Введение к работе
Актуальность темы. В теоретической физике метод континуального интегрирования является одним из основных методов, используемых для квантования динамических систем. Широкое распространение этого метода вызвано тем, что в нем непосредственно прослеживается связь с классической динамикой задачи. Такое обстоятельство особенно важно при квантовании систем, обладающих калибровочными степенями свободы.
Однако из-за того, что в настоящее время не. существует способов точного вычисления произвольных (а не тояьк'о гауссовых) континуальных интегралов, метод континуального интегрирования применяется в основном при квантовании систем по теории возмущений. Потребность преодоления при квантовании рамок теории возмущений приводит к необходимости дальнейшей разработки метода континуального интегрирования, особенно в том его, аспекте, который касается вычисления негауссовых континуальных интегралов.
В последнее время значительный прогресс в решении проблемы вычисления негауссовых континуальных интегралов был достигнут в области континуальных интегралов квантовой механики. В работе Дюра п Кланнерта о квантовании атома водорода методом континуальных интегралов был применен новый способ преобразования: континуальных интегралов, связанный с ренараметргаацпей путей при помощи нового времени. Другие названия этого способа — "подстановка нового времени" п "пространственно-временное преобразование".' Новый способ преобразования.'континуальных интегралов дал возможность представить функцию Грина (континуальный интеграл ) для одной кзантоломеханической задачи через функцию Грина другой задачи.
Дальнейшие работы по квантованию методом континуального интеграла конкретных точно решаемых квантовомеханических задач показали, что мера континуального интеграла относительно репараметризации путей, сопроволщающеися обычно еще и преобразованием континуальных интегралов, связанных с однородными точечными преобразованиями классической механики, не является инвариантной.
Для решения вопроса об инвариантности меры. при таких преобра
зованиях использовались два подхода к континуальному интегралу. В
первом подходе континуальный интеграл определялся через дискретные
аппроксимации. Во 'втором подходе, преодолевающем трудности первого,
принималась точка зрения на континуальный интеграл как на интеграл v
по мере Винера, а преобразование репараметризации путей связывалось с
известной из теории случайных процессов процедурой случайной замены
времени. ,
г Цель диссертационной работы — исследование свойств континуальных интегралов при помощи методов теории случайных процессов и распространение новых методов преобразования континуальных интегралов на континуальные интегралы, заданные на многообразиях, а также па континуальные интегралы, представляющие решения линейных дифференциальных уравнений с частными производными высших порядков параболического типа.
\ Научные результаты и новизна работы
-
Показано, что процедура "подстановки нового времени" в континуальных интегралах состоит из двух преобразований: преобразования репараметризации путей и однородного точечного преобразования. Получена формула преобразований континуальных интегралов в одномерном пространстве при репараметризации путей, когда случайная функция, изменяющая масштаб времени, зависит от двух переменных: от переменной, по которой идет интегрирование в континуальном интеграле, и от переменной времени. Выведена формула преобразования символов континуальных интегралов при реономном однородном точечном преобразовании.
-
Установлено интегральное соотношение между функциями Грина для двух одномерных квантовомеханических задач с гамильтонианами общего вида. Показано, что в частном случае это соотношение переходит в формулу Шепна для континуальных интегралов - для
задач с нестационарными квадратичными.по.координатам потенциалами.
-
Методом континуального интеграла точно решена задача квантования нестационарного "водородоподобного" потенциала.
-
Получена формула преобразования континуальных интегралов на многообразиях при репараметризацпи путей.
-
Установлена связь между континуальными интегралами (функциями Грина) для квантовомеханичеекпх задач, описывающих движения на "скрученном" многообразии и на одном из его подмногообразий.'
-
Показано,- что при квантовании атома водорода методом континуального интеграла происходит взаимное сокращение якобианов, возникающих от преобразования репараметрпзащга путей и от преобразования редукции динамической системы. Отмечена прпнпшшальная возможность появления якобиана в континуальном интеграле при редукций динамической системы, обладающей симметрией.
-
Введена процедура случайной замены времени для случайных процессов, связанных с квазимерами.
-
Получены аналоги формул Гирсанова-Камерона-Мартина для ква-зимер, порожденных случайными процессами, которые используются в вероятностном представлении решений линейных дифференциальных уравнений с частными производными четвертого и третьего порядков.
-
Для континуальных интегралов, представляющих решения таких уравнений, получены формулы преобразований при репараметризацпи путей,, и на их основе выведены интегральные соотношения между функциями Грина для потенциальных задач.
. Практическая ценность работы. Полученные в диссертации результаты'могут быть использованы при квантовании динамических систем, при исследовании систем, облагающих стохастическим поведением, а также при решении дифференциальных уравнений с частными производными.
Апробация работы. Результаты диссертации опубликованы в работах [1-9] и докладывались на семинарах Отдела теоретической физи-. ки ИФВЭ, на семинаре Международного центра теоретической физики (г. Триест) и на семинаре в Лаборатории теоретической физики ОИЯИ.
Структура диссертации. Диссертация состоит нз введения, четырех глав основного текста и заключения, содержит список литературы (69 ссылок, 108 работ). Объем диссертации 144 страницы.
- V
