Введение к работе
Актуальность темы. Теория двумерных точно решаемых моделей является одной из наиболее популярных областей современной математической физики. Притягательность таких моделей объясняется тем, что наиболее интересные физические явления, а именно неаналитические свойства статистической суммы и спонтанная намагниченность, недоступны исследованию привычными методами теории возмущений. Исторически классические точно решаемые задачи были сформулированы еще в двадцатых годах нашего века в работах Изинга и Гейзенберга, однако универсальный метод для их решения был предлол<ен Р. Бакстером в 1972 году. Этот метод, получивший название метода трансфер-матриц, позволяет вычислять статистическую сумму и спонтанные намагниченности для статистических моделей, больцмановские веса которых удовлетворяют уравнению Янга - Бакстера (уравнению треугольников) — системе алгебраических уравнений третьей степени.
Уравнение Янга - Бакстера оказалось необычайно богатым на решения, применения и на интерпретации. Техника уравнения треугольников оказала детонирующее воздействие на квантовый метод обратной задачи' и квантовую систему Тоды. Из уравнения треугольников возникла концепция квантовых групп, бурное развитие которюй в свою очередь оказало влияние на двумерные конформные теории поля и бумерангом пролило свет на связь точно решаемых моделей и простых алгебр Ли.
Несмотря на вышеизложенные успехи, современные точно интегрируемые системы вызывают недоумение своей двумерностью. С 1980 года была известна только одна трехмерная интегрируемая модель - модель Замолодчпкова. Однако недавно было замечено, что так называемое Л„_і обобщение кпральной модели Поттса (модель Важанова - Катаева - Ман-газеева - Строганова) имеет естественную трехмерную интерпретацию,
являющуюся обобщением модели Замолодчикова (модель Бажанова - Бак-стера) .
Цель диссертационной работы:
-
Завершение списка тригонометрических й-матриц с диагональным' спектральным разложенном.
-
Построение статистической модели с тремя спиновыми состояниями, -ассоциированной с алгеброй Ец-
-
Построение и исследование температурной внектритической Z%n~^ деформации БКМС ъ\ і;.'."'л и и модели Бажанова - Бакстера.
Научные результаты и новизна работы
-
Построены тригонометрические Л-матрицы для исключительных алгебр Ли Е$, Ej, В\, завершающие список Д-магриц с диагонализуемым спектральным разложением. Показано, что для алгебры Eg диагонального спектрального разложения не существует. Для спектральных функций произвольной Й-матрицы получена система линейных функциональных уравнений, он; одел;» аная спектральные функции однозначно.
-
Построена регулярна: процедура восстановления тригонометрической 1R.F модели по исходной Я-матрице. Приводится полный список трёхцветных эллиптических решений уравнения Янга - Бакстера, ассоциированных с матрицей инцидентности типа Е$ , т = 2. Для примера исследуется одно из возникших решений. Выписана также пара неэл-липтиэируемых тригонометрических решений, одно из которых является кандидатом на Eg R.SOS модель.
-
С помощью метода ^-векторов, и стартуя с эллиптической R-матрицы Белавина построена эллиптическая деформация модели свободных /1,1-1 парафермионов. Модель определяется с точностью до п — \ дискретных комплексных параметров, связанных соотношением Z^ инвариантности аналогично с обобщением киралшон модели Поттса. В случае п — 2 получившаяся модель оказывается шире, чем изучавшаяся ранее модель Кашивары - Мивы. Для простого выбора параметров Z^n ^ эллиптической модели получена статистическая сумма и описано представленпе для спонтанной намагниченности в виде одномерной конфигурационной суммы:
Практическая ценность работы. Полученные в диссертации результаты имеют приложение как к статистической механике, так и к точно интегрируемым задачам квантовой механики. В частности, резуль-
гаты первой главы необходимы для получения коммутационных соотношений для матричных элементов матриц монодромии системы типа :'sine - Гордон", ассоциированной с исключительными алгебрами. Результаты первой и второй глав позволяют быстро и эффективно получать :татистико-механпческііе системы, связанные с исключительными алге-эрами, среди которых есть, например, трикрнтпческая модель Изинга и грехпозишюнная модель Поттса. Результаты третьей же главы позволяют исследовать намагниченность и корреляционные свойства трехмерной "модели свободных анионов''.
Апробация работы. Результаты диссертации опубликованы в работах [1-4] и докладывались на рабочем семинаре международного математического института им. Леонарда Эйлера в С. Петербурге (1990г.) и на :еминарах Отдела теоретической физики ИФВЭ.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех "лав основного текста и заключения. Список литературы содержит 48 наименований. Объем диссертации 70 страниц.
