Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Метод интегралов движения и квантовые функции . Распределения (обзор литературы) 11-20
ГЛАВА II. Функции вигнера квадратичных систем 21-55
I. Общая квадратичная система 23-32
2. Одномерный нестационарный осциллятор и заряженная частица в переменном магнитном поле 33-37
3. Средние значения 37-40
4. Собственные функции квадратичных гамильтонианов, в вигнеровском представлении 40-45
5. Производящие функции для вероятностей переходов и новые соотношения для специальных функций 45-55
ГЛАВА III. Квазиклассический пропагатор квантовой частицы в однородном поле в полупространстве 56-78
1. Квазиклассическое приближение для пропагатора 57-60
2. Свободное движение частицы в полупространстве 60-64
3. Движение частицы в однородном поле 65-78
ГЛАВА ІУ. Интегралы движения.и нелинейные формы линейных уравнений 79-100
1. Нелинейные формы линейных уравнений 80-93
2. Общие свойства полученных нелинейных уравнений 94-98
3. Лагранжианы и солитоноподобные решения нелинейных уравнений 98-100
Приложение І І0І-І02
- Одномерный нестационарный осциллятор и заряженная частица в переменном магнитном поле
- Собственные функции квадратичных гамильтонианов, в вигнеровском представлении
- Свободное движение частицы в полупространстве
- Лагранжианы и солитоноподобные решения нелинейных уравнений
Введение к работе
Одной из главных задач квантовой теории является исследование вопроса временной эволюции физических систем. Построение точных (не по теории возмущения) решений уравнений, описывающих развитие квантовых систем во времени, представляет большой интерес, поскольку позволяет наиболее полно проследить изменение физических величин, характеризующих рассматриваемую систему.
Предложенный Малкиным и Манько метод интегралов движения оказался эффективным и сравнительно простым в получении явных точных результатов при решении физических и математических задач, описываемых уравнениями, типа уравнения Щредингера. Метод интегралов движения эффективен при изучении динамических систем с гамильтонианом в виде квадратичной формы по канонически сопряженным операторам координат и импульсов с произвольно зависящими от времени коэффициентами. Для общей квадратичной системы в явном виде построены в различных представлениях функции Грина, найдены амплитуды переходов, получены выражения для равновесных матриц плотности. Интерес к изучению квадратичных систем объясняется прежде всего тем, что квадратичные системы имеют большое прикладное значение. Различные процессы взаимодействия в квантовой механике, например при обсуждении некоторых схем гравитационно-волнового эксперимента, а также движение заряженных частиц в переменных электрических и магнитных полях, могут быть описаны обще квадратичным гамильтонианом .
В последнее время все более широкое применение в исследовании физических систем находит предложенное Вйгнером и Вейлем представление квантовой механики при помощи квантовых функций распределения, представляющих собой совместные распределения вероятностей для координаты и импульса.
Поэтому исследование класса систем с квадратичными гамильтонианами в вигнеровском представлении, получение явных выражений квантовых функций распределения и выявление их связи с интегралами движения представляется интересным и своевременным. Представляет интерес также исследование квазиклассического приближения для изучения систем с квадратичными гамильтонианами, ограниченных в своем движении в пространстве наличием непроницаемых стенок.
Одномерный нестационарный осциллятор и заряженная частица в переменном магнитном поле
Точные выражения для функции Грина временного уравнения Шре-дингера получены лишь для некоторых гамильтонианов. Так, для систем с общим квадратичным гамильтонианом и его частных случаев, в работах [69-71 , 6, IIJ было получено выражение для функции Грина в координатном представлении, импульсном представлении, представлении когерентных состояний и в фоковском представлении в терминах матричных элементов неоднородных симплектических преобразований. В работе [72 j для систем с квадратичным гамильтонианом обсуждалось выражение для функции Грина в смешанном представлении. В работе [73 ] для квадратичных гамильтонианов без линейных членов, в том числе и нестационарных, была найдена волновая функция в координатном представлении в виде гауссовских пакетов и в виде полиномов Гаусса-Эрмита.
В данной главе диссертации получено в вигнеровском представлении явное выражение матричных элементов оператора эволюции нестационарной системы с квадратичным гамильтонианом в терминах матричных элементов неоднородных симплектических преобразований. Приведены явные выражения в вигнеровском представлении функций Грина нестационарного осциллятора и заряда, движущегося в нестационарных однородных электрическом и магнитном полях. Если гамильтониан не зависит от времени, то простой заменой t = -LjirL , где 6 = кТ , Т - абсолютная температура, К - постоянная Больцмана, функция Грина преобразуется в равновесную (невырожденную) матрицу плотности системы у:е (см., например, [74]). С помощью такой замены в данной главе получены явные выражения для равновесных функций Вигнера многомерных систем с наиболее общим квадратичным гамильтонианом. Ранее такие выражения были известны только для простейших систем: одномерного гармонического осциллятора [51, 52, 53J, частицы и осциллятора в магнитном и электрическом полях [55-57J. Здесь получены обобщения результатов работ 51-53, 55-57J на более сложные случаи, включая случай:,анизотропного тензора масс. Кроме того, получены явные выражения для статистических сумм общих многомерных квадратичных систем и для средних значений произвольных степеней и произведений координат и импульсов в состоянии термодинамического равновесия. В данной главе также получены точные решения уравнения Шредингера с произвольным многомерным нестационарным квадратичным гамильтонианом в вигнеровском представлении. Аналогичная задача была решена в координатном представлении в работах [73 J (для гамильтонианов однородных квадратичных форм от операторов координат и импульсов) и [69J (для неоднородных квадратичных форм: подробный обзор работ по квантовым системам с квадратичным гамильтонианом дан в [75J). Явные выражения для функций Вигнера, соответствующих состояниям с дискретным спектром, были найдены только для осциллятора с постоянной частотой [76J и сводящихся к нему систем [55J. Здесь используется подход, основанный на непосредственном решении уравнения Шредингера в вигнеровском представлении. Решения ищутся в виде собственных функций коммутирующих квадратичных операторов - интегралов движения, имеющих смысл операторов числа квазичастиц. Такой метод в координатном представлении был впервые применен в работе [77J, а затем развит в [75 , III. В координатном представлении волновые функции могут быть факторизованы лишь для гамильтонианов, описывающих невзаимодействующие подсистемы. (Заметим, что для произвольных квадратичных систем всегда могут быть факторизованы пропагаторы [її, 79П Используя найденные точные решения нами получена, производящая функция для вероятностей перехода между фоковскими состояниями, обобщающая формулу Хусшли 79 J , сравнивая которую с ранее полученными [її] формулами для амплитуд тех же переходов в различных частных случаях, выведен ряд новых соотношений для специальных функций.
Следуя работе \_ 7 J , рассмотрим квантовую систему с гамильтонианом, являющимся квадратичной формой по операторам координат и импульсов общего вида (для определенности рассмотрим сначала координатное представление)
Собственные функции квадратичных гамильтонианов, в вигнеровском представлении
Поэтому формула (5.24) может рассматриваться как производящая функция для квадратов полиномов Лаггера.
Результаты, полученные в данной главе, опубликованы в работах [87-90]. гамильтониан H = j F , если - &o oc ъ ,т.е. частица движется в неограниченном пространстве, является квадратичным, и точное выражение для пропагатора совпадает с его квазиклассическим выражением. С другой стороны, если F - О , то пропагатор частицы, движущейся в неограниченном пространстве и в полупространстве могут быть вычислены точно при помощи квазиклассической формулы j_93J. Отметим также работу [94J , в которой дано точное, выраженное через интегралы Френеля ,,выражение для пропагатора свободной частицы, движущейся в пространстве, ограниченном полуплоскостным барьером. Следовательно, можно задать естественный вопрос, насколько квазиклассическое приближение эффективно в случае FфО . Мы показываем, что ответ является утвердительным для слабых полей и отрицательным в случае сильных полей. В результате, делая замену t --Ljbti ( Р - обратная температура), которая преобразует пропагатор Q x i) в равновесную матрицу плотности, мы получаем в квазиклассическом приближении обобщение классической функции распределения Больцмана для частицы в однородном поле, принимая во внимание условие исчезновения матрицы плотности на стенке. Стоит заметить, что вопрос, касающийся таких обобщений, поднимался около 40 лет тому назад [95J, но полное точное решение этой проблемы в замкнутом виде не было найдено до сих пор. через полный набор решений Т уравнения Шредингера. Тем не менее, хотя функции "У известны, непосредственное суммирование в (I.I) едва ли может быть выполнено точно. В работе [96І изучает
Метод интегралов движения позволяет получать точные выражения для пропагаторов квантовых динамических систем с гамильтонианами, являющимися квадратичной формой по операторам координат и импульсов или так называемыми квадратичными гамильтонианами. НО, как известно, для систем с квадратичными гамильтонианами эти точные выражения совпадают с выражениями, полученными для пропагаторов в квазиклассическом приближении. Поэтому представляет интерес исследовать применимость квазиклассического метода вычисления пропагаторов для неквадратичных гамильтонианов, рассматривая самую простую неквадратичную ("около квадратичную") систему, а именно, движение квантовой частицы под действием однородного поля с потенциалом XL(х)- -Foz в полупространстве . ЭС О , ограниченном непроницаемой идеально отражающей стенкой. В данной главе диссертации получено и обсуждено приближённое выражение для пропагато-ра при наличии стенки в рамках квазиклассического приближения. Изучение этой проблемы интересно с нескольких физических точек зрения.. Например, она может быть рассмотрена как проблема вычисления радиального пропагатора частицы, движущейся в сферически симметричном потенциале V(r) - F/r , который описывает в низшем приближении взаимодействие двух кварков. Кроме того, в последние годы проблемы, связанные с движением квантовых частиц на полуоси СХЖ о привлекли внимание специалистов по квантовой теории поля, потому что такие квантовые механические системы могут служить простейшими аналогами неренормируемых моделей в квантовой теории поля (91, 92J.
Эта проблема интересна по нескольким причинам. Во-первых, ся проблема представления пропагатора в виде счётной суммы квазиклассических членов. Показано, что для свободного движения в двумерной области (а именно, в секторе Х /О ), ограниченной непроницаемыми стенками Н-0 и = 6 (в полярных координатах). Такое представление, названное "коллапс" пропагатора имеет место в исключительных случаях, когда d- $/ , где ь - натуральное число. Наши результаты показывают, что при движении под действием силы в одномерном случае при наличии стенки, "коллапс" пропагатора приближённо имеет место в случае слабых полей, а в случае сильных полей "коллапс" несправедлив.
Свободное движение частицы в полупространстве
Так как в случае свободного движения формула (1.7) даёт точный результат даже при наличии стенки, то кажется естественным использование квазиклассического приближения в случае F О . В отсутствие стенки это приближение приводит к точной формуле для пропагатора, полученного в работе [2J: где 0?± - координата начальной точки, а ЭСЛ - координата конечной точки траектории (квазиклассические решения уравнения Шредингера НУ-ЕУ В ЭТОМ случае были изучены [l04j). При наличии стенки известны только решения стационарного уравнения Шредингера (Н-Е)У- О , приведённые, например, в работе [_I05j и функции Грина этого уравнения, представленные в работах [І06-І08І, а для пропагатора временного уравнения Шредингера было найдено только интегральное представление через функции Эйри l07_/. На первый взгляд можно ожидать, что при наличии стенки, про-пагатор так же, как и в случае свободного движения, будет разностью двух членов, первый из которых совпадает с пропагатором в отсутствии стенки (3.1), а второй даётся формулой (1.7) с действием, вычисленным на траектории, соответствующей движению с отражением от стенки в некоторый момент времени (0 / . Для этой траектории действие, в силу его аддитивности (см. формулу (1.9)), равно - начальная, а - конечная точка траектории, Ь - действие для траектории без отражений от стенки, оно даётся выражением в квадратных скобках в формуле (3.1)). Остается вычислить величину т. . Решения уравнений движения при наличии одного удара о стенку следующие Константы v и v и определяются из условий абсолютной упругости удара: В итоге для параметра гГ получается кубическое уравнение Чтобы качественно понять поведение решений этого уравнения, рассмотрим случай Х1 = 0СД = X . Тогда одно решение очевидно: х, - -г" , а после этого легко найти и два других: Если г 0 (сила отталкивания), то оба решения (3.4) лежат вне интервала (0, -) f т#е. в этом случае физически приемлемое решение только одно. Если же F 0 (сила притяжения), то ситуация оказывается заметно сложнее, так как возможны три решения, т.е. три различных классических траекторий с ударом. На самом деле при F О , как легко догадаться, существуют траектории с любым количеством ударов о стенку, т.е. количество классических траекторий оказывается счётным. Поэтому в случае силы притяжения можно ожидать, что квазиклассическое разложение функции Грина имеет вид (1.2), где каждой классической траектории соответствует функция Qn, » вычисляемая по формуле (1.7). Ситуация упрощается, если величина F мала. Если выполнено условие \f\ t /tnX «j_ t то при F 0 оба решения (3.3) становятся комплексными, т.е. траектория с одним ударом только одна. При этих же условиях траекторий с двумя и более ударами не может быть вовсе. Действительно, если за время t происходит точно N ударов о стенку, то момент ь первого удара может быть найден из следующего уравнения (способ его получения тот же, что и для уравнения (3.3)) (При /\/ і это уравнение переходит в (3.3)). Если ЭСА Х± - X » то это уравнение решается точно. Четыре решения таковы:
Как видим, если F 0 , то при любых F - О все решения становятся комплексными. Если же f 0 , то при любых F либо Ъ , либо время последнего удара окажутся вне интервала (0,1 ). Таким образом, есть основания считать, что при F О в ряде (1.2) останутся только два слагаемых, первое из которых даётся формулой (3.1), а второе в пределе F-0 должно перейти в (2.2). Ясно, что при F " О время удара будет мало отличаться от времени удара в свободном случае, т.е. решение уравнения (3.3) можно искать в виде ряда по параметру F
Лагранжианы и солитоноподобные решения нелинейных уравнений
Формально, мы получили квазиклассический пропагатор в случае сильного поля. Однако выражение (3.36) является совершенно неудовлетворительным с физической точки зрения. Действительно, ведущим в слагаемых этого выражения оказывается член.Следовательно, если выписать равновесную матрицу плотности, то ведущими членами в экспонентах будут члены, пропорциональные t Р К /Угь , которые можно с точностью до числового коэффициента записать как (Е0/КТ ) , где Еа - энергия основной) состояния / 105 / . Но мы знаем, что температуpa может входить в равновесную штрицу плотности только в виде комбинации 4 { (.-Ёо / 7) при Т - О . это означает, что пропа-гатор не будет "коллапс" в смысле, указанном в работе/ 96J в случае сильного поля. Другими словами, в случае сильного поля квазиклассическое приближение неприемлемо.
В настоящее время большое внимание в физике уделяется решению нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, часто встречающихся при описании динамических систем.
Проблема нахождения точных решений нелинейных дифференциальных уравнений стала очень популярной после открытия в 1967 году метода обратной задачи рассеяния [l09j . Метод обратной задачи рассеяния и примыкающие к нему методы описаны, например, в обзоре jlIOJ. Кроме них существуют также некоторые другие методы нахождения точных решений нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных [III, II2J. Несмотря на различие форм все сейчас пока известные методы lI3-II6j основаны на очень простой идее -свести проблему решения данного нелинейного уравнения к проблеме более простого уравнения, которое хорошо изучено. Авторы работы [lI7J, например, использовали геометрический подход при нахождении решения конформно инвариантного волнового уравнения для скалярного поля. Зная закон преобразования скалярной кривизны & пространства к скалярной кривизне k пространства, конформного данному, они выражают решение уравнения через її . Используя также конформную инвариантность уравнения, авторы сводят уравнение Df+ + ІТ -О к уравнению Якоби для эллиптического конуса и находят новое решение этого уравнения, выраженное в эллиптических функциях. Другой подход к решению этой проблемы состоит в описании и анализе классов нелинейных уравнений, получаемых при применении различных форм преобразований к данному классу линейных уравнений [118, II9J. Недавно исследовались некоторые точно решаемые нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных третьего порядка, как например уравнение КуЬ [II4-II6J.
В данной главе диссертации рассмотрены различные нелинейные преобразования зависимой переменной в уравнениях типа Шредингера или Клейн-Гордона и получены новые нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных второго и третьего порядка от двух переменных, имеющие точные решения. Эти уравнения могут показаться на первый взгляд тривиальными, однако среди них можно найти уравнения, которые были объектами глубоких исследований, как например уравнение Бюргерса-Хопфа
Нетривиальным примером может послужить уравнение Лиувилля %и -= -еоср V . Это уравнение может быть решено методом обратной задачи рассеяния 120 . В то же время для любой функции Q (Х;У) , удовлетворяющей уравнению Qx О , функция Ч %лъ L& Qx х удовлетворяет уравнению Лиувилля /121,
В данной главе также получены солитоноподобные решения и исследован метод получения новых решений нелинейных уравнений из уже известных, используя интегралы движения. Будем называть нелинейные уравнения, полученные из линейных при помощи некоторых преобразований, нелинейными формами линейных уравнений.
Уравнения, описывающие физические процессы, содержат производную по времени , как правило, не выше второго порядка, поэтому рассмотрим нелинейные формы следующего скалярного уравнения (ограничимся одномерным случаем):
