Содержание к диссертации
Введение
Часть 1 Дифференциально-алгебраические алгоритмы для многопетлевых вычислений 22
1 Алгоритмы для интегралов, не имеющих безразмерных параметров 22
2 Дифференциально-алгебраический алгоритм для произвольных петлевых интегралов 28
Часть 2 Теория асимптотической операции 37
3 Асимптотические разложения в феноменологических задачах физики частиц 37
4 Задача об асимптотических разложениях в пертурбативной КТП 61
5 Формальная постановка задачи об асимптотических разложениях пертурбативных интегралов 82
6 Зачем разлагать произведения сингулярных функций в смысле о.ф.? 91
7 Асимптотические разложения о.ф. Определения и общие результаты 114
8 Пример; разложение скалярного пропагатора 128
9 Приложения к однопетлевым пертурбативным интегралам 141
10 Евклидова асимптотическая операция 149
11 Комбинаторика R-операции в схеме MS 173
12 Обращение R-операции и ^-отображение 187
13 Перенормировка мультилокальных операторных вставок 194
14 Разложения по тяжёлым массам 197
15 Обобщённые операторные разложения 214
16 Причинные сингулярности и асимптотическая операция 229
17 Одномерные обобщенные функции, связанные с причинными сингулярностями 249
18 Произведения о.ф. Сохоцкого в D > 1 256
19 Контрчлены для неевклидовой асимптотической операции 272
20 Теория возмущений с нестабильными фундаментальными полями 292
21 Применение к теоремам факторизации пертурбативной КХД 310
Часть 3 Задачи обработки экспериментальных данных для процессов с адронными струями 329
22 Проблема оптимального определения адронных струй 329
23 Оптимальные наблюдаемые и неравенство Фишера-Фреше-Рао-Крамера 349
24 Оптимальное определение струй 353
Заключение 364
Список литературы..., 369
Всего 389
- Задача об асимптотических разложениях в пертурбативной КТП
- Приложения к однопетлевым пертурбативным интегралам
- Обобщённые операторные разложения
- Теория возмущений с нестабильными фундаментальными полями
Введение к работе
Будем говорить о физике высоких энергий — т.е. о тех разделах физики элементарных частиц, которые изучаются в экспериментах на ускорительных установках У-76 (Протвино), Tevatron (FNAL, США), LEP и LHC (CERN), DESY (Германия), КЕК (Япония) и т.п. Физика высоких энергий является зрелой наукой в том смысле, что, с одной стороны, экспериментальная техника позволяет проводить измерения высокой точности, а с другой стороны, имеется фундаментальный и хорошо развитый теоретический формализм — пертурба-тивная калибровочная теория квантовых полей (ПКТКП; см. [33]-[35]), — согласие которого с экспериментальными данными является уникальным для естественных наук (около 13 значащих цифр [46]). Даже когда речь идет о поиске новых частиц или «новой физики», соответствующие измерения требуют весьма серьезной расчетной поддержки, т.к. сигналы о новых процессах могут материализоваться только на фоне электро- и хромодинами-ческих процессов [47]. Даже калибровка пучков ускорителей не может обойтись без весьма серьезных квантово-полевых расчетов, как это было, например, в случае ускорителя LEP/CERN, где потребовались расчеты на двух-петлевом уровне с суммированием бесконечных серий вкладов мягких фотонов для полностью эксклюзивного процесса рассеяния электрон-позитронной пары (см. обзор [48]). Такие расчеты требуют целой вычислительной индустрии, занимаются ими десятки теоретических групп, а их трудность не только количественная, но и качественная: широкий спектр необходимых математических и вычислительных методов, а также многоаспектность и «многоуровневость», зачастую затрудняющая даже просто точную постановку задач. При этом, как правило, конечные «ответы» нужны (для передачи экспериментаторам, занимающимся обработкой данных) не в виде числа или даже функции, реализованной как формула или подпрограмма, а в виде генератора событий, поддерживаемого целой программной библиотекой, позволяющей настраивать его на различные процессы из некоторого класса (ср. [49]). Неудивительно, что состояние дел в физике высоких энергий характеризуется хроническим и нарастающим отставанием теоретических расчетов от экспериментальной деятельности [50]; экспериментаторы накапливают огромные объемы данных, извлечь из которых всю физическую информацию не удается из-за отсутствия соответствующих теоретических расчетов. Например, до настоящего времени отсутствуют полные теоретические расчеты на 1-петлевом уровне для закончившего свою работу ускорителя LEP2/CERN.
Вычислительные задачи в физике высоких энергий возникают как у теоретиков, так и у экспериментаторов (обработка данных). Сначала рассмотрим теоретические задачи.
В любом физико-теоретическом формализме есть два основных типа задач:
А) конкретные вычисления;
Б) качественное исследование предсказаний теории.
В рамках ПКТКП физические процессы описываются бесконечными рядами (разложениями по константам связи); членами рядов являются объекты, имеющие гибридную природу интегралов и обобщенных функций. Будем называть такие объекты пертурбативяыми интегралами. Их наивная интерпретация как обычных интегралов приводит к хорошо известным трудностям — т.наз. расходимостям (см. обсуждение этих вопросов в [20]). Сложность пертурбативных интегралов растет с ростом порядка теории возмущений, к которому они относятся, в частности с ростом числа импульсных интеграции, совпадающего с числом петель в соответствующей фейнмановской диаграмме; поэтому еще говорят о проблеме вычисления многопетлевых интегралов.
Что касается конкретных вычислений пертурбативных интегралов, то здесь имеются следующие особенности:
Обобщенная природа, проявляющаяся в наличии разного рода сингулярно-стей и расходимостей, с которыми нужно корректно разобраться (обычно это делается вручную) посредством разного рода «вычитаний», прежде чем можно будет совать интеграл в компьютер для численного расчета. Например, Киношита говорит о том, что на это уходит львиная доля усилий вычислителя в численных расчетах для аномального магнитного момента лептонов (ср. [46] и ссылки там).
Большое количество внешних параметров. Редукция их числа с помощью разложений по части из них во многих случаях является ключом к получению высококачественных теоретических предсказаний.
В плане качественного исследования пертурбативных интегралов центральная, главная и ключевая задача — получение асимптотических разложений в различных асимптотических режимах относительно внешних параметров. Известно, что асимптотические разложения, вообще говоря, допускают значительный произвол. Однако в нашем случае есть две особенности:
о Пертурбативные интегралы являются членами ряда ПКТКП, притом бесконечного, и обычно (а для асимптотически свободных моделей практически всегда) необходимо какое-то суммирование подпоследовательностей ряда.
о Пертурбативные интегралы между собой структурно коррелированы, что отражает структуру фундаментальных уравнений, из которых ряд и получается. Эта структурная коррелированность должна сохраняться и эксплуатироваться, например, чтобы выполнить упомянутые суммирования.
Эти особенности накладывают довольно жесткие ограничения на тип искомых разложений, о которых будет сказано в своем месте. 7
Что касается экспериментальных расчетов, то речь здесь в общем плане идет, как и в других областях физики, о математико-статистическом оценивании параметров теоретических моделей по экспериментальным данным. Специфика физики высоких энергий в том, что рассматриваемые здесь случайные величины (события) суть точки в практически бесконечномерных пространствах (например, достаточно типичный детектор DO/Fermilab регистрирует 0(1000) сигналов в каждом событии [51], причем количество сигналов от события к событию флуктуирует). В результате теоретическое описание для соответсвующих плотностей вероятности обычно принимает вид не аналитической формулы, а генератора случайных событий, и непосредственное использование лучших статистических методов оценивания параметров (метод максимального правдоподобия) оказывается невозможным.
В настоящей работе суммируются исследования автора [1]—[32] вместе с примыкающими работами, выполненными с учениками и др. соавторами [54]-[57], [67], [94]—[109], [284]-[287], по всем трем из указанных общих классов вычислительных задач физики высоких энергий. В каждом из классов автору принадлежат как корректные постановки конкретных задач, так и ключевые результаты, развившиеся или развивающиеся в научные направления.1
Структура работы
Работа состоит из 24 глав, сгруппированных в три части (по числу основных вычислительных задач физики высоких энергий), заключения и списка литературы. Три части работы сильно не равны по объему, и отчасти так вышло само по себе, а отчасти сделано намеренно: великая теория асимптотической операции заслуживает достойного обрамления из пусть не таких великих, но тоже отличных теорий,
В части 1 (главы 1-2) рассматривается задача вычисления пертурбативных интегралов. Описываются изобретенные автором дифференциально-алгебраические алгоритмы многопетлевых вычислений (известные еще как «алгоритмы интегрирования по частям»). Существует две основных типа таких алгоритмов:
1) Алгоритмы, основанные на дифференциально-алгебраических тождествах в импульсном представлении [1]. Такие алгоритмы применяются к интегралам, не имеющих безрамерных параметров и обычно возникающих после упрощения задачи другими методами (в основном с помощью формул, найденных в рамках теории асимптотической операции, которой посвящена часть 2 данной работы).
2) алгоритмы, использующие тождества в фейнмановской параметризации [3] и теоретически применимые практически к любым интегралам, описывающим виртуальные поправки.
Что касается алгоритмов первого типа, то им была посвящена кандидатская диссертация автора [53] и этот тип алгоритмов хорошо известен. Изобретение этих алгоритмов изменило представления о вычислимости пертурбативных интегралов [64]. Реализация этих алгоритмов в виде программ, осуществленная под руководством автора [54]-[57], свела вычисления, о возможности которых ранее и не помышляли, к кодировке и вводу соответствующих интегралов в компьютер. На этой почве расцвело несколько научных карьер и выросла целая международная вычислительная индустрия (группы в Дубне, Амстердаме, Карлсруэ, Билефельде, Болонье, Эдмонтоне), в рамках которой выполнено множество физических расчетов разного масштаба, в том числе такие широко 9
цитируемые и установившие пока не превзойденный уровень искусства в данной области, как [79]—[83]. По свидетельству независимых специалистов [63], алгоритмы этого типа стали самыми популярными для многопетлевых аналитических расчетов, причем область их применимости постоянно расширяется (см. ниже гл. 1 о применении к вычислению интегралов по фазовому пространству с реальными частицами).
Изобретение алгоритмов второго типа — которым в данной работе уделяется основное внимание — обещает стать еще более революционным благодаря их применимости к интегралам с произвольными массами и внешними импульсами. Уже можно указать на итальянский проект с амбициозным названием Topside («Капитанский мостик») [52], в рамках которого уже только на основе простейшей формулы из [3] осуществлен как прорыв в автоматизации одно-петлевых вычислений, так и прорыв в направлении систематических вычислений на уровне двух петель в Стандартной Модели.
Центральная вторая часть работы (главы 3-21) посвящена проблеме асимптотических разложений пертурбативных интегралов по массам и внешним импульсам, являющейся одной из основных, главных и центральных в ПКТКП. За более чем 50 лет существования квантовой теории поля опубликовано необозримое число работ, так или иначе затрагивающих эту тему. Однако то, что сделано здесь автором в рамках созданной им и развитой им с учениками теории асимптотической операции, превзошло воображение всех, кто пробовал свои силы в этой теме: нет никаких свидетельств тому, что кому-либо когда-либо приходило в голову, что можно дать полный алгоритм выписывания асимптотического разложения для произвольного пертурбативного интеграла — причем пригодный как для виртуальных, так и для унитарных интегралов с реальными частицами в эксклюзивным фазовом пространстве — в произвольном асимптотическом режиме в пространстве Минковского, притом разложения, максимально удобного для вывода соответствующих «операторных разложений» или «теорем факторизации».1 Такой алгоритм и называется асимптотической операцией, а его нахождение [16] в результате 15-летнего усилия (начиная с [4]) является (особенно с учетом всех интриг, сопутствовавших развивавшейся теории) выдающейся заслугой автора.
Начинать следует с правильной постановки задачи, для чего нужно хорошенько ее рассмотреть в разных контекстах, что и делается в главах 3-4. Итог этим разысканиям подводится в гл. 5. Выделим требование «совершенной факторизации» 5.13, важность которого впервые была осознана нами [5], [6], и которое играет ключевую роль и в рекурсивном построении асимптотической операции. Это свойство сохраняется при алгебраических и тому подобных операциях, нетривиальным образом облегчая жизнь даже в таком, например, отношении, как вывод калибровочных свойств типа тождеств Ворда-Такахаши-Славнова-Тэйлора для разложенных пертурбативных интегралов.
В главе 6 обсуждается обобщенно-функциональная природа задачи, и в этом состоит, пожалуй, главное открытие автора, благодаря которому в конечном счете и удалось построить асимптотическую операцию. Вкратце открытие можно сформулировать так: чтобы разложить пертурбативные интегралы по внешним параметрам, нужно разлагать их подынтегральные выражения Б смысле обобщенных функций, и тогда решение приобретает детерминированный характер, эффективно использующий рекурсивную структуру пертурбативных интегралов (имеется в виду рекурсия, выражаемая на графическом языке формулой граф — подграфы, которая для подынтегральных выражений до интеграции эквивалентна тривиальному произведение - подпроизведения — в отличие от интегралов, для которых эту рекурсию использовать совершенно невозможно). Детерминированный характер построения означает, что в отличие от методов теории БПХЦ, где требуется знание конечного ответа, чтобы начать доказательства, в теории асимптотической операции доказательство фактически совпадает с выводом, причем вывод во всех случаях — для любых интегралов и асимптотических режимов — производится по одной и той же механической общей схеме, состоящей из итерации одного и того же ключевого шага (описываемого т. наз. принципом продолжения; см. ниже).
Главная трудность, которую пришлось преодолеть при построении теории,
— это отсутствие готовых математических методов для эффективной работы с многомерными сингулярными обобщенными функциями, особенно в контексте задачи об их асимптотическом разложении по параметрам. Поэтому пришлось обратиться к основам и взглянуть на проблему с общей точки зрения разложения по параметру линейных функционалов (гл. 7). Главный результат здесь
— принцип продолжения (разд. 7.26), следующий общей схеме классической теоремы Хана-Банаха о продолжении функционала с подпространства на пространство. Однако в нашем случае, в отличие от теоремы Хана-Банаха, речь идет о сохранении при продолжении не свойства быть ограниченным полунормой, а свойства аппроксимировать с заданной точностью исходный, разлагаемый по параметру функционал. Мне с самого начала было ясно, что как только задача сформулирована в терминах обобщенных функций, именно этот результат является ключом к построению любых разложений, так что теория первоначально возникла- не как «теория асимптотической операции», а как теория «принципа продолжения» [1]. Я был прав в том, что для получения полного решения задачи кроме принципа продолжения нужно, в сущности, лишь терпение (хотя и в большом количестве). Однако уровень абстракции принципа слишком удален от конечной цели — разложений пертурбативных интегралов. Поэтому в итоге естественной эволюции теории возник промежуточный уровень — уровень асимптотической операции для произведений сингулярных функций.
(Есть еще асимптотическая операция для интегралов, получающаяся из асимптотической операции для произведений пропагаторов тем, что явно отынтегрированы все « -функции; см. разделы 14.1 и 15.1. Но на этом уровне теряется связь с эвристиками, приведшими к ответу. Кстати говоря, именно на этом уровне оперирует теория БПХЦ, и именно поэтому ее методами ни разу не удалось получить ни одного существенного нового результата: она возникла как средство лишь формальной проверки результатов, открытых другими методами — Л-операция Боголюбова, операторное разложение, асимптотическая операция — и таковым останется, по-видимому, навсегда, потому что нерешенных задач, в которых метод БПХЦ как инструмент теоретического поиска мог бы с пользой применяться, после создания неевклидовой асимптотической операции, по-видимому, не осталось.)
Гибкость и мощь нового метода доказывается тем фактом, что разложения произведений пропагаторов в смысле обобщенных функций коммутируют с умножением на полиномы 10.91. Это позволяет буквально одним махом избавиться от усложнений, возникающих из-за нескалярных частиц и взаимодействий с производными и традиционно представлявших предмет отдельного исследования.
В целом, говоря об обобщенно-функциональной точке зрения на задачу, следует подчеркнуть, что здесь автором была открыта и развивается тема, составляющая новую прикладную главу в теории обобщенных функций.
Кстати говоря, открытие принципа продолжения весной 1981 г. было непосредственно мотивировано аналогией с работой Боголюбова 1952 г. [91], в которой была сформулирована обобщенно-функциональная точка зрения на проблему ультрафиолетовых расходимостей. Но эта тема не была развита ни самим Боголюбовым, ни его школой (см. об этом в [20]; заметим, что указанная работа Боголюбова даже цитируется неправильно — без связи с ультрафиолетовой проблемой — в основной книге [ЗЗ]).1 Показ механизма принципа продолжения на простых примерах дается в главах 8 и 9. При этом попутно вводится еще одно новая, весьма важная в техническом плане идея (на самом деле это результат внимательного разглядывания структуры получающихся разложений) о том, что УФ перенормировку можно сформулировать как вычитание из подынтегрального выражения в импульсном представлении до проведения любых интеграции членов, отвечающих за «плохое» поведение, в асимптотическом разложении подынтегрального выражения при больших значениях радиальной компоненты совокупной переменной интегрирования, причем разложение следует (в соответствии с природой этой подзадачи) трактовать в смысле обобщенных функций вне начала координат (фактически по угловым переменным) [8]. Идея эта важна потому, что сводит проблему разложения УФ-перенормированных интегралов к проверке коммутативности разложений по параметрам разложения исходной задачи и по большим импульсам интегрирования, что, в свою очередь, рекурсивно сводится к тривиальной проверке коммутативности некоторых разложений лропагаторов (детали на эту тему можно найти в [107], [109]). Здесь уже видна полезность рекурсивного взгляда на задачу о разложении произведений сингулярных функций в смысле обобщенный функций; идет своеобразная «осцилляция» от задачи о разложении к задаче об УФ перенормировки для подграфов и обратно, причем на каждом шаге строго уменьшается размерность пространства интегрирования, на котором «живут» сингулярные функции, с которыми идет работа.
В более формально написанных главах 10-15 дается сжатый вывод асимптотической операции для произвольных евклидовых асимптотических режимов ([7]-[9], [95]—[100]): сначала в варианте для произведений сингулярных функций (при этом большая часть формализма не зависит от предположения евкли 14
довости, чем мы в дальнейшем и воспользуемся), а затем и для интегралов. При этом детально рассматривается важный для вывода разного рода операторных разложений и теорем факторизации комбинаторный аспект задачи. При этом обосновываются найденные ранее [5], [94] в предположении существования таких разложений формулы для расчетов коэффициентных функций операторного разложения, а еще выводятся и новые формулы для разложений по большим массам (гл. 14). Формулы для операторных разложений широко испольуются для важнейших расчетов моментов структурных функций глубоко-неупругого рассеяния [119]—[123], позволивших выйти в этой физической задаче на уровень NNLO точности [124] (через посредство обращения мелли-новских моментов и получения соответствующих ядер уравнений эволюции ГЛАПД). Формулы для разложений по массам (в т.ч. в комбинации с операторными разложениями, 15.26) тоже достаточно широко используются [125]-[131].
Непосредственно важные для физических приложений интегральные формулы евклидовой асимптотической операции, впервые полученные в работах [95] -[96], были верифицированы независимыми методами в работах [110]—[112]1.
Перечислять все работы, где используются формулы евклидовой асимптотической операции, здесь нет возможности, однако следует заметить, что далеко не во всех этих работах (особенно это касается работ, выполняемых при участии наших бывших коллег в Амстердаме, Карлсруэ и Билефельде) присутствуют корректные ссылки на наши и ГЛэ.Пивоварова оригинальные публикации, хотя работы 1984-1986 гг. легко доступны в Сети (хотя бы через электронную библиотеку КЕК) — и уж тем более были доступны нашим упомянутым бывшим коллегам в 80-х гг., являясь неопровержимым доказательством как нашего научного приоритета в этих вопросах, так и научной недобросовестности упомянутых наших бывших коллег. Разнообразные рассуждения по вопросам, в той или иной степени родственным теории евклидовой асимптотической операции, занимали видное (обычно главное) место в теоретической части ряда диссертаций: кандидатских С.Г.Горипшего, С.А.Ларина и Г.Б.Пивоварова и докторских С.А.Ларина, К.Г.Четыркина и В.А.Смирнова. В плане развития теории асимптотических разложений пертурбативных интегралов присутствовала в диссертациях Горшпнего [94], [ПО] и Г.Б. Пивоварова [95]-[97], [114], [99].
Распространению метода асимптотической операции на физически гораздо более интересный класс неевклидовых режимов (включая унитарные пертурба-тивные интегралы с реальным эксклюзивным фазовым пространством) посвящены гл. 16-19. В главах 16-18 (основанных на [15]) трактуются известные уравнения Ландау [237] для классификации сингулярностей в пространстве Минковского на пинчевые и непинчевые. В рамках нашей обобщенно-функциональной теории необходимо избавиться от всякого рода деформаций контуров в комплексную плоскость при интерпретации уравнений. Предмет сей не является необходимым для собственно неевклидова обобщения асимптотической операции, но весьма полезен для физических интерпретаций получающихся теорем факторизации: например, тот факт, что интеграции по функциям распределений партонов в пертурбативной КХД идет по интервалу от 0 до 1 вместо всей вещественной оси, имеет место именно благодаря обнулению контрчленов для непинчевых сингулярностей за пределами интервала.
Наконец, в главе 19, основанной на работе [16], дан финальный рецепт построения контрчленов асимптотической операции в произвольных неевклидовых режимах. Краткость собственно рецепта выглядит разочаровывающе после всех усилий, приложенный к его получению. Суть дела в следующем. Новым элементом рецепта по сравнению с евклидовым вариантом является необходимость выполнять вторичное разложение в контрчленах, т.наз. гомогенизацию. Необходимость вторичного разложения (диктуемая природой метода), общий характер которого диктуется методом, была мне ясна уже в 1992 г. (см. упоминание в [11]). Однако тогда же объявить о решении неевклидовой задачи помешало то, что при разном выборе скейлинга при гомогенизации формулы вроде бы получаются разные, хотя рассуждения, приводящие ко вторичному разложению, абсолютно никак не должны были бы зависеть от конкретного выбора скейлинга. Это был единственный раз, когда я не последовал до конца за логикой своего метода и отложил задачу (столь силен был гипноз всеобщего предрассудка о чрезвычайной сложности общей неевклидовой задачи). Однако доведя до конца вычисления в нетривиальном двухпет-левом примере, было обнаружено, что поскольку вторичные разложения должны — как и упоминавшиеся выше вспомогательные разложения, приводившие к УФ переномировке — выполняться в смысле обобщеных функций, нужно добавлять нетривиальные контрчлены, причем эти контрчлены (и даже само их наличие или отсутствие) — как и формальная часть разложения — зависят от выбора скейлинга. Эта двойная зависимость от выбора скейлинга (в формальной части разложения и в контрчленах) полностью самоликвидируется в ответе (поскольку контрчлены всегда содержат интеграции, «перемешивающие» соответствующие формальные разложения и вторичные контрчлены), как и должно быть при аккуратных вычислениях, с необходимостью, поскольку общая логика рассуждений проста и прозрачна настолько, что ошибкам там прятаться негде. Поэтому окончательный результат состоит в том, что проблемы выбора скейлинга для вторичного разложения в рамках метода асимптотической операции (если применять метод с надлежащей неуклонностью) просто нет. Таким образом, задержка с объявлением решения на 5 лет произошла из-за несуществующей проблемы. (Впрочем, именно благодаря этому обстоятельству получила шанс возникнуть теория наблюдаемых для изучения адронных струй, изложенная в части 3 данной работы.)
В главах 20 и 21 с помощью неевклидовой асимптотической операции рассматриваются две задачи, выбранные автором для первоочередного исследования из множества неевклидовых задач по двум причинам. Во-первых, обе эти задачи имеют весьма фундаментальных характер. Во-вторых, в них принципиально фигурирует реальное фазовое пространство, и от обобщенных функций в окончательных ответах — в отличие от евклидовых задач — невозможно избавиться.1
В главе 20, основанной на [17], строится систематическая калибровочно-инвариантная теория возмущений для моделей с нестабильными фундаментальными полями. Последний раз существенный прогресс здесь произошел в 1963 г. [265], а по мере роста интереса к изучению Z и W-бозонов в рамках Стандартной Модели выявились недоработки в методе Вельтмана, которые и решает строимая нами теория возмущений. Изюминка здесь в том, что разложение по константе связи строится сразу для вероятностей, минуя амплитуды, и что конечный шаг разложения подобен разложениям по малым массам, хотя и с неевклидовыми усложнениями. Результат состоит в том, что в окончательном ответе формальные расходимости из-за нестабильных частиц следует компенсировать с помощью некоторых контрчленов, но в отличие от более привычной ситуации с УФ расходимостями и Л-операции Боголюбова, конечные части контрчленов здесь однозначно фиксированы предписаниями асимптотической операции. Калибровочная инвариантность здесь гарантируется автоматически, а максимальная алгоритмическая простота заложена в ответы, что называется, изначально (это подтверждается легкостью вычислений нетривиальных контрчленов на 2-петлевом уровне [18]). Применению новой теории возмущений к физическим задачам посвящена серия работ [277], в которых численными расчетами подтверждено, что использование новой теории дает определенные (иногда значительные) преимущества в плане точности получающихся теоретических предсказаний по сравнению с более традиционными подходами.
В главе 21, основанной на работе [19], метод неевклидовой асимптотической операции применяется к анализу задач пертурбативной КХД. Воспроизводятся стандартные теоремы факторизации (процессы Бьеркена и Дрелла-Яна), обнаруживается существование явных вычислительных формул для ядер уравениЙ эволюции ГЛАПД (в виде абсолютно сходящихся интегралов по компактным областям). Наконец, те же методы применяются к задаче о поведении полных сечений при больших $, и результат для этого режима является естественной модификацией хорошо известных результатов для процессов- Бьеркена и Дрелла-Яна. При этом обнаруживается, что программа факторизации не может быть выполнена до конца, т.к. вычитания т.наз. мягких сингулярностей требуют гипотез о поведении партонных распределений при малых х. Существенно то, что наш метод учитывает не только ведущие, но и вообще все логарифмические поправки, тогда как известная и весьма популярная теория КЛФБ (которую на самом деле следует считать сложной гипотезой) [281], [282] опирается на анализ исключительно ведущих логарифмов. Получаемая нами картина фактически опровергает картину КЛФБ. Однако для окончательных выводов в наших результатах нужно явно выделить часть, соответствующую уравнению КЛФБ, и конкретно указать, в чем именно состоят упущения теории КЛФВ. Это возможно, и я надеюсь этим заняться более плотно в обозримом будущем после того, как спихну сию обузу. А вообще уже только пертурбативная КХД предлагает много интересных задач, связанных с применением асимптотической операции, которыми можно было бы загрузить серьезную группу людей.
В качестве финального аллегретто для достойного обрамления многострадальной теории асимптотической операции, в части 3 (главы 22-24) несколько бегло описывается построенная автором в промежутках между размышлениями о неевклидовых асимптотических разложениях систематическая теория [21]-[32], позволившая решить проблему нахождения «идеального» определения адронных струй. Связь с прочими разысканиями автора состоит здесь в том, что первоначальной мотивацией было распространить вычислительные методы типа описанных в в гл. 1, оказавшиеся столь успешными для вычисления полных сечений, на случай процессов со струями, т.к. понятие сечения для процесса с фиксированным числом струй в конечном состоянии представляет собой в некотором смысле естественное обобщение понятия полного сечения. Кроме того, к задаче систематического изучения степенных поправок к таким величинам (являющейся по сути упражнением на применение неевклидовой асимптотической операции по схеме, описанной в [5]) можно обратиться только после корректного с точки зрения квантовой теории поля определения струйных наблюдаемых.
Как и в случае других задач, решения которых описываются в настоящей работе, решение данной потребовало научно-критического пересмотра самой постановки задачи: у нас задача рассматривается с неприменявшихся ранее «кинематических» позиций (анализ структуры ошибок измерения в калориметрических детекторах и т.п.)- Теория не содержит произвольных предположений и полностью основана на первых принципах физических измерений, математической статистики и ГОСТКП. Полученное «оптимальное» определение струй [27] допускает эффективную алгоритмическую реализацию, выполненную под руководством и при основополагающем вкладе автора [285]—[287] (автору принадлежит разработка первоначального алгоритма — см. комментарии в публично доступном программном коде, — а также окончательная верификация программы [28]).
Теория содержит ряд важных новых возможностей для повышения качества обработки экспериментальных данных в случаях прецизионных измерений или низкого отношения сигнал/шум [27], [32]. Эти возможности основаны на двух обстоятельствах.
Во-первых, это понятие оптимальной наблюдаемой, проливающее новый свет на фундаментальную теорему математической статистики (неравенство Фишера-Фреше-Рао-Крамера [307], [308]). Уточнение состоит в том, что мы нашли интерпретацию неравенства в терминах метода обобщенных моментов в задаче оценивания параметров (оптимальная наблюдаемая как раз и является оптимальным обобщенным моментом). Метод моментов обладает значительной алгоритмической гибкостью (в частности, он пригоден в ситуациях, когда вся информация о теоретической плотности вероятностей заключена в генераторе случайных событий при отсутствии явной аналитической формулы), однако до сих пор он считался второстепенным (например, упоминание о нем исключено из изданий влиятельного справочника Particles Data Group по крайней мере с 1998 г.). Наш результат позволяет эффективно задействовать алгоритмическую гибкость метода обобщенных моментов для повышения качества прецизионных измерений в физике высоких энергий. Построение соответствующих алгоритмов уже ведется; см. первый пример в [286], Можно еще указать на способ сравнения различных алгоритмов определения адронных струй, примененный в [286] и основывающийся на численном построении соответствующих оптимальных наблюдаемых и вычислении информации Фишера. Это первый (и, видимо, единственный) научный способ сравнения алгоритмов определения струй. До сих пор такие сравнения выполнялись с помощью критериев, выбранных более или менее наугад [297].
Во-вторых, это конструкции т.наз. С-алгебры калориметрических наблюдаемых [21], предназначенные для построения наблюдаемых, оптимально нечувствительных к ошибкам измерения и не использующих алгоритмов определения струй, но позволяющих описать свойства событий, обычно изучаемые в физике струй. «Апробацией» С-алгебры стал основанный на численных экспериментах проект группы североамериканских теоретиков и экспериментаторов Jet Energy Flow [312], ставящий своей целью детальное исследование наблюдаемых и конструкций С-алгебры как средства достижения 1 % уровня точности в физике адронных струй.
Еще ранее идеи С-алгебры (в частности, наблюдаемые, интерпретируемые как нецелое число струй) сыграли ключевую роль для измерения сигнала топ-кварка в чисто адронном канале (наиболее трудном для измерений из-за большого хромодинамического фона) в эксперименте D0/FNAL [305].
Как показывают тесты [286], выполненные в соответствии с вышеупомянутым критерием, основанным на вычислении информации Фишера, найденное нами оптимальное определение адронных струй, не уступая по качеству приобретшему в последние годы наибольшую популярность т-определению Ю.Докшитцера и др. [300], демонстрирует существенно лучшие скоростные характеристики при высоких множественностях событий (что особенно важно для будущих экспериментов на LHC) и, таким образом, приобретает статус кандидата на роль стандартного определения адронных струй.
Добавим, что в непосредственно примыкающей к нашей теории работе [284] существенно уточнено обоснование фундаментальной гипотезы [291], лежащей в основании физики струй. Гипотеза утверждает, что сравнение экспериментальных измерений, выполненных на уровне наблюдаемых адронов, с теоретическими расчетами, выполненными методами ПКТКП на уровне ненаблюдаемых кварков и глюонов, имеет смысл, если в обоих случаях используется одна и та же наблюдаемая (в смысле Дирака), обладающая свойством инвариантности относительно коллинеарной фрагментации частиц в конечном состоянии, поскольку это свойство обеспечивает сокращение коллинеарных расходимос-тей в соответствующих теоретических вероятностях (свойство известно как «инфракрасная безопасность»). Во-первых, найдено [22], что пертурбативное требование ИК безопасности следует усилить до т.наз. С-непрерывности. Во-вторых, в работе [284] доказана теорема, выражающая значения С-непре-рывных наблюдаемых через среднее значение по состояниям плотности оператора энергии-импульса, определенного пространственно-временными сим-метриями теории независимо от конкретного полевого представления. Поэтому фактически обсуждаемая гипотеза сводится к требованию существования в рамках КХД плотности оператора энергии-импульса как интегрируемой величины (т.е. в обобщенно-функциональном смысле).
В Заключении содержится список новых результатов, полученных автором и суммированных в данной работе, а также список благодарностей.
Работа заканчивается списком литературы, организованным в соответствии с трехчастной структурой данной работы.
Задача об асимптотических разложениях в пертурбативной КТП
Выше мы убедились, что практически в любом сложном применении КТП к физике частиц приходится иметь дело с получением и исследованием асимптотических разложений амплитуд (функций Грина и проч.) Поэтому не будет преувеличением утверждать, что решение этой задачи для любых асимптотических режимов является центральной аналитической задачей прикладной квантовой теории поля. Эта задача находится в поле зрения теоретического сообщества около 50 лет (ср. пионерскую работу [167]), однако добиться решающего прогресса удалось лишь недавно (см. о неевклидовой асимптотической операции в Части 3). Как обычно, главным препятствием на пути к полному решению являлось отсутствие достаточно ясного понимания того, в чем же конкретно эта задача заключается — т.е. какова её полная и корректная постановка. Поэтому полезно обдумать, в чём состоит конечный смысл деятельности, связанной с разложениями интегралов теории возмущений, имея ввиду сказанное выше. Понятие приближённого решения — в основе применения математических методов в естественных науках. Среди систематических методов построения приближенных решений — асимптотические разложения, являющиеся одним из основных иструментов теоретического исследования сложных физических систем. Такие системы описываются величинами, зависящими от большого количества параметров, причем именно количество независимых параметров — одна из главных характеристик «сложности». Теория должна указать решение для такой величины. Достаточно живучее мнение состоит в том, что «решением» является «точное» аналитическое выражение для искомой величины через элементарные или какие-либо специальные функции. (Примеры: «вычисление» некоторых многопетлевых интегралов через т.наз. функции Лауричелли в [217] или через бесконечные ряды обобщённых гипергеометрических функций в [221].) На самом деле замкнутая аналитическая точная формула, выражающая искомую величину во всей области изменения её аргументов в терминах некоторого класса специальных функций, может не быть автоматически «удовлетворительным решением» по следующим причинам; a)
Вычисление специальных функций, использованных в формуле, может быть слишком сложным, или их может быть бесконечно много. b) Редукция ответа к некоторому жёстко ограниченному стандартному функциональному базису обычно приводит к тому, что возникают разности членов с большими коэффициентами. Поэтому могут быть огромные численные сокращения в промежуточных вычислениях по такой формуле, приводящие к потере точности в конечном ответе (до 10 порядков; такие сокращения наблюдаются уже в однопетлевых расчётах в КХД [203]; в более сложных случаях проблемы только усугубляются). c) Формула может быть слишком сложна в чисто алгебраическом смысле и не приводить к практичному алгоритму в некоторых подобластях области изменения параметров (например, из-за сингулярностей) или допускать там настолько радикальные упрощения, что в достаточно больших областях пространства агрументов использование сложной точной формулы не может быть оправдано. При этом получение упрощённых выражение в сингулярных/граничных областях может быть отнюдь не тривиальной задачей (ср. чрезвычайно громоздкие выражения для однопетлевых поправок к амплитудам рассеяния партонов типа 2- 3, полученные в [218]). «Явные аналитические» ответы в сложных задачах, как правило, обладают всеми перечисленными чертами в разных пропорциях. Из сказанного следует, что в сложных реалистических ситуациях «удовлетворительное решение» — это, в конечном счете, целое семейство алгоритмов, позволяющее вычислить с заданной точностью искомую величину для любых значений её параметров за приемлемое время.
Чем эффективнее и проще алгоритмы и меньше их число, тем более «удовлетворительным» будет решение. Любые внешние свойства алгоритмов (замкнутая или итерационная формула, алгебраическое выражение или параметрический интеграл) являются вторичными.1 Такое семейство может содержать алгоритмы по крайней мере следующих двух типов в зависимости от того, в какой степени при их построении используется специфика теории, определяющей точное решение: Приближенные формулы типа интерполяционных, представляющие решение при «типичных» значениях параметров (обычно это точки области определения параметров вдали от границ и сингулярностей). Построение таких формул есть в чистом виде задача вычислительной математики и использует лишь чисто внешние, «кинематические» свойства точного решения (например, области гладкости). Здесь можно с равным успехом использовать математические инструменты разной природы — интерполяционные формулы, чебышевские приближения, и проч. В широкой исторической перспективе во всём этом мало нового: понятие решения претерпело аналогичную эволюцию в других разделах математической физики. Например, в теории дифференциальных уравнений классической механики это случилось ещё" в прошлом веке, в частности, в работах Пуанкаре, в которых акцент был перенесён на качественное исследование решений и создана систематическая теория асимптотических разложений для задач небесной механики.
Приложения к однопетлевым пертурбативным интегралам
Результаты предыдущих разделов могут быть теперь применены к однопетлевым интегралам. Мы сначала рассмотрим УФ-конечный случай, а затем покажем, как случай УФ расходящихся интегралов, перенормированных в схеме MS, может быть сведён, по существу, к случаю сходящихся интегралов. Главный нетехнический элемент наших рассуждений будет новое определение схемы MS через вычитания УФ асимптотик непосредственно из подынтегрального выражения, до каких-либо интеграции по импульсам (см. 9.18 и [102], [105], [107]). Можно было бы ожидать (ниже мы обсудим этот пункт подробнее), что хотя «пробная функция» (р2 + М2 у2 не является настоящей (быстро убывающей) пробной функцией, её убывание при р — х всё же достаточно быстро, чтобы можно было просто подставить разложение 8.47 для (р2 + х 2)-1 в 9.2 и получить асимптотическое разложение при лг— 0 для интеграла 9.2 как целого. Сделав это и проинтегрировав "-функции, получим: Справедливость 9.3 можно легко проверить явным интегрированием. Чтобы установить связь с последующими рассуждениями, обсудим вкратце, почему быстрое убывание «пробной функции» (р + М2)"2 в 9.2 обеспечивает возможность подстановки 8.47 непосредственно в 9.2. Вспомним, что определение интеграции по бесконечной области всегда включает предельную процедуру. Сделаем последнюю явной в 9.2. Для этого возьмём гладкую функцию Ф(р), такую что Введём в правую часть 9.2 обрезание Ф(р/А): Теперь вполне корректно использовать 8.47 для разложения выражения под знаком предела, скажем, с точностью (к2). Тогда нужно проверить, что (і) предел Л—»о существует для каждого члена разложения (р2 + к2) 1, и (ii) остаточный член, который имел порядок o(f ) до выполнения предела, будет иметь тот же порядок и после. Утверждение (і) очевидно.
Для проверки (ІІ) можно вспомнить представление 8.38 для остаточного члена. Желаемый результат легко следует оттуда; более того, доказательство близко повторяет рассуждения в абзаце после 8.5, Итак, для абсолютно сходящихся 1-петлевых интегралов правильные асимптотические разложения получаются простой подстановкой в подынтегральное выражение разложений в смысле о.ф. с последующим почленным интегрированием по петлевым импульсам. Разложение 9.3 содержит два члена, которые расходятся при D — 4: второй интеграл логарифмически расходится при р — 0, а третий — при р —» ». Однако по построению разложение в целом конечно при D —»4. Поэтому расходимости должны сократиться. Но любопытная черта формулы 9.3 состоит в том, что одна расходимость содержится в интеграле, зависящем от к; а другая — в интеграле, зависящем от М, но не от к. Это не вполне удовлетворительно, поскольку в конечном счете в приложениях приходится иметь дело с конечными функциями KVLM. Как уже было отмечено, все получающиеся у нас выражения могут быть представлены в виде абсолютно сходящихся интегралов, в которых вообще не используется размерная регуляризация, но это требует целой системы новых обозначений (см. [103], [104], [108]). Однако возможно выразить 9.3 через величины, зависящие от к и М, и конечные по отдельности, с использованием только понятий размерной регуляризации и схемы MS, Цена, которую здесь нужно заплатить — сокращение ИК расходимостей УФ контрчленами, но мы уже объясняли в 8.17, почему это оказывается возможным.
Посмотрим на третий интеграл в правой части 9.3. Это УФ-расходящийся 1-петлевой интеграл, который может быть сделан конечным добавлением УФ контрчлена; последний может быть вычислен, например, в схеме MS. Такой УФ контрчлен всегда полином по массам и внешним импульсам, и в нашем случае он может быть взят в следующем виде: где параметр ц с размерностью массы введен для сохранения правильного баланса размерностей (ср. ниже 9.12). Теперь используем 9.7 и тождественно перепишем разложение 9.3 ел. образом:
Обобщённые операторные разложения
Обратимся к случаю, когда набор тяжёлых параметров включает в себя внешние импульсы. Напомним, что разлагаемые диаграммы и функции Грина рассматриваются как распределения по внешним тяжёлым импульсам. Сначала рассмотрим случаи, соответствующий обычному операторному разложению на малых расстояниях, т.е. случай, когда нет ни тяжёлых масс, ни линейных ограничений на внешние тяжёлые импульсы кроме общего сохранения импульсов. В 15.1 фиксируются обозначения и выводится асимптотическая операция в интегральной форме для изучаемого случая. В 15.10 изучается глобальная структура асимптотической операции, применяемой к функциям Грина. Окончательные результаты представлены в 15.20. Модификации, нужные для учета тяжёлых масс, изучаются в 15.26. 215 В 15,29 мы налагаем т.наз. «естественные» линейные ограничения на тяжёлые импульсы, и в 15.35 даём соответствующую версию асимптотической операции и разложений для функций Грина. Простой пример, поясняющий структуру общих формул, приведён в 15.41. Асимптотическая операция и тяжёлые импульсы 15.1 Предположим, что все частицы модели являются лёгкими, но некоторые из внешних импульсов разлагаемой функции Грина — тяжелые. Точнее, пусть j нумерует тяжелые внешние линии диаграммы Г, и пусть Qj — соответствующие входящие внешние импульсы. Имеются также внешние импульсы, являющиеся легкими; их совокупно обозначим к.
Их компоненты — как и все массы т в задаче — порядка O(fc) (напомним, что К — наше стандартное обозначение масштаба лёгких параметров). Тот факт, что Q являются тяжёлыми, формально выражается ел. образом: Предположить, что Qj не зависят от АГ, нелья, т.к. из-за сохранения импульса Введём «тяжёлые», независящие от к компоненты импульсов Q: Тогда Q можно представить так: где ц. - 0{к) — линеийные комбинации к. Сохранение импульсов должно выполняться по отдельности для тяжёлых и лёгких компонент, поэтому: Мы предполагаем пока, что других ограничений на Q кроме 15.6. нет. Рассматривать диаграмму Г как распределение по тяжёлым внешним импульсам — это значит разлагать выражения ел. вида: где F — гладкая пробная независящая от к функция, и интегрирование 6 Q идет по многообразию, описываемому 15.6. Удобно представлять F как вершину, присоединённую к вершинам, соответствующим Q, фиктивными линиями, являющимися тяжёлыми по определению, как на следующем рисунке: Чтобы разложить T(k,m;F)t повторяем рассуждения, приводящие к 14.18, и получаем вместо 14.18 следующее выражение: Теперь у нас только один тяжёлый узел А, сжатый в точку, в каждом члене суммы. Его описание — благодаря принятому соглашению считать линии, соединяющие / -вершину с Г, тяжёлым — совпадает с данным в разд. 14.5: он должен быть одночастично-неприводимым по отношению к лёгким линиям. Однако может оказаться проще следовать мнемоническому рецепту, данному в конце разд. 14.28, который остается в силе и здесь. Рассуждения типа данных в разд. 14.20 показывают, что формула 15.9 справедлива и для диаграмм Г, не являющихся одночастично-неприводимыми; в частности, она справедлива для несвязных диаграмм. Обратимся теперь к функциям Грина. Пусть НЛх) —локальные произведения лёгких полей р{х) и их производных. Рассмотрим следующий производящий функционал функций
Грина: где тильда обозначает Фурье-преобразование, а — локальный функционал (см. определение в разд. 12.1). Чтобы получить конкретные корреляторы из 15.11, достаточно выполнить подходящие вариации по коэффициентным функциям L и заменить L лагранжианом L. Импульсы, соответствующие любым дополнительным операторным вставкам, по определению являются лёгкими, а импульсы Q, и q определены в 15.1. В общем случае сумма всех q. в 15.12 не должна считаться равной нулю, чтобы избавиться от несвязных вкладов в 15.12, которые обычно не представляют интереса в феноменологических приложениях. Если, однако, кинематика задачи требует, чтобы Х ь=0 для связной компоненты, этого можно достигнуть с помощью предельного перехода в окончательных разложениях. Выполнение таких пределов коммутирует с разложением за исключением случаев, когда имеются связные диаграммы типа следующей:
Теория возмущений с нестабильными фундаментальными полями
В случае обычных пропагаторв на месте двух -функций в 19.22, не произошло бы исчезновения коллинеарных контрчленов, что привело бы к появлению хорошо известных двойных логарифмических членов log2 А: (взятие мнимой части устраняет один логарифм, так что воспроизводится структура нашего ответа). В остальных отношениях интегралы будут лишь немногим более сложными, а правильность вычислений легко проверяется сравнением с хорошо известными аналитическими результатами (см., например, [260]). Для применений типа генерации событий методом Монте-Карло нужно преобразовать результаты к виду, независящему от регуляризации. Соответствующие рецепты являются производными от правил счета степеней, данных в разд. 19.7 и следуют общей схеме работ [109], [109]. Данные выше правила построения неевклидовой (около-пороговой) асимптотической операции являются весьма общими. Они справедливы для любого неевклидова асимптотического режима, и для любого пертурбативного интеграла, включая унитарные диаграммы с «разрезанными» пропагаторами, а также для интегралов в нековариантных калибровках, эффективных теориях тяжелых кварков, эффективных нерелятивистских теориях и т.д. Несмотря на общность, правила опираются на немногие аналитические принципы, что важно для вычислителей, желающих иметь полный интеллектуальный контроль за тем, что они делают (ср., например, [236], [252], [254]). Во многих применениях (например, к автоматизированным вычислениям высших поправок и к выводам полных около-пороговых разложений во всех порядка теории возмущений в операторной форме или в форме эффективных лагранжианов) понадобятся также правила для АО в интегральной форме, подобные найденным в [95], [96], [97], [100] для евклидова случая, которые сейчас широко используются (ср. [119], [120], [131]). Такие правила нетрудно получить для каждого случая — но тогда будет потеряна универсальность формул, и каждый режим нужно будет рассматривать индивидуально.
В данном разделе рассмотрим применение метода неевклидовой АО к построению систематической теории возмущений при наличии нестабильных фундаментальных полей. Данный раздел опирается на работу [17]. Дальнейшие детали вычислений можно найти в [18]. Первым приложениям к феноменологии посвящена недавняя серия работ [277]. Нестабильные частицы (Z, W, топ-кварк, хиггсовский бозон) находятся в центре внимания физики высоких энергий. Однако удобный формализм, который позволял бы проводить систематические и полные расчеты для процессов с такими частицами на высоком уровне точности, требуемом для современных ускорителей, до сих пор отсутствует (см. обсуждение в работах [261], [262]). В данном разделе дается систематическая, естественная по сути и довольно простая, хотя и несколько необычная модификация стандартной теории возмущений (ТВ), которая обладает свойством калибровочной инвариантности в каждом порядке ТВ. Мы рассматриваем здесь физические ситуации, в которых вопрос эволюции по времени не возникает; обсуждение подобных вопросов можно найти, например, в [263]. Рассмотрим процесс qxq2 — Х — /j/2, опосредованный нестабильным полем X (например, Z или W бозоном). Его амплитуда A(Q) содержит пропагатор X, пропорциональный [М 2-Q2-\0] \ где М и Q — масса и 4-им пульс X (для простоты подразумевается унитарная калибровка). Добавка -І0 делает A(Q) интегрируемой вокруг Q =M2y но вероятность (0 ( (2)1 содержит неин тегрируемый множитель [0 -М2) 2, который порождает расходимость при сглаживании по Q1 около $-Мг. (Такие сглаживания нужны, например, для учета КЭД-излучения из начального состояния [264].) Поэтому выражение стандартной ТВ бессмысленно. Используя набор методов аксиоматической КТП, Вельтман [265] проверил, что конечная, унитарная и причинная -матрица в фоковском пространстве только стабильных частиц получается, если выполнить дайсоновское суммирование вкладов в собственную энергию Ц?2), соответствующих нестабильности (g — слабое взаимодействие): Для нестабильной X, \mL{M2) 0, так что полюс сдвигается с действительной оси в комплексную плоскость, и соответствующие вероятности становятся интегрируемыми. Однако хорошо известно, что такие суммирования разрушают точную калибровочную инвариантность в каждом порядке ТВ (см., например, [266]). Это приводит к произволу в теоретических предсказаниях — произволу, который может быть недопустимо велик [262]. Нарушается и пертурбативная унитарность [267]. Несколько похожие неоднозначности возникают в КХД с фиксированием масштаба [268]. В КХД обычно ограничивают пределы изменения размерного масштаба значениями около типичного размерного параметра изучаемого процесса. Однако в рассматриваемом случае остаточная зависимость от параметра калибровки является совершенно нефизической, и допустимый диапазон его изменения не может быть ограничен физическими аргументами. Различные попытки обойти эту трудность [269], [270], [271], [272], [262] оказались либо несистематическими, либо чрезвычайно громоздкими [273]. Нетрудно видеть, что проблема возникает из-за неполиномиальной зависимости от g в формуле 20.2. И все-таки возможность получения хорошо определенного систематического разложения по степеням g существует. Чтобы понять ее, заметим следующее: (і) Хотя ТВ обычно пишется для амплитуд, в конечном счете всегда нужны вероятности P(Q). (ii)
Минимальное физически мотивированное ограничение на математическую природу P(Q) состоит в том, что вероятность P(Q) измеряется с использованием детекторов с конечным разрешениеа и с учетом сглаживаний (например, радиационное излучение из начального состояния), так что достаточно определить P(Q) как о.ф. [88], для которых определены только интегралы с гладкими локализованными весами, но не обязательно поточечные значения. (Ііі) Даже если точная вероятность P(Q ,g) непрерывна по Q, пертурбативное разложение подразумевает предельный переход g —»0, который может вывести в область сингулярных о.ф. (Именно это и происходит в рассматриваемом случае; см. ур. 20.5.) Итак, рассмотрим вероятность (вместо амплитуды) того же самого процесса q{q2 — Лг-»//2 с просуммированным пропагатором для X 20.2. Попытаемся разложить JA(Q;g)p по степеням g. Наивное разложение Тэйлора восстанавливает выражение обычной ТВ — которое оказывается неинтегрируемым и поэтому не является корректно определенной о.ф. Однако на самом деле нужно рассматривать интегралы P(Q) с произвольными весами, и разложение по g должно сохранять такую интегрируемость, т.е. следует искать разложение в смысле о.ф. Это означает, что нужно разлагать не произведение Д( ; )р как таковое, а его интегралы с произвольными гладкими весами. Такие разложения можно построить для произвольных весов.
