Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Описание инвариантных связностей на однородных пространствах 16
1.1 Симметричные поля и инвариантные связности 17
1.2 Теория инвариантных связностей 24
1.3 Структура и свойства алгебр.Ли 35
1.4 Разрешение условий связи и построение отображения фх 56
1.5 Описание инвариантных линейных связностей 69
Глава 2. Физические модели в методе размерной редукции 80
2.1 Общие свойства действия редуцированной теории 80
2.2 Вычисление потенциала скалярных полей 87
2.3 Физическое содержание редуцированной теории 95
Глава 3. Спонтанная компактификация 103
3.1 Уравнения спонтанной компактификации 103
3.2 Метод решения уравнений спонтанной компактификации 107
3.3 Примеры решений уравнений спонтанной . компактификации 117
3.4 Спонтанная компактификация в многомерной гравитации с кручением 125
Глава 4. Физические эффекты в многомерных теориях 134
4.1 Отщепление тяжелых мод и размерный кроссовер 134
4.2 Поведение сечений рассеяния в многомерных теориях 155
4.3 Эффективный потенциал в многомерных теориях 177
Глава 5. Космология многомерной Вселенной 194
5.1 Космологические модели в рамках теорий Эйнштейна-Янга-Миллса 194
5.2 Динамика масштабных факторов в моделях с симметрическим внутренним пространством 201
5.3 Динамика масштабных факторов в модели с внутренним пространством 215
5.4 Компактификация в теории с кручением 226
5.5 Анизотропия фонового микроволнового излучения в
многомерной Вселенной 231
Заключение 255
Литература 262
- Симметричные поля и инвариантные связности
- Общие свойства действия редуцированной теории
- Уравнения спонтанной компактификации
- Отщепление тяжелых мод и размерный кроссовер
- Космологические модели в рамках теорий Эйнштейна-Янга-Миллса
Введение к работе
В настоящее время бесспорным является успех калибровочных теорий поля, называемых также теориями Янга-Миллса, в описании сильных и электрослабых взаимодействий элементарных частиц. Это убеждение основано на том, что предсказания модели Вайнберга-Салама-Глэшоу и квантовой хромодинамики, в основе которых лежат калибровочные взаимодействия, находят все новые и новые подтверждения в экспериментах при высоких энергиях.
Другим примером теории, убедительно согласующейся с результатами наблюдений, является теория Эйнштейна, описывающая гравитационное взаимодействие на расстояниях больше 1 мм. Помимо трех знаменитых тестов (гравитационное красное смещение, искривление световых лучей Солнцем и прецессия перигелия Меркурия) список успешного подтверждения теории Эйнштейна в последние десятилетия пополнился открытием нейтронных звезд, обнаружением расширения Вселенной, детектированием, а затем и измерением характеристик фонового микроволнового излучения и т.д. В ходе изучения теории Эйнштейна пришло понимание того, что в основе гравитации, по существу, также лежит принцип калибровочной инвариантности в его расширенном толковании.
С учетом вышесказанного выглядит естественным, что большинство попыток обобщения Стандартной Модели сильных и электрослабых взаимодействий и создания теорий, объединяющих все известные фундаментальные взаимодействия, включая и гравитационное, основываются на принципе калибровочной инвариантности. Одно из направлений таких обобщений реализуется в рамках подхода Калуцы и Клейна [1] - [3]. В настоящей диссертации будут изучаться математические и физические аспекты некоторого класса теорий, возникающих в этом подходе.
В основе подхода Калуцы-Клейна лежит ряд гипотез, центральная из которых состоит в том, что пространство-время Е имеет более четырех измерений. Во многих моделях предполагается, что Е имеет структуру прямого произведения четырехмерного многообразия М(4), играющего роль обычного, макроскопического пространства-времени, и rf-мерного пространства дополнительных измерений N(d), называемого также внутренним пространством. Для того, чтобы не возникало противоречия с требованием ненаблюдаемости дополнительных измерений в известных к настоящему времени экспериментах, добавляется гипотеза о том, что iV(d) компактно и имеет достаточно малые размеры.
В основополагающих работах [1], [3] Калуцы и Клейна была изучена теория гравитации Эйнштейна в 5-мерном пространстве Е = МА х S1, где М4 - пространство Минковского, и было показано, что при определенных условиях на метрику д в многомерном пространстве такая теория эквивалентна теории гравитации, взаимодействующей с электромагнитным полем, в пространстве-времени М4. При этом потенциал электромагнитного поля возникал из компонент д^ (д = 0,1,2,3) метрического тензора многомерной теории.
В этих работах уже присутствовала идея об объединении нескольких взаимодействий в четырех измерениях в единое взаимодействие в многомерном пространстве. Привлекательность этой идеи и привела к широкому изучению полевых моделей в многомерном пространстве-времени и к многочисленным попыткам построения единых теорий фундаментальных взаимодействий в рамках подхода Калуцы-Клейна. В ходе многочисленных исследований, направленных на обобщение и развитие перво- начальной идеи Калуцы и Клейна, постепенно сформировалось несколько общих схем этого подхода (см., например, [4] - [8]). Изложим кратко основные элементы схемы, которая будет изучаться в настоящей диссертации [9], [10]. В пространстве-времени Е с dim Е > 4 рассматривается теория либо лишь с гравитационным полем, либо с гравитационным и некоторыми другими полями, которые полагаются фундаментальными. Действие теории должно обладать следующим свойством: среди решений классических уравнений движения присутствуют статические решения со структурой пространства-времени вида E = M{A)xN(dh (0.1) где многообразие N^) компактно и имеет характерный размер Ькк-, не меняющийся во времени. При наличии таких решений есть основания считать, что многомерное пространство-время (0.1) возникает динамически, как одно из вакуумных состояний теории. Что касается истории и эволюции Вселенной с дополнительными измерениями, то предполагается, что первоначально она описывалась многомерным пространством Е^, которое было симметрично относительно всех измерений (см., например, [11]). На раннем этапе эволюции в силу некоторого динамического принципа, который пока не известен, во Вселенной произошел переход с изменением топологии. В результате пространство Eq перешло в пространство со структурой вида (0.1). Это явление называют спонтанной компакти-фикацией дополнительных измерений. Делается допущение, что в ходе дальнейшей эволюции масштабные факторы пространств М(4) и N^ изменяются во времени согласно классическим уравнениям движения теории. Масштабный фактор пространства М(4) возрастает, проходя, по-видимому, стадию инфляционного расширения. Характерный размер L пространства N^ при этом стабилизируется при постоянном значении L — Lkk, отвечающем вакууму теории (0.1). Требование постоянства Lrk во времени следует из жестких астрофизических ограничений на временное изменение масштабного фактора дополнительных измерений [12, 13]. При изучении вакуумов теории, относящихся к современной Вселенной, фиЗИЧеСКИ Приемлемыми ЯВЛЯЮТСЯ ВакууМЫ (0.1) С М(4) = М4.
Такие решения называются решениями спонтанной компактификации.
Обобщение первоначальной идеи Калуцы и Клейна на случай неабе-левых калибровочных полей было получено в работах [14, 15]. В этом случае внутреннее пространство является неабелевым групповым многообразием, а многомерная гравитация приводит к четырехмерной теории, содержащей гравитационное, неабелевое калибровочное и скалярные поля. Недостатком этих моделей является существенная нелинейность и неминимальный характер взаимодействия полей. Кроме того, теория не содержит решений спонтанной компактификации требуемой структуры.
Для преодоления этих трудностей были предложены альтернативные модели, основанные на расширении чисто гравитационной многомерной теории эйнштейновского типа. Среди них мы выделим два класса моделей: модели, включающие поля Янга-Миллса [16] - [18]; обобщенные теории гравитации с высшими степенями тензора кривизны [19] - [21] и, возможно, ненулевым кручением [22], [23].
Среди моделей первого класса важное место занимают теории Эйнштейна-Янга-Миллса, включающие калибровочные и гравитационные поля и взаимодействие между ними. Среди моделей второго класса отметим многомерные теории Эйнштейна-Картана. В этих моделях удается получить удовлетворительные компактифицирующие решения и интересные с феноменологической точки зрения редуцированные теории. В частности, редуцированные теории, полученные из моделей первого класса содержат скалярные поля, возникающие из компонент калибровочного поля. При этом структура сектора скалярных полей определяется калибровочной симметрией исходной многомерной теории и геометри- ей внутреннего пространства. При таких обобщениях, конечно, теряется часть исходной идеи Калуцы и Клейна - получение всех взаимодействий в четырехмерном пространстве из теории единого многомерного поля. Но даже при такой расширенной трактовке идеи Калуцы и Клейна обобщенные теории оказываются достаточно универсальными: в их основе лежит калибровочный принцип и принцип общей теории относительности, обобщенные на случай многомерного пространства-времени. Такая общность формулировки этих теорий позволяет рассматривать их как возможных кандидатов в теории объединения взаимодействий бозонных полей различных типов в четырехмерном пространстве. Дополнительным оправданием изучения обобщенных теорий Калуцы-Клейна служат интересные физические предсказания, получаемые в них, и тот факт, что многомерные калибровочные поля и поля материи естественно возникают во многих моделях супергравитации и в низкоэнергетическом пределе теории суперструн [6, 24]. Отметим, что в рамках таких моделей могут быть введены согласованным образом многомерные фермионные поля.
Гипотеза о многомерности пространства-времени стала неотъемлемым элементом многих современных схем объединения фундаментальных взаимодействий. Бурное развитие, которое переживает подход Калуцы-Клейна в настоящее время, обусловлено появлением новых результатов и концепций в М-теориях [25] - [27]. К ним относятся, например, разработка моделей, в которых поля материи и калибровочные поля могут быть локализованы на четырехмерных мембранах, помещенных в особых точках многомерного пространства [28], [29], а также обнаружение возможности последовательного введения в теорию внутренних пространств с большими характерными размерами LKK ~ ІТзВ-1 [30], [31].
Для изучения физических свойств теорий Калуцы-Клейна и расчета физических эффектов в них требуется представить поля в многомерном пространстве-времени в терминах полей на Мыу Это достигается с по- мощью гармонического разложения на внутреннем пространстве N^)- В результате многомерная теория может быть интерпретирована как четырехмерная теория с бесконечным набором ("башней") полей, называемых модами Калуцы-Клейна. Среди них есть нулевая (или легкая) мода и тяжелые моды с массами ~ L~xKl образующими регулярный спектр, определяемый топологией и геометрией внутреннего пространства. Интерпретации многомерной теории в терминах четырехмерных полей получила название размерной редукции.
При изучении процессов с энергиями i/s <С Ь~кК основную роль играют легкие моды. Именно они часто сопоставляются известным элементарным частицам. Все или часть тяжелых мод Калуцы-Клейна отвечают возбуждениям элементраных частиц. Данные гравитационных экспериментов и экспериментов с элементарными частицами при высоких энергиях пока не дали никаких свидетельств существования этих возбуждений. Из требования ненаблюдаемости тяжелых мод Калуцы-Клейна следует ограничение LJck > 1ТэВ [32].
Эти рассуждения являются иллюстрацией того, что в определенных задачах важными оказываются некоторые конечные наборы мод Калуцы-Клейна, выделенные требованиями симметрии или физическими условиями. Четырехмерные теории с конечным числом полей, полученные размерной редукцией определенного сектора многомерной теории, будем называть редуцированными теориями.
Мы уже упоминали сектор нулевых мод. В многомерных калибровочных и гравитационных теориях, в частности, в теориях Эйнштейна-Янга-Миллса и Эйнштейна-Картана, выделенным оказывается сектор так называемых симметричных полей. Он возникает при наличии группы симметрии, действующей на N^. Наиболее интересным с точки зрения физических следствий является случай, когда внутреннее пространство является однородным пространством. Наличие транзитивной груп- пы преобразований, действующей на таких пространствах, как раз и позволяет ввести симметричные поля. Адекватным языком для описания симметричных калибровочных и гравитационных полей является язык главных расслоенных пространств и связностей. При этом симметричные поля отвечают инвариантным связностям, теория которых разрабатывалась в дифференциальной геометрии, начиная с 50-х годов. Их применение к задачам размерной редукции в теориях Янга-Миллса началось с работ [33] - [36]. Дальнейшее развитие аппарата последовательного описания многомерных калибровочных и гравитационных теорий, разработка метода размерной редукции и поиск решений спонтанной компактифика-ции являются важными направлениями исследований в подходе Калуцы-Клейна. Этому кругу вопросов будет уделено значительное внимание в настоящей диссертации.
Структура четырехмерной теории, получающейся при размерной редукции сектора симметричных полей, является наследием симметрий-ных свойств многомерной теории и геометрии внутреннего пространства. Оказывается, что многомерная теория Янга-Миллса с однородным внутренним пространством приводит к моделям на М4, представляющим интерес для физики сильных и электрослабых взаимодействий. Впервые это наблюдение было сделано в работах [37], [38]. А именно, было показано, что при определенном выборе внутреннего пространства и калибровочной группы редуцированная теория может быть интерпретирована как бозонный сектор модели Вайнберга-Салама-Глэшоу. При этом все параметры редуцированной теории выражаются лишь через калибровочную константу связи многомерной теории и размер пространства дополнительных измерений и оказываются связанными друг с другом. Конкретный вид этой связи и некоторые физические свойства редуцированной теории определяются геометрическими характеристиками пространства дополнительных измерений. Исследованию этих вопросов бу- дет посвящена существенная часть диссертации.
Как было установлено, теории Эйнштейна-Янга-Миллса и теории ЭйнштеЙна-Картана обладают решениями спонтанной компактифика-ции, отвечающими пространству-времени вида (0.1), где Ща) - компактное однородное пространство [16] - [18], [22]. Существование этих решений, с одной стороны, дает основания для введения многомерного пространства такого вида, а с другой стороны, говорит о самосогласованности сектора симметричных полей. Кроме того, было выяснено, что размерная редукция сектора симметричных калибровочных полей, а при определенных условиях и сектора гравитационных симметричных полей, является схемой, в которой обеспечивается согласованность многомерной и четырехмерной теорий в том смысле, что решения уравнений движения четырехмерной теории одновременно являются и решениями уравнений исходной многомерной теории. Эта проблема еще известна как проблема согласованного усечения "башни" мод Калуцы-Клейна [39]. Отметим, что попытки изучения секторов несимметричных полей, в частности, нулевых мод Калуцы-Клейна, не являющихся симметричными полями, предпринимались в работах [40], [41].
Одной из характерных черт многомерных теорий является наличие "башни" мод Калуцы-Клейна с регулярным спектром. Если размер дополнительных измерений Ькк ~ (1 4- 10)ТэВ-1, что допускается в ряде разрабатываемых моделей, то вклады тяжелых мод приводят к новым эффектам, которые, в принципе, могут наблюдаться в планируемых экспериментах на строящихся ускорителях. Одним из таких эффектов общего типа является характерное отклонение в поведении сечений процессов от того, которое предсказывается обычной четырехмерной теорией. Это отклонение обусловлено присутствием бесконечной "башни" тяжелых мод. Так как вклады этих мод проявляются и через виртуальные состояния, то отклонение может наблюдаться при энергиях сталкиваю- щихся частиц л/s < L]^K. Конечно, обнаружение таких эффектов или прямое детектирование тяжелых мод при yfs > L~kK явилось бы сильным свидетельством в пользу гипотезы Калуцы-Клейна и положило бы начало экспериментальному изучению нового и интересного класса процессов в физике высоких энергий.
Другими областями исследований, где модели Калуцы-Клейна могут привести к интересным физическим результатам, являются космология и астрофизика. Во-первых, наличие дополнительных измерений открывает новые возможности для построения моделей, описывающих раннюю Вселенную, в том числе и инфляционных моделей [42], [43]. Во-вторых, так как на ранних стадиях эволюции Вселенной масштабные факторы пространств М(4) и Щ^ были сравнимыми по величине, то роль дополнительных измерений была существенна, что не могло не отразиться, например, на характеристиках первичных тензорных флуктуации (гравитационных волн) и флуктуации плотности. Это, в свою очередь, должно было отразиться на характеристиках Вселенной на более поздних стадиях, в частности, на характеристиках микроволнового фонового излучения. Результаты астрофизических экспериментов по измерению температурной анизотропии микроволнового излучения, проводимых в настоящее время и планируемых в ближайшем будущем, могут быть сопоставлены с предсказаниями многомерных космологических моделей, что позволит вывести ограничения на параметры этих моделей и, может быть, получить свидетельства в пользу или против гипотезы Калуцы-Клейна.
Как видно из вышесказанного, многомерные калибровочные и гравитационные теории представляют собой обширную область исследований с богатыми приложениями в физике высоких энергий и космологии. В основе их лежат элегантные математические структуры, а для их изучения имеется красивый математический аппарат теории инвариантных связностей и алгебр Ли. Как многомерные модели взаимодействий элементарных частиц, так и многомерные космологические модели приводят к интересным физическим следствиям и предсказывают ряд эффектов в физике высоких энергий и астрофизике. Все это обуславливает важность исследований моделей теории поля в рамках подхода Калуцы-Клейна. Дальнейшее развитие аппарата размерной редукции и спонтанной ком-пактификации многомерных теорий Эйнштейна-Янга-Миллса и теорий, мотивированных ими, а также изучение и расчет физических эффектов в них и будут содержанием настоящей диссертации.
Наше изложение устроено следующим образом.
Первая глава посвящена изложению основных элементов аппарата размерной редукции теорий Янга-Миллса и теорий Эйнштейна и результатов математического характера, которые понадобятся в дальнейшем. Сначала мы напомним стандартный геометрический формализм описания калибровочных и гравитационных полей, а также основные результаты теории инвариантных связностей, которые лежат в основе первого (геометрического) этапа размерной редукции на однородных пространствах. Далее будет развита техника решеток положительных корней для полупростых алгебр Ли. Это позволит нам найти в явном виде связь между определенными компонентами исходных многомерных полей и физическими скалярными полями в четырехмерном пространстве и, тем самым, провести второй (алгебраический) этап размерной редукции.
Во второй главе полученные результаты будут использованы для вычисления потенциала скалярных полей редуцированной теории и изучения их свойств. В частности, будет дано исчерпывающее описание многомерных теорий Янга-Миллса, приводящих после размерной редукции к бозонному сектору модели Вайнберга-Салама-Глэшоу.
В третьей главе будут исследованы уравнения многомерной теории Эйнштейна-Янга-Миллса, развит метод нахождения решений спон- тайной компактификации и приведены примеры таких решений. Также будет получен результат, дающий необходимое и достаточное условие согласованности размерной редукции теорий многомерной гравитации с кручением.
В четвертой главе на примере упрощенной многомерной модели будут изучены квантовые эффекты, обусловленные многомерной природой пространства-времени. Так, будет доказано отщепление вкладов тяжелых мод при низких энергиях и детально проанализирован переход от неперенормируемости многомерной теории к перенормируемости редуцированной. Также будет изучено поведение сечения рассеяния легких мод и исследованы свойства эффективного потенциала.
Пятая глава посвящена обсуждению космологических аспектов многомерных теорий. В ней подробно изучена динамика масштабного фактора дополнительных измерений для некоторого класса теорий Эйнштейна-Янга-Миллса и теорий Эйнштейна-Картана. Будет также разработано обобщение механизма генерации гравитационных волн на многомерный случай и найден спектр тензорных флуктуации в ранней Вселенной. Этот результат будет использован для вычисления характеристик фонового микроволнового излучения и получения ограничений на параметры многомерных космологических моделей, исходя из данных астрофизических наблюдений.
В Заключении будут еще раз сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.
Объем диссертации составляет 281 страницу; она содержит четыре таблицы, 19 рисунков и список литературы из 250 наименований.
Симметричные поля и инвариантные связности
При решении многих задач теории поля чрезвычайно удобным оказывается формализм геометрического описания таких теорий, предложенный и разработанный в [50], [51] (см. также [52] - [55]). К этому классу задач относятся размерная редукция и поиск решений спонтанной компакти-фикации в теориях Янга-Миллса и в теориях Эйнштейна-Картана, возникающие в рамках подхода Калуцы-Клейна. Этим задачам посвящена существенная часть диссертации. Поэтому, в настоящем параграфе мы кратко изложим основные элементы формализма геометрического описания калибровочных теорий и теорий гравитации. Он позволяет использовать мощный аппарат дифференциальной геометрии при решении этих задач, и как следствие, решить в наиболее общем виде задачу о построении симметричных калибровочных полей и инвариантных связностей с кручением и провести редукцию действия.
Пусть на пространстве-времени Е задана чисто калибровочная теория [56]. Обозначим через G калибровочную группу, а через Ам и FMN -потенциал и напряженность калибровочного поля соответственно
В физических приложениях, изучаемых в диссертации, мы будем полагать, что Е - риманово многообразие определенной структуры, которая будет уточнена в следующем параграфе, a G - полупростая компактная группа Ли. Однако многие результаты математического характера, полученные в диссертации, будут справедливы для многообразий Е и групп Ли G более общего вида. Конкретные условия будут указаны при формулировке утверждений.
Нам будет удобно характеризовать потенциал и напряженность локальными 1-формой А и 2-формой F соответственно, которые определены выражениями
A = AMdxM, (1.2)
F = FMNdxM A dxN, (1.3)
где {хм} - некоторые локальные координаты в Е.
При геометрическом описании калибровочной теории ключевую роль играет главное расслоение Р(Е, G) с базой Е и структурной группой G [44]. Будем обозначать через тс каноническую проекцию 7Г : Р — Е, а через Ф5 - каноническое (правое) действие структурной группы на Р(Е, G). Пусть в Р(Е, G) задана связность иш- 1-формаэтой связности. 1-форма А калибровочного поля на Е является обратным образом формы ш относительно некоторого, в общем случае локального, сечения s в Р, т.е. А = 5 о;. Аналогично, 2-форма напряженности калибровочного поля F определяется 2-формой кривизны Q = Dw (внешняя ковариантная производная от о ), а именно F = s Q, [50], [51]. Из структурного уравнения для формы кривизны Q следует соотношение
Общие свойства действия редуцированной теории
В предыдущей главе была выведена общая формула для действия теории на пространстве-времени М, полученной размерной редукцией сектора симметричных калибровочных полей теории Янга-Миллса на Е = М х К/Н. В настоящем параграфе мы установим некоторые общие свойства этого действия, представляющие интерес для физики фундаментальных взаимодействий. Изложение будет основываться на результатах работ [9], [10], [88], [90], [91]. В последующих параграфах настоящей главы мы получим явные выражения для действия редуцированной теории для некоторых классов пространств и калибровочных групп.
При исследовании свойств редуцированного действия мы воспользуемся результатами построения эквивариантного отображения фх, изложенными в 1.3. Будем считать выполненными сформулированные там условия (ii) - (iv), а условие (і) заменим на
(Р) К/Н - связное редуктивное риманово однородное пространство, К и G - простые компактные группы Ли, а группа изотропии Н - компактная группа Ли.
Сделаем несколько комментариев. Как и выше, мы перейдем к ком-плексифицированным алгебрам и представлениям, опуская при этом значок С, указывающий на комплексификацию. Условия (і ), (ii) - (iv) обычно выполняются в физически интересных примерах. При выполнении (і ) справедливо и условие (і). Условие на dim в (iv) обеспечивает то, что калибровочная группа С редуцированной теории содержит не более одного {/(І)-фактора.
В соответствии с разложением (1.74) линейного пространства М. любой элемент X Є Л4 может быть представлен как X = E Lo-X" , где Х&) Мр, Х Є М. Ad(h) - инвариантная невырожденная симметричная билинейная форма В на М. общего вида, а следовательно, в соответствии с формулой (1.43), и ііГ-инвариантная неопределенная риманова метрика 7 на К/Н в начале о Є К/Н задаются выражениями Ъ(Х, Y) = В{Х, Г) = - Е ЬЦХ, УW), X, У Є М, (2.1) где (, ) - форма Киллинга (1.54) и мы отождествляем М с Т0{К/Н). Ьр - параметры, характеризующие размер внутреннего пространства. Они имеют размерность длины.
Уравнения спонтанной компактификации
Как уже отмечалось во Введении, вторым важным элементом подхода Калуцы-Клейна является идея о спонтанной компактификации. В современном понимании она состоит в том, что фундаментальная теория, описывающая взаимодействия элементарных частиц, включая гравитацию, в пространстве-времени (4 4- -измерений обладает различными вакуумными состояниями, одно или некоторые из которых отвечают структуре пространства-времени вида Е = Мщ х N . Здесь Мщ - псевдо-риманово многообразие размерности dimM(4) = 4 с сигнатурой метрики sign{g) = (—, +, +, +), описывающее макроскопическое пространство-время. Компактное d-мерное многобразие N ) играет роль пространства дополнительных измерений. Будем считать, что его размер характеризуется масштабом L (для простоты будем полагать здесь, что такой размер один). Очевидно, что М(4) должно быть либо плоским пространством Минковского, М4, либо искривленным пространством с достаточно большим радиусом кривизны. Как будет видно в следующей главе, в случае, когда поля материи и кванты, переносящие сильные и электрослабые взаимодействия, могут распространяться в компактном пространстве дополнительных измерений с характерным размером L, в спектре эффективной четырехмерной теории появляются возбужденные состояния кварков, лептонов и калибровочных бозонов с характерной массой га L-1. Так как в настоящее время нет никаких экспериментальных указаний на существование таких частиц при энергиях, уже достигнутых на современных ускорителях, характерный размер пространства дополнительных измерений должен удовлетворять условию L l 1ТэВ. Таким образом, интересующие нас вакуумы фундаментальной многомерной теории должны обладать структурой и характерным размером, удовлетворяющими этим условиям. Забегая вперед, заметим, что в рамках подхода Калуцы-Клейна L обычно оказывается порядка длины Планка Ірі яз 1.6- 10-33см, что естественно ожидать потому, что соответствующие модели включают гравитацию. Кроме этого, физически обоснованным является требование того, чтобы вакуумы были стабильными или, по крайней мере, имели достаточно большое время жизни.
Как обычно, вакуумные состояния описываются решениями классических уравнений движения теории. Оказывается, что многомерная теория гравитации Эйнштейна (с многомерной космологической постоянной или без нее) не обладает решениями с указанными свойствами. Поэтому, первоначальная идея Калуцы и Клейна должна быть модифицирована путем включения дополнительных полей и взаимодействий в многомерную теорию. Как уже отмечалось во Введении, минимальными расширениями, представляющими физический интерес, являются следующие:
1) теории с калибровочными полями [16] - [18];
2) обобщенные теории гравитации с высшими степенями тензора кривизны [19] - [21] и, может быть, полями кручения [22].
В настоящей главе мы изучим многомерные теории именно такого рода. В частности, мы изложим методы исследования классических уравнений движения и нахождения компактифицирующих решений, которые отвечают вакуумам с Мщ = МА. Такие решения называются решениями спонтанной компактификации. В настоящем параграфе, 3.2 и 3.3 будут изучаться решения спонтанной компактификации в теории Эйнштейна-Янга-Миллса. В 3.4 мы изучим уравнения спонтанной компактификации в теории Эйнштейна-Картана с кручением и с высшими степенями тензора кривизны. Результаты этой главы были получены в работах [23], [90], [121], [122] (см. также [9], [10]). Отдельные детали метода нахождения решений спонтанной компактификации изложены в статьях [123] - [125]. Обсуждению динамических процессов во Вселенной, приводящих к вакуумным состояниям, отвечающим спонтанной компактификации, будет посвящена глава 5.
Отщепление тяжелых мод и размерный кроссовер
До сих пор наш анализ многомерных теорий был сосредоточен на секторе симметричных полей. Задача, которая решалась в главах 1 и 2, состояла в том, чтобы получить полное описание симметричных полей и, исходя из многомерного действия, вычислить действие редуцированной теории и изучить его физические свойства. Наше рассмотрение при этом велось на классическом уровне. Очевидно, однако, что исходная многомерная теория содержит гораздо больше степеней свободы, чем сектор симметричных полей. В настоящей главе мы изучим некоторые квантовополе-вые эффекты, обусловленные многомерной природой теории.
При размерной редукции многомерных калибровочных теорий конкретный вид редуцированного действия, тип потенциала скалярных полей и т.д. определяются геометрическими характеристиками пространства дополнительных измерений и калибровочной группы. Поэтому, в предыдущих главах большое внимание было уделено именно геометрическим и алгебраическим аспектам размерной редукции. Для эффектов, о которых пойдет речь в настоящей главе, существенным является то, что многомерная теория проявляется в четырех измерениях как теория с бесконечным набором ("башней") полей с определенным регулярным спектром масс, отражающим геометрию внутреннего пространства. Для понимания основных общих черт этих эффектов достаточно рассмотреть простейшую скалярную модель в многомерном пространстве-времени с пространством дополнительных измерений весьма простой топологии и геометрии.
Рассмотрим модель однокомпонентного скалярного поля ф на (4 + семерном многобразии Е = iW4 X Щф, где М4 - пространство-время Мин-ковского, a iV(d) - компактное ориентируемое риманово многообразие. В конкретных примерах N ) будет или d-мерным тором Td, или d-мерной сферой Sd. Выберем классическое действие многомерной теории в следующем стандартном виде
Космологические модели в рамках теорий Эйнштейна-Янга-Миллса
В главе 3 мы изучили решения спонтанной компактификации в теориях Эйнштейна-Янга-Миллса. Они отвечают вакуумным состояниям теории, в которых пространство-время имеет вид Е = М4 х N y Наличие таких решений служит основанием для рассмотрения физических теорий на многомерном пространстве-времени. В настоящей главе мы изучим некоторые аспекты эволюции ранней Вселенной в рамках подхода Калуцы-Клейна.
Общая картина эволюции многомерной Вселенной, сформировавшаяся в литературе по космологии (см. [11], [188]), была кратко изложена во Введении. Отметим здесь еще раз некоторые моменты, которые будут важны при дальнейшем рассмотрении. Согласно одному из возможных сценариев, на раннем этапе своей эволюции (4 + с?)-мерная Вселенная приходит в состояние, в котором пространство-время имеет структуру прямого произведения Е = R1 х Nfa х Nid) (5.1) с одним временным измерением R1. Пространство дополнительных измерений iV(d) является компактным многообразием. Трехмерное пространственное сечение Щ3\ четырехмерного пространства-времени, вообще говоря, может иметь ненулевую кривизну (см., например, [189] - [191]). В моделях, в которых NL\ компактно, предполагается, что в начальный момент характерный размер а трехмерного пространства М3) и размер L внутреннего пространства N были одного порядка. При определенных условиях можно считать, что дальнейшая эволюция Вселенной происходит в квазиклассическом или классическом режиме.
Одним из требований на многомерные космологические модели является требование существования решений уравнений движения, описывающих (4 + с?)-мерное пространство-время (5.1). При этом, в модели должен существовать механизм, который описывает расширение трехмерной части Вселенной и который обеспечивает то, что, по крайней мере, к началу нуклеосинтеза масштабный фактор а Ьи параметр L практически перестает меняться во времени, т.е. пространство дополнительных измерений стабилизируется. Ограничения на изменение L(t), полученные из данных по избытку первичного 4Яе, следующие: 0.99 L(to)/L(ttf) 1.01, где L(to) - размер внутреннего пространства в настоящее время, a L(/v) - его размер во время нуклеосинтеза [11] (см. также [12], [13]). Как уже обсуждалось в предыдущей главе, размер L(to) должен также удовлетворять ограничениям полученным из экспериментов по высоким энергиям. Отсутствие прямых сигналов о рождении низших массивных мод Калуцы-Клейна дает верхний предел LQ 1 TeV-1. После завершения первого этапа эволюции многомерной Вселенной размер L пространства дополнительных измерений достаточно мал и практически не меняется во времени. Дальнейшая эволюция происходит в соответствии со Стандартной космологической или "эталонной" моделью (см., например, [11], [73], [189] - [191]) и включает эру радиационной доминантности и эру доминантности вещества.
