуется двумерная конформная симметрия вблизи горизонта черной дыры. Вычисляется центральный заряд в соответствующей алгебре Вирасоро и показывается, чю он определяется площадью поверхности горизонт. Предлагается конформное описание различных явлений в черной дыре в терминах корреляторов в іраничной модели Лиувилля. Рождение частиц Хокинга, в частное і и, в этой картине описывается в терминах 1-точечной корреляционной функции. Описание в терминах модели Лиувилля обобщается на случай режима сильного затухания. В этом случае показывается, что квазинормальные моды черной дыры описываются как полюса в 3-точечной функции в модели Лиувилля.
В шестой главе рассматривается процесс релаксации в 3-мерной черной дыре BTZ и в дуальной конформной теории поля. Для черной дыры релаксация управляется бесконечным набором комплексных квазинормальных мод, ко-юрые вычисляются для полей различного спина. В дуальной CFT этот процесс описывается запаздывающей 2-точечной корреляционной функцией дуальных операторов. Показывается, что бесконечный набор полюсов в импульсном представлении корреляционной функции в теории на границе в точности совпадает с набором квазинормальных мод черной дыры в балке Исследуется вопрос о временной зависимости корреляционной функции при конечной температуре и в конечном объеме. Показывается, что имеет место фазовый переход от релаксации осциллирующего характера при низкой температуре к экспоненциально затухающему типу релаксации при высокой температуре. Это соответствует фазовому переходу Хокиша-Пейджа в гравитационной теории.
В заключении перечислены основные результаты, выносимые на защиту.
Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах Лаборатории теоретической физики им. Н Н. Боголюбова ОИЯИ, в Физическом институте им. П.Н. Лебедева РАН (Москва), в институте теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН (Черноголовка), в теоретическом отделе CERN (Женева), в Кавли институте теоретической физики университета Калифорнии (Санта-Барбара), в Периметр институте теоретической физики (Ватерлоо), в Макс Планк институте гравитационной физики (Потсдам), в Высшей нормальной школе ENS (Лион), в университетах в городах Ватерлоо, Эдмонтон (Канада), Утрехт, Амстердам (Голландия), Ахен, Мюнхен, Гамбург, Йена, Кельн, Бремен (Германия), Брюссель (Бельгия), Копенгаген (Дания), Хельсинки (Финляндия), Кембридж (Англия), Провиденс, Стони-Брук, Сиракюз, Нью-Йорк, Лос-Анджелес, Девис (США). По теме диссертации опубликовано 51 работа.
Евклидов функциональный интеграл и геометрическая энтропия
Рассмотрим произвольную статическую черную дыру в произвольном числе измерений. Поверхность ее горизонта естественным образом делит все пространство-время на две области R+ and Л_, свободный обмен информацией между которыми невозможен. Это очевидное следствие того, что вектор Киллинга t = dt, который генерирует сдвиги по времени, обращается в ноль, t2 = О, на горизонте. Поэтому сигнал, испущенный из любой точки внутри горизонта, никогда не достигнет внешнего наблюдателя. Таким образом, любые события, происходящие внутри горизонта, являются принципиально ненаблюдаемыми для внешнего наблюдателя. Это, гакже, касается возбуждений квантовою поля. Они естественным образом делятся на "видимые" (распространяющиеся в области R+) и "невидимые" (распространяющиеся в области Я_) моды.
Ситуация, когда информация о части состояний системы отсутствует, в квантовой механике описывается с помощью матрицы плотности. Предположим, что квантовое поле ф, рассмотренное на всем пространстве-времени, находится в чистом основном состоянии, описываемом волновой функцией зависящей как от видимых (ф+), так и невидимых (ф-) мод Для внешнего наблюдателя оно будет находится в смешанном состоянии, описываемом матрицей плотности где суммирование ведется по всем невидимым модам ф— Энтропия, определяемая этой маїрицей плотное і и, называется геометрической энтропией (или энтропией перепутывания) [7], [6], [8], [9].
Применяя этот подход к черной дыре, мы можем отождествить все невидимые моды (т.е. распространяющиеся внутри черной дыры) как внутренние степени свободы черной дыры, а (1.1.3) как их энтропию. Основное состояние черной дыры, согласно предписанию [17], дается евклидовым функциональным иніегралом по всем полям, определенным на многообразии Е , которое есть половина инстанюна черной дыры с метрикой где угловая переменная р (представляющая евклидово время) лежит в интервале — р . Такой выбор соответствует половине периода по евклидовому времени черной дыры. Обратная температура Хокинга Рн определяется как производная метрической функции д(р) на горизонте (g(ph) = 0), / = з-у ф+ and ф-, которые входят как аргументы в выражение (1.1.1), являются граничными значениями волнового поля на границе полу-инстантона ф+ = ф(ір = ); ф- = ф(ц = — ). Это задает граничные условия в функциональном интеграле.
Матрица плоіности р(ф\.,ф2+) как резульгат суммирования по _-модам, определяется функциональным интегралом по полям на полном инстантоне Е (—7Г ір 7г), за исключением разреза вдоль оси у = , где квантовое поле принимает значения ф± , соответственно, на верхнем и нижнем берегах разреза. След Тгр получается путем приравнивания значений поля на обоих берегах разреза и вычисления функционального интеграла на полном черно-дырном инстантоне Е, не накладывая никаких дополнительных оіраничений. Аналоїичным образом, следТгр" определяеіся как функциональный интеграл по полям, определенным на Еп, n-кратном накрытии пространства Е. Заметим, что Еп это многообразие с абелевой группой изометрии (генерируемой вектором dp), которая сіационарна на поверхности Е. Вблизи Е многообразие Еп выглядит как прямое произведение Еп = Е S С„, где Сп это двумерный конус с углом дифицита 5 = 2я(1 — п). Эта конструкция аналитически продолжается для произвольного (нецелого) п - а — 4-. Определим теперь статсумму как функциональный интеграл по полям, определенным на Еа, а-кратным накрытием Е. Геометрическая энтропия (1.1.3) определяется, стандартно, как
Величина /3 играет роль обратной температуры. После вычислений нужно положить (3 = Рн в (1.1 6). Предполагая, чю динамика квантового бозонного поля определяется дифференциальным оператором А получим, чю сгатсумма (1.1.5) дается детерминантом этого дифференциального оператора на Еа. Важным то, что Еа это пространство с конической сингулярностью, т.к. именно коническая сингулярность дает нетривиальный вклад в эффективное действие W(a) = — \nZ(a) в виде членов пропорциональных (1 — а). Как можно видеть, статсумма (1.1.5) имеет вид іеиловой статсуммы іде /3 играет роль обратной температуры и Я - соответствующий Гамильтониан. Этот факт был впервые установлен в [10] для пространства Риндлера Функциональный интеграл для геометрической энтропии в плоском пространстве был найден в [9]. Термальность соответствующей матрицы плотности была продемонстрирована в [20]. Общая конструкция функционального интеграла для произвольной статической черной дыры была предложена в работе [74], основываясь на волновой функции черной дыры, введенной в работе [17].
Расходимости, контр-члены и голографический теїпор энергии-импульса
В последние годы, попытки решить фундаментальные проблемы, возникающие в физике черных дыр, инспирировали формулировку новых физических принципов. Одним из наиболее важных является голографический принцип, предложенный Герардом тХоофтом [121] и развитый позднее Сасскиндом [122]. Согласно тХоофту, фундаментальные негравитационные взаимодействия нельзя рассматривать в отрыве ог гравитации и, в частности, пренебрегать возможностью образования черных дыр. Рассмотрим возбуждения квантового ноля, возникающие в ящике с характерным размером L. Согласно стандартным представлениям о квантовом ноле, энтропия этих возбуждений должна расти как объем L3 ящика. Однако, простые соображения показывают, что это не так. Действительно, при увеличении числа возбуждений внутри ящика, увеличивается их полная энергия и, следовательно, в определенный момент часть возбуждений коллапсирует и производит микроскопическую черную дыру. При дальнейшем увеличении числа возбуждений внутри данного ящика, размер черной дыры растет и в определенный момент заполняет весь ящик. Энтропия такой дыры определяется площадью поверхности I? (измеренной в планковских единицах) и это максимальная энтропия, которая может быть помещена в данный ящик. Таким образом, энтропия определяется площадью, а не объемом. Из этого наблюдения тХоофт сделал вывод, что число состояний в стандартной теории поля завышено и, на самом деле, любая теория в объеме может быть определенным образом спроектирована на поверхность, ограничивающую объем, и переформулирована в терминах друї ой теории, живущей на границе. Это, довольно общее уїверждение, известно как голографический принцип. Имеется конкретная реализация этого принципа - так называемое AdS/CFT соответ-сівие (AdS/CFT correspondence; AdS - пространство анти-де Ситтера, CFT -конформная теория поля). Это соответствие реализуется между супергравитацией (или, в общем случае, теорией струн (или М-теорией), низкоэнергетическое приближение которой дается супергравитацией) в пространстве анти-де Ситтера и конформной теорией поля (без гравитации), определенной на границе этого пространства. Это соответствие было предложено Малдаценой [123] и уточнено в работах [124], [126].
Интересно, что это предложение имеет свою предысторию. То, что гравитация в пространстве анти-де Ситтера содержит информацию о квантовой теории поля было впервые продемонстрировано в работе Брауна и Энно [127], где изучалась алгебра гравитационных связей, генерирующих асимптотические симметрии в 3-мерном пространстве анти-де Ситтера. Эти авторы обнаружили, что изучаемые связи образуют алгебру Вирасоро и вычислили соответствующий центральный заряд. Это было первым обнаруженным проявлением того, что в геометрии асимптотически AdS пространства может быть закодирована информация о конформной симметрии и квантовых аномалиях, возникающих в теории, определенной на просгрансіве одной размерностью ниже. Примерно в то же самое время, математики Фефферман и Грэм [128] исследовали чисго математическую проблему нахождения всевозможных конформных инвариантов и обнаружили, что такие инварианты естественным образом получаюіся из обычных инвариантов меірики, рассмотренных вблизи границы гиперболического пространства одной размерностью выше. Это выявило связь между конформной симметрией и пространством Эйнштейна с отрицательной кривизной. В своем анализе авторы [128] использовали метод асимптотического разложения, известный теперь как "разложение Феффермана-Грэма", который оказался крайне эффективным в физических приложениях.
Дуальность, сформулированная Малдаценой, представляет собой точные правила соответствия между іеориями в объеме и на границе. Это позволяеі делать предсказания для квантовой теории, исходя из классических вычислений в объеме. В частности, так вычисляется конформная аномалия [133]. Более того, полная структура квантового тензора энергии-импульса может быть получена из асимптотической геометрии гиперболического пространства [96], [130]. Общее решение, однако, имеется только в 3-мерном случае [96]. Важным элементом голографического описания является процесс декодирования голограммы, в результате которого гравитационная физика в объеме восстанавливается по данным заданным в конформной теории поля на границе. Эта проблема была решена в [97]. Было показано, что в качестве голої рафических данных следует взять метрику, представляющую конформный класс на границе, и тензор энергии-импульса конформной іеории поля на границе. Имеется точное предписание [97], как воссіановиїь метрику пространства-времени в объеме, исходя из этих юлої рафических данных.
К фундаментальной формы границы и 7 индуцированная меі-рика на границе. Граничный член необходимо добавить к действию для ют, чтобы вариационная проблема Дирихле была хорошо определена [140].
Согласно предписанию, данному в [123], [124], эффективное действие конформной теории поля дается функционалом гравитационного действия, вычисленного на уравнениях движения. Граничные значения поля при этом интерпретируются как исгочник для дуального оператора на границе. В случае метрики дуальный оператор есть тензор энергии-импульса конформной теории поля. Таким образом, необходимо решить уравнения Эйнштейна Rfiv — nRGtiv = GIW (2.2.2) при заданных значениях метрики на границе. Это типичная проблема Дирихле. В случае мегрики получение решения связано с известными сложностями из-за существенной нелинейности уравнений для метрики.
Метрика G удовлетворяющая уравнение (2.2.2) имеет полюс второго порядка на бесконечности. Поэтому следует рассматривать не индуцированную метрику на бесконечности, а конформный класс метрик. Это достигается путем введения определяющей функции г, т.е. положительной функции внутри многообразия М, которая имеет простой ноль и неисчезающие производные на границе. Тогда метрика на границе определяется как #(0) = r2G\dM- Очевидно, что любая определяющая функция г = rexptu допустима. Следовательно, метрика 5(о) определена с точностью до конформного преобразования. Таким образом, необходимо найти решение уравнений (2.2.2) при заданной конформной структуре на бесконечное і и. Это досіиіаеіся иуіем выбора нормальной системы координат, введенной Фефферманом и Грэмом [128], с радиальной координатой р = г2, определенной так, что р = 0 на границе. Компоненты метрики далее разлагаются по степеням р
Дуальное конформное описание пространства-времени Минковского
Приведенное вычисление корреляционных функций применимо, в частности, к пространству де Ситтера. 2-точечные функции (3.1.18) в этом случае определены на космологическом горизонте. Недавно, в литературе отмечался интерес к квантовой гравитации и теории струн на пространстве де Ситтера [157], [158]. В частности, была предложена некоторая дуальность dS/CFT [158], [157]. Конформная теория поля в этом соответствии определена на евклидовой гиперповерхности бесконечного прошлого в пространстве де Ситтера. Вычисление 2-точечных функций в этом случае аналогично вычислению, представленному в этом разделе. В частности, отмечалась необходимость [161], [166] рассматривать операторы с комплексной конформной размерностью и формулировать более общее граничное условие, допускающее как моды с h+, так и моды с h .
В предыдущем разделе было найдено, что оптическая метрика сферически-симметричного пространства-времени с горизонтом есть прямое произведение R1 (время) и евклидового пространства, асимптотического к пространству анти-де Ситтера. Как было показано в [98], это является свойством более широкого класса метрик с горизонтом. Рассмотрим статическую метрику общего вида
Последнее условие означает, что функция еа имеет простой ноль при р = О, где находится горизонт. В оптической метрике поверхность горизонта, определенная условием р = 0, есть граница на бесконечности. При условии, чю функция д1}(х,р) аналитична вблизи р = 0 и принимает значение g(o)t]{x) при р = 0, найдем, что пространственная метрика в (3.1.19), действительно, описывает асимптотически (при р - 0) пространство анти-де Ситтера. Параметр / в (3.1 19) определяет радиус анти-де Ситтера. Обратная температура Хокинга, определенная по отношению к вектору Киллинга t = dt, равна
Форма (3.1.19) являеіся общей для статической меірики с горизонтом Киллинга. Эта форма была предложена в работе [73] как off-shell метрика, описывающая просі ране іво-время вблизи горизонта черной дыры. Далее в этом разделе показывается, что метрика (3.1.19) действительна, также, on-shell как решение (с/+2)-мерных уравнений Эйнштейна, определяющих конкретный вид функций о{х,р) и gtJ{x,p).
Проанализируем, сначала, (d + 2)-мерные диффеоморфизмы, сохраняющие вид метрики (3.1.19). Этог анализ мотивирован тем, чю в случае пространства анти-де Ситтера конформные преобразования границы возникают как часть диффеоморфизмов в обьеме [127], [136], [97]. Вообще говоря, диффеоморфизмы f могут быть функцией х, р и времени t. Однако, ограничимся статическим случаем, dtp = дг — 0. Это, тем не менее, не означает, что не может зависеть В высших порядках явные выражения более сложные. Однако, общая структура уравнения на fc-ый коэффициент всегда имееі вид где Хщ - полином по коэффициентам фи, р к и их производных. Таким образом, фа (х) полностью определяется по предыдущим коэффициентам фи , фи , ..., фи и, в конечном счете, функцией фи (х). Отдельный анализ необходим для нулевой моды (и = 0). В этом случае вместо разложения (3.1.33), (3.1.34) следует рассмотреть
В этом случае, ф- и ф- секторы связаны друг с друюм через уравнения поля. Тем не менее, две функции, ф(о)(х) и ф(о)(х), заданные на горизонте, полностью определяют все члены в разложении (3.1 39). В нервом порядке по р, например, получаем
Таким образом, для каждой частоты и следует задать пару функций фи (х) и фи (х) (ф(о)(х) и ф(о)(х), если и = 0) на горизонте для тою, чюбы восстановить скалярное поле везде в объеме. Этот набор функций образует "голографичес-кие данные" на, горизонте. Напомним, что, как было показано выше, для ш О одна из функций fb (x) и ф[.ш(х) (а, также, щ, (х) и ip-l(x)), имеют интерпретацию источника для дуального конформного оператора, а другая имеет смысл вакуумного ожидания дуального оператора. Таким образом, имеем довольно полную аналої ию с восстановлением скалярного поля в анти-де Ситтере, рассмотренным в предыдущей главе.
В этом разделе рассмотрим вопрос о восстановлении метрики пространства-времени по данным на горизонте. Как оказывается, для этого достаточно задать метрику на поверхности горизонта. Для простоты, рассмотрим статический случай. Метрика в объеме является решением (d + 2)-мерных уравнений Эйнштейна
Локализация гравитационного поля на деситтеровской бране
Интерес к локализации гравитационного взаимодействия на бране, помещенной в пространство-время с нетривиальной геометрией, начался с работы Рандалл и Сандрум [150]. В этой рабоїе рассматривалась плоская брана в пространстве анти-де Ситтера и показывалось, что несмотря на то, что гравитация в балке является 5-мерной, і равитационное поле на бране имеет 4-мерный характер вследствие присутсівия нормируемой нулевой моды в спектре 5-мерных гравитационных возбуждений. Эта мода играет роль 4-мерного гравитона. Заметим, что дополнительное измерение в этом сценарии является фактически бесконечным. Позднее, другая интересная модель была предложена Грегори, Рубаковым и Сибиряковым [180], где гравитация оказывалась локализованной на бране только на промежуточных масштабах и принимала 5-мерный характер на ультра-малых и ультра-больших масштабах. 4-мерная гравитация на промежуточных масштабах в этой модели переносится резонансным состоянием в гравитационном спектре 5-мерной теории. Несколько других моделей со схожим поведением было предложено [181], [182], [190], [191], получивших название "квази-локализованной гравитации". Зіи модели представляют интерес, поскольку, как было предложено в работе [192], в этих моделях может быгь решена проблема космологической постоянной (КП). В большинстве таких моделей рассматривается плоская (или Риччи-плоская) брана. Однако, эффект кривизны может оказаться существенным. К тому же именно для кривой браны проблема КП может быть подходящим образом рассмотрена. Это мотивировало анализ в работе [111], где рассматривалась проблема локализации гравитации на бране с геометрией де Ситтера (в дальнейшем употребляется термин "брана де Ситтера"). Перед тем, как перейти к изложению этого анализа, отметим, что фокус будет сделан на поперечно-бесследовых модах гравитона, что позволяет оставить в стороне тензорную структуру пропагатора гравитона, редуцировав проблему к рассмотрению эффективного скалярного волнового оператора.
Рассмотрим конфигурацию из трех бран, расположенных вдоль оси у : видимой браны при у = уо и двух невидимых бран при у = у\ у0 и у = -у\. Пространство-время между видимой и невидимыми бранами выберем пространством анти-де Ситтера (при —у\ у у{) и пространством Минковского
Вся конфигурация Z2 симметрична относительно видимой браны, так что в дальнейшем рассмотрим только половину пространства-времени, справа 01 видимой браны. Метрику выберем в виде
Как AdS, так и пространсіво Минковскою допускают покрытие слоями постоянной кривизны (это обстоятельство обсуждалось в главе 3) где к = 1 для покрытия деситтеровскими слоями и к = 0 для расслоения с плоскими слоями, А - произвольная размерная постоянная. Все величины с волной определены в терминах метрики g,w. Пятимерный тензор Риччи есть ноль для пространства Минковского и пропорционален метрике для AdS, с коэффициентом пропорциональности — 4ft2. Без потери общности выберем А = к 0. Удобно ввести новую координату z:
Для браны, помещенной в точке у (z), условие сшивки Израэля связывает натяжение браны со скачком производных скалярною фактора г = [дуА{у)\ = keA [dzA(z)\. (4.2.43) Нас будут интересовать возмущения вдоль браны. Возмущенная метрика принимает вид йь2 = dy2 + (е-2АЫ д {х) + h (x, у)) dx4xv , (4.2.44) где гравитационное поля гравитона кц„(х,у) является бесследовым и удовлетворяет
Рассмотрим пропагатор для возмущения (4.2.44). 5-мерный пропагатор для поперечно-бесследовой части возмущения находится из уравнения (V2 + 2ft2) Affix, у; х , у ) = Съ8(у - У ) , (4.2.45) где G5 есть 5-мерная постоянная Ньютона. Представим решение этого уравнения в виде интеграла Фурье tff(x,y;x ,y ) =J-0 f (p,x,x )APM) е4А , (4.2.46) 119 по модам, определенным на бране и удовлетворяющим уравнению
Фактор ехр(4Л(г/о)) включен в (4.2.46), поскольку в (4.2.46) разложение идет по р-импульсу. Конечные выражения, однако, должны быть получены для физического импульса р на видимой бране. Два набора мод связаны соотношением р2 = р2ехр+2Л(г). Таким образом, величина Ар(у, у ) оказывается выраженной в терминах физического импульса.
Вычисление эффективного пропаїатора гравитона на бране, погруженной в 5-мерное пространство-время анализировалось в работе [194]. Приведем здесь основные моменты этого анализа, которые окажутся полезными в дальнейшем. Определяя пропагатор в импульсном представлении как
Для z ф z , уравнение (4.2.49) представляет собой аналоговое уравнение Шре-дингера. В зависимости от юю, как два аргумент в функции пропаїаіора соотносятся по отношению друг к другу определим две функции: A (z, z ), если z z , и Д (.г, z ), если z z . Общее решение, таким образом, определяется четырьмя константами интегрирования в каждой области пространсіва-времени. Эти константы фиксируются таким же числом условий. Будем считать, что функция пропагатора непрерывна при z = z . Ее производная, однако, имеет скачок, который легко определить проинтегрировав уравнение (4.2.49) от z = z — є до 2 = г + си взяв предел б к нулю
К тому же, следует наложить условие на бесконечности. Потребуем, чтобы имелись только уходящие волны, т.е. на бесконечности не имеется источников, которые бы производили входящие волны.
В дальнейшем нас будет интересовать распространение сигнала между двумя точками на видимой бране, поэтому положим z = z = z0. Заметим, однако, что фактическое распространение сигнала при этом идет как вдоль браны, так и через промежуточные точки в балке вне браны. Таким образом проявляется 5-мерный характер пропагатора. Из уравнения (4.2.48) получим пропагатор как функцию физического импульса на бране
